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                        1
Resumo
 Impacto sobre o Mercado
 Modelo em Tempo Discreto
 Estratégia Ótima de Execução
 L-VaR
 Modelo em Tempo Contínuo
 Bibliografia



                                2
Impacto sobre o Mercado

       S0
                                     Impacto
                       Preço após
                 ST     negócio     Permanente

                                     Impacto
                                    Temporário

            ST   Preço de venda




                                                 3
Modelo em Tempo Discreto
 Almgren e Chriss (1999)


Venda de grande quantidade X de um determinado ativo em N etapas :

  t0 = 0, t1 ,..., t N = T                               T = Nτ
  tk +1 − tk = τ ⇒ tk = k τ , k = 0,..., N           Holding Period


A quantidade do ativo em carteira em cada instante é :

               x0 = X , x1 ,..., xN = 0
                                      nk
               nk = xk −1 − xk   vk =          Quantidade vendida por
                                      τ        intervalo de tempo em k
                                                                         4
Modelo em Tempo Discreto
Almgren e Chriss (1999)



          X
                                   x0 = X , x1 ,..., xN = 0
          x1                                                  nk
                                   nk = xk −1 − xk   vk =
          x2                                                  τ
                          n3
          x3
     x4
          0                    T
                  τ                Cronograma de Execução

                                                                   5
Modelo em Tempo Discreto
  Almgren e Chriss (1999)

                                                               QUANTIDADE
                              Movimento Browniano Aritmético    VENDIDA
 Sk −1
                           S k − S k −1 = σ τεk + μτ − γ nk

                     Sk
                                  VOLATILIDADE
                                                               IMPACTO
           Sk    BID-ASK SPREAD                  DRIFT
                                                             PERMANENTE
                                                           SOBRE O MERCADO

  S k − S k = ε + η vk               QUANTIDADE
                                    VENDIDA POR
                                  UNIDADE DE TEMPO

Preço de Venda        IMPACTO                                               6
                    TEMPORÁRIO
Bid-Ask Spread
Bangia, Diebold, Schuermann e Stroughair(1999)

                        SPREAD
                                        COMPRA

PREÇO


                                    ILIQUIDEZ ENDÓGENA




                                       VENDA



                           TAMANHO DA POSIÇÃO
                                                         7
Preço de Venda
Almgren e Chriss (1999)



       S k = S k −1 + σ τεk + μτ − γ nk − ε − ηvk
                      k
          = S0 + σ ∑ τε j + μtk − γ ( X − xk ) − ε − ηvk
                     j =1




                                           IMPACTO
                      RANDOM WALK até k
                                          PERMANENTE

                                                         IMPACTO
                                                       TEMPORÁRIO

PREÇO DE VENDA k
                                                                    8
Valor Total da Venda
Almgren e Chriss (1999)


       N
S = ∑ nk S k
      k =1
           N                                 N              k              N
     = ∑ ( xk −1 − xk )S0 + σ τ ∑ ( xk −1 − xk )∑ ε j + μ∑ ( xk −1 − xk )tk
        k =1                                k =1            j =1          k =1
       N                                         N                  N
−γ    ∑(x
      k =1
               k −1   − xk )( X − xk ) − ε∑ ( xk −1 − xk ) − η ∑ ( xk −1 − xk )vk
                                              k =1                 k =1
                        N               N             N                              N
= XS0 + σ τ ∑ xk εk + μτ ∑ xk − γ                    ∑ nk ( X − xk ) − ε X − ητ ∑ vk2
                       k =1            k =1          k =1                           k =1


                                                                                           9
Custo da Transação
Almgren e Chriss (1999)


                N             N
                                 1            ⎛   1 ⎞ N 2
                                                      ⎟
S = XS0 + σ τ ∑ xk εk + μτ ∑ xk − γ X − ε X − ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk
                                     2        ⎜
                                                      ⎟
              k =1         k =1  2            ⎜
                                              ⎝   2 ⎠ k =1

 O custo (estocástico) final da transação é:

   C = XS0 − XS
            N             N
                             1              ⎛   1 ⎞ N 2
   = −σ τ ∑ xk εk − μτ ∑ xk + γ X 2 + ε X + ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk
                                            ⎜       ⎟
                                                    ⎟
          k =1         k =1  2              ⎜
                                            ⎝   2 ⎠ k =1


          VARIÁVEL ESTOCÁSTICA                                 10
Custo da Transação
Almgren e Chriss (1999)



             N
                            1 N
                                           ⎛   1 ⎞ N 2
C = −σ τ ∑ xk εk − μτ ∑ xk + γ X 2 + ε X + ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk
                                           ⎜       ⎟
                                                   ⎟
         k =1         k =1  2              ⎜
                                           ⎝   2 ⎠ k =1


                         1N
                                      ⎛   1 ⎞ N 2
   E[C ] = C = −μτ ∑ xk + γ X + ε X + ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk
                             2
                                      ⎜       ⎟
                                              ⎟
                   k =1  2            ⎜
                                      ⎝   2 ⎠ k =1

                                              N
                                      = σ τ ∑ xk2
                                  2
                 V [C ] = C − C
                              2          2

                                             k =1

                                                              11
Estratégia Ótima de Execução
Almgren e Chriss (1999)


                         1N
                                      ⎛   1 ⎞ N 2
   E[C ] = C = −μτ ∑ xk + γ X + ε X + ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk
                             2
                                      ⎜       ⎟
                                              ⎟
                   k =1  2            ⎜
                                      ⎝   2 ⎠ k =1
                                                N
                                        = σ τ ∑ xk2
                                    2
              V [C ] = C − C  2            2

                                               k =1


    Estratégia ótima minimiza o custo de Liquidação da Posição:

                   L = E[C ] + rα V [C ]

                      Custo Médio        Custo de oportunidade do
                                              capital alocado
                                                                    12
Estratégia Ótima de Execução
Almgren e Chriss (1999)

           Assumindo vendas à velocidade constante:

                X   X                 ⎛  k⎞
                                          ⎟
            vk = =                    ⎜
                                 xk = ⎜1− ⎟ X
                T  τN                 ⎜ N⎠
                                      ⎝   ⎟


               1              1            ⎛η γ ⎞ X 2
                                                ⎟
                                           ⎜
      E[C ] = − μτ X ( N −1) + γ X + ε X + ⎜ + ⎟
                                  2

               2              2            ⎝    ⎟
                                           ⎜τ 2⎠ N


                       1 2 2 ⎛     1 ⎞⎛
                                     ⎟⎜1− 1 ⎞
                                            ⎟
               V [C ] = σ τ X N ⎜1− ⎟⎜
                                ⎜
                                     ⎟⎜     ⎟
                                            ⎟
                       3        ⎜ N ⎠⎝ 2 N ⎠
                                ⎝
                                                        13
Estratégia Ótima de Execução
 Almgren e Chriss (1999)

Assumindo que o drift é nulo a equação para o custo de liquidação é :


     1          ⎛η γ ⎞ X 2      1 2 2 ⎛       ⎞⎛     ⎞
         2      ⎜ + ⎟
L = − γ X + εX +⎜    ⎟                  ⎜1− 1 ⎟⎜1− 1 ⎟
                           + rα σ τ X N ⎜     ⎟⎜     ⎟
     2          ⎝    ⎟
                ⎜τ 2 ⎠ N        3             ⎟⎜
                                        ⎜ N ⎠⎝ 2 N ⎠
                                        ⎝            ⎟

                  A condição para o mínimo custo é:

                       1     1 2 2⎛      1 ⎞
                                           ⎟
                         rα σ τ X ⎜1−
                                    ⎜     2⎟
                                           ⎟
      ∂L    ⎛η γ ⎞ X 2
                       2     3      ⎜ 2N ⎠
                                    ⎝
         = −⎜ + ⎟ 2 +
            ⎜    ⎟
                 ⎟                           =0
      ∂N    ⎜τ 2 ⎠ N
            ⎝                     ⎛     ⎞
                                  ⎜1− 1 ⎟
                           ( N −1)⎜     ⎟
                                  ⎜ 2N ⎠
                                  ⎝     ⎟
                                                                    14
L-VaR


    L −VaR = α V [C ]   *



               Estratégia Ótima de
                    Execução




                                     15
Modelo em Tempo Contínuo
                       τ → 0, N → ∞
                k
  S k = S0 + σ ∑ τε j + μtk − γ ( X − xk ) − ε − ηvk
                j =1




                                        t

   S (t ) = S (0) + σ z (t ) + μt − γ   ∫ ds v(s) − ηv(t )
                                        0



               PROCESSO DE
                 WIENER                                      16
Modelo em Tempo Contínuo
                         τ → 0, N → ∞
                  N
                                 1N
                                              ⎛   1 ⎞ N 2
                                                      ⎟
S = XS0 + σ τ ∑ xk εk + μτ ∑ xk − γ X − ε X − ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk
                                     2        ⎜
                                                      ⎟
              k =1         k =1  2            ⎜
                                              ⎝   2 ⎠ k =1



 T                         T
                                           1                  1 2 2
v ∫ dt S (t ) = XS (0) + vσ ∫   dt z (t ) + μvT − εvT − ηv T − γ v T
                                               2          2

  0                         0
                                           2                  2



                                                                  17
Custo da Transação
                     T

    C = XS (0) − v ∫ dt S (t )
                     0
            T
                           1                  1 2 2
    = −vσ ∫     dt z (t ) − μvT + εvT + ηv T + γ v T
                               2          2

            0
                           2                  2

               1             ηX 2 1
      E[C ] = − μ XT + ε X +     + γX 2
               2              T   2
                        ⎡T            ⎤ 1
       V [C ] = v 2σ 2V ⎢⎢ ∫ dt z (t )⎥⎥ = T σ 2 X 2
                        ⎢⎣ 0          ⎥⎦ 3
                                                       18
Estratégia Ótima de Execução
 Assumindo que o drift é nulo a equação para o custo de liquidação é :



               1             ηX 2 1     1
          L = − μ XT + ε X +     + γX + TσX
                                     2

               2              T   2     3
                   A condição para o mínimo custo é:

               ∂L    1    η X 2 rα  1
                  = − μX − 2 + σ X    =0
               ∂T    2     T     2 3T
                                                  2
Considerando DRIFT nulo:            ⎛ 2 3η X ⎞
                                             ⎟
                                                  3
                                 T =⎜
                                   *
                                    ⎜
                                    ⎜ rασ ⎟
                                             ⎟
                                             ⎟
                                    ⎜
                                    ⎝        ⎠                       19
Holding Period Ótimo e L-VaR
   Impacto                          Posição
 temporário                 2                      100


          ⎛ 2 3η X ⎞
                   ⎟
                            3
       T =⎜
                                                    90

         *
          ⎜        ⎟
                   ⎟
          ⎜ rασ ⎟
                                                    80



          ⎜
          ⎝        ⎠                                70


                                               D    60
                                               O
                                               I
                                               R
                                               E
                                               P    50
                                               G
                                               N
                                               I
                                               D    40
                                               L
                                               O
                                               H
                                                    30
                                Volatilidade
  Custo de       Nível de                           20


oportunidade    Confiança                           10


                                                     0
                                                         0   100   200   300   400     500     600   700   800   900   1000

                                                                                     POSIÇÃO




                                                                                         1
                         1 * 2 2 ⎛ 2ησ 2α 2 X
                                 ⎜
                                                                                       4 3⎞
                                                                                          ⎟
              L −VaR = α T σ X = ⎜                                                        ⎟
                                                                                          ⎟
                         3       ⎜
                                 ⎝     3r                                                 ⎟
                                                                                          ⎠                                   20
Exemplos Numericos




                     21
Bibliografia

•Hisata Y. e Yamai Y., Research Towards the Practical Apllication of Liquididy
Risk Evaluation Methods, Monetary and Economic Studies , Dec/2000




                      Leituras Complementares
Shamroukh, N., Modeling Liquidity Risk in VaR Models, Algorithmcs UK, 2000
Bouchaud J.-P. et al., Fluctuations and response in financial markets: the subtle
nature of ‘random’ price changes, Quantitative Finance, 4 (2004) 176-190.
                                                                                 22

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V@R ajustado a liquidez

  • 1. L-VaR Análise de Risco (13) R.Vicente mpmmf 1
  • 2. Resumo Impacto sobre o Mercado Modelo em Tempo Discreto Estratégia Ótima de Execução L-VaR Modelo em Tempo Contínuo Bibliografia 2
  • 3. Impacto sobre o Mercado S0 Impacto Preço após ST negócio Permanente Impacto Temporário ST Preço de venda 3
  • 4. Modelo em Tempo Discreto Almgren e Chriss (1999) Venda de grande quantidade X de um determinado ativo em N etapas : t0 = 0, t1 ,..., t N = T T = Nτ tk +1 − tk = τ ⇒ tk = k τ , k = 0,..., N Holding Period A quantidade do ativo em carteira em cada instante é : x0 = X , x1 ,..., xN = 0 nk nk = xk −1 − xk vk = Quantidade vendida por τ intervalo de tempo em k 4
  • 5. Modelo em Tempo Discreto Almgren e Chriss (1999) X x0 = X , x1 ,..., xN = 0 x1 nk nk = xk −1 − xk vk = x2 τ n3 x3 x4 0 T τ Cronograma de Execução 5
  • 6. Modelo em Tempo Discreto Almgren e Chriss (1999) QUANTIDADE Movimento Browniano Aritmético VENDIDA Sk −1 S k − S k −1 = σ τεk + μτ − γ nk Sk VOLATILIDADE IMPACTO Sk BID-ASK SPREAD DRIFT PERMANENTE SOBRE O MERCADO S k − S k = ε + η vk QUANTIDADE VENDIDA POR UNIDADE DE TEMPO Preço de Venda IMPACTO 6 TEMPORÁRIO
  • 7. Bid-Ask Spread Bangia, Diebold, Schuermann e Stroughair(1999) SPREAD COMPRA PREÇO ILIQUIDEZ ENDÓGENA VENDA TAMANHO DA POSIÇÃO 7
  • 8. Preço de Venda Almgren e Chriss (1999) S k = S k −1 + σ τεk + μτ − γ nk − ε − ηvk k = S0 + σ ∑ τε j + μtk − γ ( X − xk ) − ε − ηvk j =1 IMPACTO RANDOM WALK até k PERMANENTE IMPACTO TEMPORÁRIO PREÇO DE VENDA k 8
  • 9. Valor Total da Venda Almgren e Chriss (1999) N S = ∑ nk S k k =1 N N k N = ∑ ( xk −1 − xk )S0 + σ τ ∑ ( xk −1 − xk )∑ ε j + μ∑ ( xk −1 − xk )tk k =1 k =1 j =1 k =1 N N N −γ ∑(x k =1 k −1 − xk )( X − xk ) − ε∑ ( xk −1 − xk ) − η ∑ ( xk −1 − xk )vk k =1 k =1 N N N N = XS0 + σ τ ∑ xk εk + μτ ∑ xk − γ ∑ nk ( X − xk ) − ε X − ητ ∑ vk2 k =1 k =1 k =1 k =1 9
  • 10. Custo da Transação Almgren e Chriss (1999) N N 1 ⎛ 1 ⎞ N 2 ⎟ S = XS0 + σ τ ∑ xk εk + μτ ∑ xk − γ X − ε X − ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk 2 ⎜ ⎟ k =1 k =1 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ k =1 O custo (estocástico) final da transação é: C = XS0 − XS N N 1 ⎛ 1 ⎞ N 2 = −σ τ ∑ xk εk − μτ ∑ xk + γ X 2 + ε X + ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk ⎜ ⎟ ⎟ k =1 k =1 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ k =1 VARIÁVEL ESTOCÁSTICA 10
  • 11. Custo da Transação Almgren e Chriss (1999) N 1 N ⎛ 1 ⎞ N 2 C = −σ τ ∑ xk εk − μτ ∑ xk + γ X 2 + ε X + ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk ⎜ ⎟ ⎟ k =1 k =1 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ k =1 1N ⎛ 1 ⎞ N 2 E[C ] = C = −μτ ∑ xk + γ X + ε X + ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk 2 ⎜ ⎟ ⎟ k =1 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ k =1 N = σ τ ∑ xk2 2 V [C ] = C − C 2 2 k =1 11
  • 12. Estratégia Ótima de Execução Almgren e Chriss (1999) 1N ⎛ 1 ⎞ N 2 E[C ] = C = −μτ ∑ xk + γ X + ε X + ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk 2 ⎜ ⎟ ⎟ k =1 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ k =1 N = σ τ ∑ xk2 2 V [C ] = C − C 2 2 k =1 Estratégia ótima minimiza o custo de Liquidação da Posição: L = E[C ] + rα V [C ] Custo Médio Custo de oportunidade do capital alocado 12
  • 13. Estratégia Ótima de Execução Almgren e Chriss (1999) Assumindo vendas à velocidade constante: X X ⎛ k⎞ ⎟ vk = = ⎜ xk = ⎜1− ⎟ X T τN ⎜ N⎠ ⎝ ⎟ 1 1 ⎛η γ ⎞ X 2 ⎟ ⎜ E[C ] = − μτ X ( N −1) + γ X + ε X + ⎜ + ⎟ 2 2 2 ⎝ ⎟ ⎜τ 2⎠ N 1 2 2 ⎛ 1 ⎞⎛ ⎟⎜1− 1 ⎞ ⎟ V [C ] = σ τ X N ⎜1− ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ 3 ⎜ N ⎠⎝ 2 N ⎠ ⎝ 13
  • 14. Estratégia Ótima de Execução Almgren e Chriss (1999) Assumindo que o drift é nulo a equação para o custo de liquidação é : 1 ⎛η γ ⎞ X 2 1 2 2 ⎛ ⎞⎛ ⎞ 2 ⎜ + ⎟ L = − γ X + εX +⎜ ⎟ ⎜1− 1 ⎟⎜1− 1 ⎟ + rα σ τ X N ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎟ ⎜τ 2 ⎠ N 3 ⎟⎜ ⎜ N ⎠⎝ 2 N ⎠ ⎝ ⎟ A condição para o mínimo custo é: 1 1 2 2⎛ 1 ⎞ ⎟ rα σ τ X ⎜1− ⎜ 2⎟ ⎟ ∂L ⎛η γ ⎞ X 2 2 3 ⎜ 2N ⎠ ⎝ = −⎜ + ⎟ 2 + ⎜ ⎟ ⎟ =0 ∂N ⎜τ 2 ⎠ N ⎝ ⎛ ⎞ ⎜1− 1 ⎟ ( N −1)⎜ ⎟ ⎜ 2N ⎠ ⎝ ⎟ 14
  • 15. L-VaR L −VaR = α V [C ] * Estratégia Ótima de Execução 15
  • 16. Modelo em Tempo Contínuo τ → 0, N → ∞ k S k = S0 + σ ∑ τε j + μtk − γ ( X − xk ) − ε − ηvk j =1 t S (t ) = S (0) + σ z (t ) + μt − γ ∫ ds v(s) − ηv(t ) 0 PROCESSO DE WIENER 16
  • 17. Modelo em Tempo Contínuo τ → 0, N → ∞ N 1N ⎛ 1 ⎞ N 2 ⎟ S = XS0 + σ τ ∑ xk εk + μτ ∑ xk − γ X − ε X − ⎜η + γτ ⎟ τ ∑ vk 2 ⎜ ⎟ k =1 k =1 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠ k =1 T T 1 1 2 2 v ∫ dt S (t ) = XS (0) + vσ ∫ dt z (t ) + μvT − εvT − ηv T − γ v T 2 2 0 0 2 2 17
  • 18. Custo da Transação T C = XS (0) − v ∫ dt S (t ) 0 T 1 1 2 2 = −vσ ∫ dt z (t ) − μvT + εvT + ηv T + γ v T 2 2 0 2 2 1 ηX 2 1 E[C ] = − μ XT + ε X + + γX 2 2 T 2 ⎡T ⎤ 1 V [C ] = v 2σ 2V ⎢⎢ ∫ dt z (t )⎥⎥ = T σ 2 X 2 ⎢⎣ 0 ⎥⎦ 3 18
  • 19. Estratégia Ótima de Execução Assumindo que o drift é nulo a equação para o custo de liquidação é : 1 ηX 2 1 1 L = − μ XT + ε X + + γX + TσX 2 2 T 2 3 A condição para o mínimo custo é: ∂L 1 η X 2 rα 1 = − μX − 2 + σ X =0 ∂T 2 T 2 3T 2 Considerando DRIFT nulo: ⎛ 2 3η X ⎞ ⎟ 3 T =⎜ * ⎜ ⎜ rασ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ 19
  • 20. Holding Period Ótimo e L-VaR Impacto Posição temporário 2 100 ⎛ 2 3η X ⎞ ⎟ 3 T =⎜ 90 * ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ rασ ⎟ 80 ⎜ ⎝ ⎠ 70 D 60 O I R E P 50 G N I D 40 L O H 30 Volatilidade Custo de Nível de 20 oportunidade Confiança 10 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 POSIÇÃO 1 1 * 2 2 ⎛ 2ησ 2α 2 X ⎜ 4 3⎞ ⎟ L −VaR = α T σ X = ⎜ ⎟ ⎟ 3 ⎜ ⎝ 3r ⎟ ⎠ 20
  • 22. Bibliografia •Hisata Y. e Yamai Y., Research Towards the Practical Apllication of Liquididy Risk Evaluation Methods, Monetary and Economic Studies , Dec/2000 Leituras Complementares Shamroukh, N., Modeling Liquidity Risk in VaR Models, Algorithmcs UK, 2000 Bouchaud J.-P. et al., Fluctuations and response in financial markets: the subtle nature of ‘random’ price changes, Quantitative Finance, 4 (2004) 176-190. 22