Risco de Crédito 2: CreditRisk+

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Risco de Crédito 2: CreditRisk+

  1. 1. Modelos para Risco de Crédito 2: Credit Risk + Análise de Risco (10) R.Vicente 1
  2. 2. Resumo Introdução Taxas de default constantes e setor único Freqüência de Defaults Severidade das Perdas Taxas de default variáveis e múltiplo setor Freqüência de Defaults Severidade das Perdas Bibliografia 2
  3. 3. Panorama Geral FREQÜÊNCIA SEVERIDADE DE PERDAS DAS PERDAS DISTRIBUIÇÃO DE PERDAS POR DEFAULT 3
  4. 4. Inputs 1: Rating Cre dit Me a n S ta nda rd Ra ting De fa ult ra te De via tio n A 1.50% 0.75% B 1.60% 0.80% C 3.00% 1.50% D 5.00% 2.50% E 7.50% 3.75% F 10.00% 5.00% G 15.00% 7.50% H 30.00% 15.00% 4
  5. 5. Inputs 2: Exposições Cre dit Na me Ex po sure Ra ting 1 358,475 H 2 1,089,819 H 3 1,799,710 F 4 1,933,116 G 5 2,317,327 G 6 2,410,929 G 7 2,652,184 H 8 2,957,685 G 9 3,137,989 D 10 3,204,044 D 11 4,727,724 A 12 4,830,517 D 13 4,912,097 D 14 4,928,989 H 5 15 5,042,312 F
  6. 6. Output: Distribuição de Perdas Cre dit Lo s s Dis tributio n Cre dit 2.50% Loss Pe rce ntile Amo unt Mean 11,162,856 2.00% 50.00 9,191,511 75.00 16,114,274Marg inal Pro bability 1.50% 95.00 28,823,669 97.50 33,733,871 99.00 39,946,857 1.00% 99.50 44,482,660 99.75 48,915,922 99.90 54,644,673 0.50% 0.00% 0 5,000,000 10,000,000 15,000,000 20,000,000 25,000,000 30,000,000 6 Lo s s
  7. 7. TAXAS DE DEFAULTCONSTANTES E SETOR ÚNICO 7
  8. 8. Freqüência de Defaults Suponhamos uma carteira contendo N contrapartes. Qual é a probabilidade p ( n) de n defaults em uma janela de tempo especificada ? NIntroduzamos a função auxiliar F ( z ) = ∑ p ( n) z n n=0Seja q j = Probabilidade de default de j na janela , assumindo que: a) defaults são eventos independentes; b) taxas não variam no tempo, teremos: N N F ( z ) = ∏ ⎢⎡(1− q j ) + q j z ⎥⎤ = ∏ ⎡⎣1 + q j ( z −1)⎤⎦ j =1 ⎣ ⎦ j=1 8
  9. 9. Freqüência de Defaults N F ( z ) = ∏ ⎡⎣1 + q j ( z −1)⎤⎦ j =1 N ln F ( z ) = ∑ ln ⎡⎣1 + q j ( z −1)⎤⎦ j =1Assumindo que 0 < qj 1 , utilizamos ln (1 + ε) ≈ ε e obtemos: N ln F ( z ) = ( z −1) ∑ q j j =1 ⎡ N ⎤ F ( z ) = exp ⎢⎢( z −1) ∑ q j ⎥⎥ ⎢⎣ j =1 ⎥⎦ 9
  10. 10. Freqüência de Defaults NIdentificando o número médio de defaults μ = ∑q j =1 j : F ( z ) = e−μ e zμExpandindo em série de Taylor: ∞ e−μ μ n n ∞ F ( z) = ∑ z = ∑ p ( n) z n n=0 n! n=0Lembrando da definição da função auxiliar. e−μ μ n p ( n) = n! 10
  11. 11. Severidade dos DefaultsPara cada contraparte j.A exposição a risco de crédito é a perda incorrida em um default. L j = Lν jA perda esperada é a perda agregada esperada dada por: λ j = L j μ j = Lν j μ j = Lε j Probabilidade de default de acordo com a classificação de crédito 11
  12. 12. Severidade dos DefaultsAs exposições são agrupadas em bandas: Lν1 Lν2 Lν3 Lν4 ... Lνm νa ∈Cada banda com uma perda esperada associada: εa = ν a μa 1 ≤ a ≤ mO número esperado de defaults em cada banda dado por : εj μa = ∑ j:ν j =ν a νj 12
  13. 13. Severidade dos DefaultsIntroduzindo uma função geratriz para as perdas agregadas: ∞ G ( z ) = ∑ p (nL) z n n=0Assumindo as bandas são independentes (as exposições sãoindependentes): m G ( z ) = ∏ Ga ( z ) a=1Tratando cada banda como uma carteira : ∞ e−μa μa nνa ∞ n Ga ( z ) = ∑ p(n) z nνa =∑ z =e−μa +μa z ν a n=1 n=1 n! 13
  14. 14. Severidade dos Defaults ∞ ∞ −μa e μ nνanGa ( z ) = ∑ p(n) z nν a =∑ z =e a−μa +μa z ν a n=1 n=1 n! m m G ( z ) = ∏ Ga ( z ) = ∏ e −μa +μa z ν a a =1 a =1 ⎡ m m ⎤ = exp ⎢−∑ μa + ∑ μa z ⎥ νa ⎢⎣ a=1 a =1 ⎥⎦ 14
  15. 15. Severidade dos DefaultsDerivadas n-ésimas da função geratriz em z=0 fornecem asprobabilidades p(n) ∞ n 1 d G( z) G ( z ) = ∑ p(lL) z l n = p (nL) l =0 n ! dz z =01 d nG ( z ) 1 dn ⎡ m m ⎤ = exp ⎢−∑ μa + ∑ μa z ⎥ νan ! dz n n ! dz n ⎢⎣ a=1 a =1 ⎥⎦ z =0 z =0 1 d n−1 d m = n ! dz n−1 G( z) dz ∑ μa z νa z =0 z =0 a =1 1 n−1 ⎜n −1⎞ d n−k −1 ⎛ ⎟ d k +1 m = ∑⎜ ⎟ ⎟ G ( z ) k +1 ∑ μa z νa ⎜ k ⎠ dz n−k −1 n ! k =0 ⎝ ⎟ dz z =0 z =0 a =1 15
  16. 16. Severidade dos Defaults d n−k −1G ( z ) n−k −1 = (n − k −1)! p ((n − k −1)! L) dz z =0 d k +1 m ⎧μa (k + 1)!, se ∃a : ν a = k + 1 ⎪ ∑ μa z = ⎪ νa ⎨ dz k +1 z =0 a =1 ⎪ ⎪ ⎩ 0, cc 1 n−1 ⎛n −1⎞ ⎟ ⎜p (nL) = ∑ n ! k =0 ⎜ ⎜ k ⎠ ⎝ ⎟(n − k −1)!(k + 1)!μa p((n − k −1) L) ⎟ ⎟ ∃a:ν a = k +1 16
  17. 17. Severidade dos Defaults ⎛ ⎞ 1 n−1 ⎜n −1⎟(n − k −1)!(k + 1)!μ p ((n − k −1) L)p (nL) = ∑ n ! k =0 ⎜ ⎜ k ⎠ ⎝ ⎟ ⎟ ⎟ a ∃a:ν a = k +1 ν a μa εa p (nL) = ∑ p((n − ν a ) L) = ∑ p ((n − ν a ) L) a:ν a ≤n n a:ν a ≤n n ⎡ m ⎤ p(0) = exp ⎢−∑ μa ⎥ ⎢⎣ a=1 ⎥⎦ 17
  18. 18. TAXAS DE DEFAULTVARIÁVEIS E MÚLTIPLOS SETORES 18
  19. 19. Setores SETOR = FATOR DE RISCO S1 S2 Sk Sn xk ~ p (μk , σk ) Número médio de defaults por unidade de tempo μk = xk σ = ( xk − μk ) 2 2 Variância de defaults por k unidade de tempo Número de defaults por unidade de tempo = variável aleatória 19
  20. 20. VolatilidadesVolatilidades e taxas de default dependem primordialmente da qualidade dacontraparte. Volatilidades e taxas de cada setor são obtidas a partir de dadospara cada rating. μa FATOR DE x = a x RISCO μ = μk k k μ ∑a a ( xa − μa ) Cre dit Me a n S ta nda rd 2 Ra ting De fa ult ra te De via tio n σ = 2 a A 1.50% 0.75% ⎛ μa xk ⎞ ⎛ μa ⎞ 2 B 1.60% 0.80% 2 2 C 3.00% 1.50% ⎜ = ⎜ ⎜ μ − μa ⎟ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ σk ⎜ ⎟ ⎜μ ⎠ ⎟ D 5.00% 2.50% ⎝ k ⎟ ⎠ ⎝ ⎟ k E 7.50% 3.75% F 10.00% 5.00% G 15.00% 7.50% σk H 30.00% 15.00% σa = μa μk 20
  21. 21. Volatilidades μa σkμk = ∑ μa xa = xk σa = μa μk μk a σk ∑ σa = μ ∑μCre dit Me a n S ta ndardRa ting De fa ult ra te De via tio n a = σk A 1.50% 0.75% a a k B 1.60% 0.80% C 3.00% 1.50% D 5.00% 2.50% Ex: SETOR = A+B+H E 7.50% 3.75% F 10.00% 5.00% μsetor = μ A + μB + μH G 15.00% 7.50% H 30.00% 15.00% = 1,5% + 1, 6% + 30% = 33, 2% σ setor = σ A + σB + σH = 0, 75% + 0,8% + 15 = 16,55% 21
  22. 22. Número de Defaults com Taxa deDefaults Estocástica n F ( z ) = ∏ Fk ( z ) SETORES k =1 INDEPENDENTES Fk ( z xk = x) = e x( z−1) ∞ Fk ( z ) = ∫ dx Fk ( z xk = x ) f ( x ) x=0 ∞ x( z −1) = ∫ dx e f ( x) x=0 22
  23. 23. Taxa de Defaults Estocástica: Distribuição Gama ∞ Fk ( z )= ∫ dx e ( ) f ( x) x z −1 − x x=0 1 f ( x) = α e xα−1 β β Γ(α ) ∞ μ = αβ σ 2 = αβ 2 Γ(α ) = ∫ dx e− x x α−1 x =0 1 0.2 0.0450.90.8 0.18 0.16 α=5 0.04 0.035 α = 1000.7 β =1 β =1 0.14 0.030.6 0.12 α = β =1 0.0250.5 0.1 0.020.4 0.080.3 0.015 0.060.2 0.01 0.040.1 0.02 0.005 0 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 2 4 6 8 10 12 14 70 80 90 100 110 120 130 140 μk 2 σk 2 PARA O SETOR k αk = 2 βk = σk μk 23
  24. 24. Taxa de Defaults Estocástica ∞ ∞ x 1 − x( z −1) x( z−1)Fk ( z ) = ∫ dx e f ( x) = ∫ dx e e x α−1β x=0 x =0 β α Γ(α ) ∞ x 1 xz − x− ∫ dx e x α−1 β = α = β Γ(α ) x=0 ⎜ ⎜ ⎛ 1⎞ y =− x⎜ z−1− ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ β⎠ ∞ 1 1 ∫ −y α−1 = α dy e y = α ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ β Γ(α ) ⎜1 + − z ⎟ α ⎜ ⎟ ⎟ y =0 β ⎜1 + − z ⎟ α⎜ ⎟ ⎟ ⎜ β ⎝ ⎠ Γ (α ) ⎜ ⎝ β ⎠ 24
  25. 25. Taxa de Defaults Estocástica αk 1 ⎛ 1− λk ⎞ ⎟ Fk ( z ) = = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎞ λk = ββ ⎜1− λk z ⎠ ⎟ αk ⎛ ⎝ βk k ⎜1 + − z ⎟ k α 1 ⎜ ⎟ ⎟ 1+ k ⎜ β ⎝ ⎟ ⎠ k αk ⎛ 1− λk ⎞ ⎟ Fk ( z ) = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜1− λ z ⎠ ⎝ k ⎟ αk ⎡ αk (αk −1) 2 2 ⎤ = (1− λk ) ⎢1 + zαk λk + λk z + ⎥ ⎢ 2! ⎥ ⎣ ⎦ ∞ ⎛ ⎜ n + αk −1⎞ n n ⎟ = (1− λk ) ∑ ⎜ αk ⎟λk z ⎟ n=0 ⎜ ⎝ n ⎟ ⎠ 25
  26. 26. Frequência de Defaults ∞ Fk ( z ) = ∑ p (n) z n n=0 0.2 ⎛n + αk −1⎞ n ⎟λ (1− λ )αk ⎜ p ( n) = ⎜ ⎟ k ⎟0.180.16 ⎜ ⎝ n ⎟ ⎠ k0.140.12 0.1 Distribuição Binomial Negativa0.08 (Pascal)0.060.040.02 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26
  27. 27. Bibliografia•Crouhy M. Galai D. e Mark R., A comparative analysis of current credit riskmodels, Journal of Banking and Finance 24 (2000) 59-117.•Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.• Saunders A., Credit Risk Measurement, John Wiley, 1999•CreditRisk+,CSFB,1997 (http://www.csfb.com/creditrisk/) Leitura ComplementarBasle Committee on Banking Supervision, Credit Risk Modelling:Current Practices and Applications, April 1999. (www.bis.org) 27

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