1. Ecuaciones
Capitulo 6
6. ECUACIONES.
6.1. Definición, partes y clasificación en base al grado de número de incógnitas.
6.2. Propiedades de las ecuaciones.
6.3. Solución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
6.4. Problemas que conducen a ecuaciones de primer grado con una incógnita.
6.5. Solución gráfica de una ecuación de primer grado con dos incógnitas.
6.6. Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
6.7. Método de solución (eliminación y por determinantes) e interpretación geométrica.
6.8. Problemas que conducen a un sistema de ecuaciones de lineales con dos incógnitas.
6.9. Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita por:
6.9.1. Factorización.
6.9.2. Formula cuadrática.
6.9.3. Completando el trinomio cuadrado perfecto.
6.1 Definición, partes y clasificación en base al grado y número de
incógnitas.
Una de las mayores aportaciones a la teoría de las ecuaciones se debe al matemático
francés, aunque nacido en Italia, Joseph Luis Lagrange (1736-1813). Lagrange fue uno de
los mayores analistas de su época aunque también destaco en otras disciplinas. Su mayor
aportación al Álgebra es su famosa memoria “sobre la resolución de las ecuaciones
numéricas” escrita en 1776.
Una igualdad o equivalencia es la relación que existe entre dos expresiones diferentes de
una misma cantidad. Así, por ejemplo, serían igualdades 7 = 6 + 1 o bien 2x = x + 3.
Una identidad o formula es la relación que existe entre dos expresiones iguales de una
misma cantidad y es independiente del valor que se le atribuya a las letras. Así, por ejemplo
x2-y2 = (x-y)(x+y) y (x+y)2 = x2+2xy+y2 son identidades.
Se llama ecuación a toda igualdad que contiene una o más cantidades desconocidas, que
reciben el nombre de incógnitas y que solo se verifica, generalmente, para determinados
valores de la incógnita.
Generalmente, las incógnitas se representan mediante las últimas letras del abecedario: x, y,
z…

2. ECUACIONES
Así, por ejemplo 4x + 3 = 2x + 7 es una ecuación porque es una igualdad en la que hay una
incógnita, la x y está igualdad tan sólo se verifica para el valor x=2. En efecto, si sustituimos
la x por 2, tendremos: 4(2) + 3 = 2(2) + 7.
Es decir 8 + 3 = 4 + 7. O sea, 11 = 11, tal como queríamos comprobar.
Análogamente, y2 - 3y + 2 = 0 también es una ecuación puesto que es una igualdad
únicamente se verifica para los valores y = 2 e y = 1. En efecto, si sustituimos la y por 2
tendremos:
22 – 3(2) + 2 = 0
4–6+2=0
-2 + 2 = 0
Si sustituimos la y por 1 tendremos:
12 – 3(1) + 2 = 0
1–3+2=0
Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que queda a la
izquierda del signo de la igualdad, y segundo miembro a la expresión que queda a la
derecha del signo de igualdad.
Así, por ejemplo en la ecuación 3x – 1 = 2x – 3, el primer miembro es 3x – 1 y el segundo
miembro es 2x – 3.
Se llaman términos a cada una de las cantidades que están relacionadas con otras con los
signos + o –, o bien la cantidad que aparece sola en un miembro.
Así, por ejemplo, en la ecuación anterior los términos son: 3x, -1, 2x y -3.
Se dice que una ecuación es literal cuando las cantidades conocidas están representadas
por letras. Así, por ejemplo, x + 2a = x + 5 es una ecuación literal en la cual a y b representan
cantidades conocidas.
Por el contrario, se dice que una ecuación es numérica cuando las cantidades conocidas
están representadas por números. Así, por ejemplo, 2x + 7 = -x + 5 es una ecuación
numérica puesto que la única letra que aparece representa la incógnita.
Se dice que una ecuación es entera cuando ninguno de sus términos tiene denominador.
Por el contrario, se dice que una ecuación es fraccionaria cuando alguno de sus términos
2x 2x
tiene denominador, la ecuación 3  1 es fraccionaria.
5 3
Se dice que una ecuación tiene una, dos, tres o más incógnitas según contenga una, dos,
tres o más letras que representan cantidades desconocidas.
El grado de una ecuación es la suma de los exponentes de las incógnitas en el término que
la tenga mayor.
6-2

3. ECUACIONES
Así, por ejemplo, las ecuaciones:
2x + 2y = 8 es de primer grado con dos incógnitas
4 – 3x = 2x2 – 5 es de segundo grado con una incógnita
5 – 3x2 = 2xy2 es de tercer grado con dos incógnitas
La solución o raíz de una ecuación con una sola variable es el valor de una constante que, al
sustituir a la variable, hace que el lado izquierdo de la ecuación se iguale al lado derecho. Al
conjunto de todas las ecuaciones se le llama conjunto solución. Resolver una ecuación es
encontrar el conjunto solución.
Así pues, resolver una ecuación consiste en hallar los valores que sustituidos en las
incógnitas transforman la ecuación en una igualdad.
Las ecuaciones de primer grado con una incógnita tienen una única raíz. Una ecuación
puede tener tantas raíces como unidades tenga su grado.
Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. Así, por
ejemplo, las ecuaciones x2-3x+2 = 0 y 2x2-6x+4 = 0 son equivalentes puesto que la solución
de ambas son x=2 y x=1.
6.2 Propiedades de las ecuaciones
El axioma fundamental de las ecuaciones es que una ecuación se transforma en otra
equivalente cuando se ejecutan operaciones elementales iguales en ambos miembros.
Es decir
 Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma cantidad positiva o
negativa, la igualdad subsiste.
 Si a los dos miembros de una ecuación se les resta una misma cantidad, positiva o
negativa, la igualdad subsiste.
 Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad,
positiva o negativa, la igualdad subsiste.
 Si a los dos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad, positiva o
negativa, la igualdad subsiste.
Al exponer las propiedades de la igualdad en su forma general, para cualesquiera de los
números reales a, b y c.
Si a = b entonces a+c = b+c
Si a = b entonces a-c = b-c
Si a = b entonces ac = bc
Si a = b entonces a/c = b/c siempre que c≠0
Transponer términos consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a
otro. Consideremos la ecuación 3x-2 = x+6
Para transponer el término -2 del primer miembro al segundo añadimos 2 a ambos miebros y
resulta 3x-2 +2= x+6+2.
Es decir 3x = x+8
6-3

4. ECUACIONES
En ocasiones se trasponen al primer miembro todos los términos de una ecuación y, en ese
caso, el segundo miembro es cero. Así, en la ecuación 3x-2 = x+6 tendríamos
3x-2-6 = x+6-6
O sea 3x-8 = x
Añadiendo –x a ambos miembros resultaría: 3x-8-x = x-x
Es decir, 2x-8 = 0
Como consecuencia de lo anteriormente expuesto, resulta obvio que términos iguales con
signos iguales en distinto miembro de una ecuación puedan suprimirse.
Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que una ecuación
varíe, puesto que esto equivale a multiplicar ambos miembros de la multiplicación por -1, por
lo cual la igualdad no varía.
Así, por ejemplo, si consideramos la ecuación 2x+1 = x-2 y multiplicamos ambos miembros
por -1 obtendremos. -2x-1 = --x +2, que es la ecuación inicial con todos los signos
cambiados.
Para quitar los denominadores de una ecuación, basta con multiplicar sus dos miembros por
el mínimo común múltiplo de los denominadores.
x 3x
Así, por ejemplo, si consideramos la ecuación  , para eliminar los denominadores
42 8
multiplicaremos ambos miembros por el mínimo común múltiplo de los denominadores, o sea
 x   3x 
por 8, tendremos: 8   8 
42  8 
O sea 2x -16 = 3x que es una ecuación equivalente a la inicial y en la cual no aparecen los
denominadores.
Si se eleva a una misma potencia los dos miembros de una ecuación, la ecuación resultante
tiene, generalmente, más soluciones que la ecuación inicial. En este caso se prescinde de
aquellas soluciones que no satisfacen la primera ecuación..
6.3 Soluciones de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver una ecuación de primer grado se procede del modo siguiente:
a) Se eliminan los radicales, en caso de que los haya.
b) Se efectúan las operaciones indicadas en la ecuación, suprimiendo de este modo los
paréntesis y los signos de agrupación.
c) Se suprimen los denominadores, sí los hay.
d) Se trasponen y reducen términos.
e) Se despeja la incógnita, descomponiendo el primer miembro en dos factores.
f) Se dividen ambos miembros por el coeficiente de la incógnita.
Ejemplo
Resolver la ecuación 5  4 x  3x  3x  7
6-4

5. ECUACIONES
Solución: Trasponemos el término 3 x al primer miembro
5  4 x  3x  3x  7
5 x  7
A continuación trasponemos el término 5 al segundo miembro.
5 +x -5 = 7 -5
x=2
Comprobemos que x = 2 satisface la ecuación dada.
5 +4(2) = 3(2) +7
5 +8 = 6 +7
13 = 13, tal como queríamos comprobar
Ejemplo
Resolver la ecuación 2(x+1) +3(x-2) = x +3
Solución:
Se suprimen los paréntesis 2x +2+3x-6= x +3
Trasponemos la x: 5x -4 –x = x –x +3
O sea, 4x -4 = 3, trasponemos el término -4 tendremos: 4x -4 +4 = 3 +4
4x 7
O sea 4x = 7. Dividamos ambos miembros por 4:  . Es decir x = 7/4
4 4
Comprobemos que 7/4, satisface la ecuación dada.
7  7  7
2  1  3  2    3
4  4  4
 11   1  19
2   3   
 4   4 4
22 3 19
 
4 4 4
19 19

4 4
Ejemplo
Resuelve la ecuación 8x +7 = 9x +3
Solución
1.- La ecuación ya está simplificada: 8x +7 = 9x +3
2.- Resta 7 de ambos lados.
8x  7  7  9 x  3  7
8x  9 x  4
3.- Resta 9x de ambos lados
8x  9 x  9 x  9 x  4
 x  4
6-5

6. ECUACIONES
Puesto que –x = -4, entonces x = -(-4) = 4, y la solución es 4
Comprobación
8x  7  9 x  3
8(4)  7  9(4)  3
32  7  36  3
39  39
Cada una de las ecuaciones tenía exactamente una solución. Cuando se da una ecuación
que puede escribirse como ax+b=c, existen tres posibilidades para la solución:
1) La ecuación tiene una sola solución. Se trata de una ecuación condicional.
2) La ecuación no tiene solución. Es una ecuación contradictoria.
3) La ecuación tiene un número infinito de soluciones. Es una identidad.
Solución de una ecuación contradictoria.
Ejemplo
Resuelva 3 +8(x+1) = 5 +8x
Solución:
a) Simplificar aplicando la propiedad distributiva y combinando términos semejantes.
3  8( x  1)  5  8 x
3  8x  8  5  8x
11  8 x  5  8 x
b) Restar 5 de ambos términos.
11  5  8 x  5  5  8 x
6  8x  8x
c) Restar 8x de ambos lados
6  8x  8x  8x  8x
60
La proposición 6=0 es una proposición falsa. Cuando esto ocurre, indica que la ecuación no
tiene solución, es decir, es una ecuación contradictoria y escribimos “no hay solución”.
Solución de una ecuación con un número infinito de soluciones.
Ejemplo
Resolver 7+2(x+1) = 9+2x
Solución:
1.- Simplificamos usando la propiedad distributiva y combinando términos semejantes.
6-6

7. ECUACIONES
7  2( x  1)  9  2 x
7  2x  2  9  2x
9  2x  9  2x
Nos podríamos detener aquí. Puesto que ambos lados son idénticos, la ecuación es
una identidad. Todo número real es una solución. Pero ¿Qué pasa si continúa?.
Veamos
2.- Restar 9 de ambos lados
9  9  2x  9  9  2x
2x  2x
3.- Restar 2x de ambos lados.
2x  2x  2x  2x
00
La proposición 0=0 es una proposición verdadera. Cuando esto ocurre, indica que cualquier
número real es una solución. La ecuación tiene un número infinito de soluciones y escribimos
“todos los números reales” para la solución.
6.4 Problemas que conducen a ecuaciones de primer grado con una
incógnita
Solución de una ecuación literal
Un trapezoide es una figura de cuatro lados en la cual sólo dos de ellos son paralelos: el área
del trapezoide ilustrado es A  b1  b2  , donde h es la altura y b1 y b2 son las bases.
h
2
Resolver para b2. b1
h
1.- Elimina las fracciones; el MCM 2
2  A  2  b1  b2 
h b2
2
2 A  2  b1  b2 
h


2
2 A  hb1  b2 
2.- Elimina los paréntesis
2 A  hb1  hb2
3.- No hay números que restar.
4.- Resta el mismo término, hb1, en ambos lados.
6-7

8. ECUACIONES
2 A  hb1  hb1  hb2  hb1
2 A  hb1  hb2
5.- Divide ambos lados entre el coeficiente de b2, h
2 A  hb1 hb2

h h
2 A  hb1 2 A  hb1
 b2 o bien b2 
h h
Ejemplo
7 x  5  3 x  25 Comprobación
7 x  3 x  25  5
7 5  5  3 5  25
4 x  20
 35  5  15  25
2
x  40  40
4
x  5
16 x  192  0 Comprobación
16 x  192
1612  192  0
192
x 192  192  0
16
x  12 00
a  12a  44 Comprobación
a  12a  44
4  124  44
 11a  44
4  48  44
11a  44
44
44
a
11
a4
x  300  11x Comprobación
x  11x  300
 30  300  11 30
 10 x  300
 30  300  330
10 x  300
 30  30
 300
x
10
x  30
6-8

9. ECUACIONES
5c-9  c  2c- 73 Comprobación
6c  9  2c  73
5 16  9   16  2 16  73
6c  2c  73  9
 80  9  16  32  73
4c  64
 105  105
 64
c
4
c  16
y  2  5(39  y )  3
y  2  195  5 y  3
y  2  198  5 y
y  5 y  198  2
 4 y  196
 196
y
4
Comprobación
y  49
49  2  539  49  3
47  5 10  3
47  50  3
47  47
84  19 y  760  y  Comprobación
84  19 y  420  7 y
84  1942  760  42
 19 y  7 y  420  84
84  798  7102
 12 y  504
 714  714
12 y  504
504
y
12
y  42
6-9

10. ECUACIONES
54 x  7   3 x  12  5 Comprobación
20 x  35  6 x  2  5
542  7  32  12  5
14 x  33  5
58  7   6  12  5
14 x  5  33
51  52  5
14 x  28
5  10  5
28
x  5  5
14
x2
40 x  1  60 x  6  0 Comprobación
 20 x  5  0
1 1
 20 x  5 40   1  60   6  0
4 4
5
x 10  1  15  6  0
 20
16  16  0
1
x 00
4
2  3 x  1  5 x  9 Comprobación
2  3 x  1  5 x  9
2  3 5  1  5 5  9
 3 x  5 x  9  2  1
2   15  1  25  9
2 x  10
2   14  16
 10
x 2  14  16
2
16  16
x  5
3x 3x Comprobación
 35  100 
4 5
3100 3100
 3x   3x   35  100 
20   2035  20100   4 5
 4  5 
75  35  100  60
15 x  700  2000  12 x
40  40
15 x  12 x  2000  700
27 x  2700
2700
x
27
x  100
6 - 10

11. ECUACIONES
x 5x 3x Comprobación
  54 
2 7 4
56 556 356
 x 5x   3x    54 
28    28  54   2 7 4
2 7   4
28  40  54  42
14 x  20 x  1512  21x
 12  12
 27 x  1512
27 x  1512
1512
x
27
x  56
x x b
  mcm de los denominadores
a a b ab
a(a-b)(a+b)=a(a2-b2)
x x   b 

a a 2 b2      a a 2 b2    
a a  b a  b
 
x a 2  b 2  xa a  b   baa  b 
a x  b x  a 2 x  abx  a 2 b  ab 2
2 2
2a 2 x  b 2 x  abx  a 2 b  ab 2
 
x 2a 2  b 2  ab  a 2 b  ab 2
a 2 b  ab 2
x 
2a 2  b 2  ab
a c
ax   cx  Mcm de a y c = ac
c a
 a  c
ac ax    ac cx  
 c  a
a 2 cx  a 2  ac 2 x  c 2
a 2 cx  ac 2 x  a 2  c 2
 
x a 2 c  ac 2  a 2  c 2
a2  c2
x
a 2 c  ac 2
x
a  c a  c 
aca  c 
ac
x
ac
6 - 11

12. ECUACIONES
6.5 Solución gráfica de una ecuación de primer grado con dos
incógnitas.
Una manera de resolver un sistema de ecuaciones es graficar las ecuaciones y encontrar las
coordenadas del punto o puntos de intersección. Ya que el punto o puntos de intersección
están en ambas rectas, estas parejas ordenadas son soluciones del sistema.
Ejemplo
Resolver por graficación.
x  2y  7
x y4
Graficamos las ecuaciones. El punto P de intersección tiene coordenadas (5,1). Sustituyendo
x=5 y y=1.
x + 2y = 7 x =y+4
(5)+2(1)=7 (5) = (1) + 4
5+2=7 5=5
(5,1) es la solución del sistema.
Cuando graficamos un sistema de dos ecuaciones lineales, se puede presentar una de tres
situaciones:
1. Las rectas tienen un solo punto de intersección, y éste es la única solución del
sistema.
2. Las rectas son paralelas. En este caso no existe un punto que satisfaga las dos
ecuaciones. El sistema no tiene solución, es decir, es inconsistente.
3. Las rectas coinciden. Las ecuaciones tienen la misma gráfica y toda solución de una
ecuación es solución de la otra. Existe un número infinito de soluciones.
6.6 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen idéntica
solución, es decir, que las soluciones satisfacen a cada una de las ecuaciones dadas;
también se les llama sistema de ecuaciones simultaneas.
La Solución de un sistema de ecuaciones requiere de tantas ecuaciones independientes
como incógnitas se tengan que determinar; así un sistema de ecuaciones de primer grado
con dos incógnitas constara de dos ecuaciones independientes; así un sistema de
ecuaciones de primer grado con tres incógnitas constara de tres ecuaciones independientes;
etc.
Si un sistema tiene solución se dice que es un sistema posible o Compatible. Si la solución
es única diremos que el sistema es Compatible y determinado. Si tiene infinitas soluciones
diremos que el sistema es Compatible e indeterminado. Cuando el sistema no tiene
solución, diremos que las ecuaciones y el sistema son incompatibles.
Una expresión general de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables es:
6 - 12

13. ECUACIONES
a1 x  b1 y  c  0, a1  0 o b1  0 
 
a 2 x  b2 y  c  0, a2  0 o b2  0
Las ecuaciones simultáneas con dos o más incógnitas son simultáneas cuando las
soluciones son las mismas.
Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen al multiplicar o dividir una ecuación por
un mismo número.
x +y = 4
2x +2y = 8
Son equivalentes porque dividiendo por 2 la segunda ecuación se obtiene la primera. Las
ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Ecuaciones independientes
son las que no se obtienen una de la otra.
Entendemos que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las cuales
buscamos una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones en dos
variables es una pareja ordenada que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. Como
la solución de un sistema satisface ambas ecuaciones simultáneamente, decimos que
tenemos un sistema de ecuaciones simultáneas. Cuando encontramos todas las soluciones
de un sistema, decimos que hemos resuelto el sistema.
Ejemplo
Determinar si (1,2) es una solución del sistema
y=x+1
2x+y=4
y=x+1 2x+y=4
2=1+1 2(1)+2=4
2=2 2+2=4
4=4
(1, 2) es una solución del sistema
Determinar si (-3, 2) es una solución del sistema.
a+b=-1
b+3a=4
a+b=-1 b+3a=4
-3+2=-1 2+3(-3)=4
-1=-1 2-9=4
-7=4
Ya que (-3, 2) no es una solución de b+3a=4, no es una solución del sistema.
6 - 13

14. ECUACIONES
Solución de ecuaciones lineales
Ejemplo
  x  2
x 1 7
Resolver
4 6 12
1.- Elimina cualquier fracción multiplicando cada término en ambos lados de la ecuación
por el M.C.M. de los denominadores.
7 
 12   12   x  2
x 1
12 
4 6  12 
2.- Elimina los paréntesis y une los términos semejantes, simplificando si es necesario.
 x  2
12 x 12 84

4 6 12
3 x  2  7 x  2 
3x  2  7 x  14
3.- Suma o resta el mismo número en ambos lados de la ecuación de manera que los
números aislados en un solo lado.
3x  2  2  7 x  14  2
3x  7 x  12
4.- Suma o resta el mismo término o expresión en ambos lados de la ecuación de modo
que las variables queden asiladas en el otro lado.
3x  7 x  7 x  7 x  12
 4 x  12
5.- Si el coeficiente de la variable no es 1, divide ambos lados de la ecuación entre este
coeficiente (o, de manera equivalente multiplica por el recíproco del coeficiente de la
variable)
 4 x  12

4 4
x3
6.- Asegurate de comprobar la respuesta en la ecuación original.
x 1
 
7
x  2
4 6 12
 3  2 
3 1 7

4 6 12
 1
9 2 7

12 12 12
7 7

12 12
6 - 14

15. ECUACIONES
Ejemplo
7 x 1
Resolver  
24 8 6
1.- Eliminamos las fracciones; el MCM es 24
 7  x  1
1 3 4
24   24   24 
24
 8
 6

1 1 1
7  3x  4
2.- Restando 4
7  4  3x  4  4
3  3x
3.- Dividiendo entre 3 (o multiplica por el recíproco 3)
3 3x

3 3
1  x o bien x  1
4.- Comprobación
7 1 1
 
24 8 6
7 3 4
 
24 24 24
7 7

24 24
Ejemplo
1 x 7x  3
Resolver  
5 4 10
1.- Eliminamos las fracciones; el MCM es 20
 1  x  7x  3
4 5 2
20   20   20 
5
 4
 10

1 1 1
2.- Simplifica y aplica la ley distributiva.
4  5 x  14x  3
4  5 x  14 x  42
3.- Restando 4
4  4  5 x  14 x  42  4
 5 x  14 x  38
6 - 15

16. ECUACIONES
4.- Resta 14x
 5 x  14 x  14 x  14 x  38
 19 x  38
5.- Dividiendo entre -19 (o multiplica por el recíproco -19)
 19 x 38

 19  19
x  2
1 x 7x  3
4.- Comprobación  
5 4 10
1  2  7 2  3
 
5 4 10
1 1 7
 
5 2 10
2 5 7
 
10 10 10
7 7

10 10
El procedimiento para resolver ecuaciones lineales que acabamos de describir, también es
útil para resolver algunas ecuaciones literales.
Una ecuación literal es una ecuación que contiene varias variables. En el mundo de los
negocios, de la ciencia y la ingeniería, estas ecuaciones literales usualmente aparecen a
manera de fórmulas como la del área de un circulo de radio r (A=r2), el interés ganado sobre
un capital C a una tasa t dada durante cierto período p (I=ctp), y así sucesivamente. Por
desgracia, estas fórmulas no siempre están en la forma que necesitamos para resolver el
problema de una manera práctica.
Aquí es donde entran los primeros cinco pasos de nuestro procedimiento. Para solucionar
una variable en particular de una de estas fórmulas, podemos usar los métodos que
acabamos de aprender. Por ejemplo, resolvamos C en la fórmula I=Ctp. Para dar
seguimiento a la variable C, primero la marcamos:
I  Ctp
I Ctp

tp tp
I I
 C o bien C 
tp tp
6 - 16

17. ECUACIONES
6.7. Método de solución (eliminación y por determinantes) e
interpretación geométrica
PROCEDIMIENTO
Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de sustitución:
1. Resuelve una de las ecuaciones para x o y.
2. Sustituye la expresión resultante de la otra ecuación. (Ahora se tiene una
ecuación con una variable).
3. Resuelve la nueva ecuación para la variable.
4. El valor de esa variable se sustituye en una de las ecuaciones originales y se
resuelve esta ecuación para obtener el valor de la segunda variable.
5. La solución se comprueba sustituyendo los valores numéricos de las variables
en ambas ecuaciones
Ejemplo 1
 x y 8 
Resuelve:  
2 x  3 y  9
SOLUCIÓN Utilicemos el procedimiento de los cinco pasos:
1. Resuelve una de las ecuaciones para x o y. Resolveremos aquí la primera ecuación para
y). y = 8 - x
2. En la ecuación 2x – 3y = -9; escribe 8 – x en lugar de la y. 2x – 3(8 – x) = -9
3. Resuelve la nueva ecuación para la variable:
2x – 3(8 – x) = -9
2x – 24 +3x = -9 Simplificando
5x – 24 = -9 Combinando términos semejantes
5x = 15 Suma 24 a ambos lados
x = 3 Divide entre 5
4. Sustituye el valor de la variable x=3 en una de las ecuaciones originales. (aquí lo hacemos
en la ecuación x + y = 8. Luego resuelve para la segunda variable 3+y=8 Nuestra solución
es el par ordenado (3, 5) ya que y = 5.
5. Comprobamos; cuando x= 3 y y=5; x + y = 8 se convierte en 3 + 5 = 8 y 8=8. Lo cual es
verdadero.
Luego para la segunda ecuación, 2x – 3y = -9 se convierte en
2(3) – 3(5) = -9
6 – 15 = -9
-9 = -9
Lo que también es cierto. De este modo nuestra solución (3,5) es correcta.
6 - 17

18. ECUACIONES
Ejemplo 2
Solución de un sistema inconsistente.
x  2 y  4 
Resuelve el sistema  
 2 x  4 y  6
SOLUCIÓN Utiliza el procedimiento de los cinco pasos
1. Resuelve la ecuación para una de las variables (resolveremos aquí la primera ecuación
para x) x = 4 -2y
2. Sustituimos x = 4 -2y en la segunda ecuación
2(4 –2y) = -4y +6
8 –4y = -4y +6 Simplificamos
8 –4y +4y = -4y +4y +6 Suma 4y
8 = 6
3. No hay ecuación que resolver. El resultado 8 = 6, nunca es verdadero. Es una
contradicción. Puesto que nuestro procedimiento es incorrecto, concluimos que el sistema
dado no tiene solución; es inconsistente.
4. No necesitamos el paso 4
5. Comprueba; nota que si se divide la segunda ecuación entre 2, obtienes x = -2y+3 o x
+2y=3, lo que contradice a la primera ecuación, x +2y = 4.
Ejemplo 3
Solución de un sistema dependiente
 x  2 y  4
Resuelve el sistema  
4 y  2 x  8 
SOLUCIÓN. Como antes, utilizaremos el procedimiento de los cinco pasos.
1. Resuelve la primera ecuación para x obteniendo: x=4 –2y
2. Sustituye x=4 –2y en 4y +2x= 8
4y +2(4 –2y) = 8
4y +8 –4y = 8 Simplifica
8 =8
3. No hay ecuación que resolver. Observa que en este caso obtuvimos la proposición
verdadera 8 = 8, sin importar cual valor se le asigne a x o a y.
4. No necesitamos el paso 4 debido a que las ecuaciones son dependientes; es decir tienen
un número infinito de soluciones.
6 - 18

19. ECUACIONES
5. Comprueba; si hacemos x=0 en la ecuación x +2y= 4, obtenemos 2y = 4, o y = 2. De
manera semejante, si hacemos x=0 en la ecuación 4y +2x = 8, obtenemos 4y=8, o y = 2,
de modo que (0, 2) es una solución para ambas ecuaciones. También puede demostrarse
que x=2, y y = 1 satisface ambas ecuaciones. Por lo tanto (2, 1)es otra solución, y así
sucesivamente. Nótese que si se divide la segunda ecuación entre dos y se vuelve a
acomodar, se obtiene x +2y= 4, la que resulta idéntica para la primera ecuación. De este
modo cualquier solución de la primera ecuación también es la solución de la segunda
ecuación; es decir la solución consiste en todos los puntos de la ecuación x +2y= 4.
Ejemplo 4
Simplificación y solución de un sistema por sustitución.
  2x  y  2 
Resuelve la ecuación  
6  3x  y  4 x  5
SOLUCIÓN. La segunda ecuación tiene x y constantes en ambos lados, de modo que primero
se simplifica sumando 4x y restando 6 de ambos lados para obtener
6 –3x +y +4x –6 = -4x +5 +4x – 6
x + y = -1
Ahora tenemos el sistema equivalente:
-2x = -y +2
x + y = -1
Al resolver la segunda ecuación para x obtenemos x= -y –1. Al escribir –y –1 en lugar de x
en -2x = -y +2
-2x = -y +2
-2–y –1 = -y +2 Suma y, resta 2
2y +2 = -y +2 Divide entre 3
3y =0
y =0
Puesto que x= -y –1 y y = 0, tenemos que
x = 0 – 1= -1
De este modo el sistema es consistente y su solución es (-1, 0). Esto se comprueba
escribiendo –1 en lugar de x y 0 en vez de y en las dos ecuaciones originales.
Ejemplo 5
Solución de un sistema que incluye fracciones.
Si un sistema tiene ecuaciones con fracciones, eliminamos las fracciones multiplicando cada
lado por el MCD (mínimo común denominador), para luego resolver el sistema resultante,
como se muestra a continuación.
6 - 19

20. ECUACIONES
 y 
 2 x   1
 4 
Resuelve la ecuación:  
 x  3y  5 
4 8
 4 

SOLUCIÓN. Multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por 4 y ambos lados de la
segunda ecuación por 8 (el MCD de 4 y 8) para obtener
 y
4 2 x    4 1 o de manera equivalente 8x +y = -4
 4
 x 3y   5 
8    8  o de manera equivalente 2x +3y = 10
 4 8  4
Al resolver la primera ecuación para y, obtenemos y=-8x-4. Ahora escribimos –8x-4 en lugar
de y en 2x +3y = 10
2x +3(–8x-4) = 10
2x –24x –12 = 10 Simplificamos
-22x = 22 Dividimos entre –22
x = -1
Al escribir –1 en lugar de x en 8x + y = -4, obtenemos 8(-1) +y = -4 o y = 4. De esta manera
el sistema es consistente y su solución es (-1, 4)
6 - 20

21. ECUACIONES
Uso del Método de Determinantes para Resolver un Sistema de Ecuaciones.
La disposición de cuatro números reales en un cuadrado, como
2 3
5 1
Recibe el nombre de determinantes de segundo orden. (Es importante advertir que los
números se ordenan entre rectas paralelas y no entre corchetes. Los corchetes tienen otro
significado). El determinante anterior tiene dos renglones y dos columnas (los renglones son
horizontales y las columnas, verticales). A cada número del determinante se le llama
elemento del propio determinante.
En general, podemos simbolizar un determinante de segundo orden de la manera siguiente:
a11 a12
a21 a22
donde se usa una sola letra, con doble subíndice, para facilitar la generalización de los
determinantes de orden superior. El primer número del subíndice indica el renglón en que
está el elemento; y el segundo número, la columna. Así, a21 es el elemento situado en el
segundo renglón y primera columna.
a11 a12
 a11a22  a21a12
a21 a22
Cada determinante de segundo orden representa un número real, dado por la siguiente
formula:
Valor de un determinante 2 x 2
a b  a b
Si a, b,.c y d son números, el determinante de la matriz   es c d  ad  bc
c d 
El determinante de una matriz 2 x 2 es el número que se obtiene con el producto de los
números de la diagonal principal.
a b
c d
menos el producto de los números de la otra diagonal
a b
c d
6 - 21

22. ECUACIONES
PROCEDIMIENTO
Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de determinantes
de segundo orden:
ax  by  r
Para resolver el sistema  donde x y y son las incógnitas y a, b, c, d, r, s,
cx  dy  s
son números reales.
a b 
1. Consideramos el arreglo   que consta de los coeficientes de las variables.
c d 
2. Obtenemos el denominador para ambas variables si multiplicamos los números
que se encuentran en la esquina superior izquierda e inferior derecha y
restando el producto de los números que están en las esquinas inferior
izquierda y superior derecha. El número obtenido se llama determinante del
arreglo. Aunque parezca complicado, es fácil de recordar si usamos símbolos
a b  a b
det    ad  bc
c d  c d
Recuerda que para calcular el determinante efectuamos los productos
señalados por las flechas que aparecen en el diagrama, asignando a la flecha
hacia abajo un signo positivo y hacia arriba un signo negativo y sumando los
resultados obtenidos.
a b a b

c d c d
3. Con la notación observamos que la solución del sistema es
r b a r
s d c s
x y
a b a b
c d c d
Conviene observar, para recordar la solución, que el denominador de ambos
se obtiene tomando el determinante de los coeficientes de las variables en el sistema
y para el numerador consideramos el determinante obtenido al sustituir, en el
determinante del sistema en la columna de la variable que se quiere encontrar, los
términos independientes.
6 - 22

23. ECUACIONES
Ejemplo 1
5 x  6 y  10
Resuelve el sistema  utilizando los determinantes.
2 x  3 y  1
SOLUCIÓN Calculamos primero el determinante del sistema.
5 6
 53  26  15  12  3
2 3
Ahora calculamos el valor de x sustituyendo los valores de la primera columna del
determinante del sistema por los valores de los términos independientes y divididos entre el
determinante del sistema
 10 6
 1 3  103   16  30  6  24
x     8
3 3 3 3
Para calcular el valor de y sustituimos los valores de la segunda columna del determinante
del sistema por los valores de los términos independientes y dividimos entre el determinante
del sistema.
5  10
2  1 5 1  2 10  5  20 15
y    5
3 3 3 3
COMPROBACIÓN Sustituimos los valores x=-8 y y=5 en las ecuaciones
Primera ecuación: 5x +6y = 5(-8) +6(5) = -10
Segunda ecuación 2x +3y = 2(-8) +3(5) = -1
Ejemplo 2
 w z
 4 5 2

Resuelve el sistema  utilizando determinantes.
w
  2 z  4
6

SOLUCIÓN Calculamos el determinante del sistema.
1  15 1
 4 2  16  15   815
4
1
6 2
6 - 23

24. ECUACIONES
Ahora calculemos el valor de w sustituyendo los valores de la primera columna del
determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividiendo entre el
determinante del sistema:
1
2 
 1
5 22   4  
4 2  5  6
w 
8 8
15 15
para calcular el valor de z sustituimos los valores de la segunda columna del determinante
del sistema por los valores de los términos independientes y dividiendo entre el determinante
del sistema:
1
2
4
1
4
1
 4   1 2
 
z 6 
4 6  5
8 8 2
15 15
5
COMPROBACIÓN Sustituimos los valores w= 6 y z=  en las ecuaciones
2
 51
  6      2
w z 1
Primera ecuación:
4 5 4  25
 5
 2 z  6  2    4
w 1
Segunda ecuación:
6 6  2
Valor de un determinante 3 x 3
Menor Menor Menor
de a1 de b1 de c1
a1 b1 c1
b c2 a c2 a b2
a2 b2 c2  a1 2  b1 2  c1 2
b3 c3 a3 c3 a3 b3
a3 b3 c3
Para encontrar el menor de a1, formamos un determinante tachando los elementos de la
matriz que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que a1:
6 - 24

25. ECUACIONES
a1 b1 c1
b2 c2
a2 b2 c2 el menor de a 1 es
b3 c3
a3 b3 c3
Para encontrar el menor de b1, formamos un determinante tachando los elementos de la
matriz que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que b1:
a1 b1 c1
a2 c2
a2 b2 c2 el menor de b1 es
a3 c3
a3 b3 c3
Para encontrar el menor de c1, formamos un determinante tachando los elementos de la
matriz que se encuentran en el mismo renglón y en la misma columna que c1:
a1 b1 c1
a2 b2
a2 b2 c2 el menor de c 1 es
a3 b3
a3 b3 c3
Ejemplo 2
1 3 2
Resuelve el determinante 2 1 3
1 2 3
SOLUCIÓN Desarrollaremos el determinante a lo largo del primer renglón:
Menor Menor Menor
de 1 de 3 de -2
1 3 2
1 3 2 3 2 1
2 1 3 1 3   2
2 3 1 3 1 2
1 2 3
 13  6   36  3  24  1
 3  9  6
 18
Podemos evaluar un determinante 3 x 3 desarrollándolo a lo largo de cualquier renglón o
columna. Para definir los signos entre los términos del desarrollo de un determinante 3 x 3,
usamos el siguiente arreglo de signos:
6 - 25

26. ECUACIONES
Arreglo de signos para un determinante 3 x 3
+ - +
- + -
+ - +
Ejemplo 3
1 3 2
Resuelve el determinante 2 1 3 desarrollándolo a lo largo de la columna intermedia
1 2 3
SOLUCIÓN Se trata del determinante del ejemplo 2. Para desarrollarlo a lo largo de la
columna intermedia:
Menor Menor Menor
de 3 de 1 de 2
1 3 2
2 3 1 2 1 2
2 1 3  3 1 2
1 3 1 3 2 3
1 2 3
 36  3  13   2  23   4 
 33  15  27 
 9  5  14
 18
Como ya esperábamos, obtenemos el mismo valor que en el ejemplo 2.
6 - 26

27. ECUACIONES
EJERCICIOS 6.1:
Utiliza el método de determinantes para encontrar la solución.
 y  2 x  4  y  2 x  2
(a)   (b)  
 2 x  y  4   x  y  1 
 x  y  5 x  y  5 
(c)   (d)  
3x  y  9 3x  y  3
 y  4  2x   y  5  4x 
(e)   (f)  
 y  2 x  2  y  4 x  7
 x  8  2 y  x  4  2 y
(g)   (h)  
x  2 y  4  x  2 y  0 
x  2 y  4  x  3 y  6 
(i)   (j)  
 x  2 y  4  x  3 y  6
3x  y  5  7 x  2 4 x  2 y  1  4  3x  5
(k)   (l)  
 y  3  4 x  2  x  3  5  2y 
4 x  2 y  1  3x  1  8  y  4 x  2 x  4
(m)   (n)  
 x  2  6  2 y  2x  3   y  7 
x  y  1  2 x  y  10
(a)   (b)  
 x  y  7 2 x  y  6 
 x  2 y  9 2 x  3 y  8 
(c)   (d)  
 x  2 y  1 3x  2 y  1
5 x  2 y  19  2 
(e)   x  y 
3x  4 y  1  (f)  3 
 y  4 x  5
 
6 - 27

28. ECUACIONES
Solución de un sistema de ecuaciones mediante el método de graficación:
PROCEDIMIENTO
1. En un solo conjunto de ejes de coordenadas, gráfica cada ecuación.
2. Determinar las coordenadas del o los puntos donde se interceptan las gráficas.
Esas coordenadas expresan la solución del sistema.
3. Si las gráficas no tienen punto en común, el sistema no tiene solución.
4. Si coinciden las gráficas de las ecuaciones, el sistema tiene una cantidad
infinita de soluciones.
5. Comprobar las soluciones en ambas ecuaciones originales.
Ejemplo 1
Cuando un sistema de ecuaciones tiene una solución, el sistema se llama sistema
consistente o sistema compatible.
 x  2 y  4
Resuelve:  
2 x  y  3 
SOLUCIÓN Graficaremos ambos sistemas en un solo conjunto de ejes coordenados. Aunque
hay un número infinito de pares ordenados (x, y), que satisfacen a x+2y=4, y un número
infinito de pares ordenados (x, y), que satisface a 2x-y=3, sólo las coordenadas del punto
donde se interceptan las gráficas satisfacen ambas ecuaciones. Ya que las coordenadas del
punto de intersección son (2, 1), la solución es el par ordenado (2, 1), o sea que x=2 y y=1
Para comprobar esta solución sustituimos x por 2 y y por 1 en cada ecuación y verificamos
que el par ordenado (2, 1) sí satisface las dos ecuaciones.
x  2y  4 2x  y  3
x y ( x, y ) x y ( x, y )
4 0 4,0  1  1 (1,1)
 2 2 0,2  0  3 (0,3)
 2 3  2,3  1 5 (1,5)
y
x +y =4
(2, 1)
x
2x –y =3
6 - 28

29. ECUACIONES
Ejemplo 2
Uso del método gráfico para resolver un sistema
2 x  y  4
Resuelve:  
 y  2 x  0
SOLUCIÓN Primero graficamos la ecuación 2x+y =4 y enseguida la ecuación y-2x=0, usando
la siguiente tabla
2x+y =4 y-2x=0
x y x y
0 4 0 0
2 0 2 4
y
2x+y= y-
4 2x=0
(1,2
) x
Ejemplo 3
Cuando un sistema de ecuaciones No tiene solución, se dice que el sistema es
inconsistente. Ya sus gráficas son líneas paralelas, de este modo no hay solución para el
sistema, porque las dos líneas no tienen punto alguno en común.
 y  2x  4 
Utilice el método gráfico para hallar la solución del sistema:  
2 y  4 x  12
SOLUCIÓN En primer lugar, graficamos la ecuación y -2x =4 mediante la tabla que se
muestra a continuación. Luego graficamos 2y -4x =12
y -2x =4 2y-4x=12
x y x y
0 4 0 6
-2 0 -3 0
6 - 29

30. ECUACIONES
y
2y-
4x=12
x
y-2x=4
Las dos líneas parecen ser paralelas, no se cruzan. Si examinamos las ecuaciones con más
detenimiento, veremos que al dividir la segunda ecuación entre 2 obtenemos y +2x = 6. Así
que una ecuación dice y -2x =4, mientras que la otra dice y +2x = 6. De aquí que ambas
ecuaciones no pueden ser verdaderas al mismo tiempo y sus gráficas no pueden cruzarse.
Ejemplo 4
Solución de un sistema dependiente.
 2 x  y  4
Utilice el método gráfico resolver el sistema:  
2 y  4 x  8 
SOLUCIÓN Usamos la tabla
2x+y =4 2y-4x=8
x y x y
0 4 0 4
2 0 2 0
Pero los puntos que determinamos para la segunda ecuación son los mismos que obtuvimos
con la primera tabla. ¿Qué significa esto? Significa que las gráficas de las líneas 2x +y = 4 y
y-4x=8 coinciden (son las mismas). De este modo la solución para una ecuación es
automáticamente una solución para la otra. De hecho, existe un número infinito de
soluciones; todo punto sobre la gráfica es una solución del sistema. Se dice que un sistema
de esta clase es dependiente. En un sistema dependiente, una de las ecuaciones es un
múltiplo constante de la otra. (Si se multiplican ambos lados de la primera ecuación por 2, se
obtiene la segunda ecuación).
6 - 30

31. ECUACIONES
y
2y+4x=
8 2x+y=
x
4
6.8. Problemas que conducen a un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Muchos problemas que requieren la determinación de dos o más cantidades desconocidas
pueden ser resueltos por medio de un sistema de ecuaciones lineales. Las cantidades
desconocidas se representan con letras, por ejemplo: x, y, etc. y se establece un sistema de
ecuaciones que satisfagan las diversas condiciones del problema. La resolución de este
sistema conduce a los valores de las incógnitas.
Ejemplo 1
El costo total de 5 libros de texto y 4 lapiceros es de $32.00; el costo total de otros 6 libros de
texto iguales y 3 lapiceros es de $33.00. Hallar el costo de cada artículo.
SOLUCIÓN: Sea x= el costo de un libro en pesos, y y= el costo de un lapicero en pesos.
Según el problema obtenemos las dos ecuaciones:
5 x  4 y  32
6 x  3 y  33
La solución de este sistema es de x=4, y y=3, es decir, el costo de cada libro de texto es
$4.00 y el costo de cada lapicero es $3.00. Estos resultados pueden comprobarse
fácilmente. Así, el costo de 5 libros de texto y 4 lapiceros es igual a 5(4) +4(3) = $32 y el
costo de 6 libros de texto y 3 lapiceros es igual a 6(4) +3(3) = $33.
Ejemplo 2
Hallar dos números tales que la suma de sus recíprocos sea 5, y que la diferencia de sus
recíprocos sea 1.
6 - 31

32. ECUACIONES
SOLUCIÓN: Sea x= el número menor y y= el número mayor. La suma y la diferencia de sus
recíprocos son, respectivamente,
1 1
 5
x y
1 1
 1
x y
Este no es un sistema lineal pero puede ser tratado como tal utilizando como incógnitas 1/x y
1/y. Así, sumando las dos ecuaciones tenemos:
2 1
 6 de donde 2  6 x y x 
x 3
Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos:
2 1
 4 de donde 2  4 y y y 
y 2
Por tanto, los dos números son 1/3 y ½ .
Ejemplo 3
Si a los dos términos de una fracción se añade 3, el valor de la fracción es 1/2 , y si a los dos
términos se resta 1, el valor de la fracción es 1/3. Hallar la fracción.
SOLUCIÓN: Sea x el numerador y y el denominador. Entonces x/y = la fracción.
x3
Añadiendo 3 a cada término, la fracción se convierte en , y según las condiciones del
y3
x3 1
problema el valor de esta fracción es 1/2 ; luego: 
y3 2
x 1
Restando 1 a cada término, la fracción se convierte en , y según las condiciones del
y 1
x 1 1
problema el valor de esta fracción es 1/3 ; luego: 
y 1 3
Reuniendo las dos ecuaciones tenemos el sistema de ecuaciones:
x3 1

y3 2
x 1 1

y 1 3
6 - 32

33. ECUACIONES
Quitando los denominadores: 2 x  6  y  3

3x  3  y  1
Trasponiendo y reduciendo:
2 x  y  3

3x  y  2
 2 x  y  3

Restando:  3x  y  2
x 5
Ejemplo 3
Se tienen $120.00 en 33 billetes de a $5 y de a $2. ¿Cuántos billetes son de $5 y cuántos de
$2?
SOLUCIÓN: Sea x= el número de billetes de $2 y y= el número de billetes de $5. Según las
condiciones: x+y =33.
Con x billetes de $2 se tienen $2x y con y billetes de $5 se tienen $5 billetes de $5 se tienen
$5y, y como la cantidad es $120, tendremos: 2x + 5y = 120.
 x  y  33
Reuniendo las ecuaciones tenemos el sistema: 
2 x  5 y  133
Resolviendo se encuentra x=15, y y=18; luego, hay 15 billetes de $2 y 18 billetes de $5.
6 - 33

34. ECUACIONES
6.9. Clasificación y solución de ecuaciones de segundo grado con una
incógnita
1 1
La ecuación x  ( x  3)  2  x parece complicada; pero en realidad es una ecuación de
2 3
primer grado con una variable, ya que se puede transformar en esta ecuación equivalente:
7x-18=0
Hemos resuelto muchas ecuaciones de este tipo y hemos visto que siempre tienen una
solución. Desde el punto de vista matemático, hemos resuelto esencialmente el problema de
solucionar ecuaciones de primer grado con una variable.
En este apartado consideraremos el siguiente tipo de ecuaciones polinomiales, que reciben
el nombre de ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas. Una ecuación
cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir de la forma:
ax 2  bx  c  0 , donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. Nos
referiremos a esta forma como la forma general de la ecuación cuadrática.
Raíz Cuadrada
Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde a la forma
especial en que falta el término con la variable de primer grado; o sea cuando está en la
siguiente forma: ax 2  c  0
El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El proceso se
ilustra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1
Resuelve por medio de la raíz cuadrada x 2  8  0
SOLUCIÓN:
x2  8  0
x2  8
x 8
 2 2
Ejemplo 2
Resuelve por medio de la raíz cuadrada 2 x 2  3  0
6 - 34

35. ECUACIONES
SOLUCIÓN:
2x2  3  0
2x2  3
3
x2 
2
3
x
2
 6
x
2
Ejemplo 3
Resuelve por medio de la raíz cuadrada 3x 2  27  0
SOLUCIÓN:
3 x 2  27  0
3 x 2  27
x 2  9
x   19  3i
Factorización
Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática ax 2  bx  c  0 son tales que la
expresión ax 2  bx  c  0 puede escribirse como el producto de dos factores de primer
grado con coeficientes enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y
fácilmente. El método de resolución por factorización se basa en la siguiente propiedad de
los números reales:
Si a y b son números reales, entonces:
ab = 0 si y solo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero)
Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0, multiplicamos
ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0.
Ejemplo 1
Resuelve por factorización x 2  2 x  15  0
SOLUCIÓN:
x 2  2 x  15  0
x  3x  5  0
x3 0 o x5  0
x  3 o x5
6 - 35

36. ECUACIONES
Ejemplo 2
Resuelve por factorización 2 x 2  3x
SOLUCIÓN:
2 x 2  3x
2 x 2
 3x  0 
x2 x  3  0
x0 o 2 x-3  0
3
x0 o x
2
Ejemplo 3
Resuelve por factorización 2 x 2  8x  3  0
SOLUCIÓN: El polinomio no se puede factorizar con coeficientes enteros; por tanto, debe de
usarse otro método para encontrar la solución.
EJERCICIOS 6.2:
Resuelve por medio de la raíz cuadrada
1. x 2  12  0 2. 3x 2  5  0
2
 1 2
3. 2 x 2  8  0 4.  x   
 3 9
Resuelve por factorización, si es posible
5. x 2  2x  8  0 6. 3t 2  2t
7. x 2  3x  3  0
SOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS 6.2:
1. x 2  12  0 x  2 3
5 15
2. 3x 2  5  0 x o bien x  
3 3
3. 2 x 2  8  0 x = ± 2i
 
2
 1 2
4.  x    x   1 2 / 3
 3 9
6 - 36

37. ECUACIONES
5. x 2  2x  8  0 x = 4, -2
2
6. 3t 2  2t t  0,
3
7. x 2  3x  3  0 No se puede factorizar con coeficientes enteros
Completando el trinomio cuadrado perfecto
El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la cuadrática
general ax 2  bx  c  0 para que quede así: x  A  B . Donde A y B son constantes.
2
Esta última ecuación se puede resolver fácilmente por medio de la raíz cuadrada, como se
explicó en la sección anterior. Así:
 x  A 2  B
x A B
x  A  B
Antes de estudiar cómo se resuelve la primera parte, haremos una pausa breve para analizar
un problema relacionado con el nuestro: ¿Qué número se le debe de sumar a x 2  6 x para
que el resultado sea el cuadrado de una expresión lineal? Hay una sencilla regla mecánica
para encontrar tal número: se basa en los cuadrados de los siguientes binomios:
x  m2  x 2  2 xm  m 2
x  m2  x 2  2 xm  m 2
En ambos casos, observemos que, en el miembro derecho, el tercer término es el cuadrado
de la mitad del coeficiente de x, que aparece en el segundo término. Esta observación nos
lleva directamente a la regla:
Para completar el cuadrado de una expresión cuadrática de la forma x 2  bx
2
b b2
se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, o sea:   o sea
2 4
Ejemplo 1
Completa el cuadrado de x 2  6 x
2
b
SOLUCIÓN: Sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, usamos la forma  
2
2
6
 9 , por lo que obtenemos: x 2  6 x  9  x  3
36
  
2
2 4
6 - 37

38. ECUACIONES
Ejemplo 2
Completa el cuadrado de x 2  3x
2 2
 3 9 9  3
SOLUCIÓN: Sumamos    ; o sea , así: x 2  3x    x  
 2 4 4  2
La resolución de ecuaciones cuadráticas por el método de compleción del cuadrado se
ilustra mejor con ejemplos
Ejemplo 3
Resuelve x 2  6 x  2  0 por el método de compleción del cuadrado
SOLUCIÓN:
x 2  6x  2  0 Sumamos 2 a ambos miembros de la ecuación para eliminar -2 del miembro
izquierdo.
x 2  6x  2 Para completar el cuadrado del miembro izquierdo, sumamos el cuadrado del
coeficiente de x, en ambos miembros de la ecuación.
x 2  6x  9  9  2 Factorizamos el miembro izquierdo.
x  32  11 Resolvemos por medio de la raíz cuadrada.
x  3   11
x  3  11
Ejemplo 4
Resuelve 2 x 2  4 x  3  0 por el método de compleción del cuadrado
SOLUCIÓN:
2x 2  4x  3  0 2
Observa que el coeficiente de x no es 1. En tal caso, dividimos todos los
términos entre el coeficiente principal y proseguimos como en el ejemplo
anterior.
3
x 2  2x  0
2
3
x 2  2x 
2
6 - 38

39. ECUACIONES
3
x 2  2x  1  1
2
x  12  5
2
5
x 1  
2
5
x  1
2
10
x  1
2
2  10
x
2
Formula cuadrática
Para obtener la formula para resolver ecuaciones de segundo grado, tomamos la ecuación
general ax 2  bx  c  0 y resolvemos para x, en función de los coeficientes a, b y c, por el
método de compleción del cuadrado; de esta manera obtenemos una fórmula que podremos
memorizar y utilizar siempre que se conozca el valor de a, b y c.
Para empezar haremos igual a 1 el coeficiente principal. Para ello, multiplicamos por 1/a
ambos miembros de la ecuación. Queda así:
b c
x2   0
a a
Sumamos –c/a a ambos miembros de la ecuación para suprimir c/a del miembro izquierdo.
b c
x2  
a a
Ahora completamos el cuadro del miembro izquierdo; para ello, sumamos a cada miembro
del cuadrado de la mitad del coeficiente de x;
b b2 b2 c
x   2  2 
2
a 4a 4a a
Luego factorizamos el miembro izquierdo de la ecuación y la resolvemos por medio de la raíz
cuadrada.
6 - 39

40. ECUACIONES
b 2  4ac
2
 b 
x   
 2a  4a 2
b b 2  4ac
x 
2a 4a 2
b b 2  4ac
x 
2a 4a 2
b b 2  4ac
x 
2a 4a 2
Obtenemos esto:
 b  b 2  4ac
x
2a
Está última ecuación se llama fórmula cuadrática. Es necesario memorizarla y emplearla
para resolver ecuaciones cuadráticas, cuando no dan resultado métodos más sencillos.
Observa que b2-4ac recibe el nombre de discriminante y nos proporciona la siguiente
información útil respecto de las raíces:
b2 - 4ac ax2 + bx + c = 0
Positivo Dos soluciones reales
Cero Una solución real
Negativo Dos soluciones complejas
Ejemplo 1
Resuelve 2 x 2  4 x  3  0 por la fórmula cuadrática
SOLUCIÓN: anotamos la fórmula cuadrática e identificamos a=2, b=-4 y c=-3.
 b  b 2  4ac
x Sustituimos la fórmula y simplificamos.
2a
  4    42  42 3
x
22 
4  16  24
x
4
4  40
x
4
6 - 40

41. ECUACIONES
4  2 10
x
4
2  10
x
2
Ejemplo 2
Resuelve x 2  11  6 x por la fórmula cuadrática
SOLUCIÓN: x 2  6 x  11  0 escribimos en la forma general e identificamos a = 1, b = -6 y c =
11
 b  b 2  4ac
x Sustituimos la fórmula y simplificamos.
2a
  6    62  4111
x
21
6  36  44
x
2
6 8
x
2
6  2i 2
x
2
x  3i 2
6 - 41