Value at Risk  Não-linear      Análise de Risco (4)                R.Vicente                             1
Resumo Portfolios Lineares Portfolios Não-lineares: Aproximação Delta Portfolios Não-lineares: Aproximação Delta-quadrátic...
Portfolios Lineares Seja uma carteira consistindo das quantidades                   x = (x 1,..., x n ) de ativos 1,...,n....
Portfolios Lineares p(Δv1,..., Δvn ) =                    {    1          T                    exp − (Δv − Δv) C−1 (Δv − Δ...
Portfolios Não-Lineares:Aproximação Delta                                    n     V ( f1,..., fK , t ) = ∑ x j v j ( f1,....
Portfolios Não-Lineares:Aproximação Delta   p(Δf1,..., ΔfK ) =                       {   1           T                    ...
Portfolios Não-Lineares:Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado: Apenas um fator de risco (K=1)                     ...
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Portfolios Não-Lineares:Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado: Venda de Put e Call (10 dias)                      ...
Portfolios Não-Lineares:Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado: Venda de Put e Call, Compra deCall com strike maior...
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Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado                    Δf ∼ N n ( μ f , Σ )                  ∂V ′     1       ∂V2  ...
Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Variância do Portfolio                     ∂V ′     1       ∂V2            ΔV ≡...
Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Variância do Portfolio. Decomposição deCholesky                               −...
Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Variância do Portfolio. Decomposição deCholesky                              −1...
Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Variância do Portfolio 1          1   Δf ′ΓΔf = Δy ′AΔy 2          2           ...
Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Variância do Portfolio                                              25
Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Variância do Portfolio                                              26
Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Exemplo: venda de call e compra de put em doisativos                           ...
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Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Exemplo: venda de call e compra de put em doisativos                           ...
Bibliografia•   Alexander, C. Market Models 2001• Britten-Jones, M. e Shaefer S.M., Non-linearValue-at-Risk, European Fina...
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  1. 1. Value at Risk Não-linear Análise de Risco (4) R.Vicente 1
  2. 2. Resumo Portfolios Lineares Portfolios Não-lineares: Aproximação Delta Portfolios Não-lineares: Aproximação Delta-quadrática Portfolios Não-lineares: Caso Multivariado Bibliografia 2
  3. 3. Portfolios Lineares Seja uma carteira consistindo das quantidades x = (x 1,..., x n ) de ativos 1,...,n. Seja vt = (vt 1,..., vtn ) os valores de mercado de cada ativo em t. Passado um intervalo de tempo Δt a mudança no valor total da carteira é: n ΔV = ∑ x i Δvi i =1 Risco P {ΔV ≤ ΔV * }=α (α ) 3
  4. 4. Portfolios Lineares p(Δv1,..., Δvn ) = { 1 T exp − (Δv − Δv) C−1 (Δv − Δv) 2 n n } (2π ) (det C)2 2 n ⎧ 1 ⎪ ⎪− 2⎫ ⎪ ΔV = ∑ x j Δv j exp ⎨ ⎪ 2σV 2 (ΔV − ΔV ) ⎪ ⎬ ⎪ j =1p(ΔV ) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ 2 2πσV σV = ∑ x j x kC jk 2 jk ΔV * F (ΔV * ) = ∫ d (ΔV ) p (ΔV ) = α 4 −∞
  5. 5. Portfolios Não-Lineares:Aproximação Delta n V ( f1,..., fK , t ) = ∑ x j v j ( f1,..., fK , t ) j =1 Aproximação Delta: n ∂v j ( f , t ) K n ∂v j ( f , t )ΔV = ∑xj δ Δt + ∑ Δfk ∑x j j =1 ∂t k =1 j =1 ∂fk Θ( f ,t ) δk ( f ,t ) 5
  6. 6. Portfolios Não-Lineares:Aproximação Delta p(Δf1,..., ΔfK ) = { 1 T exp − (Δf − Δ f ) C−1 (Δf − Δ f ) 2 K K } (2π) (det C) 2 2 K ⎧ 1 2⎫ ⎪ ⎪− exp ⎨ ⎪ (Δ V − Δ V ) ⎪ δ δ ⎬ Δ V = ∑ δj Δfj δ ⎪ 2σV ⎪ 2 ⎪ ⎪ j =1 δp(Δ V ) = ⎩ ⎭ 2πσV2 σ = ∑ δj δkC jk 2 V δ jk ΔδV * F (ΔδV * ) = ∫ d (ΔδV ) p (ΔδV ) = α 6 −∞
  7. 7. Portfolios Não-Lineares:Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado: Apenas um fator de risco (K=1) n V (f , t ) = ∑ x jv j ( f , t ) j =1 ∂v i ( f , t ) ∂v i ( f , t ) 1 ∂ 2vi ( f , t ) 2 γ Δ vi = Δt + Δf + 2 (Δf ) ∂t ∂f 2 ∂f 1 2 = θi ( f , t ) Δt + δi ( f , t ) Δf + γi ( f , t )(Δf ) 2 7
  8. 8. Portfolios Não-Lineares:Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado: Apenas um fator de risco (K=1) n n n 1Δ V = Δt ∑ x i θi ( f , t ) + Δf ∑ x i δi ( f , t ) + (Δf ) ∑ x i γi ( f , t ) γ 2 i =1 i =1 2 i =1 1 2= Δt Θ( f , t ) + Δf δ( f , t ) + (Δf ) γ ( f , t ) 2 ⎧ 1 ⎪ ⎫ 2⎪ ⎪− Δf − Δf ) ⎪ ⎛⎛ ⎞ ( 2 exp ⎨ ⎬ ⎜⎜ Δf − Δf ⎞ ⎟ ⎟ ⎪ 2σ f2 ⎪ p ⎜⎜ ⎟ ⎟ = χ2 (1) ⎟ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎟p(Δf ) = ⎜⎝ ⎜ σf ⎟ ⎠ ⎟ ⎟ 2πσ f2 ⎝ ⎠ 8
  9. 9. Portfolios Não-Lineares: Aproximação Linear-Quadrática. Caso Univariado: Apenas um fator de risco (K=1)Qual é a distribuição da soma de uma normal com uma Qui- quadrado ? ⎛ 1 δ2 ⎞ ⎛δ ⎞ 2 ⎛⎛ δ ⎞ ⎞ 2 ΔγV − ⎜Δt Θ − ⎟ ⎜ + Δf ⎟ ⎜⎜ + Δf ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜⎝ γ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2 γ⎠ ⎜γ ⎝ ⎠ ⎜⎜ 2⎜ ⎠ ⎟ ⎟ = ≡w ∼χ ⎜ ,1⎟ ⎟ 2 γσ / 2 σ f2 ⎜ ⎜ 2 σf ⎟ ⎟ f ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎠ * P (w ≤ w (α)) = α 9
  10. 10. Portfolios Não-Lineares:Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado: Apenas um fator de risco (K=1) P (w ≤ w * (α)) = α ⎛ 1 δ2 ⎞ 1 2 * ⎟ ⎜ ΔγV * (α) = ⎜Δt Θ − ⎟ + γσ f w (α) ⎜ ⎝ 2 γ⎠ ⎟ 2 10
  11. 11. Portfolios Não-Lineares:Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado: Venda de Call e Venda de Put 11
  12. 12. Portfolios Não-Lineares:Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado:Venda de Put e Call 12
  13. 13. Portfolios Não-Lineares:Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado: Venda de Put e Call 13
  14. 14. Portfolios Não-Lineares:Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado: Venda de Put e Call (1 dia) 14
  15. 15. Portfolios Não-Lineares:Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado: Venda de Put e Call (5 dias) 15
  16. 16. Portfolios Não-Lineares:Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado: Venda de Put e Call (10 dias) 16
  17. 17. Portfolios Não-Lineares:Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado: Venda de Put e Call, Compra deCall com strike maior 17
  18. 18. Portfolios Não-Lineares:Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado: Venda de Put e Call, Compra deCall com strike maior 18
  19. 19. Portfolios Não-Lineares:Aproximação Linear-Quadrática.Caso Univariado: Venda de Put e Call, Compra deCall com strike maior 19
  20. 20. Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado Δf ∼ N n ( μ f , Σ ) ∂V ′ 1 ∂V2 ΔV ≡ μ + γ Δf + Δ f ′ Δf ∂f 2 ∂f ∂f ′ ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂ 2V ∂ 2V ⎞ ⎜ ∂f ⎟ ⎜ ⎟ ∂V ⎜ 1 ⎟ ∂V2 ⎜ ∂f1∂f1 ∂f1∂f K ⎟ δ= =⎜ ⎟ Γ= =⎜ ⎟ ∂f ⎜ ⎟ ∂f ∂f ′ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ∂V ⎜ ∂V ∂V ⎟ 2 ⎟ ⎜ ∂f ⎟ ⎜ ∂f ∂f ∂f K ∂f K ⎟ ⎝ K ⎠ ⎝ K 1 ⎠ 20
  21. 21. Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Variância do Portfolio ∂V ′ 1 ∂V2 ΔV ≡ μ + γ Δf + Δ f ′ Δf ∂f 2 ∂f ∂f ′ ⎡ ′ 1 ⎤var ⎣ ΔV ⎤ = var ⎢δ Δf + Δf ′ΓΔf ⎥ ⎡ γ ⎦ ⎣ 2 ⎦ ′Δf ] + var [ Δf ′ΓΔf ] + covar ⎢δ Δf , Δf ΓΔf ⎤ ⎡ ′ 1 ′ 1 = var [δ ⎥ 4 ⎣ 2 ⎦ =0 Lema de Stein 21
  22. 22. Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Variância do Portfolio. Decomposição deCholesky −1/ 2 Δy = Σ Δf Σ −1 ≡ Σ −1/ 2 Σ −1/ 2 Δy ∼ N n ( 0, 1n ) 22
  23. 23. Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Variância do Portfolio. Decomposição deCholesky −1/ 2 Δy = Σ Δf 1 1 1 Δf ′ΓΔf = Δy ′Σ ΓΣ Δy = Δy ′AΔy 1/ 2 1/ 2 2 2 2 A ≡ Σ ΓΣ 1/ 2 1/ 2 = CΛC′ Onde C é uma matriz composta por colunas que são autovetores de A e Λ é uma matriz diagonal com os autovalores de A 23
  24. 24. Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Variância do Portfolio 1 1 Δf ′ΓΔf = Δy ′AΔy 2 2 1 1 1 n = Δy ′CΛC′Δy = x′Λx = ∑ λ j x 2 j 2 2 2 j =1 Combinação linear de variáveis distribuídas conforme Qui-quadrado. 24
  25. 25. Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Variância do Portfolio 25
  26. 26. Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Variância do Portfolio 26
  27. 27. Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Exemplo: venda de call e compra de put em doisativos 27
  28. 28. Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Exemplo: venda de call e compra de put em doisativos 28
  29. 29. Portfolios Não-Lineares: Caso Multivariado.Exemplo: venda de call e compra de put em doisativos 29
  30. 30. Bibliografia• Alexander, C. Market Models 2001• Britten-Jones, M. e Shaefer S.M., Non-linearValue-at-Risk, European Finance Review 2: 161-187, 1999. 30

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