1. Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik(1)
L R Hukum Fisis : Kirchoff
Persamaan dinamis sistem
c / Persamaan differensial
ei eo
di 1
 Ri   idt  ei
i
L
dt c
1
c
idt  eo
Dalam bentuk Laplace : (anggap kondisi mula = 0)
1
sLI ( s)  RI ( s)  I ( s)  Ei ( s)
Cs
1 I (s)
I ( s )  Eo ( s )   sEo ( s)
sC C
I (s)
s 2 LI ( s )  RsI ( s )   sEi ( s )
c
Fungsi alih :
I (s)
Eo ( s ) C 1
 
E i (s)  2 1 LCs  RCs  1
2
 s L  Rs   I ( s)
 C

2. Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (3)
i2 R2 Op Amp ideal :
Zin = ~
R1 Sehingga i0 = 0
-
ei i1 ex i0
+ eo ex ~0virtual ground,
sehingga
i 1  i 2
Persamaan Rangkaian:
ei  ex ex  eo e e
  i  o
R1 R2 R1 R2
Diperoleh:
R2
eo   e:
R1

3. Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (4)
i2 c i1  i2  i3
ei  e x ei
i3 R2
i1  ~
R1 Ri
R1
- d (e x  eo )
i1 ex
+
i2  C
ei eo
dt
 de o
~C
dt
e e e
i3  x o ~ o
R2 R2
ei deo eo
 C 
R1 dt R2
Ei ( s ) E ( s)
  sCEo ( s )  o
R1 R2
sehingga
Eo ( s ) R  1
  2 
 R  R Cs  1
Ei ( s )  1 2

4. Model Matematis untuk Generator DC :
Rf Rg Lg
ef eg ea zL
Lf
ia
if
if = arus medan n ia = arus jangkar
 Kecepatan konstan n
 Arus output ia dapat dikontrol dari besarnya arus if
eg  k1  n  
  k2  i f
 eg  k g  i f (1)
Konstanta generator
KVL pada kiri/input :
dif
e f : R f i f  L f
(1) ( 2)
dt
eg
if  (3)
kg
Substitusi (3) - (2):
eg L f deg
ef  Rf 
kg k g dt

5. Dalam Laplace:
E f ( s) 
1
kg
 
R f  sL f E g ( s )
FungsiAlih :
E g (s) kg

E f ( s ) R f  sL f
KVL pada loop kanan/ouput
dia
 ea  eg  ia Rg  L  Lg ;
dt
ea  ia  z L
Atau:
ea
ia 
zL
Substitusi :
ea Lg dea
 ea   e g  R g 
zL z L dt
 Rg Lg dea 
e g  eat  ea  
 zL z L dt 
 Rg sLg 
E g ( s )  1    Ea ( s)
 z L ( s) z L (s) 

6.  z L ( s) 
  E ( s)
 z L ( s)  a
Diperoleh:
Ea ( s) z L ( s)

E g ( s) z L ( s)  Rg  Lg s
Sehingga :
Ea ( s) E g ( s) Ea ( s)
 x
E f ( s) E f ( s) E g ( s)
Rg z L ( s)
 x
R  sLf z L ( s)  Rg  sLg

7. Model Matematis untuk Motor DC dengan
Pengontrolan Arus Jangkar
rangkaian jangkar
Rm Lm
ea em   o(t) simpangan sudut
ia
J inersia
ia = arus jangkar Lf
B= damping
If
Ef = konstan
if = arus medan
em = tegangan terinduksi
em  k1    n n= kecepatan rotasi (putaran)motor
If = konstan
  k2  i f  = konstan
sehingga
do
em  ke  n  ke Ke = konstanta tegangan motor
dt

8. Persamaan rangkaian :
dia
ea  Rm ia  Lm  em
dt
d d
ea  Rm ia  Lm ia  k e o
dt dt
Ea ( s)   Rm  sLm  I a ( s)  k e so ( s)
Persamaan Beban
Torsi yang dihasilkan motor : sebanding dengan fluksi  (yang dalam
hal ini konstan) dan sebanding dengan arus jangkar ia
T = k T . ia
KT = konstansta torsi motor
d 2o d
T  J 2 B -
dt dt
atau :

kT I a (s)  Js 2  Bs o (s) 
sehingga :
 o ( s) kT

Ea  s J Lm s2   Rm J  Lm Bs2   Rm B  ke kT s
Dengan definisi :

9. Lm
Ta   Konstanta waktu jangkar
Rm
J Rm Konstanta waktu motor
Tm  
ke kT
Rm B
   Faktor redaman
ke kT
Diperoleh:
 s  s 1k


Ea  s s Ta Tm s2  Tm   Ta s    1 

10. Model Matematis untuk Motor DC dengan
Pengontrolan Arus Jangkar :
back emf volt
Ra La
 simpangan sudut pores motor rad
ea eb  J
ia
moren
b = kref gesekan motor + beban
ia = arus jangkar inersia Nm / rad/s
motor + beban
if konstan kg m2
arus medan
torsi yang dihasilkan motor, Nm
Fluksi oleh arus medan :
  k f i f   untuk if konstan
Konstan
Torsi T :
T  ki ia   ki  ia  k f  i f  k  ia
k = konstanta motor - torsi
Tegangan Back EMF:
Tegangan EMF: proporsional terhadap fluksi (konstan) &
kecepatan sudut putaran poros motor.
d
eb  kb 
dt

11. Persamaan input :
dia
La  Ra ia eb  ea
dt
Persamaan output :
d 2 d
T  k  ia  J 2  b
dt dt

12. Model Matematis untuk Sistem Generator-Motor
Ward-Leonard
Generator dc mendrive motor dc dengan pengontrolan arus jangkar
Konfigurasi dasar :
Rf Rg Lg Rm Lm
ef Lf eg em
if ia o
n J
generator dc If
B
Ef
servo motor
Fungsi alih :
E g  s kg

E f  s R f  sL f
Persamaan Loop kanan :
d
  
eg  Rg  Rm ia  Lg  Lm  din
dt
 ke o
dt
E ( s)   R  R   s L  L I ( s)  k s ( s)
g g m g m a e o

13. Persamaan Beban :
d 2 o d
T J B o
d 2 dt
 
kT  I a ( s )  Js 2  Bs o ( s )
I (s) 
Js 2
 Bs 
o ( s)
a
kT
atau :
   
ea  eg  Rm  Rm  Rg ; Lm  Lm  Lg , sehingga
 o ( s) kT

 g m 
g m g    
m g 
E g ( s) s J L  L s2  R  R J  L  L B s  R  R B  k k
m e T 
sehingga :
 o  s  o ( s) E g ( s)
 x
e f ( s) E g ( s) E f ( s)
= ……………………..

14. Model Matematis untuk Motor DC dengan
Pengontrolan Arus Medan
Rf Ia = arus jangkar konstan
ef Lf Ea
if
if = arus medan  o(t)
J
B
Torsi yang dihasilkan motor :
T ~ a  kons tan
~ if
sehingga
T = kT . if
Pers beban :
d 2o do
T  J 2 B
dt dt
J d 2o do
if  B
kT dt 2 dt
Pers loop kiri / input :
di f
e f  i f Rf  Lf
dt

15. Diperoleh:
 o ( s) kT R f  B
 
E f ( s) s1  T f s 1  Tm s 
Lf
Tf   Konstanta waktu rangkaian
Rf medan
J
Tm   Konstanta waktu motor
B

16. Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Translasi(1)
n input
pada t < 0 : sistem tak bergerak
y output pada t = 0 gerobak di gerakan
dengan
k kecepatan konstan
m
b dn
 kons tan
dt
y = output relatif terhadap
ground
d 2 y  dy dn 
m 2  b    k  y  n 
dt  dt dt 
d2y dy dn
m 2  b  ky  b  kn
dt dt dt
Laplace :
ms 2

 bs  k Y ( s)  bs  k U ( s)
Y ( s) bs  k

U ( s) ms 2  bs  k

17. Model untuk Sistem Mekanis : Translasi(2)
x
k
m gaya luar f
b
Hukum Newton kedua : M = massa, (kg)
ma   F A = percepatan, m / s2
F = gaya, N
d2x dx
m  b  kx  f
d 2 dt
Laplace :
ms2 X ( s)  bs X ( s)  kX ( s)  F ( s)
Diperoleh Fungsi Alih:
X ( s) 1
 2
F ( s) ms  bs  k
Ambil :
f = (t) , sehingga F(s) = 1; m= 1; b=2; k = 1
1 1
X ( s)  
s2  2 s  1 ( s  1)( s  1)

18. Model Matematis untuk Sistem Mekanis: Rotasi
J   T
J = momen inersia beban kg m2
 = percepatan sudut beban rad / s2
T = torsi yang diberikan pada sistem Nm
J
T w
b
d 2 d
J 2 b T
dt dt  = kecepatan sudut rad / s
atau :  = simpangan sudut (rad)
d
J  b  T
dt

19. Model Matematis untuk Rangkaian Elektrik (2)
R L1
e(t) C+
- L2 e0(t)
i1(t) i2(t)

ic  i1 (t )  i2 (t )
d (t )
ic  C e 0
dt
de0
i1  i2  C (3)
dt
di1
e(t )  Ri1  L1  e0 (1)
dt
di2
e0  L2 ( 2)
dt

20. Transformasi Laplace :
E0 ( s)
E0 ( s)  sL2 I 2 ( s) (2)  I 2 ( s)  ( 2)
sL2
I1 ( s)  I 2 ( s)  sC E0 ( s) (3)
E ( s)   R  sL1  I1 ( s)  E0 ( s) (1)
E ( s)  E0 ( s)
I1 ( s)  (1)
R  sL1
(1) & (2)  (3)
E ( s)  E0 ( s) E0 ( s)
  sC E0 ( s)
R  sL1 sL2
SL2 E ( s)  sL2 E0 ( s)   R  sL1  E0 ( s)
 sC E0 ( s)
 R  sL sL 
1 2
   
sL 2 E  s  R  s L1  L2  E0  s   R  sL1  s2 L2 C E0 ( s)
sL E ( s)   s L C R  sL   s L  L   R E ( s)
2
2
2 1 1 2 0
E0 ( s) sL2
 2
E ( s) s L2 C R  sL1   s L1  L2   R
sL2

s3 L1 L2 C  s2 L2 CR  s L1  L2   R