Medidas de Risco         Análise de Risco (3)                   R.Vicente                                1
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AxiomatizaçõesPedresen-Satchell ‘98 :( PS 1) R ( X ) ≥ 0                      Risco como desvio.( PS 2) R(cX ) = cR( X ) c...
Axiomatizações A medida de Risco é convexa :0 ≤ c ≤1( PS 2)e( PS 3) R (cX 1 + (1− c) X 2 ) ≤ cR( X 1 ) + (1− c) R( X 2 )  ...
Axiomatizações De (PS4), (PS 3) e (PS 1) :( PS 4) R ( X + c) ≤ R ( X ) ∀c( PS 3) R ( X 1 + X 2 ) ≤ R( X 1 ) + R( X 2 )R ( ...
Axiomatizações: Medidas Coerentes    Artzner-Delbaen-Eber-Heath ‘99 :( ADEH 1) R ( X 1 + X 2 ) ≤ R ( X 1 ) + R ( X 2 )    ...
Axiomatizações: Medidas Coerentes   Artzner-Delbaen-Eber-Heath ‘99 :( ADEH 3) R ( X + c) = R ( X ) − cc = R( X ) ⇒ R( X + ...
Medidas Tipo 1: Desvio PadrãoMarkowitz ’52:                          R ( X ) = var( X )Vantagens:                         ...
Medidas Tipo 1: Desvio PadrãoKijima e Ohnishi ’93:                                                                        ...
Downside RiskRisco de queda em relação a um determinado benchmark.Momentos parciais de grau k (Fishburn ’77):             ...
Downside RiskEscolhendo   b=E X          : Semi Desvio Absoluto Esperado:   R( X ) = E max ( E X − X , 0)                 ...
Medidas CondicionaisQueda Condicional Esperada:                 MELb ( X ) = E b − X X ≤ b                = ∫ dx (b − X ) ...
Classe Geral de Medidas de Risco            ⎡                                   ⎤                z                        ...
Medidas Tipo 2: Value-at-Risk       A perda potencial na janela de tempo h é:                               L = Vt −Vt−h O...
Medidas Tipo 2: Value-at-Risk    Propriedades:         ( ADEH 2) VaRα (cX ) = cVaRα ( X ) c ≥ 0         ( ADEH 3) VaRα ( X...
VaR Condicional  Medida coerente na maioria dos casos práticos.                CVaRα ( L) = E L L > VaRα  Pode ser decompo...
Bibliografia• Alexander, C. Market Models 2001• Albrecht, P., Risk Measures, preprint 2004                         Leitura...
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  1. 1. Medidas de Risco Análise de Risco (3) R.Vicente 1
  2. 2. Resumo O que é uma medida de Risco Medida de risco derivada da Teoria de Utilidade Axiomatizações Medidas Coerentes Downside Risk Medidas Condicionais VaR CVaRBibliografia 2
  3. 3. Qual carteira é mais arriscada ? CARTEIRA A CARTEIRA B RETORNO PROBABILIDADE PROBABILIDADE -10 0,01 0,01 -7,5 0,04 0,04 -5 0,05 0,25 -2,5 0,1 0,25 0 0,5 0,3 2,5 0,15 0,1 5 0,15 0,05 RET ESPERADO 0,225 -1.775 DESVIO PADRAO 3,124 3,128 1% VaR -10 -10 5% VaR -7,5 -7,5 0,6 0,5 0,4 CARTEIRA A 0,3 CARTEIRA B 0,2 0,1 0 1 2 3 4 5 6 7 3
  4. 4. O que é uma medida de risco ?Relação de preferência: A B ⇔ Φ(X A ) > Φ(X B )Relação de risco: A R B ⇔ R(X A ) > R(X B ) R(.) = medida de risco 4
  5. 5. O que é uma medida de risco ?Relação de preferência: A B ⇔ Φ(X A ) > Φ(X B )Carteira Eficiente (Markowitz): Φ(X A ) = H ⎡ var[X ], E [X ]⎤ ⎢⎣ A A ⎥ ⎦ X A é o retorno da carteira A. 5
  6. 6. Dois Tipos de Medidas de RiscoTipo 1: Amplitude de desvios em relação auma meta.Tipo 2: Capital necessário ou Prêmio a sercobrado. 6
  7. 7. Medidas de Risco Derivadas da Teoria de Utilidade Medida de Risco Padrão (Jia e Dyer ’96): R ( X ) = −E U ( X − E X )Se U (x ) = ax − bx 2 : R ( X ) = −E a ( X − E X ) − b ( X − E X ) 2 = b var X 7
  8. 8. Medidas de Risco Derivadas daTeoria de Utilidade U (x ) = ax − bx 2 1,0 - (2,0) (1,7) (1,4) (1,1) (0,8) (0,5) (0,2) 0,1 0,4 0,7 1,0 1,3 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8 (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) (6,0) (7,0) 8
  9. 9. Medidas de Risco Derivadas da Teoria de UtilidadeSe U (x ) = ax − bx 2 + cx 3 :R ( X ) = −E a ( X − E X ) − b ( X − E X ) + c( X − E X ) 2 3 3 = b var X − cλ3 var X 2 20,0 15,0 10,0 5,0 - (2,0) (1,7) (1,4) (1,1) (0,8) (0,5) (0,2) 0,1 0,4 0,7 1,0 1,3 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8 (5,0) (10,0) (15,0) (20,0) 9
  10. 10. Medidas de Risco Derivadas da Teoria de UtilidadeSe U (x ) = ax − x : R ( X ) = −E a ( X − E X ) − X − E X = DMA X 4,0 3,0 2,0 1,0 - (2,0) (1,7) (1,4) (1,1) (0,8) (0,5) (0,2) 0,1 0,4 0,7 1,0 1,3 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8 (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0) (6,0) (7,0) 10
  11. 11. AxiomatizaçõesPedresen-Satchell ‘98 :( PS 1) R ( X ) ≥ 0 Risco como desvio.( PS 2) R(cX ) = cR( X ) c ≥ 0 Proporcional ao tamanho.( PS 3) R ( X 1 + X 2 ) ≤ R( X 1 ) + R ( X 2 ) Diversificável.( PS 4) R( X + c) ≤ R( X ) ∀c Risk-free não altera a medida. 11
  12. 12. Axiomatizações A medida de Risco é convexa :0 ≤ c ≤1( PS 2)e( PS 3) R (cX 1 + (1− c) X 2 ) ≤ cR( X 1 ) + (1− c) R( X 2 ) 12
  13. 13. Axiomatizações De (PS4), (PS 3) e (PS 1) :( PS 4) R ( X + c) ≤ R ( X ) ∀c( PS 3) R ( X 1 + X 2 ) ≤ R( X 1 ) + R( X 2 )R ( X + c ) ≤ R ( X ) ⇔ R ( X ) + R (c ) ≤ R ( X ) ⇒R (c ) ≤ 0( PS1) R(c) ≥ 0 ⇒ R (c) = 0 13
  14. 14. Axiomatizações: Medidas Coerentes Artzner-Delbaen-Eber-Heath ‘99 :( ADEH 1) R ( X 1 + X 2 ) ≤ R ( X 1 ) + R ( X 2 ) Diversificável.( ADEH 2) R(cX ) = cR( X ) c ≥ 0 Proporcional ao tamanho.( ADEH 3) R ( X + c) = R ( X ) − c ∀c Redução de Risco por Alocação.( ADEH 4) X ≤ Y ⇒ R (Y ) ≤ R ( X ) + arriscado = maior perda 14
  15. 15. Axiomatizações: Medidas Coerentes Artzner-Delbaen-Eber-Heath ‘99 :( ADEH 3) R ( X + c) = R ( X ) − cc = R( X ) ⇒ R( X + R( X )) = 0 Tipo 2: Redução de Risco por alocação de capital. 15
  16. 16. Medidas Tipo 1: Desvio PadrãoMarkowitz ’52: R ( X ) = var( X )Vantagens: Desvantagens:(1) Fácil de calcular e manipular; (1) Trata perdas e ganhos igualmente;(2) Fácil de otimizar.; (2) Insensível a caudas pesadas;(3) Fácil de estimar. (3) Fácil de estimar. 16
  17. 17. Medidas Tipo 1: Desvio PadrãoKijima e Ohnishi ’93: 1 k k R( X ) = E X − E X 1.200,0 1.000,0 800,0 600,0 400,0 200,0 - (2,4) (2,1) (1,8) (1,5) (1,2) (0,9) (0,6) (0,3) 0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 17
  18. 18. Downside RiskRisco de queda em relação a um determinado benchmark.Momentos parciais de grau k (Fishburn ’77): LPM k ( X ; b) = E max (b − X , 0) kCaso k=0 (Probabilidade de Queda): SPb (X ) = P {X ≤ b } = F (b)Caso k=1 (Queda Esperada): SEb = E max (b − X , 0) SVb = E max (b − X , 0) 2 Caso k=2 (Dispersão da Queda): 18
  19. 19. Downside RiskEscolhendo b=E X : Semi Desvio Absoluto Esperado: R( X ) = E max ( E X − X , 0) R( X ) = E max ( E X − X , 0) 2 Semi Variância: 19
  20. 20. Medidas CondicionaisQueda Condicional Esperada: MELb ( X ) = E b − X X ≤ b = ∫ dx (b − X ) p( x X ≤ b) p ( x ∧ X ≤ b) =∫ dx (b − x) P ( X ≤ b) E max (b − X , 0) SEb ( X ) = = P ( X ≤ b) SPb ( X ) 20
  21. 21. Classe Geral de Medidas de Risco ⎡ ⎤ z b R( X ) = ⎢ ∫ ( x − c ) w[ F ( y ) ] f ( y )dy ⎥ a ⎢⎣ −∞ ⎥⎦ Satisfazem os Axiomas PS 21
  22. 22. Medidas Tipo 2: Value-at-Risk A perda potencial na janela de tempo h é: L = Vt −Vt−h O VaR no nível de confiança α é implicitamente definido através de: P( L > VaRα ) = α Assim: VaRα = F −1 (1− α ) 22
  23. 23. Medidas Tipo 2: Value-at-Risk Propriedades: ( ADEH 2) VaRα (cX ) = cVaRα ( X ) c ≥ 0 ( ADEH 3) VaRα ( X + c) = VaRα ( X ) − c ∀c ( ADEH 4) X ≤ Y ⇒ VaRα (Y ) ≤ VaRα ( X ) No entanto: ( ADEH 1) VaRα ( X 1 + X 2 ) ≤ VaRα ( X 1 ) + VaRα ( X 2 ) Vale para distribuições normais mas não vale em geral. O Value-at-Risk não é uma medida coerente ! 23
  24. 24. VaR Condicional Medida coerente na maioria dos casos práticos. CVaRα ( L) = E L L > VaRα Pode ser decomposto como: CVaRα ( L) = VaRα ( L) + E L −VaRα L > VaRα 24
  25. 25. Bibliografia• Alexander, C. Market Models 2001• Albrecht, P., Risk Measures, preprint 2004 Leitura ComplementarJia, J. Dier, J.S. : A Standard Measure of Risk and Risk-Value Models,Management Science 42, 1691-1705 (1996) 25

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