fermi cef cinematica

1. CINEM´ATICA
FERMI CEF-UNT∗
Escuela Profesional de F´ısica
Universidad Nacional de Trujillo
Av. Juan Pablo II s/n, La Libertad, Trujillo, Per´u
1 Introducci´on
En este apartado trataremos de definir los conceptos lo m´as claro y sencillo posible pero sin
alterar el significado f´ısico ya establecido hasta hoy en cinem´atica. Como ya se habr´a visto
este tema de cinem´atica es bastante conocido, pero existen muchos casos que el significado
f´ısico no esta claro para algunos estudiantes, sin embargo saben la mayor parte de las ecua-
ciones que existe en cinem´atica, es por ello que trataremos de ser puntuales en la definici´on
de los terminos que se ven involucrados.
La cinem´atica estudia el movimiento de un objeto, decimos que un cuerpo se encuentra
en movimiento con respecto de otro cuando la posici´on del primero va cambiando en el
tiempo con respecto al segundo, para analizar el movimiento de un cuerpo es fundamental
establecer un sistema de referencia, como se muestra en la figura 1,luego se puede definir
todos los conceptos que son necesarios para analizar el movimiento del objeto en estudio.
2 Movimiento
2.1 Definiciones previas
• Movimiento : Cambio de posici´on en el tiempo de un objeto con respecto a otro; este
segundo es un punto f´ısico o punto de referencia. Para que exista el movimiento deve
haber dos cuerpos, uno se mueve con respecto al otro.
• Desplazamiento : Vector que une la posici´on inicial con la posici´on final de la trayec-
toria que describe un objeto.
• Vector de Posici´on r: Vector que une el origen del sistema de referencia con el
objeto.
• Reloj: Cualquier evento que transcurre a intervalos iguales se puede llamar reloj.
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fermi.cef.unt@gmail.com
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2. • Trayectoria recorrida por el objeto: curva que describe el objeto al trasladarse,
con respecto a un observador.
• Sistema de referencia: El sistema de referecia definimos como un conjunto de 3
objetos, un sistema de coordenadas, un objeto f´ısico y un reloj.
Figura 1: Sistema de referencia
2.2 Velocidad
Velocidad como tal se entiende como raz´on de cambio de una magnitud con respecto al
tiempo.
2.2.1 Velocidad Media
Se define como la raz´on de cambio del vector desplazamiento con respecto al tiempo, matem´aticamente
se define como:
vm =
d
t
(1)
donde : en una dimenci´on d = (x − x0)i
2.2.2 Rapidez Media
La rapidez media se define como el m´odulo del vector desplazamiento divido entre el tiempo
que demora el objeto en ir de un punto inicial a otro punto final y se escribe:
|vm| =
d
t
(2)
o tambi´en
vm =
d
t
(3)
Note que en la ecuaci´on (3) vm no es vector, mas bien es un escalar lo cual es correcto
ya que la rapidez es un escalar.
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3. 2.2.3 Velocidad Media sobre la Trayectoria
Lo definimos como la longitud de la trayectoria que describe el objeto divido con el tiempo
que emplea el objeto en cubrir toda la trayectoria antes mencionada, y se expresa como:
vmst =
l
t
(4)
donde l es la longitud de la trayectoria descrita por el objeto y t es el tiempo empleado
por el objeto para recorrer dicha trayectoria.
2.2.4 Velocidad Instant´anea
Es la velocidad que tiene el objeto en dos posiciones muy cercanas en un tiempo muy peque˜no,
es decir si el tiempo es muy peque˜no (tiende a cero), el desplzamiento es peque˜no, entonces
esto se entiende como una derivada, la derivada del desplazamiento con respecto del tiempo,
en t´erminos matem´aticos se expresa de la siguiente manera.
v =
dx
dt
(5)
3

4. 3 Problemas de cinem´atica con solucionario
1. El movimiento rectil´ıneo de una
part´ıcula est´a definido por su vec-
tor posici´on seg´un la expresi´on r =
(2 + 4t − 2t2
)i m. determinar:
a) Su velocidad y su aceleraci´on.
b) El tiempo transcurrido hasta que
la part´ıcula pasa por el origen y la dis-
tancia recorrida.
2. En una carrera de 100m dos j´ovenes A y
B cruzan la meta empatados, marcando
ambos 10,2 s. Si, acelerando uniforme-
mente, A alcanza su rapidez m´axima a
los 2 s y B a los 3 s y ambos mantienen
la rapidez m´axima durante la carrera,
determine:
a) Las aceleraciones de A y B.
b) Las rapideces m´aximas de A y B.
c) El que va adelante a los 10 s y la
distancia que los separa en ese instante.
3. Sobre un terreno horizontal, lanzamos
una pelota, verticalmente hacia arriba,
con una velocidad inicial de 10 m/s. El
viento ejerce sobre la pelota una acel-
eraci´on horizontal igual a 2m/s2
. De-
terminar:
a) Calcular la altura m´axima que
alcanza la pelota y su velocidad
(m´odulo y direcci´on) en ese instante.
b) Determinar la distancia entre el
impacto en el suelo y el punto de lan-
zamiento, as´ı como la velocidad de la
pelota (m´odulo y direcci´on) en ese in-
stante.
4. Un objeto se mueve en un medio donde
experimenta una aceleraci´on de re-
sistencia al movimiento proporcional a
su rapidez, esto es a = −kv, donde k es
una constante positiva igual a 0, 5s−1
.
a) Calcular la rapidez y posici´on del
objeto en cualquier instante.
b) Si para t = 0 el objeto se encuen-
tra en el origen movi´endose con una
rapidez de 10 m/s, calcular la posici´on
donde se detiene.
5. Una pelota de tenis que se deja caer al
piso desde una altura de 1.2 m, rebota
hasta una altura de 1 m.
a) ¿Con qu´e velocidad llega al piso?
b) ¿Con qu´e velocidad deja el piso
al rebotar?
c) Si la pelota de tenis est´a en con-
tacto con el piso durante 0.01 s, calcu-
lar su aceleraci´on durante este tiempo,
comp´arela con g.
6. Dadas las ecuaciones param´etricas de
un movimiento: x = 3t2
+ 5; y = 6t2
Determinar:
a) la trayectoria.
b) la velocidad en un instante t=3s.
c) la aceleraci´on t=3s.
7. El gr´afico siguiente ilustra la variaci´on
de la velocidad v(t) de una part´ıcula
que se mueve sobre el eje OX de un sis-
tema de coordenadas con el tiempo. Si
en t = 0 la part´ıcula est´a en el origen
del sistema, determine:
a) La aceleraci´on de la part´ıcula en
t=1s.
4

5. b) El desplazamiento de la part´ıcula
entre t=0s y t=3s.
c) La velocidad media de la
part´ıcula entre t = 4s y t = 9s.
d) La posici´on de la part´ıcula en
funci´on del tiempo x(t) en el intervalo
de t=0s a t=2s.
e) Los intervalos de tiempo en que
la part´ıcula se dirige hacia el origen.
8. Un disco de 10 cm de radio que gira
a 30rev/min demora un minuto en de-
tenerse cuando se lo frena. Calcular:
a) su aceleraci´on angular.
b) el n´umero de revoluciones hasta
detenerse.
c) la rapidez tangencial de un punto
del borde del disco antes de empezar a
frenar.
d) la aceleraci´on centr´ıpeta, tangen-
cial y total para un punto del borde del
disco.
9. Una rueda de bicicleta de 30 cm de ra-
dio comienza a girar desde el reposo
con una aceleraci´on angular constante
de 3rad/s2
. Despu´es de 10 segundos
calcular:
a) su rapidez angular.
b) el desplazamiento angular.
c) la rapidez tangencial de un punto
del borde.
d) su aceleraci´on total para un
punto del borde.
10. Una centr´ıfuga cuyo tambor tiene 50 cm
de di´ametro, comienza a girar desde el
reposo hasta alcanzar una rapidez an-
gular de 1000 rpm en 10 s.
a) Calcular su aceleraci´on angular.
b) Si despu´es de los 10 s gira con
rapidez constante durante 5 minutos,
calcular el n´umero de vueltas que da
cada minuto.
c) calcular la rapidez tangencial,
aceleraci´on centr´ıpeta y tangencial en
las paredes del tambor.
d) Si despu´es de los 5 minutos tarda
20 s en detenerse, calcular su acel-
eraci´on angular.
11. Un disco comienza a girar desde el re-
poso con aceleraci´on angular constante
de 5 rad/s2 por 8 s. Luego el disco se
lleva al reposo con una aceleraci´on an-
gular constante en 10 revoluciones. Cal-
cular:
a) su aceleraci´on angular.
b) el tiempo que demora en deten-
erse.
12. En un cierto instante la celeridad de
una part´ıcula es de 20 m/s y el m´odulo
de su aceleraci´on es 3 m/s2. En ese
instante, los vectores velocidad y acel-
eraci´on forman entre si un ´angulo de
30o
. Determinar el radio de curvatura
de la trayectoria de la part´ıcula en ese
instante.
13. Una part´ıcula se mueve a lo largo de la
parabola y = x2
de tal manera que en
todo instante se cumple que la compo-
nente de su velocidad sobre la abcisa
es vx = 3m/s. Calcule la velocidad
y la aceleraci´on cuando de la part´ıcula
cuando x = 2/3m.
14. Un punto gira retardadamente en una
trayectoria circular de radio R de modo
que, en todo momento, sus acelera-
ciones normal y tangencial tienen el
mismo m´odulo. Si en el instante ini-
cial su velocidad es v0, obtenga una
expresi´on la velocidad en funci´on del
recorrido, s.
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6. 15. Se apunta un dispositivo seguidor de
aviones sobre el avi´on de caza A que
vuela horizontalmente a una altura h
con velocidad constante v, tal y como
indica la figura. ¿Cu´ales ser´an, respec-
tivamente, la velocidad y aceleraci´on
angulares de la visual OA para un valor
cualquiera de θ?
16. Un disco de 8 cm de radio, gira con
una rapidez angular constante de 1200
rev/min. Calcular:
a) la rapidez angular del disco.
b) la rapidez lineal de un punto a 3
cm del disco.
c) la aceleraci´on radial de un punto
en el borde del disco.
d) la distancia total recorrida por
un punto del borde en 2 s.
17. Una part´ıcula se mueve a lo largo de
una curva r = 3θ tal que θ = 2t2
donde
t esta en segundo t θ en radianes. De-
termine la velocidad y la aceleraci´on
para θ = 0, 2rad .
18. Durante un vuelo en el que un
helic´optero parte del reposo en t=0,
las componentes cartesianas de su acel-
eraci´on son: ax = 0, 6t m/s2
y ay =
1, 8 − 0, 36t m/s2
Transcurridos 4s, de-
terminar las componentes tangencial y
normal de la aceleraci´on.
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7. Bibliograf´ıa
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