「正の整数nであって,nの各桁の和の300倍がnに等しいようなものを全て求めよ」 数学オリンピックにいかにも出てきそうな問題です．

1. 「正の整数n であって，n の各桁の和の300 倍がn
に等しいようなものを全て求めよ」
（2012 年イタリア数学オリンピック）
（次ページ以降にsaiaki が書いた解答）

2. 【解答例】
푛 の各桁の和を 푆 とすると， 푛 = 300푆 が成り立
つ．
푘 = 3푆 とおくと，푛 = 100푘 が成り立つ．よって，푘
の各桁の和は 푆 である．
푘 は 푒 桁の数であるとする．すると，
10푒−1 ≤ 푘
が成り立つ．また，푘 は 푒 桁なので，
푆 ≤ 9푒
である．よって，
10e−1 ≤ 푘 = 3푆 ≤ 27푒
∴ 푒 ≤ 2
（푒 ≥ 3に対して 10푒−1 > 27푒 であることは数学的
帰納法で示せる．）
よって
푘 = 10푎 + 푏 （ただし，0 ≤ 푎, 푏 ≤ 9）
と書ける．푘 = 3푆 と 푆 = 푎 + 푏 より，
7푎 = 2푏

3. したがって，푎 = 2, 푏 = 7 を得る．
ゆえに 푘 = 27 であり, 푛 = 2700 である． ∎