Persamaan dinamika digunakan untuk menggambarkan tingkah laku dinamis manipulator robot dengan mempertimbangkan gaya yang menyebabkan pergerakan. Terdapat dua pendekatan utama untuk menentukan persamaan dinamika, yaitu formulasi Lagrange-Euler dan Newton-Euler. Formulasi Lagrange-Euler menghasilkan persamaan diferensial orde dua secara alami, sedangkan formulasi Newton-Euler lebih efisien untuk komputasi real-time.

1. IV. Dinamika Robot
1. Pendahuluan
 Persamaan Dinamika : Formulasi matematis yang
menggambarkan tingkah laku dinamis dari manipulator
dengan memperhatikan gaya yang menyebabkan
pergerakan tersebut.
 Persamaan dinamika digunakan untuk kebutuhan :
 Simulasi pergerakan lengan robot
 Perancangan strategi dan algoritma kendali agar lengan robot
memenuhi tanggapan dan kinerja yang diinginkan
 Evaluasi perancangan kinematika dan struktur dari lengan
robot

2. • Download slide di http://rumah-belajar.org

3. III. Dinamika Robot
1. Pendahuluan
 Terdapat dua permasalahan dinamika robot :
 Forward Dynamic Problem : Persamaan dinamika digunakan
untuk menghitung nilai posisi, kecepatan dan percepatan dari
setiap joint apabila diberikan gaya/torsi pada setiap joint
 Inverse Dynamic Problem : Persamaan dinamika digunakan
untuk menghitung nilai gaya/torsi setiap joint apabila diberikan
posisi, kecepatan dan percepatan dari setiap joint
 Terdapat Beberapa Pendekatan untuk menentukan
Persamaan Dinamika
 Lagrange-Euler Formulation (LE): Menghasilkan persamaan
diferensial orde dua non-linier. Sifat alami sistem Robot.
Sangat baik untuk kebutuhan simulasi
 Newton-Euler Formulation (NE) : Menghasilkan persamaan
linier rekursif. Sangat baik untuk komputasi real-time (inverse
dynamic problem)

4. III. Dinamika Robot
1. Pendahuluan
 Generalized D’Alembert Formulation : Menghasilkan
Persamaan diferensial orde dua penyederhanaan LE namun
memeilki komputasi real-time yang lebih baik
 Pendekatan formulasi2 diatas dengan asumsi :
 Link berupa benda tegar (rigid body)
 Tidak termasuk aspek dinamik dari perangkat kendali
elektronik, backlash dan gesekan akibat transmisi (gear,
belt/pully, chain)

5. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Perhatikan Persamaan Lagrange-Euler :
 Dimana :

6. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Kecepatan Joint dari Lengan Robot
 Perhatikan gambar, dimana iri adalah posisi sebuah
titk yang terletak di link i yang ikut bergerak
bersama link i.
 Titik tersebut (iri )dipandang terhadap kerangka
koordinat diam (base, 0x0y0z0)
 Dimana :

7. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Jika joint i berbentuk revolute
 Jika joint i berbentuk prismatic

8. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Kecepatan titik iri terhadap kerangka koordinat base
 Turunan parsial 0Ai terhadap qj

9. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Jika joint i berbentuk revolute
 Jika joint i berbentuk prismatic

10. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Contoh : Robot dengan semua joint berbentuk revolute

11. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Dengan demikian secara umum, untuk i = 1,2,…...n
 Persamaan diatas dapat diinterpretasikan sebagai pengaruh dari
pergerakan joint j pada semua titik di link i 0
Ai
 Untuk penyederhanaan notasi, didefinisikan : U ij
 Sehingga persamaan diatas dapat ditulis ulang : qj

12. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Dengan menggunakan notasi tadi, maka bentuk
persamaan kecepatan
 Dapat dinyatakan menjadi

13. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Persamaan Uij menunjukkan bagaimana pengaruh
pergerakan joint j terhadap semua titik di joint i. Namun
semua titik di joint i tidak hanya dipengaruhi oleh sebuah
joint tetapi juga oleh pengaruh interaksi joint yang lain,
mengingat bahwa sebuah pergerakan manipulator
merupakan pergerakan semua joint.
 Pengaruh interaksi antara joint-joint dinyatakan sebagai :
 Persamaan diatas dapat diinterpretasikan sebagai pengaruh
dari pergerakan joint j dan joint k pada semua titik di link i

14. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Energi Kinetik dari link i.
 Perhatikan dKi adalah energi kinetik dari partikel dengan massa dm
pada link i terhadap KK base

15. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Matrik Uij adalah kecepatan perubahan dari titik iri pada link i
relatif terhadap KK base karena perubahan posisi joint qj
 Uij bernilai konstan untuk semua titik di link i dan tidak tergantung
pada distribusi massa dari link i
 Selain itu kecepatan joint i (dqi/dt) tidak bergantung pada distribusi
massa link i
 Energi kinetic semua titik di link i

16. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Dimana Inersia semua titik di link i adalah :
 Melalui pendekatan tensor inersia, pers. diatas menjadi

17. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Dimana
 xi , yi , z i titik pusat massa dari link i
 : Kronecker delta
ij
 mi : massa dari link i
 Energi Kinetik Keseluruhan Robot

18. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Energi Potensial Link i, Pi
 Energi Potensial Keseluruhan Robot, diperoleh dengan
menjumlahkan energi potensial setiap link diatas, menjadi

19. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Apabila Energi Kinetik, K, dan Energi Potensial, P,
keseluruhan robot telah diketahui, maka fungsi Lagrange,
L = K – P, adalah

 Dengan menerapkan formulasi Lagrange-Euleur untuk
menghitung nilai gaya/torsi yang diperlukan pada setiap
link


20. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Persamaan sebelumnya dapat disederhanakan menjadi
 Atau dalam bentuk matriks
 dimana
; Vektor Torsi setiap Joint
; Vektor Posisi setiap Joint
; Vektor Kecepatan setiap Joint
; Vektor Percepatan setiap Joint

21. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 dimana
D(q) = Matrik Inersia (simetri), dengan elemen-elemennya adalah
h(q) = Vektor Gaya Centrifugal dan Coriolis (non-linier), dengan
elemen-elemennya adalah
dimana

22. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 dimana
c(q) = Vektor Gaya Gravitasi dengan elemen-elemennya adalah
dimana

23. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Sebagai ilustrasi untuk robot enam derajat kebebasan
dengan semua joint revolute/rotary
 Matriks Inersia D(q)

24. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Matriks Inersia D(q)

25. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Matriks Inersia D(q)

26. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Vektor Gaya Centrifugal dan Coriolis h( ,d /dt)
dimana i =1,2,……..6

27. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Vektor Gaya Gravitasi c( )
dimana

28. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Kompleksitas komputasi Persamaan Dinamis LE

29. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Diasumsikan : Joint Variable : 1, 2 ; Massa Link =
m1, m2 ; Parameter Link : 1 = 2 = 0, d1 = d2 = 0 dan
a1 = a 2 = l
 Menghitung i-1Ai

30. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Menghitung Interaksi Antar Joint

31. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Menghitung Interaksi Antar Joint
S12 C12 0 lS12
C12 S12 0 lC12
0 0 0 0
0 0 0 0

32. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Menghitung Inersia, dengan asumsi bentuk link simetri,
yang mengakibatkan pusat massa adalah titik pusat dari
KK yang sejajar dengan KK link tersebut, maka bentuk
pseudo Inersia
menjadi

33. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Menghitung Pseudo Inersia
1
3 m1l 2 0 0 1
2 m1l
1
3 m2 l 2 0 0 1
2 m2 l
0 0 0 0 0 0 0 0
J1 J2
0 0 0 0 0 0 0 0
1
2 m1l 0 0 m1 1
2 m2 l 0 0 m2
 Menghitung Elemen Matrik Inersia D11, D12, D22
T T
D11 Tr (U11J1U11 ) Tr (U 21J 2U 21 )
2 2 2
1
3 m1l 4
3 m2 l m 2C 2 l

34. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Menghitung Elemen Matrik Inersia D11, D12, D22
T
D12 D12 Tr (U 22 J 2U 21 )
1
3 m2 l 2 1
2 m 2 l 2C 2
T
D22 Tr (U 22 J 2U 22 )
2
1
3 m2l

35. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Menghitung Elemen Vektor Centrifugal dan Coriolis
 Untuk i =1
Dimana :

36. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Menghitung Elemen Vektor Centrifugal dan Coriolis
 Untuk i = 2
 Vektor Gaya Centrifugal dan Coriolis

37. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Menghitung Elemen Vektor Gravitasi c1, c2

38. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Menghitung Elemen Vektor Gravitasi c1, c2
 Vektor Gravitasi c1, c2

39. III. Dinamika Robot
2. Lagrange-Euler Formulation
 Contoh : Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link

40. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Penggunaan Formulasi LE tidak efisien untuk komputasi
real-time, karena
 Penggunaan matriks transformasi homogen (4x4) meningkatkan
operasi aritmatika dan perhitungan sensitif terhadap nilai (ill
conditioned), terutama bila terjadi invers
 Terdapat elemen matriks yang bernilai nol, yang seharusnya tidak
perlu dihitung
 Pendekatan Formulasi NE dengan menghitung secara
analitis bagaimana sebuah posisi, kecepatan dan percepatan
sebuah titik dalam KK bergerak dipandang terhadap KK
diam tetangganya

41. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Menghitung Fi, fi, ni, ti, bila diketahui kondisi awal
 n = Jumlah Link
 o = o = vo = 0
 Vo = g = (gx, gy, gz)T ; dimana |g| = 9,8 m/detik2
 Diketahui qi, qi dan qi untuk i = 1, … n
 Nilai lainnya :

42. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Forward Iteration

43. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Backward Iteration

44. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Kompleksitas Komputasi Formulasi NE

45. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link

46. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Forward Iteration
 Matrik-matrik Rotasi

47. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Forward Iteration
 Menghitung Kecepatan sudut
 i=1
 i=2

48. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Forward Iteration
 Menghitung Percepatan sudut
 i=1
 i=2

49. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Forward Iteration
 Menghitung Percepatan Linier
 i=1

50. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Forward Iteration
 Menghitung Percepatan Linier
 i=2

51. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Forward Iteration
 Menghitung Percepatan Linier dititik pusat massa
 i=1

52. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Forward Iteration
 Menghitung Percepatan Linier dititik pusat massa
 i=2

53. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Backward Iteration
 Menghitung Gaya fi, yang digunakan pada link i = 2,1
 i=2
 i=1

54. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Contoh Persamaan Dinamik untuk Manipulator 2 Link
 Backward Iteration
 Menghitung Gaya fi, yang digunakan pada link i = 2,1
 i=1

55. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Backward Iteration
 Menghitung momen ni, yang digunakan pada link i = 2,1
 i=2

56. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Backward Iteration
 Menghitung momen ni, yang digunakan pada link i = 2,1
 i=1

57. III. Dinamika Robot
3. Newton-Euler Formulation
 Backward Iteration
 Torsi yang diberikan kepada joint
 i=2
 i=1

58. • Download slide di http://rumah-belajar.org