Differenziale, Funzioni, Infinitesimale, Locale_globale, Sistemi di riferimento, Stabilità_instabilità, Variazione

1. E NCICLOPEDIA E I N A UD I [ 1 9 8 2 ]
LOCALE GLOBALE
Jean Petitot — LOCALE/GLOBALE p ag .4
Massimo Galuzzi — DI F FERENZIALE pag 11
Pierre Delattre — FUNZIONE pag.53
Jean Petitot — IN F I NETESIMALE pag.62
LOCALE/GLOBALE pag.102
S ISTEMI DI RI F ER I ME N T O pag.134
Andrea Milani — ST ABI LITÁ/INSTABILITÁ pag.144
Guido Stampacchia — VA R I AZIONE pag.162

2. Locale /globale I c)2 '53 Locale /globale
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differenziale 5 3 2 7 8 3 2 4
funzioni 3 ' 3 6 3 ' 4 3 3 2 2 4 8 • z 2 4 Io 7 7 4
infinitesimale 4 3 3 4 5 s 5
locale/globale 5 4 S 4 5 7 I 3 2 3 7 S S I 4 3 7 S 5
sistemi di riferimento 2 3 z 5 3 2 z 5 8 6 6 6 5 z 7
stabilità(instabilità 6 6 3 4 () 2 4 2 6 5 3 3 3 I z 6 3 S
variazione I 3 4 2 2 2 8 4 7 6 2 3 5
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differenziale 4 3
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4 4 3 3 3 7
funzioni 2 5 4 3 5 5 5 2 7 5 z Z 9 4 2 3 3 2
infinitesimale 6 4 3 3 z
locale/globale 4 4 z 4 6 5 2 3 6 5 7 4 6 4 6 6 6 z 6
sistemi di riferimento 6
46S
3 3 2 3 4 I 2 3 2 3 3 4 3 7 2 I 4 5 4 2 4 2
43
stabilità /instabilità 2 3 2 z 4 2 7
75
2 2 3 3 2 8 6 5 4 5 2 4 2 4. 5 5
variazione 2 2 z 3 6 4 2 2 3 6 4 4 4 4 6 2 2 7
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sistemi di riferimento sistemi di stabilità/riferimento
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infinitesimale 2 3 2 globale
funzioni
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75
7 6 6
stabilità/instabilità 2
variazione 3 5 infinitesimale

3. ambiguità allegoria
competenza/esecuzione codice
Locale/globade fonetica immagine avanguardia Locale/globale
grammatica metafora classico
concetto analogia e metafora lessico segno cfinca
esistenza argomentaxione lingua significato
filologia bello/brutto
essere interpretazione lingua/parola simbolo
letterxtwa creatività'l.',fit ","„ , fenomeno linguaggio maniera
forma metrica
espressione
astraito /concreto poetica fantastico
dialettica idea semantica alfabeto retorica
identità/differenza proposizionee giudizio sens%ignificato
gUSto
ascolto imitazione
mediazione traduzione
gesto immaginazione anthropos
opposiiione/contraddizione universali/particolari lettura progetto cultura/culture
qualità/quantità atti linguistici luogo comune riproduzione/riproducibilità etnocentrismi
totalità dicibile/indicibile orale/scritto discorso sensibilità natura/cultura
uno/molti
decisione enunciaxione comunicazione parola finzione spazislità
distribuzione statistica presupposizione e allusione errore ritmo generi artigianato
dato referente informazione scrittura
giochi
narrazione/narratività artista
etica voce acculturazionestile
induzione statistica attribuzione
filosofla/filosofie civiltà
probabilità
tema/motivo oggetto
ragione antico/moderno futuro
rappresentazione statistica testo
razionale/irrazionale catast~ : - == calendario
produzione artistica selvaggio/barbaro/civilizzato
teoria/pratica
soggetto/oggetto decadenza
armonia colore
uguaglianza escatologia escrementi
melodia
caos/cosmo valori p eriod~ =,=..
età mitiche disegno/progetto fertilità
ritmica/metrica visione
curve e superfici infinito vero/falso tempo/temporxlità genesi abbigliamento nascita educazione
scala
geometria e topologia macrocosmo/microcosmo volontà passato/presente canto sensi generazioni
suon%umore coltivazione
invariante mondo progress%eazione colpo sessualità infanzia
alchimia
natura storia
tonale/atonale danza vecchiaia morte cultura inateriale
astrologia atlante amore industriarurale
osservazione maschera
cabala collezione desiderio
vita/morte
moda materiali
deduzione/prova reale
elementi documento/monumento credenze erosornamento prodotti
equivalenza unità armi
difierenziale esoterico/essoterico fossile isteria clinica
dialetto scena
formalizzazione frontiera
memoria angoscia/colpa cura/normalizzazionefunzioni pulsione
logica enigma
infinitesimale
rovina/restauro
guerra castrazione e complesso esclusione/integrazione
fiaba
soma/psiche
fuocopossibilità(necessità znalisifsintesi imperi censura farmaco/droga
~ we cannibalismo sonno/sogno
homoreferenza/verità anticipazione funzione nazione mostro identificazione e transfert follia/delirio
dài
sistemi di riferimento ricorsivita ipoteai misura tattica/strategia popolare inconscio medicina/medicalizzazione manofmanufatto
proverbi divino tecnica
stabilità/instabilità matematiche „... modello
alienazione nevrosi/psicosi normale/anormale
tradixioni crei utensile
variazione metodo,"!ij'fs, r struttura piacere salute/malattiacoscienza/autocoscienza
centrato/acentrato ("l',, teoria/modello
demagogia iniziazione
combinatoria
immaginazione sociale discriminazione sintomo/diagnosi
magia
demoni ahmcntanonc
grafo
pace repressione ateo messia agonismo
applicazioni servo/signore divinazionc animaleterrore chierico/laico millennio cenmoniale casta
assioma/postulato labirinto caso/probabilità cucinauomo tolleranza/lntolleranxa mito/rito donnachiesa persona festa
continuo/discreto rete causa/e/fatto utopia mythos/fogna endogamia/esogamia domesticamentotortura diavolo pur%mpuro feticcio
dipendenza/indipendmua abaco certezza/dubbio violenza origini fame
eresia religione famiglia
divisibilità algoritmo gloCO
coerenza vegetale
libertino sogno/visione incesto
lutto
dualità approssimazione convenzione cstegorie/categorizzazione libro stregoneria regalità
maschile/femminile
insieme calcolo determinato/indeterminato conoscenza matrimonio
peccato l'tto
razionale/algebrico/trascendente numera empiria/esperienza coppie filosofiche parentela
simmetria zero
sacro/profano caccia/raccolta
esperimento disciplina/discipline santità borghesi/borghesia tote dono
atruttme matematiche legge enciclopedia burocrazia economia uomo/donna eccedente
trasformnioni naturali ( categorie libertà/necessità innovazione/scoperta classi formazioneeconomico-sociale
metafisica pastorizia
contadini lavoro
controllo/retroazione insegnamento primitivo
naturale/artificial
energia invenzione consenso/dissenso ideologia modo di produzione
reciprocità/ridistribuzione
opcratività egemonia/dittatura masse proprietà
analogicofdigitale equilibrio/squilibrio
rappresentazione
paradigma intellettuali
interazione
ricerca pmlctanato riproduzione
automa previsione e possibilità libertàsistematicae classificazione rivoluzione transizione abbondanza/scarsità
intelligenza artificiale ordine/disordine riduzione maggioranza/minoranza
macchina
bisogno
organizzazione ripetizione partiti consumo
programma semplice/complesso scienza politica ccumulazione imposta
simulazione statenill apprendimento amministrazione
spiegazione capitale lusso
strumento soglia autoregolazione/equilibrazione comunità
rificabilità/falsificabilità cervello
vincolo comportamento cognizione confiitto CI'Ist oro e argento
CostltUZÉORC
e condizionamento induzione/deduzione consuetudine élite distribuzione pesie misure
controllo sociale innato/acquisito diritto democrazia/dittatura fabbricagergo produzione/distribuzione
astronomia emozione/motivazione istinto giustizia norma gestione ricchezzagrUppo
cosmologie scambio
atomo e molecola mente operazioni istituzioni patto marginalità imperialismo
gravitazione
conservazione/invarianza percezione responsabilità potere opinione impresa SPTCCO
luce
entropia quoziente intellettuale
potere/autorità povertà mercato
materia pubblico/privato merce
fisica propaganda
spzaio-tempo atmosfera cellula società civile moneta
fr /ca poorza/campo ruol%tatus
litosfera adattamento + difierenziamento h abitazione stato socializzazione pianificazione
moto evoluxiono z' immunità N acqua • ocietà profitto
particella
lasm
mutazione/selezione ~ individualità biologica
ambiente .spazio sociale rendita
( p asma polimorfismo r integrazione /
I cifià
sole salario
universo
propagazione
quanti
specie I invecchiamentol'
clima utilità
/
relatività / organismo g ecumene valore/plusvalore
reyeriibilità/irreversibilità I regolazione<r' insediamento agricoltura
cataliii
migrazione città/campagna
stato fisico I sviluppo e morfogenesiw
coloniemacromolecole paesaggio
metabolismo popolazione commercio
industriaomeostasi regione
eredità risorseorganico/inorganico spazio economico
suoloosmosi gene sviluppo/sottosviluppo
terravita genotipo/fenotipo
razza territorio
sangue villaggio

4. Locale/globale
~ndon (trad.
Differenziale, Funzioni, Infinitesimale,
it. Ei Locale/globale, Sistemi di riferimento, Stabilità/instabilità,
Variazione
L'opposizione+locale/globale+ è una di quelle opposizioni fondamentali che,
come quelle tra il discreto e il continuo o tra il finito e l'infinito, sono proteiformi
e intervengono a tutti i livelli della riffessione e della pratica matematica. È una
opposizione portante, organizzatrice e distributrice il cui contenuto è sia concet
tuale sia tecnico. Si può dire che è un'opposizione dotata di un eminente valore
categoriale.
Questa opposizione fa parte della lingua naturale ed è spontaneamente uti
lizzata per indicare situazioni certamente diverse ma la cui intuizione è relativa
mente unitaria. Se ne darà qualche esempio scelto a caso fra i molti.
Si è iniziato l'articolo «Locale/globale» di questa Enciclopedia con alcune ri
Ressioni informali sulla struttura semantica di un lessico. Si tratta di un esempio
tipico. In questo caso si utilizza il termine 'locale' per parlare di campi semantici
ristretti e ben articolati come il campo semantico dei colori, o degli utensili di
cucina, o di sottodiscipline di una certa scienza, ecc. In particolare, gli articoli di
questa Enciclopedia sono, relativamente al tutto che essa costituisce, delle orga
nizzazioni locali. Si vede che l'accezione del termine 'locale' ricopre qui due pro
blemi. In primo luogo quello delle classificazioni, dato che ogni campo semanti
co consiste nella classificazione secondo una regola di una certa varietà. E inoltre
quellodellivellodiosservazione scelto per operare laclassificazione. Per precisa
re un poco questa accezione tassonomica, si consideri l'esempio del sistema fono
logico di una lingua. Questo sistema può essere considerato in un primo mo
mento come l'insiemedegli «atomi » fonetici. Questo insieme, che si suppone ben
definito su basi fisico-audioacustiche, svolge il ruolo di una totalità di elementi
considerati analoghi, omogenei rispetto alla loro natura, anche se non equivalenti
l'uno all'altro. Si tratta in qualche modo di un quadro globale di riferimento. Si
potrebbe allora credere che, detto J questo insieme, se p è un «atomo» fonetico,
vale a dire un suono fonetico elementare come una consonante o una vocale, l'ap
proccio formale della tassonomia associata a J si riduca allo studio della relazio
ne di appartenenza insiemistica pe J. Ma non è affatto vero. Un tale approccio
sarebbe di una povertà estrema. Infatti i suoni fonetici elementari sono forme
audioacusticheche possono variare in modo continuo eche sono dunque defor
mabili. Ciò significa che lo spazio P è naturalmente munito di una topologia (cfr.
l'articolo «Geometria e topologia») che definisce una relazione di vicinanza tra
i suoni fonetici elementari. E per di piu la percezione non è sensibile a tutte le
proprietà di questi suoni fonetici elementari. Come hanno mostrato numerose
esperienze effettuate in questi ultimi quindici anni, la percezione fonetica è ca
tegoriale. Ciò significa quanto segue. Si consideri una sequenza di N stimoli
(una dozzina) (sn ..., s>) che conduca in modo progressivo per esempio dalla sil

5. Sistematica locale 34z 343 Locale/globale
laba [pa] alla sillaba [ba] in una lingua in cui la diflerenza sordo/sonoro [p]/[b] Ci si trova in questo caso in presenza di una esemplificazione del paradigma
sia pertinente. Si sottopongano allora dei soggetti a test di identificazione e di strutturalista. L'approccio strutturalista consiste essenzialmente nell'interpreta
discriminazione. I primi test consistono nel domandare ai soggetti, ai quali si re le tassonomie in termini di categorizzazione come sistemi di rapporto, vale a
presenta una serie aleatoria di occorrenze degli s;, di riconoscere ogni occorrenza dire in termini di sistemi di discontinuità che scompongono in domini (in classi
come [pa] o fba]. I secondi test consistono nel domandare ai soggetti, ai quali si
di equivalenza) un certo spazio topologico. Ciò è valido in particolare per i campi
presenta una serie aleatoria di coppie (s,, s;+,) di stimoli successivi, se distinguo
semantici. In quest'ottica il locale si riferisce agli elementi del sistema e il globale
no i due stimoli proposti. Mediante una statistica delle risposte, i test di identi al sistema stesso. E il postulato strutturalista del primato del criterio relazionale
ficazione conducono a risultati scontati a priori. Si ottiene una risposta di zoo per dell'identità sul criterio sostanziale (del primato della differenza sull'identità, cfr.
cento di [pa] e di o per cento di [ba] per i primi stimoli sn..s>,una risposta di
l'articolo « Identità/differenza») ribadisce che, quanto al valore, è il globale che
xoo per cento di [ba] e di o per cento di [pa] per gli ultimi stimoli s>...sv, ela determina il locale. Questo punto di vista si oppone risolutamente al punto di vi
percentualedelle risposte [pa] crollacatastroficamente per essere rimpiazzata
sta riduzionista e «atomista» secondo cui gli elementi del sistema hanno un'esi
dalla risposta [ba] nella zona intermedia. Si ottiene cosi un'interfaccia (una fron stenza autonoma e si aggregano per interazione in un sistema globale a partire
tiera) K che separa la categoria [pa] dalla categoria [ba]. In compenso i risultati dalle loro proprietà intrinseche.
dei test di discriminazione conducono a risultati che hanno molto sorpreso i fone Per ritornare alla struttura dei lessici e delle enciclopedie, si vede che il pro
tisti. Se si considera una percezione continua (non categoriale) come quella dei blema è quello dell'estensione, del prolungamento, dei campi semantici e quello
colori, è un fatto chiaro e appartenente all'esperienza usuale come si possano al dei loro incollamenti. Il campo semantico che, in ciò che precede, funzionava co
trettanto bene distinguere due sfumature di rosso o di arancione vicine quanto me un quadro di riferimento globale inducente una categorizzazione, funziona
una tinta rosso-arancione da una tinta arancione-rosso. La scomposizione del ora come un campo locale suscettibile di estendersi e di intersecarsi con altri
campo dei colori in categorie etichettate da nomi è di natura linguistica e pratica campi locali. Si entra in questo caso in una problematica completamente diversa
mente non influisce affatto sulle capacità percettive di discriminazione. Ma non in cui si tratta di aggregare dei domini locali. Ognuno di noi ha sperimentato co
succede la stessa cosa nel caso della percezione fonetica. I test di discriminazione me le carte geografiche possono essere incollate in modo da formare una carta
mostrano che non esiste discriminazione intracategoriale. Si possono discriminare globale. Questa esperienza elementare rende manifesta l'eminente relatività del
soltanto stimoli vicini separati da K, vale a dire riconosciuti come differenti. È in la dialettica del locale e del globale. Fssa rende anche manifesta l'importanza del
questo senso che la percezione è categoriale. Essa è subordinata all'identifica livello di osservazionescelto. Semplificando i dati, per esempio usando l'astra
zione. Come dicono i fonetisti, si effettua su basi assolute.La percezione catego zione nel caso semantico, è possibile ridurre un sistema globale a una situazio
riale è un fenomeno percettivo di primaria importanza. Essa spiega come un ne locale.
flusso acustico continuo può essere percettivamente discretizzato e diventare per Nel suo sviluppo, la matematica ha incontrato problemi analoghi, ma dato
ciò stesso il supporto di un codice.Si vede che la percezione fonetica manifesta che gli oggetti matematici sono oggetti costruiti, ha potuto dare un contenuto
essenzialmente la categorizzazione dello spazio topologico P dei suoni fonetici tecnico e operatorialeai diversi aspetti della dialettica del locale e del globale. Essa
elementari con un sistema K di discontinuità (cfr. l'articolo «Continuo/discreto») ha potuto, in numerosi casi, rispondere in modo specifico, esplicito e profondo
che vi definiscono una sorta di «geografia» (domini separati da frontiere). I do a problemi come i seguenti: in quale misura delle condizioni locali impongono
mini di J delimitati da K sono i fonemi del sistema. Questi fonemi sono classi proprietà o comportamenti globali? In quale misura la struttura globale impone
di equivalenza di suoni fonetici elementari chiamati anche allofoni. reciprocamente delle condizioni locali? In quale misura c'è equivalenza tra de
Si capisce molto bene con questo esempio l'importanza dei concetti struttu terminazione locale e determinazione globale> Quali sono i metodi di passaggio
ralisti introdotti da Saussure e sviluppati da Jakobson eHjelmslev (cfr. l'articolo dal locale al globale? Come si può localizzare una situazione? ecc.
«Struttura»). Come classe di equivalenza di allofoni, un fonema non può avere Questi diversi problemi sono di una complessità cosi proliferante che non è
una definizione puramente audioacustica. Esso è definito dal suo valore,vale a possibile, in un articolo di sintesi come questo, neppure enumerarne semplice
dire dall'estensione del suo dominio in J . Ora, dato che questa estensione è de mente i diversi aspetti. Ci si limiterà dunque, in modo estremamente rudimen
terminata dal sistema globale di interfaccia K, un fonema non ha un'esistenza tale e, purtroppo, tecnicamente molto vago, a ripercorrere alcuni problemi svi
isolata, Esso non esiste se non in modo relazionale per mezzo delle sue relazioni luppati in modo piu preciso negli articoli +Differenziale+, +Funzioni+, +Infini
con gli altri elementi del sistema. Se si associa ad ogni dominio una «capitale», tesimale+, +Locale/globale+, +Sistemi di riferimento+, +Stabilità/instabilità+ e
cioè un allofono prototipico che occupa approssimativamente il baricentro del do +Variazione+.
minio stesso, si può dire che i prototipi costituiscono gli elementidel sistema, cioè
il suo aspetto locale, ma che, quanto al valore, il sistema globale è implicitamente
presente in ciascuno degli elementi.

6. Sistematica locale 344 345 Locale /globale
morfismi, le applicazioni biiettive (cfr. gli articoli «Insieme» e «Applicazioni»),
i. La g eometriadello spaziofisico. Il primo livello che manifesta una certa coesione è il livello topologico. I morfi
smi associati sono le applicazioni continue e gli isomorfismi, detti anche omeo
Ogni nostra esperienza pratica conferma che lo spazio fisico è localmente eu morfismi, le applicazioni biiettive bicontinue (cfr. l'articolo «Geometria e topo
clideo. Il primo esempio storico di passaggio dal locale al globale è fornito dal logia»). Se si incollano pezzi di R" mediante gli omeomorfismi si ottengono spazi
l'estrapolazione di Euclide che postula che, globalmente, lo spazio è ancora eu detti «varietà topologiche». Un livello piu vincolante di quello topologico è il
clideo. Questa estrapolazione si esprime assiomaticamente con il famoso assioma livello differenziabile. Dato che R" è uno spazio vettoriale normato, sef : U~ V è
delle parallele che è un giudizio sintetico a priori caratteristico della geometria e un'applicazione continua tra due aperti di R", si può dire quando è differenzia
che la rende irriducibile alla logica. Con la comparsa delle geometrie non eucli bile (cfr. l'articolo «Differenziale»). I morfismi associati a questo livello di strut
dee (iperboliche ed ellittiche), si è preso coscienza del fatto che esistono molti tura sono dunque le applicazioni difFerenziabili e gli isomorfismi, detti anche dif
spazi globali che i ) sono omogenei, cioè possiedono ovunque la stessa struttura, feomorfismi, sono le biiezioni bicontinue differenziabili insieme alle loro inverse.
e z) sono localmente euclidei. Questi spazi omogenei sono caratterizzati dalla Se si incollano pezzi di R" con diffeomorfismi si ottengono spazi detti «varietà
loro curvatura (positiva per gli spazi ellittici e negativa per gli spazi iperbolici ) e differenziabili », i quali costituiscono il principale esempio di spazi ottenuti con
la loro omogeneità è descritta con il gruppo di invarianza. Di qui l'idea fonda un processo di incollamento.
mentale, dovuta a Felix Klein, di caratterizzare una geometria con il suo gruppo Per costruzione, le varietà differenziabili sono localmente triviali (cfr. l'arti
di invarianza e con le proprietà invarianti sotto l'azione di questo gruppo (cfr. colo +Locale/globale+) poiché sono localmente diffeomorfe a spazi standard R".
gli articoli «Geometria e topologia», «Invariante»). Esse si distinguono dunque soltanto globalmente. Se si vuoi tentare di classi
Se si abbandona la condizione di omogeneità, si arriva a una situazione piu ficarle a meno di diffeomorfismi, occorre di conseguenza costruire degli inva
generale che Riemann è stato il primo a immaginare chiaramente. Si tratta di rianti differenziabili (cioè invarianti per diffeomorfismo) e cercare di trovare una
spazi la cui metrica varia, vale a dire la cui struttura euclidea tangente cambia lista abbastanza ricca di invarianti affinché i loro valori, data una varietà M, sia
con il punto considerato. Ciò implica che non c'è piu gruppo di invarianza nel no sufficienti a caratterizzare M. Un tale programma si scontra con terribili dif
senso precedente, in altre parole che gli «osservatori » locali non possono piu «co ficoltà che sono ancora lungi dall'essere risolte. Ma alcune idee si impongono in
municare». Per ristabilire la «comunicazione», occorre fare la sintesi del punto modo naturale. La prima idea è quella di determinare quali vincoli impone un
di vista di Klein e del punto di vista di Riemann. Questa sintesi è essenzialmente livello di struttura inferiore a un livello di struttura superiore. Il livello insiemi
dovuta a Cartan. Essa è fondamentale per la relatività generale. stico non impone quasi nessun vincolo. Infatti l'unico invariante insiemistico ri
spetto alle biiezioni è il numero cardinale, e tutte le varietà «normali» hanno la
potenza del continuo. In compenso il livello topologico è di grande importanza.
z. 1 l ivelli di struttura ela dialettica locale/globale. Se M e N sono due varietà differenziabili diffeomorfe, sono a fortiori omeomorfe
in quanto varietà topologiche. Si può dunque cominciare tentando di classificare
Ciò che caratterizza la geometria moderna è l'estrema estensione del concetto le varietà topologiche per poi classificare, essendo dato un tipo topologico, le
di spazio e la ricchezza delle procedure di costruzione di spazi. Questa diversi strutture differenziabili che sono compatibili con esso (supponendo che ne esista
ficazione proliferante del «genere» spazio in «spazi » pone dei problemi di classi no, il che esige che il tipo topologico considerato non sia troppo «patologico»).
ficazione che sono stati e sono tuttora uno dei fattori determinanti del progresso Lo strumento principale per classificare le varietà topologiche è la topologia
concettuale della geometria. algebrica (detta inizialmente topologia combinatoria) inventata da Poincaré. Essa
Si citeràora una procedura dicostruzione che èfondamentale pur essendo comprende due rami principali, la teoria dell'omotopia e la teoria dell'omologia
elementare. Essa consiste nel partire da pezzi di spazi standard (in generale gli coomologia. La teoria dell'omotopia parte da una semplice osservazione. Ciò che
spazi R") e nell'incollarli. Se U e V sono due pezzi, l'incollamento consisterà nel distingue tra loro le forme globali delle varietà è in particolare il modo in cui
l'identificare un sottopezzo U' di U con un sottopezzo V' di V. Questa identifi sono «bucate» o comprendono dei «vuoti ». Il miglior modo per misurare queste
cazione significa che si considera un isomorfismo tra U' e D'. Ma la nozione di caratteristiche topologiche globali di una varietà topologica M (e piu in generale
isomorfismo è una nozione fondamentalmente relativa, Essa dipende dal livello di uno spazio topologico) è quello di « immergere» mediante applicazioni conti
di struttura considerato. Ora gli spazi standard R" sono naturalmente muniti di nue f ; Sn ~ M delle sfere di dimensionen in M e di cercare di contrarie in un pun
strutture sempre piu «rigide», sempre piu vincolanti, che costituiscono una ge to. Se la «sfera»f($") comprende un «buco», allora questo buco farà ostruzione
rarchia di livelli, ciascun livello essendo associato a(e anchecaratterizzato da) un alla contrazione. Se per esempio, partendo da un punto base xo di una sfera S',
tipo di applicazione, di morfismo, tra spazi. Il livello di base è il livello insiemi un «osservatore» dipanando un filo descrive un cammino qualunque che ritorna
stico che è il meno vincolante. I morfismi associati sono le applicazioni e gli iso in x~ (un tale cammino chiuso si chiama laccio ed è un'applicazione continua

7. Sistematica locale 346 347 Locale /globale
f : S'~ S ) egli potrà riportare tutto il filo in x~ facendolo scivolare sulla superfi la topologia algebrica) studiando il loro comportamento in rapporto alle proce
cie di S'. Una tale deformazione di un laccio si chiaina «omotopia». Se in corn dure standard di costruzione e di decomposizione degli spazi (sottospazi, spazi
penso, camminando su un toro, l'osservatore descrive un laccio facendo il giro quoziente, spazi prodotto, fibrazioni, ecc.). A partire dal momento in cui si di
di un meridiano o di un parallelo, non potrà piu contrarre il laccio corrispon spone di tali strumenti per trattare il livello topologico si cercherà di sapere in
dente in un punto. La sfera è uno spazio senza omotopia in dimensione i men quale misura questo livello vincola i livelli gerarchicamente superiori e in parti
tre il toro è uno spazio che possiede omotopia in dimensione i e ciò per ragioni colare il livello differenziabile. Data una varietà topologica M, si cercherà di clas
globali. Similmente, se l'osservatore camminando su un piano al quale è stato sificare le strutture differenziabili su M che inducono la sua struttura topologica.
tolto un punto a descrive un laccio che circonda questo punto, non potrà con L'idea principale è quella di tradurre queste strutture con classi di omotopia di
trario, poiché l'assenza del punto a fa ostruzione. Anche un piano senza un pun applicazioni tra spazi associati a M e di applicare i metodi della topologia alge
to è dunque uno spazio che possiede omotopia in dimensione i ma questa volta brica.
per ragioni locali. D'altra parte se l'osservatore descrive un laccio nello spazio a Oltre questi metodi di topologia algebrica si è stati condotti ad inventare me
tre dimensioni Rs senza il punto a, potrà sempre contrario perché dispone di una todi corrispondenti direttamente al livello differenziabile e che sono l'oggetto
dimensione supplementare che gli permette di scansare a. Rs (a) è dunque uno della topologia differenziale. Tra questi occorre citare prima di tutto la teoria di
spazio senza omotopia in dimensione r. Ma è intuitivo che una sfera Sa che com Morse e il cobordismo. Poiché la classificazione delle varietà a meno di omeo
prende a in Rs non potrà essere contratta in un punto, poiché l'assenza di a le fa morfismi è troppo complicata, s'indebolisce la nozione di omeomorfismo consi
ostruzione. Rs (a) è dunque uno spazio che possiede omotopia in dimensione derando due varietà M e N come equivalenti (cobordanti ) se esse costituiscono il
z. La scoperta principale di Poincaré è che, dato uno spazio M, se si considerano bordo di una stessa varietà W. Questa equivalenza è operatoriale nellamisura in
i lacci a meno di omotopia (cioè se si considerano come equivalenti due lacci de cui, come ha mostrato Thom, l'insieme delle classi di equivalenza può essere mu
formabili con continuità l'uno nell'altro) e se si compongono due lacci concate nito di una struttura di gruppo. Quanto alla teoria di Morse, essa consiste nell'a
nandoli (percorrendoli uno di seguito all'altro ), si ottiene sull'insieme delle classi nalizzare le applicazioni differenziabili f : M~R di una varietà M nella retta rea
di omotopia dei lacci una struttura algebrica di gruppo. Questo gruppo, detto le. Tale teoria è presentata nell'articolo «Locale/globale» (cfr, anche «Applicazio
gruppo fondamentale o gruppo di Poincaré di M e indicato con it, (M), è il pri ni »). L'idea direttrice è che, benché una tale funzionef : M ~ R possa essere estre
mo esempio di invariante algebrico utile alla classificazione delle varietà. Di fatto mamente complicata, tuttavia è relativamente semplice quando è strutturalmen
il gruppo fondamentale di uno spazio topologico M non è soltanto un invariante te stabile, vale a dire di tipo differenziabile invariante per piccole deformazioni. I
topologico, ma un invariante del tipo di omotopia. Esso variafuntorialmente con due teoremi di base della teoria sono da una parte il teorema di Morse che af
M (si veda l'articolo «Trasformazioni naturali / categorie»). Si definiscono nello ferma che, se M è compatta, f è strutturalmente stabile se e solo se i suoi punti
stesso modo i gruppi di omotopia ir<(M) in dimensione superiore. critici sono non-degeneri (il che implica che siano isolati ) e i suoi valori critici
Si vede come un invariante algebrico come il gruppo fondamentale inter sono tutti distinti (caratterizzazione geometrica della stabilità strutturale), e dal
viene nel problema della classificazione. Dato che w, è un funtore della catego l'altra il teorema (corollario del teorema di trasversalità di Thom ) che afferma
ria degli spazi topologici puntati nella categoria dei gruppi, ogni omoemorfismo che le applicazioni strutturalmente stabili sono dense(e anche generiche) dato
h : M ~ N tra due spazi topologici induceun isomorf ism h~ : xi (M) ~ ir i(N) tra i che ogni applicazione è approssimabile da una applicazione strutturalmente sta
loro gruppi fondamentali. Se dunque it, (M) e it,(N) non sono isomorfi, M e N bile. Considerevolmente sviluppata da Thom, questa teoria è alla base della teo
non possono essere omeomorfi. Per esempio, dato che la sfera Ss non possiede ria delle catastrofi (cfr. l'articolo «Locale/globale»: nozione di dispiegamento
omotopia in dimensione r mentre il toro T la possiede, Ss eT non possono esse universale). Nella misura in cui le applicazioni stabili (dette anche di Morse)re omeomorfi. Reciprocamente si cercherà di classificare gli spazi topologici che f : M ~R sono quelle che permettono di definire una presentazione ad anse di M,
hanno gli stessi gruppi di omotopia. tale teoria ha avuto un ruolo determinante nella dimostrazione di Smale del teo
Quanto all'omologia, è inizialmente una tecnica combinatoria adattata agli rema dell'h-cobordismo che è il primo grande risultato che riguarda la congettu
spazi muniti di una triangolazione(cfr. l'articolo «Geometria e topologia»). Essa ra di Poincaré.
consiste nello studiare i cicli di uno spazio (cioè le catene di bordo nullo) modulo La congettura di Poincaré (una delle grandi congetture del secolo) domanda
i bordi (cioè i cicli che sono bordi di catene). L'omologia è strettamente legata in quale misura, per le sfere S", il livello omotopico-omologico determina il livel
all'omotopia. Considerando le forme lineari sulle catene, si definiscono dual lo topologico : se M è una varietà compatta di dimensione n semplicemente con
mente i gruppi di coomologia. nessa(rri(M) = o) e che hai'omologia di S", è M omeomorfa a S"> La congettu
L'interesse principale dei gruppi di omotopia, di omologia e di coomologia ra è vera per n = z (dimostrazione elementare). Smale ha dimostrato che è vera
è di essere oggetti algebrici che misurano la struttura globale degli spazi e che va per n) g.La tecnica èun teorema sulcobordismo. Si dice che due varietàM e N
riano funtorialmente. Si può svilupparne un calcolo (che costituisce l'oggetto del sono h-cobordanti se sono il bordo di una varietà l4' e se le inclusioni canoniche

8. Sistematica locale 348 349 Locale/globale
M~ We N~ Wsono delle equivalenze di omotopia. Il teorema di Smale afferma sano il contenuto del gruppo di articoli qui esaminato e sono affrontati in altri
che se dimM = dim¹ g e se M eN sono semplicemente connesse, allora un articoli dell'Enciclopedia.
h-cobordismo W è necessariamente triviale, cioè diffeomorfo a M xI. Ciò im
plica che M e N sono diffeomorfe. La tecnica consiste nel partire da una funzione
di Morse su W definendo una presentazionead anse e nel mostrare come si pos Equazioni differenzialie analisiglobale.
sano sopprimere progressivamente le anse (cfr. l'articolo Unità delle matemati
che in questo stesso volume dell'Enciclopedia). Una delle teorie in cui la dialettica+locale/globale+ è maggiormente impor
La considerazione delle funzioni di Morse porta al problema della classifica tante è la teoria delle equazioni differenziali. Innumerevoli problemi concreti
zione delle applicazioni differenziabili f : M~N tra due varietà qualunque(Mp (fisica, chimica, biologia, ecc.) conducono a sistemi di equazioni differenziali de
pR). Queste applicazioni non sono localmente triviali quando possiedono delle finiti nel modo seguente. Il sistema considerato è definibile con un numero finito
singolarità. L'idea è quella di tentare i ) di caratterizzare geometricamente e di
xi .. xe di coordinate che descrivono una varietà differenziabileM di dimen
classificare le applicazioni strutturalmente stabili in modo da controllare le cause sione N detta spazio delle fasi del sistema. Uno stato istantaneo del sistema è
d'instabilità; z ) di mostrare che le applicazioni stabili sono generiche, cioè che dunque rappresentato da un punto x di M e l'evoluzione del sistema a partire da
ogni applicazione è stabilizzabile con una piccola deformazione ; 3) di classificare una condizione iniziale x~e M con un cammino x (t) in M che parte da x~. Asse
le applicazioni instabili con un grado crescente di instabilità; 4 ) di utilizzare dei gnare una leggedi evoluzione significa assegnare, in ogni punto x di M, un vetto
metodi di riduzione alla dimensione finita (tecnica dei getti) considerando le ap re velocità dx/dt in funzione di x e di t : dx/dt = f(x,t).Q uesto vettore velocitàè
plicazioni che hanno lo stesso tipo differenziabile di uno dei loro getti di ordine un vettore tangente in x a M, cioè un vettore dello spazio vettoriale tangente
finito ; 5) di trattare questi problemi prima localmente (mediante germi di appli T M di M in x. Sef non dipende daltempo (il sistema di equazioni differenziali è
cazioni) e poi globalmente (cfr. gli articoli «Locale/globale», «Applicazioni» e detto allora autonomo), assegnare una legge di evoluzionef equivale dunque ad
+ Funzioni+). assegnare una sezione del fibrato tangente TM di M. In generale si suppone che
questa sezione sia differenziabile. Ma essa può essere piu analitica o algebrica
se M è una varietà analitica o algebrica.
I livelli analiticz' e algebrici. Data una sezione differenziabile X (x) di TM (detta anche campo di vettori
su M), si chiama traiettoria del campo X una curva differenziabile di M para
Una delle caratteristiche del livello differenziabile è che non esiste solidarie metrizzata dal tempo t, la quale, in ogni punto x di M, ammette X (x) come vet
tà tra il locale e il globale. Di qui l'importanza cruciale della stabilità strutturale tore velocità. Il primo teorema fondamentale della teoria afferma che se xp E M è
che restauratalesolidarietà. Non accade affattola stessa cosa per quanto riguar una condizione iniziale, esiste sempre localmente una e una sola traiettoria pas
da i livelli molto piu vincolanti, analitico e algebrico, in cui al contrario il locale sante per x„ (principio del determinismo). Il secondo dice che sotto condizioni
determina il globale. In questo caso le principali tecniche di passaggio dal loca abbastanza generali (per esempio se M è compatta) esiste anche sempre una e
le al globale sono il prolungamento analitico e la coomologia a valori in un fascio una sola traiettoria globale (cioè parametrizzata da t = — ~ a t = +~). In questo
(cfr. gli articoli «Geometria e topologia», «Invariante», «Trasformazioni natu caso si può associare a X ciò che viene chiamato il suo flusso, vale a dire un'entità
rali / categorie»). Esiste, a partire dai lavori pionieristici di Riemann, una gran globale che sintetizza l'insieme delle traiettorie. Infatti se te R, a xe M si può as
quantità di relazioni di dipendenza e di determinazione reciproca tra i livelli to sociare il punto x, raggiunto alla fine del tempo t sulla traiettoria uscente da x.
pologico, differenziabile, analitico e algebrico. Per esempio una sottovarietà ana Per t fissato, l'applicazione p, : M~ M che a x associa x, è un diffeomorfismo di
litica di uno spazio proiettivo P" (C) è algebrica (teorema di Riemann per le cur M, in altre parole un elemento cp,e DiffM in cui DiffM è il gruppo di Lie dei
ve e teorema di Chow per le varietà generali ). Il genere di una curva algebrica diffeomorfismi di M. È facile verificare che p~ è l'identità di M e che i diffeo
piana che è il suo invariante topologico maggiore è derivabile dal grado della cur
va (formula di Riemann). Esso vincola anche il numero di forme difierenziali di morfismi p, soddisfano rp,. o p, =cp,,+,. In altre parole l'applicazione di t ~q>, è
prima specie indipendenti (teorema di Riemann che stabilisce un legame tra li un morfismo di gruppi di Lie tra il gruppo additivo di R e DiffM. Reciproca
vello topologico, livello differenziabile e livello analitico). La coomologia di una . dq),
mente, assegnata iI~ si può ritrovare X, poiché X è la «derivata» — del
varietà differenziabile è esprimibile a partire dal teorema di Stokes in termini di morfismo ili in t = o. i = O
forme differenziali sulla varietà (teorema di De Rham). Se la varietà è analitica, Se si discretizza il tempo, si può considerare il diffeomorfismo cp=q>i e ap
essa è anche esprimibile, ma lo è in termini di forme armoniche (teoria di Hodge prossimare il sistema dinamico rii con la successione iterata q" di y.
che collega il livello differenziabile e il livello analitico), ecc. Tutti questi temi Mentre per lungo tempo si è cercato di trovare formule espliciteper le traiet
che costituiscono il cuore della geometria analitica e algebrica moderna oltrepas torie di un sistema dinamico X, dopo Poincaré si cerca di comprendere qualita
I3

9. Sistematicalocale 35o 35i Locale /globale
tivamente la struttura del flusso 4 associato (cfr. l'articolo «Qualità/quantità»). attraversando campi instabili (teoria della biforcazione). Si tratta di un pro
Perciò si è portati a distinguere un approccio locale e un approccio globale. A gramma immenso, di una tremenda complessità, che si trova in parte esposto
priori si può pensare che, essendo dato un sistema dinamico X su M, le sue
negli articoli +Differenziale+ e + Stabilità/instabilità+.
traiettorie siano immersioni (o almeno applicazioni iniettive) di R in M. Ma ciò
è falso perché alcune traiettorie possono essere critiche. Sono possibili due casi.
O la traiettoria è ridotta a un punto xo e allora questo punto, detto punto critico Meccanica hamiltoni ana.
di X, è un punto di equilibrio del sistema. Per questo è necessario e sufficiente
che X si annulli in xo. Oppure la traiettoria è chiusa, vale a dire periodica. Dato
Tra le equazioni differenziali, quelle che provengono dalla meccanica classi
che si può mostrare che, in un punto x e M in cui X(x) / o, X è localmente triviale ca sono molto particolari. In questo caso il sistema è rappresentato da un numero
(cioè riducibile a un campo costante in un sistema appropriato di coordinate lo
finito di coordinate generalizzate qi, ..., q„che percorrono uno spazio (detto spa
cali), si vede che lo studio di X si scompone in tre parti:
zio delle configurazioni ) M e dai momenti p„..., p„associati. Lo spazio delle fasi
del sistema è allora il fibrato cotangente T~M di M C o me è stato mostrato da
i ) Lo studio locale di X nell'intorno dei suoi punti critici. Hamilton, le equazioni differenziali del secondo ordine (del tipo dell'equazione
z) Lo studio semilocale di X nell'intorno delle sue traiettorie periodiche. di Newton f = my) che regolano l'evoluzione del sistema, sono allora traducibili
3) Lo studio globale di X che comprende la configurazione delle sue traietto in un formalismo canonico. Se H (q, p) è l'energia del sistema, energia indipen
rie critiche e lo studio dinsiemedelle sue traiettorie non critiche. dente dal tempo, e se il sistema è conservativo (non dissipativo, senza attrito),
Per quanto riguarda il primo punto, la tecnica di base consiste, in un punto
le equazioni di evoluzione sono date dalle celebri formule di Hamilton (dq/dt =
critico x~ di X, nello studiare il campo lineare X, tangente in x~ a Xe nel cercare = òH/òp, dp/dt= òH/òq). Ciò implica non soltanto la conservazione dell'e
sotto quali condizioni X è equivalente nell'intorno di xo alla sua parte lineare.
nergia, ma la conservazione del volumedello spazio delle fasi (teorema di Liou
Se non si ha questo caso, si cercheranno allora (come nello sviluppo di Taylor ville). Questo fatto è fondamentale perché implica l'impossibilità per un siste
delle funzioni) delle approssimazioni piu sottili. Per quanto riguarda il secondo ma hamiltoniano di possedere attrattori e, con ciò stesso, l'esistenza di forti pro
punto, si cercheranno in primo luogo dei criteri che permettano di garantire l'e prietà di ergodicità.
sistenza di traiettorie periodiche in un certo dominio di M. Data una tale traiet Essendo conservativi, i sistemi hamiltoniani sono strutturalmente instabili.
toria y~, lo studio di X nell'intorno di y~ si riduce ad uno studio locale. Sia infatti
Si pone dunque il problema di sapere come si stabilizzano quando si introduce
W una piccola sezione trasversa a y~ in x~. L'applicazione che ad ogni punto x
della dissipazione. D'altra parte, se ci si limita ai campi hamiltoniani, alcuni cam
di W associa il punto x' in cui la traiettoria uscente da x interseca per la prima pi diventano stabili. Ma non tutti. Tra i campi instabili restano in particolare i
volta W è un diffeomorfismo di W che ammette x~ come punto fisso. È dunque
campi detti integrabili che possiedono un numero massimale di integrali primi
sufficiente analizzare questo diffeomorfismo nell'intorno di xo per comprendere
indipendenti. Si pone dunque il problema di sapere come un campo integrabile
la struttura di X nell'intorno di yo. Per quanto riguarda il terzo punto, si cerche può stabilizzarsi all'interno della classe dei sistemi hamiltoniani. È la teoria delle
rà di analizzare i vincoli che la topologia di M impone alla ripartizione delle perturbazioni (cfr. l'articolo «Stabilità /instabilità»).
traiettorie critiche. Ma si cercherà soprattutto di analizzare il comportamento Si noterà infine che il formalismo hamiltoniano consiste nel pensare la mec
asintotico delle traiettorie non critiche cosi come. lastabilità delle traiettorie. In
canica in analogia con l'ottica geometrica. Ora, è noto che in ottica i raggi lumi
tuitivamente una traiettoria è stabile se ogni traiettoria generata da una condi
nosi non sono nient' altro che le geodetiche per una struttura riemanniana che
zione iniziale prossima a uno dei suoi punti le resta indefinitamente prossima. esprime leproprietà ottiche del mezzo. Succede la stessa cosa in meccanica. Le
Questa stabilità è essenziale per le applicazioni perché è quella che assicura che
traiettorie definite localmente con le equazioni di Hamilton possono anche esse
il determinismo matematico ideale del campo ha un senso concreto (cfr. l'arti
re definite globalmentea partire da un principio variazionale detto principio di
colo+ Stabilità/instabilità+). Esistono infatti dei sistemi in cui tutte le traiettorie minima azione (cfr. l'articolo +Variazione+). Si tratta in questo caso di una delle
sono instabili e che dunque sono sistemi matematicamente deterministici e tutta piu spettacolari equivalenze tra determinazione locale e determinazione globale.
via concretamente stocastici.
Infine si cercherà di applicare allo studio qualitativo dei sistemi dinamici il
paradigma catastrofista sviluppato per lo studio delle applicazioni differenziabili
6, Co nclusione.
(cfr. l'articolo +Locale/globale+). Si cercherà in particolare di caratterizzare geo
metricamente Ia stabilità strutturale dei campi (da non confondere con la stabi Queste poche elementari generalità sulla dialettica del locale e del globale
lità delle traiettorie), di studiare la ripartizione dei campi stabili tra i campi qua
rinviano evidentemente soltanto ad alcuni di questi aspetti. Per maggior com
lunque cosi come le possibilità di passare da un tipo di campo stabile a un altro pletezza,occorrerebbe parlare inparticolare: i) dell'intervento di questa dialet

10. Sistematicalocale 35z
tica in aritmetica e in teoria dei corpi di classe : si tratta in questo caso infatti di
un esempio particolarmente sorprendente, profondo e operatorio di transfert di
una concettualità dal suo dominio di origine a un dominio che, apparentemente,
le è estraneo (si veda l'articolo +Locale/globale+) ; z) del ruolo considerevole che
hanno le considerazioni qui appena abbozzate nell'analisi funzionale e in parti
colare nella teoria delle equazioni alle derivate parziali cosi fondamentale per la
fisica (cfr. gli articoli +Differenziale+ e +Funzioni+) ; 3) delle tecniche di localiz
zazione e di globalizzazione in algebra commutativa, tecniche fondamentali per
la geometria algebrica.
Si spera che queste osservazioni siano sufficienti a mostrare che l'opposizione
locale/globale possiede un eminente valore categoriale, costituendo uno dei punti
focali di ciò che Lautman chiamava l'unità (concettuale) della matematica. [J. P.].
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11. Differenziale
747
Differenziale problemi erano stati trattati in maniera empirica dai costruttori medievali.
Poi per opera di molti scienziati quali Galileo, Edme Mariotte, Robert Hooke
ed altri, erano state formulate leggi matematiche di natura sperimentale. Ora,
con l'aiuto potente del nuovo calcolo differenziale, è possibile formulare questi
Il termine 'differenziale' è molto usato nella matematica, da solo od in problemi in termini di equazioni differenziali.
connessione ad altri termini. Si parla ad esempio di calcolo differenziale, di Vanno ancora citati due problemi importanti del secolo xvnt: il problema
differenziale di una funzione, di equazione differenziale, di forma differenziale. della forma della Terra e quello della verifica della legge di attrazione gravita
In questo articolo verranno trattate le equazioni differenziali e le forme zionale di Newton. Poiché entrambi questi problemi sono connessi con il
differenziali. Per gli altri significati con i quali il termine viene usato, il lettore comportamento del pendolo e questo viene descritto con una equazione dif
è rimandato ai rispettivi articoli. ferenziale, si capisce come lo studio di essa debba dar luogo ad importanti
L'articolo «Differenziale» è suddiviso in quattro paragrafi nei quali, in sviluppi.
sostanza, si esplica una suddivisione tra equazioni difFerenziali e forme dif Va ancora citato un importantissimo campo di ricerche, e questo non solo
ferenziali. I primi tre paragrafi — equazioni differenziali ordinarie, equazioni nel secolo xvttt, ma anche successivamente : quello della meccanica celeste. In
alle derivate parziali, calcolo delle variazioni — sono da riferirsi alla prima fatti la meccanica celeste è stata la prima scienza le cui leggi siano state espres
parte, il quarto è interamente dedicato alle forme differenziali. Questa suddi se come equazioni differenziali.
visione viene effettuata per ragioni di chiarezza espositiva, ma può anche giu Partendo da considerazioni sulle soluzioni di queste equazioni differenziali
stificarsi con una relativa indipendenza dei due argomenti. In effetti, mentre si è stati in grado, conoscendo certe informazioni circa la posizione e la velocità
le equazioni differenziali sorgono contemporaneamente al calcolo differenziale, dei corpi ad un dato istante, di predire il verificarsi di certi fenomeni naturali,
le forme differenziali sono molto piu recenti, in quanto la loro origine si colloca come le eclissi. Naturalmente questi successi della meccanica celeste hanno
tra la fine del secolo scorso e l'inizio del nuovo secolo, avuto una parte importante nella creazione di un modo di vedere scientifico.
La suddivisione dei tre paragrafi iniziali, invece, è totalmente di carattere Si può dire che il determinismo, enunciato per la prima volta esplicitamente
espositivo. Infatti i problemi che vi si trattano sono di natura molto simile, da Laplace, abbia avuto in essa il suo fondamento.
In molti casi — ad esempio nell'equazione delle corde vibranti — si passa da La seguente citazione, tratta dall'Essai philosophique sur ics probabilités
una formulazione nell'ambito della teoria delle equazioni differenziali ordinarie potrebbe essere utilizzata come «manifesto» del determinismo: «Un'Intelli
ad una formulazione come equazione alle derivate parziali. Spesso poi, nella genza che, per un dato istante, conoscesse tutte le forze da cui è animata la
risoluzione di un problema, si passa da un campo all'altro. Ad esempio il natura e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono, se per di piu
problema della brachistocrona si formula nell'ambito del calcolo delle varia fosse abbastanza profonda per sottomettere questi dati all'analisi, abbraccerebbe
zioni e conduce poi ad un'equazione differenziale ordinaria. nella stessa formula i movimenti dei piu grandi corpi dell'universo e dell'atomo
Le prime equazioni differenziali ordinarie compaiono in matematica alla piu leggero : nulla sarebbe incerto per essa e l'avvenire, come il passato, sarebbe
fine delsecolo xvn e sono perciò quasi contemporanee al sorgere del calcolo presente aisuoi occhi» [r8r4, trad. it. p. 243].
differenziale. In effetti esse sono già presenti in opere di Leibniz e di Newton, Non potrebbe esservi formulazione piu esplicita! Ma anche il proseguimento
cioè di coloro che tradizionalmente sono indicati come i fondatori di questo di essa è molto interessante, poiché mostra appunto come l'astronomia con i
calcolo. suoi successi si ponga a fondamento di questa concezione filosofica. «Lo spirito
Naturalmente non si può parlare all'inizio di una «teoria» delle equazioni umano offre, nella perfezione che ha saputo dare all'astronomia, un pallido
differenziali ordinarie; esse compaiono occasionalmente e sporadicamente nel esempio di quest'Intelligenza. Le sue scoperte in meccanica e in geometria,
l'opera dei singoli ricercatori. Tuttavia ben presto vengono trattate con mol unite a quella della gravitazione universale, l'hanno messo in grado di abbrac
ta maggiore sistematicità. Si può dire che già nel secolo xvttt si configura ciare nelle stesse espressioni analitiche gli stati passati e quelli futuri del sistema
una teoria delle equazioni differenziali come un oggetto unitario all'interno del del mondo» [ibid.].
calcolo differenziale. Nel secolo xtx e successivamente questa teoria acquisterà Poiché le leggi della meccanica celeste sono formulate mediante equazioni
sempre maggiore consistenza e sistematicità, ma non altererà sostanzialmente differenziali, si capisce bene l'importanza che esse vengono ad avere.
la sua natura. Con questo non si vuole sostenere, naturalmente, che le equazioni differen
Le ricerche intorno alle equazioni differenziali sono motivate all'inizio e ziali — come qualsiasi altra teoria matematica — possano porsi a fondamento di
nel secolo successivo da numerosi problemi fisici. Vanno citati anzitutto quelli una concezione filosofica. È certo, però, che la teoria delle equazioni differen
relativi alla teoria della elasticità: si tratta di trovare la forma od il movimento ziali è uno degli strumenti piu importanti per l'indagine e la formulazione dei
di travi, funi, piastre, ecc. sottoposte a sollecitazioni di varia natura. Questi problemi fisici. Ancora dalla meccanica celeste proviene, verso la fine del se

12. Differenziale 748 749 DifFerenziale
colo scorso, un importante impulso per la evoluzione della teoria delle equa di soluzioni oscillanti, collegate a fenomeni meccanici nei quali le oscillazioni
zioni differenziali. erano un fenomeno da evitare. Nel campo della radio-fisica e della radio
Un problema fondamentale della meccanica celeste è quello degli n corpi, ingegneria si ha spesso il fenomeno contrario: è molto importante generare
cioè della determinazione del movimento di n corpi di masse date soggetti oscillazioni. Poiché spesso i dispositivi utilizzati per generare oscillazioni sono
all'attrazione gravitazionale. Si tratta di una idealizzazione del movimento del indipendenti dal tempo, si capisce come, descritti con equazioni differenziali
sistema solare. Questo problema può essere tradotto in un sistema di equazioni che nella maggior parte dei casi non sono lineari, diano luogo a sistemi auto
differenziali nomi, non-lineari, appunto.
d' La esigenza di una teoria qualitativa delle equazioni differenziali fu avvertita
con grande chiarezzada Henri Poincaré, il quale ebbe a scrivere: «Lo studio
completo di una funzione comprende due parti: i ) una parte qualitativa (per
che, per la sua forma particolare — nellef; non compare il tempo — viene detto cosi dire) o studio geometrico della curva definita dalla funzione, z ) una parte
sistema autonomo. quantitativa o calcolo numerico dei valori della funzione.
In base al teorema di esistenza ed unicità, le equazioni della meccanica «Cosi peresempio, per studiare una equazione algebrica si comincia con
celeste — essendo dotate di molte proprietà specifiche, quale ad esempio l'esi il ricercare, con l'aiuto del teorema di Sturm, quale è il numero delle radici
stenza di un integrale dell'energia — ammettono una ed una sola soluzione, reali: è la parte qualitativa; poi si calcola il valore numerico delle sue radici 7
quando vengano specificate le condizioni iniziali in un certo istante di tempo. cio che costituisce lo studio quantitativo della equazione.
Da un certo punto di vista, quindi, noi «abbiamo» la soluzione del problema ; «Allo stesso modo, per studiare una curva algebrica, si comincia con il
C( ))
si tratta di integrare il sistema. Ma «integrare il sistema» in questo caso può costruire q uesta curva, come si dice nel corso di Matematiche Speciali,
voler dire molto poco. Infatti anche nei casi fortunati in cui questo è possibile cioè si cercano i rami di curva chiusa, i rami infiniti eccetera. Dopo questo
con funzionielementari, siottengono espressionicosicomplicate da essere pra studio qualitativo della curva se ne possono determinare esattamente un certo
ticamente inutilizzabili. numero di punti. È, naturalmente con la parte qualitativa che si deve abbordare
Anche il tentativo di fornire la soluzione mediante sviluppi in serie si rivela la teoria di ogni funzione ed è per questo che il problema che si presenta in
inefficace,poiché le serie-soluzione possono convergere cosilentamente da es primo luogo è costruire le curve definite dalle equazioni differenziali... D'altro
sere del tutto inutili. lato questo studio qualitativo avrà di per sé un interesse di prim'ordine...
Poi, i metodi che abbiamo accennato sono in linea di principio insoddisfa Prendiamo per esempio ilproblema dei trecorpi: non cisipuò domandare se
centi dal punto di vista dell'astronomia, anche quando venissero potenziati con uno dei corpi resterà sempre in una certa regione del cielo o se potrà allontanar
i moderni strumenti di calcolo. Infatti la richiesta tipica, in questo caso, non è sene indefinitamente ; se la distanza dei corpi aumenterà o diminuirà all'infinito
quella di avere soluzioni in un dato intervallo, ma di avere soluzioni in grande. o se resterà compresa entro certi limiti> Non ci si possono porre mille questioni
Si pone cosi uno dei temi piu importanti della teoria qualitativa delle equa di questo genere che saranno tutte risolte quando si saprà costruire qualitati
zioni differenziali: determinare le proprietà delle soluzioni direttamente dalle vamente le traiettorie dei tre corpi>» [i9oi, ed. i9z8 p. xxii ].
equazioni differenziali, senza passare attraverso le soluzioni. In precedenza egli aveva anche osservato: «Una teoria completa delle fun
Vanno segnalati tuttavia due casi nei quali la situazione è diversa: il caso zioni definite dalle equazioni differenziali sarebbe di grande utilità in un gran
importantissimo dei due corpi che verrà trattato in un apposito paragrafo, numero di questioni di matematica pura o di meccanica. Purtroppo, è evidente
mostrando come dalla legge di Newton si deducano le leggi di Keplero, e la che, nella grande generalità dei casi che si presentano, non si può integrare
soluzione particolaredel problema dei tre corpi data da Lagrange (I772). queste equazioni con l'aiuto di funzioni già conosciute, per esempio con l'aiuto
La soluzione di Lagrange mostra la possibilità di un movimento uniforme di funzioni definite con le quadrature. Se ci si volesse dunque restringere ai
lungo orbite circolari, in un piano fisso, a partire da una configurazione nella casi che si possono studiare con integrali definiti o indefiniti, il campo delle
quale i tre corpi occupano i vertici di un triangolo equilatero. Questa soluzione, nostre ricerche sarebbe singolarmente diminuito, e l'immensa maggioranza del
giudicata poco significativa dallo stesso Lagrange, ha trovato interesse recente le questioni che si presentano nelle applicazioni resterebbe insolubile.
mente poiché si è osservato come il Sole, Giove, ed i pianeti del gruppo troiano «È dunque necessario studiare le funzioni definite dalle equazioni differen
formino approssimativamente un triangolo equilatero, Diviene cosi importante ziali in se stesse e senza cercare di ricondurle a funzioni piu semplici, cosi
studiare il comportamento di soluzioni «vicine» a quella lagrangiana. come si è fatto per le funzioni algebriche, che si era cercato di ricondurre ai
Un contributo importante all'evolversi della teoria qualitativa delle equa radicali e che si studiano ora direttamente, cosi come si è fatto per gli integrali
zioni differenziali verrà, nel xx secolo, da radio-fisica e radio-ingegneria. dei differenziali algebrici, che ci si è sforzati per lungo tempo di esprimere in
Nella teoria classica si poneva in maniera naturale il problema dell'esistenza termini finiti» [i88i, p. 375].

13. DIBerenziale 75o 75r Differenziale
Anche le equazioni alle derivate parziali, come le equazioni differenziali di questa tesi, ed era invece aspramente osteggiata da molti dei migliori mate
ordinarie, sono quasi contemporanee al sorgere del calcolo differenziale. matici del tempo, quali Eulero e d'Alembert. Questa polemica ebbe molta
È molto importante rilevare questo fatto. I problemi del calcolo differen importanza per lo sviluppo del concetto di funzione e praticamente segnò
ziale sono quasi tutti presenti fin dall'inizio anche se talvolta, naturalmente, l'inizio di quell'ordine d'idee che condusse alla serie di Fourier.
in forma rudimentale. Problemi di equazioni differenziali ordinarie, di equa Il fatto cui si è accennato — di come un'equazione alle derivate parziali
zioni alle derivate parziali, di calcolo delle variazioni, di calcolo integrale, possa presentarsi come una formulazione piu «sofisticata» di un problema
ecc. sono presenti nell'opera dei ricercatori del secolo xvur «tutti assieme». può suggerire l'idea che la teoria delle equazioni alle derivate parziali sia una
Con i successivi sviluppi del calcolo differenziale, questi argomenti si dif generalizzazione della teoria delle equazioni differenziali ordinarie; e questo
ferenzieranno in teorie separate; ognuno di questi argomenti diverrà oggetto in un certo senso è vero, non foss'altro che per il fatto che un'equazione differen
di trattazioni specialistiche, ed anzi si porranno anche ulteriori suddivisioni. ziale ordinaria è una particolare equazione alle derivate parziali. Però il fatto
Oggi, per esempio, abbiamo interi trattati sulle equazioni alle derivate parziali che una teoria possa essere considerata una generalizzazione di un'altra non
di un particolare tipo, come le equazioni ellittiche, trattati sulle funzioni esaurisce affatto il problema del rapporto tra le teorie, il quale va inteso in modo
soluzione di una particolare equazione differenziale, sulle funzioni ellittiche, dialettico, e non di semplice subordinazione.
sui polinomi di Legendre. Per esempio — in un altro contesto — una struttura matematica molto im
Però, per intendere bene lo sviluppo ed il concetto del calcolo differenziale portante, quella di categoria, è un caso particolare di un'altra struttura, quella
occorre avere ben presente come queste teorie siano suddivisioni di una unità ori di grafo, ma questo non significa affatto che la teoria delle categorie possa in
ginaria e non oggetti diversi scollegati fra loro, come può succedere di pensare qualche modo essere vista come un caso particolare della teoria dei grafi.
quando se ne affronta lo studio su trattati organizzati in maniera specialistica. Vi sono dei problemi tipici di teoria delle categorie assolutamente impensabili
Anche per le equazioni alle derivate parziali le maggiori motivazioni si in termini di grafi.
hanno all'inizio in riferimento a problemi fisici. Cosi per le equazioni alle derivate parziali si può osservare come i numerosi
In effetti la teoria delle equazioni alle derivate parziali risente in maniera successi ottenuti con il metodo della separazione di variabili, che riducono
notevolissima dei contatti con la fisica. Infatti la fondamentale «classificazione» l'equazione ad un sistema di equazioni differenziali ordinarie, suggerirà, verso
delle equazioni alle derivate parziali — della quale si vedranno nel ) z.z gli la metà dell'Ottocento, l'opinione che un'equazione alle derivate parziali sia
aspetti tecnici, soprattutto in riferimento alle equazioni del secondo ordine una formulazione compatta di un sistema di equazioni differenziali ordinarie
è fondata sulla diversa natura dei fenomeni fisici che vengono descritti. Si e che quindi la teoria delle equazioni alle derivate parziali debba subordinarsi
vedrà come le equazioni alle derivate parziali possano suddividersi in «iper a quella delle equazioni differenziali ordinarie.
boliche», «ellittiche» e «paraboliche». Le prime descrivono fenomeni di pro Dopo questo accenno alla teoria delle equazioni differenziali ordinarie e a
pagazione ondosa: tipica in questo senso è l'equazione della corda vibrante, quella delle equazioni alle derivate parziali, qualche considerazione ora su
o piu in generale l'equazione delle onde. Le equazioni paraboliche descrivono un'importante categoria del pensiero matematico, l'opposizione lineare /non
invece fenomeni di lenta diffusione: ancora tipica in questo senso è l'equazione lineare. Essa si esplica in vari campi della matematica; si parla di equazioni
del calore. Delle equazioni ellittiche si tratterà in maniera abbastanza detta differenziali lineari e non-lineari, di equazioni alle derivate parziali lineari e
gliata nel $ z.g, cui è rimandato il lettore che voglia farsi un'idea precisa dello non-lineari, di equazioni algebriche lineari e non-lineari. Per cogliere dunque
strettocontatto esistente tra matematica e fisica, e altempo stesso dellanatura nella sua specificità il senso di questa opposizione occorre riferirsi alle tratta
delle equazioni ellittiche. Basterà qui osservare che esse descrivono fenomeni zioni tecniche che verranno date successivamente. Tuttavia è certamente utile
stazionari. premettere qualche osservazione.
Tornando ad un'argomentazione piu legata alla tecnica della descrizione La trattazione «lineare» di un problema si riferisce «grosso modo» ad
matematica, si vuoi qui osservare come, talvolta, un problema fisico, trattato una sua fase preliminare, nella quale vengono effettuate notevoli semplifica
dapprima in forma drasticamente semplificata, dia origine a un'equazione dif zioni, e questo non è certo peculiare della matematica, poiché in ogni scien
ferenziale ordinaria. Trattato poi in forma meno schematica, esso fornisce za si considerano, dapprima, modelli semplificati. Ma ciò che è tipicamen
un'equazione alle derivate parziali. Un esempio molto illuminante è quello te riflesso nella opposizione lineare/non-lineare è la consapevolezza di come
dell'equazione delle corde vibranti. un piccolo incremento quantitativo, pur alterando il fenomeno esaminato,
Questo problema è anche importante poiché diede origine nel xvrrr secolo non ne alteri il comportamento «qualitativo». Si parla in questo caso di «per
a un'aspra polemica, la quale riguardava in sostanza la possibilità di rappresen turbazione» del procedimento lineare. Un maggiore incremento quantitativo
tare una funzione arbitraria mediante una serie trigonometrica. Questa possi altera invece sostanzialmente il fenomeno in esame. Si passa alla fase non
bilità era sostenuta da Daniele Bernoulli, il quale portava motivi fisici a sostegno lineare. Nel caso poi che un fenomeno venga descritto in forma differenziale

14. Differenziale 75z 753 Differenziale
— la differenziazione essendo in effetti un procedimento di linearizzazione —, Le equazioni di Lagrange verranno trattate piu avanti () 3.3), insieme
si ha che la prima fase esplicativa è «lineare» in senso tecnico, descritta cioè con il principio di Hamilton. Anche quest'ultimo è di grandissima importanza
con algoritmi di primo grado. Nelle fasi piu approfondite tale particolarità va per la grande quantità di fenomeni meccanici, elettromagnetici, di relatività
naturalmente perduta. Questo fenomeno verrà descritto con un esempio molto che riesce a riassumere. Va osservato tuttavia come quest'ultimo principio
semplice — l'equazione di sviluppo della popolazione — nel paragrafo introdut fu inteso, dallo stesso Hamilton, cosi come è inteso ancor oggi, con un ruolo
tivo alle equazioni differenziali. assai piu modesto di quanto non pensasse Maupertuis. Non si tratta di cogliere
Anche il calcolo delle variazioni, all'inizio, era indistinguibile dal calcolo una legge universale della natura, ma semplicemente un punto di vista unitario
differenziale vero e proprio. I nomi di molti dei matematici che possono per descriverne i fenomeni. Questo fatto è spiegabile osservando come, quando
riguardarsi come i fondatori del calcolo differenziale sono legati ai primi Hamilton elabora le sue teorie matematiche (intorno al 183o), sia ormai soprav
problemi classici del calcolo delle variazioni. Un primo problema fu posto venuto un completo mutamento negli ideali e nelle prospettive scientifichc
dallo stesso Newton: quello della forma migliore da dare ad un oggetto che rispetto al secolo xviir. L'indagine intorno ai fenomeni naturali ha acquistato
debba muoversi in un fluido per vincerne la resistenza. Un altro problema una molto maggiore problematicità.
molto celebre (cfr. $ 3.'i) fu posto da Giovanni Bernoulli nel 1696 sugli «Acta Si è già avuto occasione di osservare come le forme differenziali si presentino
Eruditorum»: quello della brachistocrona. Soltanto nel secolo xvin, con Eulero in matematica in epoca abbastanza recente, precisamente verso la fine del se
e Lagrange, il calcolo delle variazioni diverrà una disciplina autonoma. colo scorso.
Va osservato ancora come nel secolo xvni il calcolo delle variazioni verrà Il maggiore contributo, se non addirittura l'«invenzione» della loro teoria,
a legarsi a principi scientifici e filosofici di grande importanza riassumibili proviene da Elie Cartan, il quale ebbe occasione di considerarle in connessione
nella formulazione di leggi naturali che esprimono in qualche modo l'«econo al «problema di Pfaff». Sarà quindi opportuno illustrare brevemente questo
micità» della natura. problema. Sia una «forma differenziale»
Già nell'antichità classica si trovano formulate leggi naturali di questo tipo.
Ad Erone si deve la legge seguente: la luce, proveniente da una sorgente P u>= X,dx,+X,dhg+...+Xgdx„
si riflette su uno specchio R e giunge ad un punto Q in modo che il percorso in cui Xi, ..., X„sono funzioni delle variabili xi, ..., x„; e si consideri l'equa
PRQ sia il piu breve possibile.
zione
La formulazione di leggi naturali nello stesso ordine di idee, sia in casi
u>= Xidxi+X~dxs+... +X~dx„ = o.
specifici sia come principi generali, dall'antichità classica trascorre in tutta la
tradizione scientifica fino al secolo xvn. A partire da questo periodo, la possi Può succedere che la forma differenziale u> sia esattamente il differenziale di
bilità di disporre di strumenti matematici piu potenti permette di formulare una funzione f(x» x~> ..., x„), avendosi in tal caso Xi = òf/òx i, ..., X „ = òf/òx~
dei «principi» piu generali e penetranti. oppure, piu in generale, può essere Mu>=df. In questo caso la piu generale
Il principio del minimo tempo di Fermat è in accordo con la legge di rifra «soluzione» dell'equazione u>=o è data da f(x„ ..., x„) = cost. Però può ac
zione della luce. Se V, e v, rappresentano le velocità della luce in due mezzi cadere che u> non sia pensabile in questo modo, ossia che non esista alcuna M
differenti ed i e r rappresentano gli angoli d'incidenza, da questo principio tale che Mu>= df. Che senso bisogna dare allora ad un'equazione del tipo
si deduce la legge
siri 'L Vi X,dh,+X,dh,+ ...+ X „ dk„ = ol
sili r v s
Verso la fine del Settecento Eulero, nelle Institutiones calculi integralis, con
Anche la dinamica newtoniana — che stabilisce come la linea retta, cioè la siderando la particolare equazione
piu breve distanza, sia il moto naturale di un corpo — può interpretarsi come Pdx+ Qdy+Rdx = o
un principio nello stesso ordine di idee.
Una prima formulazione di un principio di portata molto generale, tale conclude senz'altro che quest'equazione è priva di senso se non vi è un mol
da potersi ritenere esplicativo di gran parte dei fenomeni naturali, fu formula tiplicatore M in modo che M(Pdx+Qdy +Rdz) sia un differenziale, Afferma
to da Maupertuis: il principio di minima azione. Questo principio, formulato perentoriamente; «Se non esistesse un tale moltiplicatore l'equazione differen
dall'autore in maniera non ancora del tutto chiara dal punto di vista mate ziale proposta sarebbe assurda» [1768, III, p. 9].
matico, sebbene completamente intelligibile dal punto di vista filosofico, fu Il punto di vista di Eulero è perfettamente corretto ; se però s'intende come
utilizzato con successo soprattutto da Lagrange, per ricavare le sue celebri soluzione, nel caso ad esempio delle tre variabili, una superficie, cioè una so
equazioni di movimento. luzione data da un'unica equazione. Tra la fine del Settecento e l'inizio del

15. Differenziale 754 755 Differenziale
l' Ottocento s'imporràtuttavia la necessità d'intendere le soluzioni in maniera Come si vede, Cartan introduce accanto alle forme differenziali anche l'ope
piu generale. Ad esempio, nel caso dell'equazione considerata da Eulero, si razione di derivata; oggi si preferisce chiamarla «differenziale esterno». Nel
potrebbero cercare soluzioni di dimensione minore, ad esempio delle curve. seguito, quando si tratterà delle forme differenziali () 4) verranno impiegate
Cosi l'equazione dy — zdx = o, che non ha soluzioni nel senso di Eulero, ha la terminologia e la notazione moderne.
come soluzioni nel nuovo senso le curve date dalle due equazioni y = f(x) e Concludendo, va ribadita la necessità di considerare il calcolo differenziale
z = f'(x) con f funzione arbitraria. Si hanno dunque come soluzioni infinite di cui si è delineato qualche aspetto, come un oggetto unitario inseparabile
curve, ottenute al variare di f; la soluzione in senso classico appare ora come d!a!la sua evoluzione, la quale sola, permettendo di cogliere le linee di sviluppo,
corrispondente alparticolare fenomeno per il quale queste curve dovrebbero può guidare le ulteriori ricerche.
descrivere una superficie.
Verso l'inizio dell'Ottocento Pfaff pose in forma chiara questo punto di
vista. Data l'equazione r. Equazioni differenziali.
Xr dxr+ X» dx»+ .. + Xn dxn= o
r.r. Esempi, definizioni.
si tratta di verificare non se essa ha soluzioni del tipo f(x„x », ..., x„) =cost,
ma piuttosto di cercare le soluzioni di dimensione massima. Pfaff ebbe modo di Un primo esempio fondamentale è dato dalla dinamica del punto materiale.
mostrare come un'equazione in zn o zn — r variabili ha sempre come soluzione Questo esempio è implicito nei Principia di Newton, nel quale libro l'autore
un sistema di equazioni (varietà integrali) in numero non piu grande di n. preferi non servirsi del calcolo differenziale, giudicandolo non sufficientemente
Nel caso delle tre variabili si hanno soluzioni rappresentate da al piu due rigoroso. Se x, y, z indicano le coordinate di un punto P di massa m il quale
equazioni, cioè almeno delle curve. Il problema fu affrontato successivamente è sottoposto ad una forza f di componenti f„ f„f » e se s'immagina ulterior
da molti dei migliori matematici i quali diedero importanti contributi soprattutto mente che il sistema sia variabile in funzione del tempo t, si hanno le equazioni
per quanto riguarda la esprimibilità delle soluzioni. [Per la storia del problema
di Pfaff durante l' Ottocento si può consultare ad esempio Forsyth r8qo. Per
d'x d'y d z— =
mf, — = mf = mf .
una trattazione in un certo senso conclusiva cfr. Goursat rqzz].
Come si è visto sopra, l'introduzione delle forme differenziali è dovuta
ad Elie Cartan, il quale scrive nell'articolo Sur certaines expressions différentielles
Se, come in molti casi, s'immagina che la forza f abbia componenti che dipendo
et le problème de Pfaff: « Il presente lavoro costituisce una esposizione del pro
no dalla posizione del punto, dalla velocità e dal tempo, le equazioni possono esser
blema di Pfaff fondata sulla considerazione di certe espressioni differenziali
poste nella forma:
simboliche, intere ed omogenee in rapporto ai differenziali di n variabili, con
d'x / dx dy dz
i coefficienti funzioni qualsiasi di queste variabili. Queste espressioni posso dt' 'I, ' ' ' ' dt ' d t' dt
no essere sottoposte alle regole ordinarie del calcolo a condizione di non scam
biare l'ordine dei differenziali in un prodotto. Il calcolo di queste quantità è,
d'y f dx dy dz
insomma, quello delle espressioni differenziali che sono poste sotto un segno di dt' '( '' ' ' d t ' d t' d t
integrale multiplo. Questo calcolo presenta numerose analogie con il calcolo
di Grassmann; è dunque identico al calcolo geometrico di cui si serve Burali
Forti in un libro recente... dt' ( ' ' ' ' dt ' dt ' dt
«Nel caso di una espressione di primo grado di Pfaff, si può associarle
un'altra espressione differenziale di secondo grado, che è un covariante in e si ottiene ciò che si dice un sistema di equazioni differenziali del secondo
rapporto ai cambiamenti di variabile e che non è altro che il covariante bilineare ordine.
di Frobenius e di Darboux. Io la chiamo la derivata della espressione di Pfaff. Un altro esempio, tra i primi presentatisi nella storia del calcolo differen
Ma grazie alla nozione delle espressioni differenziali simboliche, questo cova ziale, è dato dalla isocrona. Si tratta di trovare una curva lungo la quale un
riante è il primo termine di una successione di covarianti simbolici di terzo, pendolo impieghi lo stesso tempo nel fare una oscillazione completa tanto
quarto, ... grado che si deducono dalla espressione di Pfaff e dalla sua derivata scivolando lungo un arco lungo quanto scivolando lungo un arco breve.
con delle moltiplicazioni; esse costituiscono la derivata seconda, terza, ... della Giacomo Bernoulli nel r6go ottenne l'equazione differenziale della curva
espressione di Pfaff, la derivata p-esima essendo di grado p +r» [r8b!q, ed. nella forma:
Gauthier-Villars p. 5o5]. vb'y a' dy=V— a dx

16. Differenziale 756 757 Differenziale
Dall'uguaglianza dei due differenziali, Bernoulli concluse che gli «integrali» costituita al tempo iniziale, t = o, da n membri, e si indichi con y(t) il numero
(termine usato per la prima volta ) dovevano essereuguali e cosi ne concluse degli individui al tempo t. Ovviamente y(t) è un numero intero, tuttavia si
la soluzione: farà l'ipotesi che y (t) sia una funzione continua e differenziabile di t. Si sup
(baby — za )V b y a— ~= pb'v a x ponga inoltre che la rapidità di cambiamento della popolazione al tempo t
dipenda solamente dallo stato della popolazione al tempo t e non da quanto
Si tratta, come è noto, di una cicloide. accade prima. Esattamente, si supponga che in un intervallo di lunghezza h
Un altro esempio, dovuto ancora a Giacomo Bernoulli, è quello della vi sia la probabilità p che ogni individuo faccia nascere un nuovo individuo.
brachistocrona. Dati nel piano due punti P e Q (fig. t ), si tratta d'individuare Da queste ipotesi si ottiene:
la linea che deve percorrere un corpo pesante per scendere da P a Q nel minor
tempo possibile. Se si assume il riferimento come nella figura indicata si trova y(t+h) — y(t) =p.h y(t)
facilmente che iltempo necessario per percorrere iltratto PQ è datoda e allora
j']/r +y" y(+ ) — y(t)
—p.y( ).
Si tratta perciò di determinare una funzione y (x) in modo che questo in
Da questa equazione, facendo tendere h a zero, si ha l'equazione difFerenziale
y' = p y (t). Si osserva ora molto facilmente che
tegrale abbia valore minimo. Come si vedrà trattando del calcolo delle varia
zioni, questa condizione dà luogo all'equazione differenziale y'(t) d— = log (y(t))
z ~y
/s y" y (t) d t
~ (~+s") e perciò
d
ossia d log(y(t)) =p
I
= C
cioè
v z('+x")
l'g(y(t)) =pt +C
da cui si ottiene ancora come soluzione una cicloide (cfr. oltre, ) g.z). Il fatto y(t) = e" ' '
che i due problemi diano luogo alla stessa soluzione fu naturalmente accolto
con molto stupore e fuoggetto di vivaci scambi di corrispondenza, secondo La costante C che compare nella formula trovata può essere ricavata osser
l'uso dell'epoca. vando che per t =o deve essere y (o)= n e perciò y (o)= co =n. Si ha quindi:
Ecco ora un esempio assai piu moderno, illustrato con maggiori dettagli
poiché è assai semplice ed al tempo stesso si presta bene ad una discussione y(t) = n er'.
metodologica.
Si consideri una popolazione di organismi di una certa specie, la quale sia
Questa è quindi la soluzione del problema che ci siamo posti. La soluzione
ci dice che la popolazione cresce esponenzialmente al crescere di t. Si osservi
però come questo risultato non è affatto legato alla natura del problema che
ci siamo posti, è semplicemente il frutto di drastiche semplificazioni. Con di
verse ipotesi si potrebbero ottenere equazioni difFerenziali ben differenti, in
terpretabili in maniera opposta! Se supponiamo, ad esempio, che i mezzi di
sussistenza diminuiscano al crescere della popolazione, possiamo assumere l'i
potesi
y'(t) =p y(t)-v y'(t)
introducendo il fattore «malthusiano» (? y' (t). Cosa significa l'introduzione
Figura r.
di questo fattore? Fin tanto che y (t) si mantiene «piccola» la quantità ys(t)
Problema della brachistocrona: un corpo pesante deve percorrere la lineaPQ nel piu
può essere trascurata, e sostanzialmente il fenomeno è governato da una equa
breve tempo possibile. zione simile a quella che abbiamo considerata in precedenza. La cosa divie

17. Differenziale 758 759 Differenziale
ne sostanzialmente diversa quando non è piu possibile trascurare la quantità
y(t) = e ', cioè una famiglia di funzioni. Solo successivamente si è detc<ptyC
yz(t); allora il fattore — q yz(t) altera il comportamento in modo essenziale.
minata una soluzione particolare imponendo una condizione iniziale : y
(o) = n.
Questa equazione fornisce un esempio tipico di come un fenomeno possa
Questo fatto è del tutto generale: la soluzione di un'equazione differenziale i.
d a essere descritto in modo lineare, successivamente «perturbato» e poi
data da una famiglia di funzioni. Con maggiore precisione si può dire c!u
divenire un tipico fenomeno non-lineare. In questo caso, l'equazione, va i a
questa famiglia dipenderà da tanti parametri quanto è l'ordine della piu alt;<
in prima approssimazione,
derivata che compare nell'equazione differenziale. Prima di dare a queste os
servazioni una forma piu precisa e rigorosa mostriamo con un ultimo esempi<>
y'(t) = P.y(t) come, viceversa, da una famiglia di funzioni dipendente da un parametro si
corrisponde alla descrizione lineare. L'equazione
determini un'equazione differenziale.
Si consideri la famiglia delle circonferenze con centro nell'origine di un
y'(t) =p y(t)-v y'(t) sistema di riferimento cartesiano xe +y»=),. Se in questa equazione si pens;i
considerata per y (t) sufficientemente piccolo corrisponde alla descrizione per
la y come funzione della variabile x e si deriva rispetto ad x, si ha zx +zyy' = o
turbata. Infine la stessa equazione considerata per y (t) qualsiasi corrisponde
e quindi si ottiene l'equazione differenziale y' = (x/y).
al fenomeno non-lineare. La figura z dovrebbe essere esplicativa di quanto
Prima di procedere è ora necessario dare un certo numero di definizioni
esposto. Volendo esplicitare dal punto di vista matematico il caso non-lineare
e fissare una certa terminologia.
e calcolando, sempre assumendo come valore iniziale y (o)=n, la soluzione, DEFINIzIQNE, Un'equazione differenziale del primo ordine è una relazione del
si trova uesta volta la forma f (x,y, y') = o, or/ef è unafunzione definita in un certo insiemeQ <-Rs.
nP
y (t)<
(p —nq)e-p'+ nq'
Per soluzione di quest'equazione differenziale s'intende una funzione y
(x)tale che si abbia identicamente f(x, y(x), y'(x)) = o.
Questa soluzione, per q = o, siriduce a quella precedente. Se quo il comporta In modo analogo si definisce un'equazione differenziale di ordine n come
mento della soluzione è notevolmente diverso. Si ha per esempio
una relazione della forma f(x, y, y', ..., y'"') =o ove questa volta la funzione
f è definita su un sottoinsieme di R"+'.
plim y(t) = — . Per soluzione generale (o integrale generale) dell'equazione differenziale
tW+oo di ordine n s'intende una funzione y = (x, c„c„ ..., c„) dipendente da n para
La popolazione, invece di crescere indefinitamente, tende a stabilizzarsi intorno
metri indipendenti, tale che y soddisfi identicamente l'equazione differenzia
a v ore P/q.l alore p /q. La trattazione non-lineare è dunque sensibilmente diversa!
le. Ad esempio: se si considera l'equazione differenziale del secondo ordine
//
L'esempio presentato si presta bene ad un'ulteriore osservazione. a. Dal y = o, questa ha per soluzione generale y=cix +cs. Una soluzione che si
l'equazione differenziale y' (t) =p y(t) si è r i cavata la soluzione generale
ottenga dalla soluzione generale assumendo certi valori c
i, c„..., c„viene detta
integrale particolare.
Nell'esempio molto semplice considerato, y" = o, la soluzione generale
descrive tutte le soluzioni. Questo però, in generale, non accade. Vi possono
Teoria lineare essere delle soluzioni dell'equazione differenziale che non sono ottenibili nella
forma di integrali particolari. Questo può succedere, per esempio, per valori
limite dei parametri che compaiono nella soluzione generale. Si consideri ad
esempio la famiglia di parabole xs+Xy = o. A questa famiglia appartiene anche
Teoria non-lineare
(per X~ ~) la retta y=o. In effetti, se si elimina il parametro A si ottiene
l''equazione differenziale xy' + zy = o, la quale ha anche la soluzione y = o. Que
sta soluzione non è un'integrale particolare.
I.z. Equazioni differenziali elementari.
Perturbazione In questo paragrafo vengono considerati alcuni esempi di equazioni dif
Figura z.
ferenziali, tra i piu semplici e tra i primi presentatisi storicamente.
L'opposizione lineare/non-lineare e la perturbazione.
Equazione a variabili separabili: quando l'equazione differenziale ha la

18. Differenziale 76o 76r Dtfferenzrale
formaf(x)+g(y)y' =o, il problema della ricerca della soluzione generale si
risolve immediatamente nella forma r 3. Teoremi di esistenza.
f f(t) dt+ g ( t) dt= cost.
Come si è accennato all'inizio, le prime equazioni differenziali considerate
XQ fio
erano direttamente collegate a problemi fisici, ed era quindi chiaro come, se
queste equazioni riflettevano correttamente la realtà fisica, non vi dovessero
Equazione differenziale lineare: è un'equazione della forma y' +f(x)y+ essere ubbi sull'esistenza di soluzioni. In molti casi semplici, poi, queste so
+g (x)= o. Se si effettua la sostituzione y =pq, si ha y' =p'q+q'p; sostituendo uzioni erano calcolabili direttamente mediante quadrature.
nell'equazione diflerenziale si ottiene Il problema della «esistenza» della soluzione di una equazione differenziale
(P'q+q'P)+f(x)Pq+g (x)= o
si pone verso la fine del Settecento ed i primi anni dell'Ottocento quando la
c asse di equazioni differenziali considerate diviene molto piu estesa e com
Riorganizzata l'espressione nella forma
pren e anche equazioni di un tipo che non può essere immediatamente ricon
otto ad un problema fisico, ma che pare perfettamente analogo a quello di
P(q'+f(x) q)+P'q+ g (x)= o equazioni differenziali che invece sono ottenute a partire da problemi fisici.
è ora possibile scegliere la funzione q in modo che q'+f(x)q = o, ed a tal fine
Il tentativo di risolvere equazioni alle derivate parziali mediante sostituzioni
basta osservare che q'fq è la derivata di log ~q~. Determinata cosi la funzione q
g umerose equazioni diflerenziali non incontrate in pre
e tornando all'equazione differenziale, si ottiene semplicemente p'q +g(x) = o,
cedenza. Ad esempio, sesi considera l'equazione delle onde
(cfr. oltre ( z)
che si risolve immediatamente. Note le due funzioni p e q è data la y da pq. ò2u ò'u ò2u r ò2u
Equazione di Riccati: è un'equazione della forma
,+ — + — —
òx' òy' òx2 c2 òt'
y'+ f(x) y2+g (x)y+h(x)= o.
la ricerca di soluzioni della forma
Questa equazione è molto importante per due motivi. Essa è stata ottenuta
da Jacopo Riccati effettuando un cambiamento di variabili, a partire da una
u = u(r, 9, x, t) = R (r) 0(p) g(x) T (t)
equazione del secondo ordine: è dunque uno dei primi esempi di tentativi di conduce al sistema di equazioni differenziali:
risolvere un'equazione differenziale riducendone l'ordine con un cambiamento
di variabili. In secondo luogo l'equazione di Riccati non può, in generale, d'R r dR m 2
essere risolta mediante integrazione. Negli esempi considerati in precedenza,
— + — — — —R+n2R = o
l'equazione differenziale, dopo un certo numero di manipolazioni, era ricon
dotta ad una forma tale che la ricerca delle soluzioni comportava semplicemente
d20
una o piu integrazioni. Si poteva quindi immaginare che questo fatto fosse
= — nt 0'
d@2
del tutto generale; che una scelta opportuna della sostituzione da effettuare
riducesse l'equazione ad una risolubile elementarmente, cioè mediante inte
d2Z
q2g
grazioni. Ora questo fatto si dimostra impossibile: l'equazione di Riccati non
dx2
può essere risolta mediante integrazione. Va notato, tuttavia, che se si conosce
una soluzione particolare p, si può trovare la soluzione generale. Infatti con il
d2T
— = c2P2 T
cambiamento di variabili y =p +z l'equazione si riduce ad una di Bernoulli. dt'
Non sembra necessario aggiungere ulteriori esempi di equazioni differen n =p — q.
ziali integrabili elementarmente perché, chiara ormai la problematica, il lettore
interessato può fare riferimento a testi specializzati [cfr. per esempio Coddington
e Levinson rq55]. Per lo stesso motivo non si tratterà neppure delle equazioni
La prima equazione, riscritta con variabili x ed y è x y" +xy'+(x — n')y=o,
ed è nota come equazione di Bessel.
differenziali lineari in generale. In modo analogo si ottiene l'equazione differenziale di Legendre, a partire
dall'equazione di Laplace, cioè l'equazione
(r —x )y" — zxy'+n(n+ r)y = o.

19. Differenziale 76z
763 Differenziale
Entrambe queste equazioni appartengono al tipo piu generale tesca, Cosi, se è data una singola equazione differenziale, operando in qucst<>
a(x)y" +b(x)y'+c(x)y = o. modo, si può, in un certo senso, aggirare l'ostacolo di un teorema di esistcnz;>.
Ma il problema diviene di natura completamente diversa quando il patrimoni<>
Se per le equazioni di Bessel e di Legendre l'esistenza di soluzioni può essere di equazioni differenziali si arricchisce al punto tale da considerare equazio<>i
chiara per motivi fisici, non vi è ragione di supporre la stessa cosa per questa differenziali con un grande grado di arbitrarietà. In questo momento la pn>
ultima equazione. Nasce cosi la problematica dei «teoremi di esistenza». blematica dei teoremi di esistenza si pone con tutto il suo vigore.
Questa problematica, naturalmente, non si pose all'improvviso con chia Questo è un buon esempio di come un incremento quantitativo all'intern<>
rezza. Il patrimonio di equazioni differenziali non fu arricchito di colpo in di una teoria dia luogo ad un incremento qualitativo.
troducendo uno studio sistematico delle equazioni differenziali. Dapprima ci si Va notato ancora come, nello stesso periodo e per ragioni sostanzialmente
limitò a studiare gli esempi che si ritenevano significativi. Per questi, anche analoghe, si pone la problematica dei teoremi di esistenza anche all'intern<>
se non era possibile fornire le soluzioni in forma chiusa, cioè mediante funzioni dell'algebra. Infatti i teoremi per l'esistenza di radici di un'equazione algebrica
elementari, era tuttavia possibile indagare la natura delle soluzioni mediante della forma
uno studio diretto dell'equazione differenziale. In tal modo era implicitamente a„x" + a„ ix" + ... + aix+ ap o
superato il problema dell'«esistenza» delle soluzioni, le quali venivano descrit
te con grande accuratezza! Nacquero cosi le «funzioni speciali», come le fun si collocano tra la fine del Settecento ed i primi anni dell'Ottocento.
zioni di Bessel; i polinomi di Legendre, ecc. Si presentano ora tre possibili dimostrazioni del teorema di esistenza: un
Si mostrerà ora, con un esempio molto semplice, come sia possibile descri primo metodo di Cauchy, noto anche come metodo dei poligoni; un secondo
vere le proprietà delle soluzioni direttamente dall'equazione differenziale. Si metodo, pure dovuto sostanzialmente a Cauchy, basato sugli sviluppi in serie ;
consideri l'equazione differenziale del secondo ordine y"+y =o. Questa, co e infine il metodo di Peano-Picard.
me si verifica immediatamente, ha le due soluzioni indipendenti sinx, cosx. Si tratteranno in maniera schematica i primi due metodi, mentre si entrerà
S'immagini tuttavia di non conoscere queste soluzioni e di volerle dedurre in maggiori dettagli per quello di Peano-Picard, che si è certamente affermato
direttamente dall'equazione differenziale. Posti y' =y» e y =y„ l'equazione è come il piu importante ed è quello sviluppato nella maggior parte dei testi
allora equivalente al sistema moderni sulle equazioni differenziali.
y« = — yi Un primo teorema di esistenza fu dato da Cauchy nei suoi Exercices d'analyse
per l'equazione differenziale del primo ordine y' = f(x,y). Questo metodo,
yi =y».
molto legato alla evidenza geometrica, utilizza sostanzialmente la stessa idea
Da questo sistema si ricava immediatamente la proprietà fondamentale delle
che è contenuta nella definizione dell'integrale come limite di somme. Si sup
soluzioni. Si ha infatti:
ponga di voler calcolare la soluzione dell'equazione differenziale nell'inter
zyiyi+ zy»yp = 0
vallo (xp xp+8) (ove 8 è definito opportunamente a partire dall'equazione
differenziale. Si veda, per esempio come è calcolato quando viene illustrato
e quindi: il metodo di Peano-Picard), supponendo che la soluzione cercata y (x) assuma
— (yb+y»)= o
in xp il valore yp. Se nell'equazione differenziale si pongono i valori xp,yp
Cx al Posto di x ed y si ha un valore numerico f(xp, yp) che è l'inclinazione della
retta tangente nel punto (xp, yp). Si consideri ora una suddivisione dell'inter
cioè
y«i+y~ s— cost.
vallo (xp, xp+<>) mediante certi punti x«=ap<a,<a»« ... a„ = xp g <>. In cor
rispondenza ai valori a, è possibile calcolare per ricorrenza y;+,
—y;+f (a;, y;),
Se ora si assumono le condizioni iniziali y, (o)= o e y» (o)= i, si ha esattamente ove, naturalmente, yp=y (xp). Si passi ora a considerare la poligonale di verti
ci P; = (a,,y;) (cfr. fig. 3) e sia y(x) l'equazione che definisce questa poligo
yl+yl = i nale. Si dimostra che se si fa tendere a o la massima distanza a;+,— a; questa
poligonale definisce una soluzione dell'equazione differenziale. Le ipotesi che
che è la proprietà fondamentale delle due funzioni y = sinx, y = cosx.
È chiaro come in tal modo non si è «dimostrata» l'esistenza di soluzioni
C auchy poneva perfare questa dimostrazione erano lacontinuità della
f(x, y)
e della f„(x, y). In seguito fu dimostrato da Lipschitz come queste ipotesi
dell'equazione differenziale, ma è anche chiaro come quanto si è osservato fossero eccessive. Egli pose in evidenza l'essenzialità della condizione, chiamata
circa le eventuali soluzioni l'abbia resa completamente plausibile, al punto oggi con il suo nome — condizione di Lipschitz — che verrà illustrata qui di
tale da far diventare il problema intorno alla loro esistenza di natura pedan seguito.

20. 765 Differenziale
Differenziale 76y
M
P„
e il suo sviluppo: F (x,y) =g s(x — xo)" (y — yo)>, Si consideri ora la serie
soluzione dell'equazione
P,
dY
— = F(x, V)
dx
di cui è agevole mostrare la convergenza utilizzando il fatto che F (x, V) è
data in modo esplicito. Si dimostra come questa serie domini termine a termine
xp Qp op ap a„ = Xp +8 la serie
Il
Figura 3.
Metodo dei poligoni per determinare la soluzione di una equazione differenziale.
yo+yo( xo)+ l (x xo) + "
da cui si conclude la convergenza richiesta.
DEFINIzIQNE. Sia f (x,y) definita nel dominio del piano x, y dato dalle disegua E ora, il metodo di dimostrazione di Peano-Picard. Per poter trattare la
glianze (x — xo~<a e ~y —y) < b. Si dirà che in tale dominio f(x, y) è lipschitziana dimostrazione in maniera piu dettagliata, occorre un enunciato rigoroso :
rispetto a y se esiste una costanteA tale che
TEoREMA. Data l'equazione differenziale y' = f (x, y) con la condizione iniziale
If(xr. y1) —f(xi y.)l<Alyi — y.l. y(xo) =yo, supponiamo che per xo<x<x o+a, yo — b<y<yo+b, la funzione
Le ipotesi del teorema possono essere ridotte alla continuità ed alla lipschitzia f(x, y) sia continua e verifichi la condizione di Lipschitz ~ f(x, y, ) —f(x, ys)~ <
nità, rispetto alla variabile y. L'essenzialità di questa condizione viene bene in
<A~y,— ys), Allora esiste un numero 8 (B<a, che sidetermina nelcorso della
luce dimostrando il teorema di esistenza, ad esempio con il metodo di Peano
dimostrazione) in modo che in (xo, xo+8) il sistema ha una ed una sola soluzione
Picard. y(x) che verifica la condizione inizialey (xo)=yo.
La seconda forma del teorema di esistenza di Cauchy è data supponendo Gli elementi essenziali della dimostrazione sono i seguenti:
la f(x, y) analitica nell'intorno di un certo punto (xo,yo). Naturalmente in
quest'ipotesi si cerca una soluzione analitica. La dimostrazione è ancora molto I) si sostituisce all'equazione differenziale l'equazione integrale equiva
naturale. Se l'equazione ammette una soluzione, questa è della forma lente
I/ III
y(x) =yo+yo (x-xo)+ '(x-xo)'+ ' ( x — xo)'+ y(x) =yo+ f(t,y(t))dt;
»p
dove yo, yo"', ... sono determinati dall'equazione differenziale. Si tratterà II) si considera la formula ricorrente
quindi di mostrare come questa serie definisca effettivamente una funzione, y. (x) =yo
ossiache sia una serie convergente. Si osservi come il metodo di considerare
la serie scritta sopra come una soluzione dell'equazione differenziale sia pre y„+,(x) =y,+ f(t,y,(t))dt;
sente fin dalle origini del calcolo differenziale, come metodo di calcolo della »p
soluzione. La grande differenza dell'atteggiamento di Cauchy, dovuto alla
esperienza delle serie divergenti, è che ora egli avverte con chiarezza che il
Ill ) si dimostra che y„ (x) converge ad una funzione V (x);
punto essenziale è quello di mostrare la convergenza della serie.
Iv) in corrispondenza f *,f(t,y„(t)) converge a f» f(t, V(t)) dt;
La linea della dimostrazione è la seguente. Poiché f(x, y) è analitica nel
v) allora dall'equazione
punto (xo, yo), vi sono due cerchi di raggi r, ed rs in modo che, se x ed y veri y»p+l(x) =yo+ f(t, y»p(t))dt
ficano le diseguaglianze ~x — xo~<ri e ~y — yo~<ro allora f(x, y) è analitica. »p
In particolare essa è superiormente limitata da una costante M. Ora, si con
siderino la funzione facendo tendere m a ~, si ottiene l'equazione
»
(
*—*o
)(, x—xo
) V(x) =y,+ f(t, Y(t))dt.
»p