V@R: Overview

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V@R: Overview

  1. 1. Value-at-Risk: Overview Análise de Risco (1) R.Vicente mpmmf 1
  2. 2. Resumo Objetivos Definição Esquema Geral Dinâmica de Preços Passeio Aleatório Discreto Somas de Variáveis Aleatórias Teorema Central do Limite Estatística dos Retornos Auto-Correlação Volatilidade Matrizes de Correlação Bibliografia 2
  3. 3. Objetivos1. Medida de exposição por transação, unidade de negócios ou agregada;2. Alocação de capital apropriada ao valor de mercado e risco;3. Estabelecimento de limites de exposição;4. “Disclosure” para acionistas, mercado e órgãos regulatórios;5. Avaliação de “traders” e/ou unidades de negócio. 3
  4. 4. Definição Dado um horizonte de tempo T e um nível de confiança p, o VaR é a perda no valor de mercado no horizonte T que pode ser excedida com probabilidade 1-p. BIS: p=0,99 e T = 10 dias JPM: p=0,95 e T = 1 dia O VaR é apenas um benchmark para decisões comparativas. Em situações adversas podem ocorrer problemas de liquidez que podem ampliar significativamente perdas potenciais. 4
  5. 5. Esquema Geral Simulação de mudanças nos preços e taxas. (modelos estatísticos paramétricos ou bootstrap) Base de dados com carteiras Cálculo do valor de mercado de cada instrumento para cada cenário de preços e taxas. (aproximações de 1a (delta) ou 2a (delta-gama) ordem, full valuation) 5
  6. 6. O que é necessário ? 1. Modelo para as mudanças aleatórios nos preços; 2. Modelo para preços e sensibilidades de derivativos 6
  7. 7. Dinâmica de Preços Rt = μt−1 + σt −1εt μt−1 = E ⎡⎣ Rt I t−1 ⎤⎦ σt −1 = var ⎡⎣ Rt I t−1 ⎤⎦ E ⎡⎣εt I t−1 ⎤⎦ = 0 var ⎡⎣εt I t−1 ⎤⎦ = 1 “Plain vanilla model”: μ, σ constantes. ε iid N (0,1) 7
  8. 8. Passeio Aleatório Discreto S n = S n−1 + σεn 1 1 εn ~ p (ε) = δ (ε − s ) + δ (ε + s ) i.i.d . 2 2 εn = 0 εn = s 2 εn ε j = s 2δnj 2 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 8
  9. 9. Passeio Aleatório Discreto N SN = ∑ ε j j =1 S1000 N SN = ∑ ε j = 0 j =1 N = ∑ εj = Ns 2 2 2 SN j =1 9
  10. 10. Convolução NQual é a distribuição de SN = ∑ ε j ? j =1 X = X1 + X 2 x j ~ p j (x j ) p ( x) = ∫ dx ′ p1 ( x ′) p2 ( x − x ′) p = p1 ∗ p2 10
  11. 11. Convolução N X =∑Xj x j ~ p j (x j ) j =1 N −1p( x) = ∫ ∏ dx′ j =1 j p1 ( x1′) pN −1 ( xN −1 ) pN ( x − x1′ − ′ x′N −1 ) p = p1 ∗ p2 ∗ pN NQual é a distribuição de Sn = ∑ ε j ? j =1 p ( S N ) = p (ε ) ∗ p (ε ) ∗ p (ε ) = p ∗ N (ε ) N termos 11
  12. 12. Convolução no Espaço de Fourier p ( z ) = ∫ dx exp(izx ± izx1 ± ˆ ′ izx′N −1 ) N −1 ∫ ∏ dx′ j =1 j p1 ( x1′) pN −1 ( xN −1 ) pN ( x − x1′ − ′ x′N −1 ) N p( z ) = ∏ p j ( z ) ˆ ˆ j =1 ⎡N ⎤ NComo conseqüência os ln p ( z ) = ln ⎢∏ p j ( z )⎥ = ∑ ln p j ( z ) ˆ ˆ ˆ ⎢ j=1 ⎥ j=1 ⎣ ⎦cumulantes se somam: l ∂ ln p (0) l ˆ N cl , N = (−i ) = ∑ cl , j ∂z l j =1 12
  13. 13. CumulantesSe as variáveis são i.i.d. oscumulantes de uma soma cl , N = Ncl ,1de N variáveis são: l cl , N cl ,1 1−Os cumulantes λl , N = l = N 2 c2,1normalizados são: (c2, N ) 2Em uma soma de N variáveis i.i.d. a assimetria (skewness) , acurtose e os cumulantes superiores decaem como: λ3 κ λl l −2 λ3, N = κN = λl , N = β ,β = N N N 2 13
  14. 14. Teorema Central do LimiteSeja uma seqüência N de variáveis aleatórias i.i.d. { X k }k =1com distribuição comum. Suponha que estejam definidos osdois primeiros cumulantes. μ = X k = c1 σ = Xk − Xk 2 2 2 = c2 NSeja SN = ∑ X k , então, para β fixo: k=1 β ⎧ SN − N μ ⎪ ⎫ ⎪ 1 P⎪ < β ⎪ ⎯⎯⎯ 1 − x2 ⎨ ⎪ σ N ⎪ ⎩ ⎬ N →∞→ ⎪ ⎪ ⎭ ∫ 2π −∞ dx e 2 14
  15. 15. Teorema Central do Limite 15
  16. 16. Distribuições Estáveis NSe a distribuição de S N = ∑ X k tiver a mesma forma k =1funcional, da distribuição de X k, a distribuição de Xké dita estável. Portanto, uma distribuição é estável se, no espaço de Fourier, sua função característica for pn ( z ) = [ p ( z ) ] n ˆ ˆtal que pn ( z ) e p ( z ) tenham a mesma forma funcional. ˆ ˆ 16
  17. 17. Distribuições Estáveis Exemplo: A distribuição Lorentziana (Cauchy) é estável: γ 1 p( x) = π γ +x 2 2 No espaço de Fourier: γ eixzp( z ) = ∫ −γ zˆ dx =e ˆ n ( z ) = e−nγ z p π γ 2 + x2 Retornando ao espaço original: 1 nγ 1 ∫ dz e e = π (nγ )2 + x 2 −ixz − nγ z pn ( x ) = 2π 17
  18. 18. Distribuições EstáveisA classe completa de distribuições estáveis é descrita pela seguinte famíliade funções características (Lévy e Khintchine): ⎧ ⎪ ⎡ ⎤ ⎪iλ z − a z μ ⎢1− iβ z tan ⎛ π μ⎞⎥ , μ ≠ 1 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ μ ⎢ ⎜2 ⎟ ⎜ ⎠⎥ ⎝ ⎟⎥⎦ ⎪ ⎢⎣ z ln p ( z ) = ⎨ ˆ ⎪ ⎪ ⎡ z 2 ⎤ ⎪ iλ z − aμ z ⎢1− iβ ⎪ ln z ⎥⎥ , μ = 1 ⎪ ⎢ z π ⎪ ⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ 0 < μ ≤ 2 aμ > 0 λ ∈ β ∈ [−1, +1] 18
  19. 19. Distribuições Estáveis Exponencial LÉVY Lorentziana Lévy-Smirnoff (β = 1)Uniforme NORMAL μ→2 μ =1 μ = 1/ 2 μ→0 19
  20. 20. Passeio Aleatório Contínuo S n = S n−1 + σεn εn ~ p (ε) i.i.d . εn = 0 εn = s 2 εn ε j = s 2δnj 2 n → ∞ Δt → 0 com nΔt ≡ t s2 S 2 (t ) = ns 2 = t Δt 20
  21. 21. Passeio Aleatório Contínuo: DifusãoDefinindo S 2 (t ) = Dt Constante de difusão s 2 = DΔt ⎡ ( x − x )2 ⎤ 0.4 exp ⎢⎢− ⎥ 1p ( x, t ) = 0 2 Dt ⎥⎥ 0.35 2 π Dt ⎢⎣ ⎦ 0.3 0.25 0.2 Equação de Difusão 0.15 0.1 ∂p ∂p D ∂ p 2 = − x0 + 0.05 ∂t ∂x 2 ∂x 2 0 -30 -20 -10 0 10 20 30 21
  22. 22. Caudas Pesadas 22
  23. 23. Caudas Pesadas 23
  24. 24. Caudas Pesadas 24
  25. 25. ju l- 5000 10000 15000 20000 0 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 ja 94 n- jul-94 9 ju 5 l -9 jan-95 ja 5 n- jul-95 9 ju 6 l- jan-96 ja 96 n- 9 jul-96 ju 7 l -9 jan-97 ja 7 IBOVESPA n- 9 jul-97 ju 8 l- jan-98 ja 98 jul-98 n- 9 ju 9 l -9 jan-99 ja 9 jul-99 n- 0 ju 0 l- jan-00 ja 00 jul-00 n- 0 ju 1 l -0 jan-01 ja 1 n- 0 jul-01 ju 2 l -0 jan-02 2 jul-02 St = St ΔS St +1 − St Estatística dos Retornos: IBOV ⎜ ≈ ln ⎜25 ⎜ S ⎠ ⎛ St +1 ⎞ ⎝ t ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
  26. 26. Estatística dos Retornos: Leptocurtose no IBOV ⎛ St +1 ⎞ ⎟ xt = ln ⎜ ⎜ ⎜ S ⎠ ⎟ ⎟ ⎝ t ⎟Média -0,0012 IBOVESPAAssimetria -0,15Curtose 3,87Um teste de Kolmoroff-Smirnoff rejeita a normalidade da amostra com p-value de 0,038 para um nível de significância de 5%. 26
  27. 27. Auto-correlaçãoC ( L) = xt + L xt − xt + L xt IBOVESPA 99% de confiança 27
  28. 28. Leptocurtose e HeterocedasticidadeRetornos independentes e gaussianos mas com a volatilidade mudandocom o tempo geram distribuições de retornos agregados leptocúrticas. ⎛ x2 ⎞ exp ⎜− 2 ⎟ 1 [ p ( x)] = ∫ d σ p (σ ) ⎜ ⎟ ⎟ 2πσ 2 ⎜ 2σ ⎠ ⎝ ⎟ 3[σ 4 ] [σ 4 ] ≥ [σ 2 ]2 ⇒ [κ ] = 2 2 − 3 ≥ 0 [σ ] 28
  29. 29. Leptocurtose e Jump DiffusionRetornos independentes e gaussianos mas com picos eventuais devolatilidade também geram distribuições de retornos agregadosleptocúrticas. 29
  30. 30. Leptocurtose e Mistura de NormaisQualquer curtose pode ser gerada via uma mistura de distribuições normais Normal 1: probabilidade p X = αZ Normal 2: probabilidade 1-p X = βZ var(X ) = pα2 + (1 − p)β 2 = σ 2 σ 2 − pα 2 β= 1− p E ⎡⎣X 4 ⎤⎦ κ= = 3 (pα 4 + (1 − p)β 4 ) σ4 30
  31. 31. VolatilidadesAs volatilidades são bem descritas por um modelo GARCH e são altamenteheterocedasticas. 31
  32. 32. Auto-correlação das VolatilidadesAs volatilidades são bem descritas por um modelo GARCH e são altamenteheterocedasticas e auto-correlacionadas. 32
  33. 33. Matriz de CorrelaçõesEspectro deAutovalores MARKET RANDOM 33
  34. 34. Bibliografia•Duffie e Pan, An Overview of Value at Risk•Bouchaud e Potters, Theory of Financial Risk;• Mantegna R.N. e Stanley E., An Introduction to Econophysics;• Feller W., An Introduction to Probability Theory and Applications; Leitura ComplementarSornette e Andersen, Increments of Uncorralated Time Series Can Be PredictedWith a Universal 75% Probability of Success; http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/0001324 34

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