V@R: Overview 2

382 visualizações

Publicada em

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
382
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
11
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

V@R: Overview 2

  1. 1. Value-at-Risk:Overview, Parte 2 Análise de Risco (2) R.Vicente 1
  2. 2. ResumoPARTE 1: MEDINDO VaR Fatores de Risco Valor em Risco (VaR) Profit & Loss (P&L) VaR Paramétrico Calculando o VaRPARTE 2: ESTIMANDO VOLATILIDADES E CORRELAÇÕES Exponentially Weighted Moving Averages (EWMA) Estimando Correlações GARCHPARTE 3: VaR DE ATIVOS NÃO-LINEARES Letras “Gregas” Aproximação Delta Aproximação Linear (Delta-Rô-Vega-Teta) Aproximação Delta-Gama Aproximação de Cornish-Fisher Transformações de JohnsonBibliografia 2
  3. 3. Parte 1Medindo VaR 3
  4. 4. Fatores de RiscoValor de Mercado de uma carteira depende de uma série de fatores demercado: V ( S1 , S 2 ,..., S N ) Estes fatores podem ser : • Preços de mercado; • Taxas de juro; • Spreads de crédito; A Gestão de Risco consiste em monitorar possíveis alterações futuras no valor de mercado de uma carteira em uma janela de tempo definida: ΔV (S1, S2 ,..., SN ) =V (S1(t +Δt),..., SN (t +Δt)) −V (S1(t),..., SN (t)) Profit & Loss 4
  5. 5. Value at Risk −VaRx % P(ΔV < −VaRx % ) = ∫ dv p (v) = 1− x −∞ x% FATOR 1 Nível de confiança x Janela FATOR 2 de Tempo VaRαMark-to-market σ 5
  6. 6. Benchmark Value at Risk Retorno Esperado Livre de Risco B-VaR x r ( t ) Δt Δ BV (S) = V (S(t + Δt )) −V (S(t ))e 6
  7. 7. P&L como Combinação Linear dos Fatores de Risco V (S(t + Δt )) ≈ V (S(t ) + ΔS) ∂VN V (S + ΔS) ≈ V (S) + ∑ ΔS j j =1 ∂S jEquivalente N ∂V ⎛ ΔS j ⎞ ⎜ ⎟ Delta ΔV ≈ ∑ S j ⎜ ⎜ S ⎟ ⎟ ⎟ j =1 ∂S j ⎜ j ⎠ ⎝ ∂V ΔS j N δj ≡ S j Rj ≡ ΔV ≈ ∑ δ j R j ∂S j Sj j =1 7
  8. 8. P&L como Combinação Linear dosFatores de Risco: Exemplo P&L em Reais de Ação negociada em Dólar: V ( S A , S FX ) = S A S FX ΔV ≈ δ A RA + δFX RFX ∂V δA ≡ S A = S A S FX = V ∂S A ∂V δFX ≡ S FX = S FX S A = V ∂S FX ΔV ≈ V ( RA + RFX ) 8
  9. 9. P&L com Benchmark Δ BV ≈ V ( S + ΔS ) −V ( S )e rΔt NΔ BV ≈ V ( S ) + ∑ δ j R j −V ( S )(1 + rΔt ) j =1 N Δ BV ≈ ∑ δ j R j −VrΔt j =1 9
  10. 10. VaR ParamétricoSuposição I: Fatores de Risco seguem um movimento Brownianogeométrico: dS (t ) = μdt + σ dW (t ) , S (t )onde dW(t) é um processo de Wiener com dW (t ) = εt dt εt ~ N (0,1)Os log-retornos portanto apresentam o seguinte comportamento: ⎛ σ2 ⎞ RΔt = ⎜μ − ⎟ Δt + σε Δt ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2⎠ ⎟ 10
  11. 11. VaR ParamétricoSuposição II: Para janelas de tempo suficientemente pequenas os retornostêm valor esperado nulo: RΔt = σε ΔtO P&L futuro na janela de tempo Δt para um ativo com um únicofator de risco é, portanto uma variável aleatória da seguinte forma: ΔS ≈ S σε Δt ε ~ N (0,1) 11
  12. 12. VaR Paramétrico Utilizando volatilidade diária e Δt = 1 obtemos o P&L potencial para 1 dia como: ΔS ≈ Sσε Empregando a definição de VaR:P (ε ) VaR = ασ S Confiança α ε=0 95% 1,645 97,5% 1,960 ε = −ασ 99% 2,326 (1-x) % 12
  13. 13. VaR Paramétrico com Benchmark A perda potencial considerando o benchmark é: ΔS ≈ −ασ S − Sr Empregando a definição de VaR: VaR = (ασ + r ) S 13
  14. 14. VaR de uma Carteira Seja uma carteira cujo valor possa ser decomposto em N fatores de Risco:Os N fatores de risco acima são amostras de uma distribuição normalmultidimensional: 1 ⎡1 −1 ⎤ p(R ) = exp ⎢ R ⋅ C R ⎥ 2π Det (C) ⎢⎣ 2 ⎥⎦ Temos que: Rj = 0 R j Rk = C jk 14
  15. 15. VaR de uma Carteira O VaR da carteira é: VaRPort = ασ PortV σ Port = (ΔV ) − ΔV 2 2 2 ⎡ ⎤ 2 = ∑ δ j δk R j Rk − ⎢⎢ ∑ δ j R j ⎥⎥ jk ⎢⎣ j ⎥⎦ = ∑ δ j δk C jk jk onde C jk é a matriz de covariância. 15
  16. 16. VaR de uma Carteira Alternativamente podemos escrever: VaRPort = ασ PortV = αV ∑δ δ C jk j k jk ⎛ C jk ⎞ ⎟ ⎜ = ∑ (αV σ j δ j )⎜ ⎟ ⎜ ⎟(αV σk δk ) ⎟ jk ⎜ σ j σk ⎠ ⎝ = ∑ VaR ρ jk j jk VaRk = VaR ⋅ ρVaR Matriz de Correlação 16
  17. 17. Parte 2Estimando Volatilidades e Correlações 17
  18. 18. Estimando Volatilidades Média Móvel 1 T 2 σ MA (t ) = ∑ R (t − j ) T j=1 EWMA(Exponentially Weighted Moving Average) T σ EWMA (t ) = (1− λ )∑ λ j−1 R 2 (t − j ) j =1 18
  19. 19. c/ 98% Intervalo -10% -8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% -12% -10% -8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% fev-01 fev-01 mar-01 mar-01 abr-01 abr-01 mai-01 mai-01 jun-01 jun-01 jul-01 jul-01 ago-01 ago-01 set-01 set-01 out-01 out-01 nov-01 nov-01 dez-01 dez-01 MA (21 d.u.) jan-02 jan-02 Estimando Volatilidades fev-02 fev-02 mar-02 mar-02 abr-02 abr-02 EWMA (fator de decaimento=0,97) mai-02 mai-02 jun-02 jun-02 jul-02 jul-02 ago-02 ago-02 10 11 falhas19 falhas
  20. 20. -12% -10% -8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% -12% -10% -8% -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% fev-01 fev-01 mar-01 mar-01 abr-01 abr-01 mai-01 mai-01 jun-01 jun-01 jul-01 jul-01 ago-01 ago-01 set-01 set-01 out-01 out-01 nov-01 nov-01 dez-01 dez-01 jan-02 jan-02 Estimando Volatilidades fev-02 fev-02 mar-02 mar-02 EWMA (fator de decaimento = 0,70) abr-02 abr-02 EWMA (fator de decaimento=0,97) mai-02 mai-02 jun-02 jun-02 jul-02 jul-02 ago-02 ago-02 22 11 falhas20 falhas
  21. 21. EWMA: ExponentiallyWeighted Moving AverageO estimador EWMA para volatilidades é definido como: T ∑ λ τ −1 ( Rt−τ − R ) 2 σt = ˆ τ =1 T , 0 < λ <1 ∑ λ τ −1 τ =1Observando que o fator de normalização é por uma progressãogeométrica: T 1− λ T +1 ∑ λ = 1− λ τ =1 τ −1 21
  22. 22. EWMA: ExponentiallyWeighted Moving AverageAssim: T (1− λ )∑ λ τ −1 ( Rt−τ − R ) 2 σt = ˆ τ =1 T +1 , 0 < λ <1 1− λUtilizando janelas infinitas teremos: ∞ σt = (1− λ )∑ λ τ −1 ( Rt−τ − R ) 2 ˆ τ =1 22
  23. 23. EWMA:Forma RecorrenteO estimador pode ser obtido como uma equação de recorrência: ∞ ˆt2 = (1−λ)∑λτ−1Rt2 τ σ − τ =1 = (1−λ)(R +λR +λ R + ) 2 t−1 2 t−2 2 2 t−3 = (1−λ) R +λ(1−λ)(R +λR +λ R + ) 2 t−1 2 t−2 2 t−3 2 2 t−4 ∞ = (1−λ)Rt2 1 +λ(1−λ)∑λτ−1R(2t−1)−τ − τ =1 = (1−λ)Rt2 1 +λσt2−1 − ˆ 23
  24. 24. EWMA: Janela EfetivaO estimador EWMA atribui pesos maiores a retornos mais recentes. Amassa total de retornos ocorridos a mais de K dias passados é: ∞ Ω∞ = (1−λ)∑λτ K τ =K = λ K (1−λ)(1+λ +λ2 + ) = λ K =1Se fixarmos esta massa em um valor de confiança ϒ % (e.g. 99%, 99,5%)podemos calcular a janela efetiva utilizada: ln(1− ϒ % ) K= ln λ 24
  25. 25. EWMA: Janela Efetiva Nível de Confiança Lambda 95,0% 98,0% 99,0% 99,5% 0,99 298 389 458 527 0,98 148 194 228 262 0,97 98 128 151 174 0,96 73 96 113 130 0,95 58 76 90 103 0,94 48 63 74 86 0,93 41 54 63 73 0,92 36 47 55 64 0,91 32 41 49 56 0,90 28 37 44 50 0,89 26 34 40 45 0,88 23 31 36 41 0,87 22 28 33 38 0,86 20 26 31 35 0,85 18 24 28 33 25
  26. 26. EWMA: Otimização de λDefinimos o erro na predição da variância como: εt +1t = R −σ 2 ˆt2+1t t +1 O parâmetro ótimo é aquele que minimiza a raiz do erro quadrado total em uma janela de T dias: T E(λ) = ∑ε t =1 2 t +1 t (λ) 26
  27. 27. EWMA: CorrelaçõesO EWMA pode ser generalizado para covariâncias: ∞ C jk ,t = (1− λ )∑ λ τ −1 R j ,t−τ Rk ,t−τ ˆ τ =1A versão recorrente é: ˆ ˆ C jk ,t = λC jk ,t−1 + (1− λ ) R j ,t−1 Rk ,t−1 27
  28. 28. EWMA: Matrizes PositivasSemi-definidas O método EWMA produz matrizes que são positivas semi-definidas. ˆ ˆ C jk ,t = λC jk ,t−1 + (1− λ ) R j ,t−1 Rk ,t−1Suponha que ˆ Ct−1seja positiva semi-definida, então: ˆ u ⋅ Ct−1u ≥ 0 ∀uAnalisando o segundo termo teremos: ⎛ ⎞ 2 ⎜ u R ⎟ ≥0 ∑ u j ( R j ,t−1Rk ,t−1 )uk = ⎜∑ j j ,t−1 ⎠ j ,k ⎜ ⎜ ⎝ j ⎟ ⎟ ⎟ 28
  29. 29. EWMA: Matrizes PositivasSemi-definidasCombinações lineares de matrizes positivas semi-definidas são positivas semi-definidas:∑u C ˆ j jk ,t uk = λ ∑ u j C jk ,t−1uk + (1− λ )∑ u j ( R j ,t−1 Rk ,t−1 ) uk ≥ 0 ˆ jk jk jk Assim: (u ⋅ C ˆ t −1 ) ( ˆ u ≥ 0 ∀ u ⇒ u ⋅ Ct u ≥ 0 ∀ u ) Basta então garantirmos que ˆ C1seja positiva semi-definida escolhendo : ˆ C jk ,1 ≡ R j ,0 Rk ,0 29
  30. 30. EWMA: Matrizes de CorrelaçãoAs correlações são obtidas a partir das covariâncias: C jk ρ jk = C jj Ckk 30
  31. 31. EWMA: Otimização de λpara CovariânciaPara garantirmos a produção de matrizes positivas semi-definidas énecessário que λ seja único. Definimos o erro na predição dacovariância como: ˆ ε jk ,t+1t = Rj ,t +1Rk ,t+1 −C jk ,t +1t O parâmetro ótimo para o par jk é aquele que minimiza a raiz do erro quadrado total em uma janela de T dias: T E jk (λ) = ∑ jk ε2 ,t+1t (λ) t =1 31
  32. 32. EWMA: Otimização de λpara CovariânciaA prescrição RiskMetrics para o parâmetro único é ponderar λ jkcom o inverso do erro mínimo: λ = ∑θ jk λ * * jk j≤k Onde: 1 E jk (λ* ) θ jk = jk ⎡ 1 ⎤ ∑ ⎢⎢ E (λ* ) ⎥⎥ jk ⎢ jk ⎣ jk ⎥ ⎦ 32
  33. 33. GARCHUm modelo GARCH(p,q) é definido como: p q σt2 = α0 + ∑α j Rt2 j + ∑β jσt2− j − j=1 j=1 A versão mais simples é o GARCH(1,1): σ = α0 + α R + β σ 2 t 2 1 t−1 2 1 t−1 33
  34. 34. GARCHA versão mais simples é o GARCH(1,1): σ = α0 + α R + β σ 2 t 2 1 t−1 2 1 t−1A variância não-condicional é um ponto fixo da equação acimaassumindo que Rt2 1 = σ 2 : − α0 σ = α0 + α1σ + β1σ 2 2 2 σ = 2 1−α1 −β1Para que a volatilidade faça sentido é necessário que: α1 + β1 < 1 34
  35. 35. GARCHA curtose não-condicional é dada por: 6α12 κ= 1−3α12 − 2α1β1 −β12, ou seja, leptocúrtica como as distribuições reais. 35
  36. 36. GARCH : Determinando ParâmetrosO processo GARCH gera retornos independentes com distribuiçãocondicional normal: ⎡ 2 ⎤ p ( Rt σt ) = 1 exp ⎢− Rt 2 ⎥ 2πσt2 ⎢ 2σt ⎥ ⎣ ⎦ Assumindo a dinâmica: Rt = εt σt εt ~ N (0,1) σt2 = α0 + α1Rt2 1 + β1σt2−1 − {Rt }t=defini-se T Dada a trajetória empírica uma função erro: 1 ⎡T ⎤ T ⎡ ⎤ Rt2 1 E (α0 , α1 , β ) = − ln ⎢∏ p ( Rt σt )⎥ = ∑ ⎢ 2 + ln (2πσt ) 2 ⎥ ⎣⎢ t =1 ⎦⎥ t =1 ⎢⎣ 2σt 2 ⎥ ⎦ A função erro pode ser minimizada utilizando um algoritmo standard de otimização (e.g. Gradiente Escalonado). 36
  37. 37. GARCH Volatilidade 0,140 0,120 0,100 0,080 0,060 0,040 0,020 0,000 1 56 111 166 221 276 331 386 441 496 551 606 661 716 771 826 881 936 991 37
  38. 38. Parte 3Risco de Ativos Não-Lineares 38
  39. 39. “Gregas”O P&L de uma opção é função de variações do ativo objeto, doprazo, da volatilidade implícita e da taxa de juros: ΔV ( S , τ , σ I , r )Uma expansão em série de Taylor nos fornece: ∂V 1∂V 2 ∂V 2 ( ΔS ) + 2 ΔV ( S , τ , σ I , r ) ΔS + Δr ∂S 2 ∂S ∂r 1 ∂ 2V ∂V ∂V 2 ( Δr ) + 2 + Δσ I − Δt 2 ∂r ∂σ I ∂τ 39
  40. 40. “Gregas” ∂V ∂ 2V Δ= Γ= 2 ∂S ∂S DELTA GAMA ∂V ∂V 2 ρ= [ρ ] = $T ρ′ = [ρ ′ ] = $ 2 T 2 ∂r ∂r 2 RÔ Convexidade RÔ ∂V ∂V Λ= [Λ] = $ Θ= [Θ] = $T −1 ∂σ I ∂t “VEGA” TETA 40
  41. 41. P&L em função de Retornos Observando o retorno de preços com carregamento: ⎛ e−( τ −Δt ) rt+Δt ( τ −Δt ) ⎞ ⎟ ⎜ RP = ln ⎜ −τ rt ( τ ) rt (Δt )Δt ⎟ = [ rt (τ ) − rt (Δt ) ]Δt − τΔr ⎟ ⎜ e ⎝ e ⎟ ⎠ RP Δr − τ 1 2 2 ρ ΔV ( S , τ , σ I , r ) RS S Δ + RS S Γ − RP 2 τ 1 ρ′ 2 ( P) 2 + R + Λσ I Rσ +ΘΔt 2τ 41
  42. 42. Aproximação Delta ΔV ( S , τ , σ I , r ) RS S Δ RS = εσ S Δt ε ~ N (0;1) VaRDelta = ασ S S Δ 1 contrato de opção = Δ unidades de ativo objeto 42
  43. 43. Aproximação Delta 43
  44. 44. Aproximação Linear ρ ΔV ( S , τ , σ I , r ) RS S Δ − RP + Λσ I Rσ +ΘΔt τ ⎛εS ⎞ RS = εS σ S Δt ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜εP ⎟ ~ N (0, C ) ⎜ ⎟ RP = εP σ P Δt ⎜ ⎟ ⎜ε ⎟⎟ ⎝ ⎟ ⎜ I⎠ Rσ = εI σ I Δt Variância- covariância 44
  45. 45. Aproximação Linear VaRLinear = α W CW −ΘΔt T ⎛ SΔ ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ρ⎟ ⎜− ⎟ W =⎜ ⎟ ⎜ τ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜σ Λ⎟⎟ ⎜ I ⎠ ⎝ ⎟ ⎟ 45
  46. 46. Aproximação Delta-Gama 1 2 2 ΔV = SΔRS + S ΓRS 2 4 x 10 4000 3.5 3500 3 3000 2.5 2500 2 2000 1.5 1500 1 1000 500 0.5 0 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 46 Cumulantes 1 e 2 Todos Cumulantes
  47. 47. Aproximação Delta-Gama 47
  48. 48. Aproximação Delta-Gama 48
  49. 49. Aproximação Delta-Gama Truncada 1 4 2var (ΔV ) = S Δ var ( RS ) + S Γ var ( RS ) +ΔΓRS S 3 cov( RS , RS ) 2 2 2 2 2 4 R2 − dRcov ( RS , R ) = ∫ 2 σS 2 2 3 R e =0 var ( RS ) = 2 var 2 ( RS ) S 2πσ 2 2 S 1 4 2 4 VaR ≅ α var (ΔV ) = α S Δ σ + S Γ σS2 2 2 S 2 Truncamento até Segundo 49 Cumulante
  50. 50. Aproximação Delta-Gama ΔV = V (x + Δx) −V (x) n ∂V 1 n n ∂ 2V ≈∑ Δx j + ∑∑ Δx j Δxk j =1 ∂x j 2 j =1 k =1 ∂x j ∂xk n 1 n n = ∑ δ j rj + ∑∑ Γ jk rj rk j =1 2 j =1 k =1 ∂V ∂V 2 δj = xj Γ jk = x j xk ∂x j ∂x j ∂xk 50
  51. 51. Aproximação Delta-Gama n 1 n n ΔV = ∑ δ j rj + ∑∑ Γ jk rj rk j =1 2 j=1 k =1 r ~ N (0, C ) ⇒ ΔV ∼ ϕ ϕ ⇔ ln ϕ ⇔ μ, σ , c3 , c4 ,..., cn ˆ 2 Função Geratriz Cumulantes 51
  52. 52. Cumulantes ϕ ( w) = ∫ dx e ˆ ixw ϕ ( x) ∂ ln ϕ ( w) n ˆ cn = (−i ) n ∂w n w=0 52
  53. 53. Cumulantes r ~ N (0, C ) 1 μ = ΔV = Tr (ΓC ) 2 1 σ = (ΔV − μ ) = δ Cδ + Tr (ΓC ) 2 2 2 T 2 c3 = (ΔV − μ) = 3δ T C ΓCδ + Tr (ΓC )3 3 c4 = (ΔV − μ) = 12δ T C (ΓC ) 2 δ + 3Tr (ΓC ) 4 + 3σ 4 4 1 ⎡(ΓC )n ⎤ + 1 n !δ T C (ΓC ) n−2 δcn = (ΔV − μ) = (n −1)!Tr ⎢ n 2 ⎣ ⎥⎦ 2 53
  54. 54. Aproximação de Cornish-Fisher Densidade arbitrária ϕ . x Φ( x) = ∫ du ϕ (u ) −∞ O VaR é definido como: −VaR ∫ du ϕ (u ) = p −∞ ou VaR = Φ−1 ( p) 54
  55. 55. Aproximação de Cornish-Fisher z Seja F ( z ) = ∫ du f (u ) uma distribuição com forma −∞ analítica e quantis F −1 ( p ) conhecidos (por ex: distribuição gaussiana). Cornish-Fisher Φ−1 ( p ) como função de F −1 ( p ) 55
  56. 56. Aproximação de Cornish-Fisher Os quatro primeiros termos da expansão de Cornish-Fisher para p − percentil de ΔV − μ é: σ ⎛ c4 ⎞ 1 ⎛ ⎞ 2 1 2 c3 1 3 ⎟ − (2α3 − 5α )2 ⎜ c3 ⎟α p ≈ α p + (α p −1) 3 + (α p − 3α p )⎜ 4 − 3⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 6 σ 24 ⎜σ ⎝ ⎟ ⎠ 36 p p ⎝ ⎟ ⎜σ3 ⎠O VaR pode então ser calculado como: VaR = α p σ + μ 56
  57. 57. Transformação de Johnson X ~ N (0,1) e f ( X ) tem distribuição similar a ΔV VaR ≈ f (α p ) Função monotônica 57
  58. 58. Transformação de Johnson Transformação com limite inferior: ⎡ X −γ ⎤ f ( X ) = exp ⎢ ⎥ +ξ f (X ) ≥ ξ ⎢⎣ δ ⎥⎦ Transformação com limite superior: ⎡ X −γ ⎤ exp ⎢ ⎥ (ξ + λ ) + ξ ⎢⎣ δ ⎥⎦ f (X ) = ξ ≤ f ( X ) ≤ ξ +λ ⎡ X −γ ⎤ 1 + exp ⎢ ⎥ ⎢⎣ δ ⎥⎦ 58
  59. 59. Transformação de Johnson Transformação sem limites: ⎡ X −γ ⎤ f ( X ) = sinh ⎢ ⎥λ +ξ ⎢⎣ δ ⎥⎦ Os parâmetros das distribuições de Johnson podem ser obtido a partir dos quatro primeiros cumulantes. 59
  60. 60. Bibliografia• Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.• RiskMetrics Technical Document (www.riskmetrics.com);•Duffie e Pan, An Overview of Value at Risk•Bouchaud e Potters, Theory of Financial Risk;•Mantegna R.N. e Stanley E., An Introduction to Econophysics; Leituras ComplementaresJashke, S.R., The Cornish-Fisher-Expansion in the Context of Delta-Gamma-Normal ApproximationsMina, J. e Ulmer, A., Delta-Gamma Four Ways 60

×