V@R ajustado a liquidez

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V@R ajustado a liquidez

  1. 1. L-VaRAnálise de Risco (13) R.Vicente mpmmf 1
  2. 2. Resumo Impacto sobre o Mercado Modelo em Tempo Discreto Estratégia Ótima de Execução L-VaR Modelo em Tempo Contínuo Bibliografia 2
  3. 3. Impacto sobre o Mercado S0 Impacto Preço após ST negócio Permanente Impacto Temporário ST Preço de venda 3
  4. 4. Modelo em Tempo Discreto Almgren e Chriss (1999)Venda de grande quantidade X de um determinado ativo em N etapas : t0 = 0, t1 ,..., t N = T T = Nτ tk +1 − tk = τ ⇒ tk = k τ , k = 0,..., N Holding PeriodA quantidade do ativo em carteira em cada instante é : x0 = X , x1 ,..., xN = 0 nk nk = xk −1 − xk vk = Quantidade vendida por τ intervalo de tempo em k 4
  5. 5. Modelo em Tempo DiscretoAlmgren e Chriss (1999) X x0 = X , x1 ,..., xN = 0 x1 nk nk = xk −1 − xk vk = x2 τ n3 x3 x4 0 T τ Cronograma de Execução 5
  6. 6. Modelo em Tempo Discreto Almgren e Chriss (1999) QUANTIDADE Movimento Browniano Aritmético VENDIDA Sk −1 S k − S k −1 = σ τεk + μτ − γ nk Sk VOLATILIDADE IMPACTO Sk BID-ASK SPREAD DRIFT PERMANENTE SOBRE O MERCADO S k − S k = ε + η vk QUANTIDADE VENDIDA POR UNIDADE DE TEMPOPreço de Venda IMPACTO 6 TEMPORÁRIO
  7. 7. Bid-Ask SpreadBangia, Diebold, Schuermann e Stroughair(1999) SPREAD COMPRAPREÇO ILIQUIDEZ ENDÓGENA VENDA TAMANHO DA POSIÇÃO 7
  8. 8. Preço de VendaAlmgren e Chriss (1999) S k = S k −1 + σ τεk + μτ − γ nk − ε − ηvk k = S0 + σ ∑ τε j + μtk − γ ( X − xk ) − ε − ηvk j =1 IMPACTO RANDOM WALK até k PERMANENTE IMPACTO TEMPORÁRIOPREÇO DE VENDA k 8
  9. 9. Valor Total da VendaAlmgren e Chriss (1999) NS = ∑ nk S k k =1 N N k N = ∑ ( xk −1 − xk )S0 + σ τ ∑ ( xk −1 − xk )∑ ε j + μ∑ ( xk −1 − xk )tk k =1 k =1 j =1 k =1 N N N−γ ∑(x k =1 k −1 − xk )( X − xk ) − ε∑ ( xk −1 − xk ) − η ∑ ( xk −1 − xk )vk k =1 k =1 N N N N= XS0 + σ τ ∑ xk εk + μτ ∑ xk − γ ∑ nk ( X − xk ) − ε X − ητ ∑ vk2 k =1 k =1 k =1 k =1 9
  10. 10. Custo da TransaçãoAlmgren e Chriss (1999) N N 1 ⎛ 1 ⎞ N 2 ⎟S = XS0 + σ τ ∑ xk εk + μτ ∑ xk − γ X − ε X − ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk 2 ⎜ ⎟ k =1 k =1 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ k =1 O custo (estocástico) final da transação é: C = XS0 − XS N N 1 ⎛ 1 ⎞ N 2 = −σ τ ∑ xk εk − μτ ∑ xk + γ X 2 + ε X + ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk ⎜ ⎟ ⎟ k =1 k =1 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ k =1 VARIÁVEL ESTOCÁSTICA 10
  11. 11. Custo da TransaçãoAlmgren e Chriss (1999) N 1 N ⎛ 1 ⎞ N 2C = −σ τ ∑ xk εk − μτ ∑ xk + γ X 2 + ε X + ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk ⎜ ⎟ ⎟ k =1 k =1 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ k =1 1N ⎛ 1 ⎞ N 2 E[C ] = C = −μτ ∑ xk + γ X + ε X + ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk 2 ⎜ ⎟ ⎟ k =1 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ k =1 N = σ τ ∑ xk2 2 V [C ] = C − C 2 2 k =1 11
  12. 12. Estratégia Ótima de ExecuçãoAlmgren e Chriss (1999) 1N ⎛ 1 ⎞ N 2 E[C ] = C = −μτ ∑ xk + γ X + ε X + ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk 2 ⎜ ⎟ ⎟ k =1 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ k =1 N = σ τ ∑ xk2 2 V [C ] = C − C 2 2 k =1 Estratégia ótima minimiza o custo de Liquidação da Posição: L = E[C ] + rα V [C ] Custo Médio Custo de oportunidade do capital alocado 12
  13. 13. Estratégia Ótima de ExecuçãoAlmgren e Chriss (1999) Assumindo vendas à velocidade constante: X X ⎛ k⎞ ⎟ vk = = ⎜ xk = ⎜1− ⎟ X T τN ⎜ N⎠ ⎝ ⎟ 1 1 ⎛η γ ⎞ X 2 ⎟ ⎜ E[C ] = − μτ X ( N −1) + γ X + ε X + ⎜ + ⎟ 2 2 2 ⎝ ⎟ ⎜τ 2⎠ N 1 2 2 ⎛ 1 ⎞⎛ ⎟⎜1− 1 ⎞ ⎟ V [C ] = σ τ X N ⎜1− ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ 3 ⎜ N ⎠⎝ 2 N ⎠ ⎝ 13
  14. 14. Estratégia Ótima de Execução Almgren e Chriss (1999)Assumindo que o drift é nulo a equação para o custo de liquidação é : 1 ⎛η γ ⎞ X 2 1 2 2 ⎛ ⎞⎛ ⎞ 2 ⎜ + ⎟L = − γ X + εX +⎜ ⎟ ⎜1− 1 ⎟⎜1− 1 ⎟ + rα σ τ X N ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎟ ⎜τ 2 ⎠ N 3 ⎟⎜ ⎜ N ⎠⎝ 2 N ⎠ ⎝ ⎟ A condição para o mínimo custo é: 1 1 2 2⎛ 1 ⎞ ⎟ rα σ τ X ⎜1− ⎜ 2⎟ ⎟ ∂L ⎛η γ ⎞ X 2 2 3 ⎜ 2N ⎠ ⎝ = −⎜ + ⎟ 2 + ⎜ ⎟ ⎟ =0 ∂N ⎜τ 2 ⎠ N ⎝ ⎛ ⎞ ⎜1− 1 ⎟ ( N −1)⎜ ⎟ ⎜ 2N ⎠ ⎝ ⎟ 14
  15. 15. L-VaR L −VaR = α V [C ] * Estratégia Ótima de Execução 15
  16. 16. Modelo em Tempo Contínuo τ → 0, N → ∞ k S k = S0 + σ ∑ τε j + μtk − γ ( X − xk ) − ε − ηvk j =1 t S (t ) = S (0) + σ z (t ) + μt − γ ∫ ds v(s) − ηv(t ) 0 PROCESSO DE WIENER 16
  17. 17. Modelo em Tempo Contínuo τ → 0, N → ∞ N 1N ⎛ 1 ⎞ N 2 ⎟S = XS0 + σ τ ∑ xk εk + μτ ∑ xk − γ X − ε X − ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk 2 ⎜ ⎟ k =1 k =1 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ k =1 T T 1 1 2 2v ∫ dt S (t ) = XS (0) + vσ ∫ dt z (t ) + μvT − εvT − ηv T − γ v T 2 2 0 0 2 2 17
  18. 18. Custo da Transação T C = XS (0) − v ∫ dt S (t ) 0 T 1 1 2 2 = −vσ ∫ dt z (t ) − μvT + εvT + ηv T + γ v T 2 2 0 2 2 1 ηX 2 1 E[C ] = − μ XT + ε X + + γX 2 2 T 2 ⎡T ⎤ 1 V [C ] = v 2σ 2V ⎢⎢ ∫ dt z (t )⎥⎥ = T σ 2 X 2 ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 3 18
  19. 19. Estratégia Ótima de Execução Assumindo que o drift é nulo a equação para o custo de liquidação é : 1 ηX 2 1 1 L = − μ XT + ε X + + γX + TσX 2 2 T 2 3 A condição para o mínimo custo é: ∂L 1 η X 2 rα 1 = − μX − 2 + σ X =0 ∂T 2 T 2 3T 2Considerando DRIFT nulo: ⎛ 2 3η X ⎞ ⎟ 3 T =⎜ * ⎜ ⎜ rασ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ 19
  20. 20. Holding Period Ótimo e L-VaR Impacto Posição temporário 2 100 ⎛ 2 3η X ⎞ ⎟ 3 T =⎜ 90 * ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ rασ ⎟ 80 ⎜ ⎝ ⎠ 70 D 60 O I R E P 50 G N I D 40 L O H 30 Volatilidade Custo de Nível de 20oportunidade Confiança 10 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 POSIÇÃO 1 1 * 2 2 ⎛ 2ησ 2α 2 X ⎜ 4 3⎞ ⎟ L −VaR = α T σ X = ⎜ ⎟ ⎟ 3 ⎜ ⎝ 3r ⎟ ⎠ 20
  21. 21. Exemplos Numericos 21
  22. 22. Bibliografia•Hisata Y. e Yamai Y., Research Towards the Practical Apllication of LiquididyRisk Evaluation Methods, Monetary and Economic Studies , Dec/2000 Leituras ComplementaresShamroukh, N., Modeling Liquidity Risk in VaR Models, Algorithmcs UK, 2000Bouchaud J.-P. et al., Fluctuations and response in financial markets: the subtlenature of ‘random’ price changes, Quantitative Finance, 4 (2004) 176-190. 22

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