O documento discute conceitos fundamentais de estática de pontos materiais, incluindo: 1) A definição de equilíbrio de pontos materiais e corpos rígidos; 2) Os métodos da linha poligonal e projeções para analisar equilíbrio; 3) O teorema de Lamy sobre forças coplanares mantendo equilíbrio.

1. Estática do ponto Material
Nomes: RA:
Sabrina Alves C140HE-1
Jederson Artiagas 868256-9
Joaquim Miranda C00423-5
Harison Viera T422DH-7
Thiago Ramos C15682-5
Maurício Gonçalves C171DC-9
Cleyton de Oliveira C18041-6
Evandro de Souza C07GGE-8

2. O que é equilíbrio do ponto material?
 É a parte da mecânica que estuda as condições de equilíbrio de
um ponto material (corpo de dimensões desprezíveis) ou de um
corpo extenso (o tamanho influi no estudo do fenômeno).
 De acordo com a primeira lei de Newton, um corpo está em
repouso ou em movimento retilíneo e uniforme, se a resultante
das forças que atuam sobre ela seja nula. Ou seja, o corpo está
em equilíbrio, que por sua vez pode ser estático, quando o
corpo está em repouso; ou dinâmico, quando o corpo está em
movimento.

3.  Nota: A condição para um ponto material estar em equilíbrio é
que a resultante das forças que nele atuam seja nula.
 A Estática é a parte da física em que estuda o equilíbrio entre
os corpos e as suas devidas deformações. Pode-se dizer que um
sistema está em equilíbrio quando a sua aplicação não resulta
em nenhuma alteração no estado de movimento do corpo. A
sua importância pode ser analisada quando imaginamos uma
construção qualquer. Cada ponto da sua estrutura deve estar
em equilíbrio.

4.  Exemplo:
Um prédio qualquer, visivelmente ele está em equilíbrio, pois
não há movimentação deste.
Em tal prédio, há a presença de duas forças, que são: Peso (a
massa da estrutura sob a ação da gravidade), e a Força Normal
(reação realizada pelo chão em relação à estrutura do prédio).

5. Equilíbrio do ponto material
 Um ponto material está em equilíbrio, em um dado referencial,
quando sua velocidade vetorial permanece constante com o tempo;
assim, se a velocidade vetorial é constante, a aceleração vetorial é
nula, e do princípio fundamental da Dinâmica (𝐹𝑟=𝑚𝑎 ) concluímos
que:
- A resultante do sistema de forças aplicadas a um ponto material em
equilíbrio deve ser constantemente nula (𝐹𝑟=0 ).

6.  O ponto P, da figura abaixo, está sujeito a ação de três forças 𝐹₁, 𝐹₂, 𝐹₃. Esse
ponto encontra-se em repouso.
Portanto, esse ponto encontra-se em equilíbrio estático, pois satisfaz a
equação: 𝐹₁ +𝐹₂+𝐹₃= 0.
deve ser feita a soma vetorial de cada uma das forças, e transformar essa
equação vetorial em equação escalar.

7. Figura 1 Figura 2
 Nota: Na figura 1 , um corpo está sob a ação exclusiva de três forças no
plano de um papel.
 Na figura 2 , as três forças são somadas pela regra do polígono , obtendo-se
uma linha poligonal fechada (triângulo), razão pela qual a força resultante é
nula e o corpo encontra-se em equilíbrio.
𝐹₂
𝐹₃
𝐹₁

8.  Se as forças atuantes no ponto material forem coplanares, transforma-se a
equação vetorial da soma das forças em duas equações escalares,
projetando-se as forças sobre os eixos cartesianos ortogonais X e Y.
Assim, as condições de equilíbrio do ponto material podem ser
estabelecidas da seguinte forma:

9.  A projeção será positiva se o seu sentido coincidir com o
sentido do eixo, e será negativa se seu sentido for contrário ao
sentido do eixo. A projeção será igual a zero quando a força
tiver direção perpendicular ao do eixo.
As forças F2 e F3 estão na direção dos eixos Y e X,
respectivamente, e a força F1 forma um ângulo Ө com o eixo X.

10.  As componentes da força F1 na direção dos eixos X e Y são,
respectivamente:
F1x = F1.cosӨ
F1y = F1.senӨ
Projeção de todas as forças no sistema de coordenadas cartesianas.

11. Momento de uma força em relação ao ponto
 Ao contrário de como foi visto em equilíbrio estático em um ponto material,
a resultante nula de um sistema de forças aplicadas ao um corpo rígido, não
nos garante mais que o corpo esteja em equilíbrio. Para o corpo estar em
equilíbrio, é necessário que a aceleração seja nula, o que acarreta em uma
resultante do sistema de forças também nula.
 Contudo, Σ𝐹𝗂 = 0 é uma condição necessária, entretanto não é uma
condição suficiente de equilíbrio de um sistema de forças aplicado em um
corpo rígido.
 Tal condição nos garante o equilíbrio quanto ao movimento de translação,
no entanto não garante o equilíbrio quanto ao movimento de rotação, pois
o corpo pode rodar.

12.  Em um sistema constituído por duas forças simétricas com linhas de ação
distintas é denominada binário. Quando essas duas forças distintas são
aplicadas em dois pontos diferentes de qualquer corpo rígido, as forças
formadas são antiparalelas e suas intensidades são iguais - forças simétricas
– o sistema das duas forças possui uma resultante nula, que faz com que o
corpo não adquira um movimento de translação.
-->Forças simétricas
 A capacidade de a força realizar rotação é denominada momento da força
ou então torque.
 O Momento da Força de um corpo é:
Positivo quando girar no sentido anti-horário;
Negativo quando girar no sentido horário;

13. Equilíbrio estático de corpos rígidos
 Um sistema de forças aplicado a um corpo está em equilíbrio estático se
tiver resultante e momento nulos.
 Em um sistema de forças quando aplicado em um corpo que está em
equilíbrio, dessa aplicação não se obtém nenhuma alteração no estado de
repouso ou de movimento do corpo. Se a resultante do sistema for nula
existe equilíbrio de força quanto à translação. Portanto, o movimento de um
sistema de força traduz a alteração do movimento de rotação. Quando o
movimento for nulo o sistema de força estará em equilíbrio quanto à
rotação.

14. Para saber se um corpo rígido está em equilíbrio estático é necessário
que seja em um determinado referencial, para que se verifiquem para qualquer
ponto O.
Ou seja,
O equilíbrio estático de um corpo rígido reduz as situações onde as forças
externas atuariam sobre o corpo rígido e formam um sistema de forças
equivalentes a zero.

15. Método da linha poligonal das forças
 A resultante sendo nula, a linha poligonal das forças é fechada.
Figura A Figura B
Sin 𝜃=
𝐹₁
𝐹₃
Cos 𝜃=
𝐹₂
𝐹₃
Na figura A, temos um ponto material P em equilíbrio sob ação de três forças. Na figura
B, representamos a linha poligonal dessas forças que é fechada.
𝐹3
𝐹2
𝐹1
𝜃
𝐹1
𝐹2
𝐹3 𝜃

16. Método das projeções
 𝐹𝑟= 0
𝐹𝑟𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝐹1 𝑥 + 𝐹2 𝑥 + ⋯ + 𝐹𝑛 𝑥 = 0
𝐹𝑟𝑦 = 0 𝑜𝑢 𝐹1 𝑦 + 𝐹2 𝑦 + ⋯ + 𝐹𝑛 𝑦 = 0
 Se um ponto material sujeito à ação de um sistema de forças estiver em
equilíbrio, as somas algébricas das projeções dessas forças sobre dois eixos
perpendiculares e pertencentes ao plano das forças são nulas. Ou seja, o
equilíbrio de um ponto material sob ação de um sistema coplanares fornece
duas equações escalares.
 Portanto o estudo de equilíbrio de um ponto material sob ação de um
sistema de forças coplanares nos fornece duas equações escalares.

17. Sistemas de duas forças: Casos
particulares
 A) Forças colineares:
Se as forças 𝐹₁ e 𝐹₂ tiverem a mesma direção e o mesmo sentido, a
resultante 𝐹ᵣ terá a mesma direção e o mesmo sentido das forças
componentes, e intensidade igual à soma das intensidades.
 Os segmentos orientados 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶, que são representações de 𝐹₁ e
𝐹₂, foram tornados consecutivos (ponto B comum)
𝐹2
𝐹1
P
𝐹𝑅
A
B C𝐹2𝐹1
𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2
𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2

18.  B) Força não-colineares:
O ponto material P esteja sob a ação de duas forças conhecidas
𝐹₁ e 𝐹₂ não-colineares. A resultante 𝐹ᵣ pode ser obtida por
meio de linha poligonal das forças ou simplesmente pela
aplicação da regra do paralelogramo: a resultante 𝐹ᵣ é
presentada pela diagonal orientada do paralelogramo que
passa por P e cujos lados orientados são representações de 𝐹₁
e 𝐹₂.

19. Vetores
 Os vetores são definidos como entes matemáticos que
possuem intensidade, direção e sentido.
Um vetor é usado para representar uma força que atua em um
dado ponto material tem bem definido o seu ponto de
aplicação, isto é, o próprio ponto material. Tal vetor é dito fixo
ou aplicado e não pode ser deslocado sem modificar as
condições do problema.

20. Decomposição de forças
Uma única força F que atua sobre um ponto material pode ser substituída
por duas ou mais forças que, juntas tenham o mesmo efeito sobre o ponto
material. Essas forças são chamadas de componentes da força original F, e o
processo de substituição são chamados de decomposição de forças F em
componentes.
Obviamente, para cada força F existe um número infinito de conjuntos possíveis
de componentes. Conjuntos de duas componentes P e Q são os mais
importantes para aplicações práticas. Mas, mesmo assim, é ilimitado o número
de maneiras pelas quais uma dada força F pode ser decomposta em duas
componentes.

21. Bernard Lamy

22.  15 de junho de 1640, em Le Mans, França.
 † 29 de janeiro de 1715, em Rouen , França.
 Foi um francês oratoriano (pertencente à Congregação do Oratório na
Roma Antiga), matemático e teólogo.
 Lamy se tornou professor de clássicos em Vendôme, 1661, e pelo Juilly, em
1663. Foi ordenado sacerdote em 1667.
 Depois de ensinar alguns anos em Le Mans, foi nomeado para a cadeira de
filosofia na Universidade de Angers. Lá, o seu ensino foi atacado. O reitor
obtido em 1675 por parte das autoridades estaduais, lançou decreto
proibindo-o a continuar suas palestras. Então ele foi então enviado por seus
superiores para Grenoble, onde, graças à proteção do cardeal Le Camus, ele
conseguiu retornar ao seus cursos de filosofia. Em 1686 ele retornou a Paris,
parando no seminário de São Magloire, e em 1689 ele foi enviado
para Rouen, onde passou o resto de seus dias.

23. Teorema de Lamy
 É uma equação que relaciona as magnitudes de três forças:
coplanar, simultânea e forças não-colineares, que mantém um objeto
em equilíbrio estático, com os ângulos diretamente opostos às forças
correspondentes. De acordo com o teorema:
 Onde A , B e C são as magnitudes dos três coplanares, forças simultâneas e
não colineares, que mantém o objeto no equilíbrio estático, eα , β e γ são os
ângulos diretamente opostas ao forças A , B e C , respectivamente.

24. Prova do Teorema do Lamy
 Suponhamos que existem três forças: coplanares, concorrentes e não-
colineares, o que mantém o objeto em equilíbrio estático. Pela lei do
triângulo, pode-se reconstruir o diagrama a seguir:
Pela lei dos Senos:

25. Conclusão
 Nos permite achar a direção, o sentido e o módulo dos vetores,
os valores dos pesos, sem o uso da 2ª Lei de Newton, as
medidas das cordas (ou trações) e o ângulo delas em relação
aos eixos das abscissas e ordenadas.
 O ponto material, sobre a sua importância deve ser planejada
de tal forma que o conjunto de forças (peso, normal[...], dentre
outras) que agem nele, deve ter como força resultante um valor
próximo a zero.

26. Obrigado a nossa orientadora, professora Hozana Ximenes.
Até a próxima!