1. MATEMÁTICA II
1

2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN LOGARITMICA
(LOGARITMO NATURAL)
Es igual a la derivada de la función dividida por la función o también
podemos decir que es igual a la derivada de la función multiplicada por su
recíproca. Es decir que cuando Y = lnV podemos utilizar o aplicar dos
fórmulas como veremos a continuación.
dv
dy 1 dv
dy dx
---- = ----- ------
---- = -----
dx V dx
dx V
Derivar la Función Y = ln (x2 – 7)
 Reemplazamos con la segunda fórmula:
dy 1
2
V = (x – 7)
---- = ---------- 2x
dv dx (x2 – 7)
---- = 2x
dx dy 2x
---- = ----------
dx (x2 – 7)
7
8

3. Derivar la Función Y = ln (x2 – 7x + 5)
 Reemplazamos con la segunda fórmula:
dy 1
---- = ------------------- 3(x2 – 7x + 5)2 (2x – 7)
V = (x2 – 7x + 5)3
dx 2
(x – 7x + 5) 3
dv
---- = 3(x2 – 7x + 5)2 (2x – 7) dy 3 (2x – 7)
dx ---- = -------------------
dx (x2 – 7x + 5)
x+1
Derivar Y = ln
x -1
V = x+1
x -1
 Derivamos V
dv (x – 1) (1) - (x + 1) (1)
=
dx (x – 1)2
dv x– 1–x-1
=
dx (x – 1)2
dv 2
=
dx (x – 1)2
9

4.  Reemplazamos con la segunda fórmula de los Logaritmos Naturales:
dy 1 dv
---- = ----- ------
dx V dx
dy 1 2
= (x+1)
dx (x -1) (x – 1)2
dy 2
=
dx (x + 1) (x – 1)
dy 2
=
dx (x2 – 1)
1 – t2
Derivar Y = 2 ln
t
Y = 2 ln 1 – t2
t
Así tenemos que:
1 – t2
V = t
10

5.  Derivamos V
dv 1
1 – t2 (t)(-2t) – (1 – t2) (1)
= t t2
dx 2
t
dv 1
1 – t2 -2t2 – (1 – t2)
= t t2
dx 2
t
dv 1
1 – t2 -2t2 – 1 + t2
= t t2
dx 2
t
1 2
-t – 1
dv 2
t2
1 – t2
t t
t
 Reemplazamos con la segunda fórmula de los Logaritmos Naturales:
=
dx
dy 1 1 1 – t2 -t2 – 1
2
1 – t2 2 t
t t2
t
1 – t2
= -t2 – 1
dy
dx t
2
=
dx 1 – t2 t2
2
t t
11

6. (-t2 – 1)
dy
2
t
(1 – t2)
t t
dy = t (- t2 – 1)
dx
t2 (1 – t2)
dy (- t2 – 1)
=
dx
(1 – t2)
=
dx
EJERCICIOS APLICANDO LAS PROPIEDADES
Ahora si recordamos las propiedades de los logaritmos podemos resolver
los ejercicios de una manera más fácil y práctica abreviando pasos para
una mejor comprensión.
 Observe si tenemos la siguiente función:
Si aplicamos propiedades debemos aplicar logaritmo
Y = x+1 natural tanto para Y como para la función
x-1
 Ahora observe como nos queda:
ln Y = ln x+1
x-1
12

7.  Aplicando las propiedades tenemos:
1 dy 1
3 ln (x +1) - ln ( x – 1)
1 dy = t 1 1 1
t
y dx
3 (x + 1) (x - 1)
1 dy = t
y dx 1 x – 1 – (x + 1)
3
(x + 1) (x - 1)
1 dy = t x–1–x-1
1
y dx
3
(x + 1) (x - 1)
1 dy = t
1 2
y dx
3
(x2 - 1)
dy 2y
= t
y dx
3(x2 - 1)
(x + 1)
dy = 2 (x – 1)
dx 3 (x2 - 1)
dy 2 (x + 1)
=
=
dx 3(x2 - 1)(x – 1)
13

8. Y = (x2 + 2) (x – 3)
ln y = ln (x2 + 2) + ln (x – 3)
1 dy 1 1
2x + 1
2
(x + 2) (x - 3)
1 dy = 2x 1
y dx
+
(x2 + 2) (x - 3)
1 dy = 2x (x - 3) + (x2 + 2)
y dx
(x2 + 2)(x - 3)
1 dy = 2x2 – 6x + x2 + 2
y dx
(x2 + 2)(x - 3)
1 dy = 3x2 – 6x + 2
y dx
(x2 + 2)(x - 3)
dy (3x2 – 6x + 2) y
=
y dx
2 2
dy (3x(x– + 2)(x2)(x2 + 2)(x - 3)
6x + - 3) dy
= = 3x2 – 6x + 2
(x2 + 2)(x - 3) dx
dx
=
dx
14

9. Y = (x4 – 3x2 + 9)5
ln y = 5 ln (x4 – 3x2 + 9)
1 dy 1
5
4x3 - 6x
4 2
(x – 3x + 9)
1 dy = 4x3 - 6x
y dx 5
1 dy = 5 (4x3 - 6x)
y dx (x4 – 3x2 + 9)
1 dy = 20x3 – 30x
y dx (x4 – 3x2 + 9)
(x4 – 3x2 + 9)
dy (20x3 – 30x) y
=
y dx
(x4 – 3x2 + 9)
dy (20x3 – 30x)(x4 – 3x2 + 9)5
=
(x4 – 3x2 + 9)
dx
dy
= (20x3 – 30x) (x4 – 3x2 + 9)
dx
dx
15

10. Derivar la Función Y =
ln y = x3 ln x
 Derivamos como producto
1 dy (x3) 1
+ 3x2 ln x
x
1 dy =
y dx
( x2 + 3x2 ln x )
dy =
y dx
= ( x2 + 3x2 ln x ) y
dx
dy
= ( x2 + 3x2 ln x ) X X3
dx
dy
= X2 ( 1 + 3 ln x ) X X3
dx
dy
= X 2 + x3 ( x2 + 3x2 ln x )
dx
16

11. Y =
ln y = 2x4 + x ln x  Derivamos como producto
1 dy 1
(2x4 + x ) + ln x ( 8x3 + 1 )
x
=
1
y dy
dx (2x4 + x )
+ ( 8x3 + 1 ) ln x
x
=
1
y dy
dx x (2x3 + 1 )
=
+ ( 8x3 + 1 ) ln x
x
y
1 dx
dy
( 2x3 + 1 ) ( 8x3 + 1 ) ln x
dy =
y dx
= ( 2x3 + 1 ) ( 8x3 + 1 ) ln x y
dx
dy
= ( 2x3 + 1 ) ( 8x3 + 1 ) ln x
dx
17

12. EJERCICIOS DE APLICACIÓN
 Aplicando las Propiedades de los logaritmos naturales derivar:
3x2 + 2
1._ Y = 2 - 3x2
ln Y = ln 3x2 + 2
2 - 3x2
1 dy 1 1
6x (-6x)
5
1 dy (3x2 + 2) (2 - 3x2)
= t 1 6x 6x
y dx (3x2 + 2) (2 - 3x2)
5
1 dy = t
y dx 1 6x(2 - 3x2) + 6x(3x2 + 2)
5
(3x2 + 2)(2 - 3x2)
1 dy = t
1 12x – 18x3 + 18x3 + 12x
y dx
5
(3x2 + 2)(2 - 3x2)
1 dy t 24x
=
y dx
5(3x2 + 2)(2 - 3x2)
dy 24x
= y
y dx
5(3x2 + 2)(2 - 3x2)
=
dx
18

13. dy 24x (3x2 + 2)
(2 - 3x2)
5(3x2 + 2)(2 - 3x2)
dy 24x (3x2 + 2)
=
dx =
dx 5(3x2 + 2)(2 - 3x2) (2 - 3x2)
dy 24x (x + 1)
= 5(3x2 + 2) (2 -
dx 3x2)
(x – 1)
2. Y = (x – 1) (2x3 + 3x – 2)
2
ln y = ln (x2 – 1) + ln (2x3 + 3x – 2)
1 dy 1 1
2x + (6x2 + 3)
(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)
1 dy = 2x (6x2 + 3)
y dx
+
(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)
1 dy =
2x (2x3 + 3x – 2) + (6x2 + 3) (x2 - 1)
y dx
(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)
1 dy = 4x4 + 6x2 – 4x + 6x4 – 6x2 + 3x2 - 3
y dx
(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)
=
y dx
19

14. 1 dy 10x4 + 3x2 - 4x – 3
(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)
dy
=
(10x4 + 3x2 - 4x – 3) y
y dx
(x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)
dy
(10x4 + 3x2 - 4x – 3) (x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)
=
=
dx (x2 - 1) (2x3 + 3x – 2)
dx
dy
= 10x4 + 3x2 - 4x – 3
dx
3._ Y = ( x3 + 7x2 + 9 ) 2x
ln y = 2x ln ( x3 + 7x2 + 9 )  Derivamos como producto
1 dy 1
2x (3x2 + 14x) + ln ( x3 + 7x2 + 9 )(2)
(x3 + 7x2 + 9)
2
1 dy = 2x (3x + 14x)
y dx + 2 ln ( x3 + 7x2 + 9 )
(x3 + 7x2 + 9)
1 dy = 2x (3x2 + 14x) + 2 (x3 + 7x2 + 9) ln ( x3 + 7x2 + 9 )
y dx
(x3 + 7x2 + 9)
=
y dx
20

15. 1 dy 6x3 + 28x2 + 2x3 + 14x2 + 18 ln ( x3 + 7x2 + 9 )
(x3 + 7x2 + 9)
1 dy = 8x3 + 42x2 + 18 ln ( x3 + 7x2 + 9 )
y dx
(x3 + 7x2 + 9)
dy 8x= + 42x2 + 18 ln ( x3 + 7x2 + 9 ) y
3
y dx (x3 + 7x2 + 9)
dy
8x3 + 42x2 + 18 ln ( x3 + 7x2 + 9 ) . (2x3 + 3x – 2)2x
=
dx = (x3 + 7x2 + 9)
dx
dy (8x3 + 42x2 + 18) (2x3 + 3x – 2)2x ln ( x3 + 7x2 + 9 )
=
dx (x3 + 7x2 + 9)
(2x + 3) (2x - 5)
4._ Y = (x - 1)
ln y = ln (2x + 3) + ln (2x - 5) - ln (x - 1)
1 dy 1 1 1
2 + 2 - 1
(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)
1 dy = 2 2 1
y dx + -
(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)
=
y dx
21

16. 1 dy 2(2x - 5) (x - 1) + 2 (2x + 3) (x - 1) - (2x + 3) (2x - 5)
(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)
1 dy 2(2x2 – 2x - 5x + 5) +2(2x2 – 2x + 3x - 3)-(4x2 - 10x + 6x - 15)
=
y dx (2x + 3) (2x - 5) (x - 1)
1 dy = 2(2x2 – 7x + 5) + 2 (2x2 + x - 3) - (4x2 - 4x - 15)
y dx
(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)
1 dy = 4x2 – 14x + 10 + 4x2 + 2x - 6 - 4x2 - 4x - 15
y dx
(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)
1 dy = 4x2 – 8x + 19
y dx
(2x + 3) (2x - 5) (x - 1)
dy 2
= (4x – 8x + 19) y
y dx (2x + 3) (2x - 5) (x - 1)
dy (4x2 – 8x + 19) (2x + 3) (2x - 5)
=
(2x + 3) (2x - 5) (x - 1) (x - 1)
dx
dy (4x2 – 8x + 19)
=
=
dx ( x - 1)2
dx
22

17. X 2x
5._ Y =
X-2x
ln y = 2x ln x - (-2x) ln x
1 dy
= 2x ln x + 2x ln x
y dx
1 dy 1 1
2x 1 + ln x 2 + 2x 1 + ln x 2
x x
1 dy = 2x 2x
y dx + 2 ln x + + 2 ln x
x x
1 dy =
y dx 2 + 2 ln x + 2 + 2 ln x
dy =
y = dx 4 + 4 ln x (y)
dx
dy
= 4 + 4 ln x X 2x
dx X-2x
dy
= 4 + 4 ln x . (x4x)
dx
23

18.  Aplicando la fórmula de los logaritmos naturales derivar:
1._ Y = 3x2 + 2
2 - 3x2
dy
= ln (x3 – 5) - ln (x2 + 7)
dx
dy 1 1
= 3x2 - 2x
dx (x3 – 5) (x2 + 7)
dy 3x2 2x
= -
dx (x3 – 5) (x2 + 7)
dy 3x2 (x2 + 7) - 2x (x3 – 5)
=
dx (x3 – 5)(x2 + 7)
dy 3x4 + 21x2 - 2x4 + 10x
=
dx (x3 – 5)(x2 + 7)
dy x4 + 21x2 + 10x
=
dx (x3 – 5)(x2 + 7)
24

19. 2._ Y = ln (7x3 + 9) (3x – 5)
dy
= ln (7x3 + 9) + ln (3x - 5)
dx
dy 1 1
= 21x2 + 3
dx (7x3 + 9) (3x - 5)
dy 21x2 3
= -
dx (7x3 + 9) (3x - 5)
dy 21x2 (3x - 5) + 3 (7x3 + 9)
=
dx (7x3 + 9)(3x - 5)
dy 84x3 - 105x2 + 27
=
dx (7x3 + 9)(3x - 5)
2
3._ Y = ln 3x + 2
2 - 3x2
Y = 3 ln (2x – 7) - ln (2x + 7)
dy 1 1
= 3 2 - 2
dx (2x - 7) (2x + 7)
25

20. dy 2 2
= 3 -
dx (2x - 7) (2x + 7)
dy 2(2x + 7) - 2 (2x - 7)
= 3
dx (2x - 7) (2x + 7)
dy 4x + 14 - 4x + 14
= 3
dx (2x - 7) (2x + 7)
dy 3 (28)
=
dx (4x2 - 49)
dy 84
=
dx (4x2 - 49)
(2x + 4x2 + 7x3)3
4._ Y = ln
x
Y = 3 ( ln (2x + 4x2 + 7x3) ) - ln x
dy
= 3 1 1
dx (2 + 8x + 21x2) -
(2x + 4x2 + 7x3) x
26

21. dy (2 + 8x + 21x2) 1
= 3 -
dx (2x + 4x2 + 7x3) x
dy 3 (2 + 8x + 21x2) 1
= -
dx (2x + 4x2 + 7x3) x
dy 6 + 24x + 63x2 1
= -
dx (2x + 4x2 + 7x3) x
dy x (6 + 24x + 63x2) - (2x + 4x2 + 7x3)
=
dx x (2x + 4x2 + 7x3)
dy 6x + 24x2 + 63x3 - 2x - 4x2 - 7x3
=
dx x (2x + 4x2 + 7x3)
dy 56x3 + 20x2 + 4x
=
dx x (2x + 4x2 + 7x3)
dy 4x (14x2 + 5x + 1)
=
dx x (2x + 4x2 + 7x3)
dy 4 (14x2 + 5x + 1)
= (2x + 4x2 + 7x3)
dx
27

22. (9x4 + 7x3 - 5x)6
5._ Y = ln
6
Y = 6 ( ln (9x4 + 7x3 - 5x) ) - ln 6
dy 6 1 (36x3 + 21x2 - 5)
= -0
dx (9x4 + 7x3 - 5x)
dy 6(36x3 + 21x2 - 5)
=
dx 9x4 + 7x3 - 5x
dy 216x3 + 126x2 – 30
= 9x4 + 7x3 - 5x
dx
 Ejercicios Complementarios
Y = ln 9 - 2x2 Y = ln (9 - 2x2)
 Reemplazamos con la segunda fórmula:
dy 1
---- = ---------- - 2x (9 - 2x2)
V = (9 - 2x2) dx (9 - 2x2)
dv
---- = -2x (9 - 2x2) dy 2x
dx = -
dx (9 - 2x2)
28

23. Y = ln x2
1 + x2
Y = ln x2 - ln (1 + x2)
dy 1 1
= 2x - 2x
dx x2 (1 + x2)
dy 2x 2x
= -
dx x2 (1 + x2)
dy 2 2x
= -
dx x (1 + x2)
dy 2 (1 + x2) - 2x (x)
=
dx x (1 + x2)
dy 2 + 2x2 - 2x2
=
dx x (1 + x2)
dy 2
= x (1 + x2)
dx
29

24. Y = (4x2 – 7)
ln y = 2 + (x2 – 5) ln (4x2 – 7)
 Derivamos como función:
u = 2 + (x2 – 5) v = ln (4x2 – 7)
du 1 dv 1
=0+ (x2 + 5) (2x) = (8x)
dx 2 dx (4x2 – 7)
du x dv 8x
= =
dx (x2 + 5) dx (4x2 – 7)
 Una vez obtenidas las partes reemplazamos:
8x x
1 dy
2+(x2 – 5) + ln (4x2 – 7)
(4x2 – 7) (x2 – 5)
1 dy 8x (2+ (x2 – 5) ) x ln (4x2 – 7)
= +
y dx (4x2 – 7) (x2 – 5)
1 dy = 8x (2+ (x2 – 5) )((x2 – 5) )+(x ln (4x2 – 7))(4x2 – 7)
y dx
(4x2 – 7) (x2 – 5)
1 dy
= 8x(2+ (x – 5)
2
)(x2 – 5) + x(4x2 – 7) ln (4x2 – 7)
(4x2 – 7)
y dx 2
(4x – 7) (x – 5) 2
=
y dx
30

25. Y = (2x -1)(2x + 7)
3) (x - 7)
(x +
ln y = ln (2x - 3) + ln (x - 7) - ln (x + 1) - ln (2x + 7)
1 dy 1 1 1 1
= 2 + 1- 1 - 2
y dx (2x - 3) (x - 7) (x + 1) (2x + 7)
1 dy 2 1 1 2
= + - -
y dx (2x - 3) (x + 7) (x +1) (2x + 7)
2(x - 7)(x + 1)(2x + 7) + 1 (2x - 3)(x + 1)(2x + 7) - (2x - 3)(x - 7)
1 dy (2x + 7) - (2x - 3)(x - 7)(x + 1)
(2x - 3)(x - 7)(x + 1) (2x + 7)
= 4x3 - 10x2 – 112x – 98 + 4x2 + 12x2 – 13x – 21 – 4x3 + 20 x2 +
y
1 dx
dy 77x – 141 – 4x3 + 30x2 – 8x - 42
(2x - 3)(x - 7)(x + 1) (2x + 7)
=
y
dy dx 52x2 + 55x – 302 (2x - 3) (x - 7)
(2x - 3)(x - 7)(x + 1) (2x + 7) (x + 1) (2x + 7)
dy 2
= 52x + 55x – 302
=
dx ( x + 1)2 (2x + 7)2
dx

26. 3
Y = (5x - 3)2 (5x + 3)
(3x + 5)
(3x - 5)
ln y = 3ln (5x - 3) + ln (3x + 5) - 2 ln (3x - 5) - ln (5x + 3)
1 dy 3 1 2 3
= 5 + 3- 3 - 5
y dx (5x - 3) (3x - 5) (3x - 5) (5x + 3)
1 dy 15 3 6 5
= + - -
y dx (5x - 3) (3x - 5) (3x - 5) (5x + 3)
dy 15 3 6 5
+ - - (y)
(5x - 3) (3x - 5) (3x - 5) (5x + 3)
=
dy 15 3 6 5 (5x + 3)3(3x + 5)
dx + - -
(5x - 3) (3x - 5) (3x - 5) (5x + 3) (3x - 5)2 (5x - 3)
=
dx
31

27. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Es igual a la función elevada al exponente (v) por el logaritmo natural de a
y por la derivada dv/dx; es decir la derivada del exponente (v).
 Cuando tenemos una función exponencial:
v dy av . ln a . dv
Y = a
dx dx
2x - 5
Derivar Y = 3
 Si reemplazamos la fórmula tenemos:
dy 3 2x – 5 . ln 3 . 2
dx
dy 2 ln 3 . 32x – 5
dx
 Ahora resolvámoslo aplicando las propiedades de los ln:
ln y = (22 – 5) ln 3
1 . dy (2x – 5) 0 + ln 3 (2)
y dx
1 . dy 2 ln 3 dy 2 ln 3 . 3(2x – 5)
y dx dx
32

28. Derivar Y = 7-x
 Si reemplazamos la fórmula tenemos:
dy 3 -x . ln 7 . (-1)
dx
dy -7-x ln 7
dx
 Aplicando las propiedades:
-x
ln y = ln 7
1 . dy - x . ln 7
y dx
1 . dy - x . 0 + ln 7 (-1)
y dx
1 . dy ln 7 (-1)
y dx
dy ln 7 (-1) . 7 -x dy -7 -x . ln 7
dx dx
Derivar  Y = 5
du (2x – 3)(2) – (2x + 3)(2)
=
dx (2x – 3)2
v = 2x + 3
2x - 3
du 12
=-
dx (2x - 3)2
33

29.  Reemplazando la fórmula tenemos:
dy 12
= 5 . ln 5 . -
dx (2x – 3)2
dy 12 . 5 . ln 5
=
dx (2x – 3)2
 Aplicando las propiedades:
ln y = 2x + 3 . ln 5
2x - 3
1 dy (2x + 3) 12
0 + ln 5 -
(2x - 3) (2x - 3)2
1 dy = 12 ln 5
y dx -
(2x - 3)2
dy 12 ln 5
= - = (y)
dxy dx (2x - 3)2
dy 12 ln 5
dy 12 . 5 . ln 5
= - .5
dx (2x - 3)2 =
dx (2x – 3)2
34

30. Derivar Y = C
 Si reemplazamos la fórmula tenemos:
dy C . ln C . 3x2
dc
dy 3x2 C . ln C
dc
 Aplicando las propiedades:
ln y = ln C
1 . dy x3 . ln C
y dc
1 . dy x3 . 0 + ln C (3x2)
y dc
1 . dy 3x2 . ln C
y dc
dy 3x2 . ln C . y
dc
dy 3x2 C . ln C
dc
35

31. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL
CON Y = e
La derivada de una función exponencial con Y = e es igual a la función
elevada al exponente (v) por la derivada del exponente (v).
 Cuando tenemos una función exponencial con e:
v dy ev . dv
Y = e
dx dx
(2x – 5)3
Derivar Y = e
 Reemplazamos la fórmula:
dy
(2x – 5)3
---- = e 6(2x + 5)2
V = (2x + 5)3 dx
dv
---- = 6(2x + 5)2 dy
(2x – 5)3
dx ---- = 6(2x + 5)2 . e
dx
Y = e
x dv = 1
x+1 dx (x + 1)2
36

32.  Si reemplazamos la fórmula tenemos:
dy 1
.
---- = e
dx (x + 1)2
dy
---- =
dx (x + 1)2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
 Derivar cada una de las siguientes funciones:
1. Y = e nx
 Reemplazamos la fórmula:
dy ev . dv
dx dx
V = nx
dy
dv ---- = enx . n
---- = n dx
dx
dy
---- = n enx
dx
37

33. 2._ Y = 10nx
dy av . ln a . dv
dx dx
dy
---- = 10nx . ln 10 . n
V = nx dx
dv
---- = n dy
dx ---- = n 10nx . ln10
dx
3._ Y = e
dy ev . dv
dx dx
dy
---- = e . 2x
V = x2 dx
dv
---- = 2x dy
dx ---- = 2x e
dx
38

34. 4._ Y =
dy ex . 0 - 2 e x
=
dx ( e x )2
U = 2 2 ex
dy
= -
V = ex dx ( e x )2
dv
---- = ex - 1 dy 2
dx = -
dx ex
5._ e
dy 1
= e . t
dx 2
V = e
dy t e
dv 1 dx 2
---- = --- t
dx 2
dy e
dx 2t
dy e
dx 2
39

35.  Ejercicios Complementarios
Y = ln (3x2 + 8)5
(2x3 – 5)2
Y = 3 ( 5 ln (3x2 + 8) - 2 ln (2x3 – 5) )
dy 3 1 1
= (5) 6x - (2) 6x
dx (3x2 + 8) (2x3 - 5)
dy 3 30 x 12x2
= -
dx (3x2 + 8) (2x3 - 5)
dy 3 2 2
3 30 x (2x - 5) - 12x (3x + 8)
=
dx (3x2 + 8) (2x3 - 5)
dy 3 60x4 – 150x - 36x4 - 96x2
=
dx (3x2 + 8) (2x3 - 5)
dy 3 24x4 - 96x2 – 150x
=
dx (3x2 + 8) (2x3 - 5)
dy 18x (4x3 - 16x – 25)
=
dx (3x2 + 8) (2x3 - 5)
40

36. Y =
dy x. - ln x (1)
=
dx ( x )2
U = ln x ln x (1)
dy
=
V = x x2
dx
dv 1
---- = --- - 1 dy 1 – ln x
dx x =
dx x2
ln (x4+ 2x2 – 5)
x2 - 2
 Separamos Datos
du 1 . (4x3 + 4x)
u = ln x + 2x - 5
4 2
dx x4 + 2x2 - 5
dv 2x
v = x2 - 2 dx
1
(x2 - 2) 4x3 + 4x - ln (x4 + 2x2 – 5) (2x)
dy 4 2
(x + 2x - 5)
=
dx (x2 – 2)2
(x2 – 2)(4x3 + 4x)
- 2x ln (x4 + 2x2 – 5)
dy (x4 + 2x2 - 5)
=
dx (x2 – 2)2
41

37. 4x (x2 – 2) (x2 + 1) - 2x (x4 + 2x2 – 5) ln (x4 + 2x2 – 5)
dy (x4 + 2x2 - 5)
=
dx (x2 – 2)2
dy 4x (x2 – 2) (x2 + 1) - 2x (x4 + 2x2 – 5) ln (x4 + 2x2 – 5)
=
dx (x4 + 2x2 - 5) (x2 – 2)2
ln 7
x2 - 5
 Separamos Datos
dy (x2 – 5) (0) - ln 7 ( 2x )
=
U = ln 7 dx (x2 – 5)2
V = x2 - 5
dy ln 7 ( 2x )
dv = -
---- = 2x dx (x2 – 5)2
dx
dy 2x ln 7
=-
dx (x2 – 5)2
42

38. Y = ln ( 2x + x2 + 2 )
v = (2x + (x2 + 2) )
dv 2x (x2 + 2)
= 2 +
dx 3
 Resolvemos aplicando la fórmula de cociente
2
dy 1 2 + 3 ( x2 + 2)
=
dx ((2x + (x2 + 2) )
2x
2 + (x2 + 2)
dy 3
=
dx 2x + (x2 + 2)
6 + 2x (x2 + 2)
dy 3
=
dx 2x + (x2 + 2)
dy 6 + 2x (x2 + 2)
=
dx 3 2x + (x2 + 2)
43

39. Y =
dy x ex - ex (1)
=
dx ( x )2
U = ex dy x ex - e x
=
V = x dx x2
du
---- = ex (1) dy ex ( x- 1)
dx =
dx x2
ex - e –x
ex + e –x
 Datos para fácil aplicación
u = ex - e –x v = ex + e –x
du = ex + e –x dv = ex - e –x
dx dx
 Resolvemos aplicando la fórmula de cociente
dy ( ex + e-x ) (ex + e-x ) - ( ex - e-x ) (ex - e-x )
=
dx ( ex + e-x ) 2
44

40. dy e2x + 1 + 1 + e-2x - e-2x - 1 – 1 + e-2x )
=
dx ( ex + e-x ) 2
dy e2x + 2 + e-2x - e-2x + 2 - e-2x
=
dx ( ex + e-x ) 2
dy 4
=
dx ( ex + e-x ) 2
Y = (x + 7)
(2x – 1)
ln Y = 2 ( ln (x + 7) - ln (2x – 1) )
1 dy 1 1
2 1 - (2)
(x + 7) (2x - 1)
1 dy = 1 2
y dx 2 -
(x + 7) (2x - 1)
1 dy = (2x - 1) - 2 (x + 7)
y dx 2
(x + 7) (2x - 1)
2x - 1 - 2x - 14
1 dy = 2
y dx (x + 7) (2x - 1)
= 45
y dx

41. 1 dy 2 (-15)
(x + 7) (2x - 1)
dy = 30 (y)
y -
= dx
dx (x + 7) (2x - 1)
dy 30 (x + 7)2
= - .
dx (x + 7) (2x - 1) (2x - 1)2
dy 30 (x + 7)
= -
dx (2x - 1)3
5._ e ln (x)2
dv = 1 . 2x
v = ln x2 dx x2
dy ev . dv
dx dx
dy
---- = e . 2x
dx x2
dy
---- = 2 e
dx x
46

42. Y = e
dy ev . dv
dx dx
dy
---- = e . 1 1 (4x3 + 6x)
dx (x4 + 3x2 + 10)
dy
---- = e . (4x3 + 6x) ñ
4
dx (x + 3x2 + 10)
dy 2x (2x2 + 3) . e
---- =
dx x4 + 3x2 + 10
Y = (x2 + 4)2 e x2 + 1
 Derivamos aplicando la fórmula de producto
dy
---- = (x2 + 4)2 (e ) (2x) + e (2)( x2 + 4)(2x)
dx
dy
---- = 2x (x2 + 4)2 (e ) + 4x ( x2 + 4) (e )
dx
47

43. dy
---- = 2x (x2 + 4)2 (e ) ( x2 + 4) + 2
dx
dy
---- = 2x (x2 + 4) (e ) ( x2 + 6)
dx
Y = log (1 – 3t)
 Derivamos como logaritmo
dy log e . du
dx u dx
dy log e
---- = (-3)
dx (1 – 3t)
dy 3 log e
---- = -
dx (1 – 3t)
48

44. APLICACIONES DE LA PRIMERA
DERIVADA EN ECONOMÍA
Entre las principales aplicaciones están las que comprenden los conceptos
de costo marginal, ingreso marginal, elasticidad, propensión marginal al
ahorro y la propensión marginal al consumo.
En los estudios económicos se describe la variación de una cantidad (y)
con respecto a otra cantidad (x) en términos de los conceptos de valor
medio (o promedio) y valor marginal.
Valor Medio o Promedio.- Nos expresa la variación de (Y) sobre
un intervalo de valores de (x), que frecuentemente barca desde cero hasta
cierto valor seleccionado.
Valor Marginal.- El concepto de marginal, por consiguiente, es
preciso solo cuando se considera en el sentido matemático de límite, como
la variación de (x) cuando ésta tiende a cero.
Los conceptos económicos de promedio y variación marginal
corresponden respectivamente a los conceptos matemáticos más
generales de la relación de cambio media de una función sobre un
intervalo y de relación de cambio instantánea ( o sea, la derivada) de una
función.
Los mencionados conceptos de promedio y marginal en relación con
diversas cantidades, son las consideraciones esenciales en el desarrollo de
49

45. las teorías de micro y macroeconomía. Vamos a revisar algunos ejemplos
de la aplicación de la derivada e la teoría macroeconómica (costo,
ingresos, utilidad), y en la teoría macroeconómica ( ingreso, consumo,
ahorro).
 Maximización de Utilidades
Para encontrar la máxima utilidad hay que hallar la
primera derivada de la función y luego igualarla a
cero es decir que siempre que deseamos
encontrar la máxima utilidad P’(x) = 0.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Ejercicio 1._ Suponga que la utilidad de un fabricante por la venta de
radios está dada por la función P(x) = 400(15 – x) (x – 2), donde x es el
precio a que se venden los radios. ¿Halle el precio de venta que
maximizará las utilidades?.
P(x) = 400 (15 – x) (x – 2)
P(x) = 400 (15 – 30 – x2 + 2x)
P(x) = 400 (17x – x2 – 30)
P(x) = 6.800x – 400x2 – 12.000
P(x) = – 400x2 + 6.800x – 12.000
50

46.  Encontramos la primera derivada
P’(x) = – 800x + 6.800
Si P’(x) = 0 Entonces - 800x + 6.800 = 0
- 800x + 6.800 = 0
(-1) - 800x = - 6.800 (-1) RESPUESTA
800x = 6.800 El Precio que
6.800 maximizará las
800 utilidades es 8.5
x = 8.5
 Grafiquemos la utilidad máxima
X Y 18.000
16.000
2 0
4 8.800 14.000
6 14.400 12.000
8 16.800
8.5 16.900 10.000
10 16.00 8.000
12 12.000
6.000
14 4.800
16 5.600 4.000
2.000
2 4 6 8 10 1 1
2 4
51

47. Ejercicio 2._ Un fabricante puede producir grabadoras a un costo de
20.00 por unidad. Se estima que si las grabadoras se venden a (x) dólares
la unidad los consumidores comprarán (120 – x) de estas cada mes.
Determinar el precio al cual la utilidad del fabricante será la mayor.
Si decimos  Pv - Pp = utilidad
Pp  20x
Pv  x (120 – x)
P(x) = x (120 – x) – 20x
P(x) = 120x - x2 - 20x
P(x) = 100x – x2
P’(x) = – 2x + 100
Si P’(x) = 0 Entonces – 2x + 100 = 0
– 2x + 100 = 0
(-1) - 2x = - 100 (-1)
2x = 100
100
2
x = 50
 El Precio que maximizará las utilidades es 50
52

48. Ejercicio 3._ Una empresa dedicada a la producción de lentes de
contacto tiene un costo de producción por unidad de 15 dólares. Si
estos lentes se vendieran x dólares por unidad, se venderían 350 – 2x
cada mes. Determinar cual es el máximo precio para que la utilidad
sea mayor.
Si decimos  Pv - Pp = utilidad
Pp  15x
Pv  x (350 – 2x)
P(x) = x (350 – 2x) – 15x
P(x) = 350x - 2x2 - 15x
P(x) = 335x – 2x2
P’(x) = – 4x + 335
Si P’(x) = 0 Entonces – 4x + 335 = 0
– 4x + 335 = 0
(-1) - 4x = - 335 (-1)
4x = 335
335
4
x = 83.75
 El Precio que maximizará las utilidades es 83.75.
53

49. LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO
Las derivadas pueden representar cantidades como la razón a la cual crece
la población, el costo marginal para un fabricante, la tasa de inflación y la
razón a la cual se agotan los recursos naturales.
La Razón de Cambio de una función con respecto a su variable
independiente es igual a la inclinación de su gráfica, que se mide por la
pendiente de la recta tangente que está dada por la derivada de la función.
CAMBIO Y Y dy
= = m =
CAMBIO X X dx
 En Términos más simples RAZÓN DE CAMBIO = f’(x) = dy / dx
Se estima que dentro de x meses, la población de cierta
comunidad será P(x) = x2 + 20x + 8.000.
a. Cuál será la razón de cambio de la población con respecto
al tiempo dentro de 15 meses.
b. En cuánto cambiará realmente la población durante el mes
número 16.
54

50.  Literal a)
P’(x) = 2x + 20
P’(15) = 2(15) + 20
P’(15) = 30 + 20
P’(15) = 50  Resp. 50 personas al mes
 Literal b)
Para encontrar el cambio real reemplazamos en la función inicial.
P(15) = (15)2 + 20(15) + 8.000
P(15) = 225 + 300 + 8.000
P(15) = 8.525  Cambio real.
P(16) = (16)2 + 20(16) + 8.000
P(16) = 256 + 320 + 8.000
P(16) = 8.576  Cambio real.
 Calculamos el cambio en la población
P(16) - P(15)
8.576 - 8.525
51
Respuesta: En el mes número 16 al población tendrá un cambio real de
51 personas.
55

51. EJERCICIO PRÁCTICO
Un estudio de productividad de turno matinal en ciertas fábricas revela
que un obrero medio que llega al trabajo a las 8: AM habrá ensamblado
f(x) = - x3 + 6x2 + 15x de radios x horas más tarde.
a. Deduzca una fórmula para encontrar la razón a la cual el
trabajador ensambla radios después de x horas.
b. ¿A las 9: AM a que razón ensambla radios el trabajador?
c. ¿Cuántos radios ensamblará el trabajador realmente entre las 9 y
las 10:AM.
DESARROLLO:
 Literal a)
f(x) = - x3 + 6x2 + 15x
Razón de Cambio = f’(x) = - 3x2 + 12x + 15
 Literal b)
f’(1) = - 3(1)2 + 12(1) + 15
f’(1) = - 3 + 12 + 15
f’(1) = 24 Radios por hora
 Literal c)
f(1) = - (1)3 + 6(1)2 + 15(1) = 20
3 2
f(2) = - (2) + 6(2) + 15(2) = 46
f(1) - f(2)  46 – 20 = 26
56

52. RAZÓN DE CAMBIO PORCENTUAL
Es conocido que en situaciones prácticas la razón de cambio de una
cantidad no es tan significativa como su razón de cambio porcentual.
Por ejemplo una razón de cambio anual de 500 personas en la población
en una ciudad de 5’000.000 de habitantes sería insignificante, mientras
que la misma razón de cambio tendría un efecto importante en un pueblo
de 2.000 habitantes. La razón de cambio porcentual compara la razón de
cambio de una cantidad con el tamaño de esa cantidad.
Razón de cambio de la
cantidad
Razón de Cambio Porcentual = 100 .
 Fórmula Práctica f’(x)
R.C.P = 100 .
DESARROLLO
500
R.C.P = 100 . = 0.01%
5’000.000
500
R.C.P = 100 . = 25%
2.000
57

53. El Producto Nacional Bruto (PNB) de cierto país era n(t) = t2 + 5t + 106
miles de millones de dólares (t) años después de 1980.
a. ¿A que razón de cambió el PNB con respecto al tiempo en 1988?
b. ¿A que razón porcentual cambia el PNB con respecto a tiempo en
1988?
DESARROLLO:
N(t) = t2 + 5t - 106
N’(t) = 2t + 5
N’(8) = 2(8) + 5
N’(8) = 21 Miles de millones de dólares.
21
R.C.P = 100 . = 10%
210
Se estima que dentro de (t) años la población de cierta
P(t) = 20 – 6
comunidad suburbana será: en miles.
t+1
a. Obtenga una fórmula para encontrar la razón a la cual cambiará la
población, con respecto al tiempo, dentro de t años.
b. A que razón crecerá la población dentro de un año.
c. Cuánto crecerá realmente la población durante el segundo año.
d. A que razón crecerá la población dentro de nueve años.
e. Que sucederá con la razón de crecimiento de población a largo
plazo.
58

54.  Literal a)
(t + 1) (0) - 6 (1)
(t + 1)2
0–6 .
(t + 1)2
6 .
2
(t + 1)
 Literal b)
6 . = 1.5 x 1.000 = 1.500 Habitantes.
(1 + 1)2
 Literal c)
6
P(1) = 20 – ----------
1+1
6
P(1) = 20 – -------
2
P(1) = 20 – 3 = 17 x 1.000 = 17.000 Habitantes.
6
P(2) = 20 – ----------
2+1
6
P(2) = 20 – -------
3
P(2) = 20 – 2 = 18 x 1.000 = 18.000 Habitantes.
59

55.  Calculamos el cambio en la población
P(2) - P(1)
18.000 - 17.000 = 1.000 Habitantes ha sido el cambio real.
 Literal d)
6 . 6 . 6 .
2 = 0.06  60 Habitantes.
(9 + 1) (10)2 100
 Literal e)  La Razón de crecimiento tiende a cero.
COSTOS
Supóngase que el costo total (Y) de producir y comercializar x unidades
de un bien determinado lo d la función Y = f(x)  Esto es Costo Total.
Entonces el costo promedio (costo medio) x unidad es:
Y
f(x)
C.T. = ----- =
Mientras que el costo marginal es igual a la primera derivada de la
función f(x) por lo tanto el costo Marginal es = f’(x) y para el cálculo del
costo promedio marginal utilizaremos las siguientes fórmulas:
1 f(x)
C.P.M = -------- f’(X) -
---------
60

56. Consideremos la función de Costo Total Y = 20 + 2x +
0.5x2 en la cual Y representa el costo total y X la cantidad producida.
Calcular el costo promedio y el costo promedio marginal.
 Cálculo del Costo Promedio
20 2x 0.5x2 20
CP = + + CP = + 2 + 0.5x
x x x x
14
X Y 12
10
2 13 8
4 9
6 8.33 6
8 8.5 4
10 9
2
12 9.7
2 4 6 8 10 12
 Cálculo del Costo Marginal
CM = f’(x)
CM = 0 + 2 + x
CM = 2 + x
61

57. 16
X Y
14
12
0 2 10
2 4
8
4 6
6 8 6
8 10 4
10 12 2
12 14
14 16 2 4 6 8 10 12 14
 Cálculo del Costo Promedio Marginal
1 20 + 2x + 0.5x2
C.P.M = -------- 2+x - -----------------------------
X x
1 2x + x2 – 20 – 2x – 0.5x2 0.5x2 - 20
C.P.M = -------- -------------------------------------------
C.P.M = ---------------------
X x X2
 Graficación del Costo Total
105
X Y
90
75
0 20
2 26 60
4 36 45
6 50 30
8 68
15
10 90
2 4 6 8 10 12
62

58. La Función del Costo Total para cierto artículo está determinada por
Y = x2 – 7x + 4. Calcule el costo promedio, el costo marginal y el costo
promedio marginal si se venden 20 unidades, 30 y 50 unidades.
Y = x2 – 7x + 4
 Cálculo del Costo Promedio
x2 7x 4
CP = - +
x x x
(20)2 – 7(20) + 4
20
400 – 140 + 4
= 13.20
20
 Cálculo del Costo Marginal
CM = f’(x) = 2x - 7
f’(20) = 2(20) - 7 = 33
 Cálculo del Costo Promedio Marginal
1 f(x)
C.P.M = -------- f’(x) - ------------
X x
1 19.80
C.P.M = -------- (33 – 13.20) C.P.M = ---------- = 0.99
20
20
63

59. Y = x2 – 7x + 4  Para 30 unidades
 Cálculo del Costo Promedio
x2 7x 4
CP = - +
x x x
(30)2 – 7(30) + 4
30
900 – 210 + 4
= 23.13
30
 Cálculo del Costo Marginal
CM = f’(x) = 2x - 7
f’(20) = 2(30) - 7 = 53
 Cálculo del Costo Promedio Marginal
1 f(x)
C.P.M = -------- f’(x) - ------------
X x
1 29.87
C.P.M = -------- (53 – 23.13) C.P.M = ---------- = 0.99
30
30
64

60. Y = x2 – 7x + 4  Para 50 unidades
 Cálculo del Costo Promedio
x2 7x 4
CP = - +
x x x
(50)2 – 7(50) + 4
50
2.500 – 350 + 4
= 43.08
50
 Cálculo del Costo Marginal
CM = f’(x) = 2x - 7
f’(20) = 2(50) - 7 = 93
 Cálculo del Costo Promedio Marginal
1 f(x)
C.P.M = -------- f’(x) - ------------
X x
1 49.92
C.P.M = -------- (93 – 43.08) C.P.M = ---------- = 0.99
50
50
65

61. Contenido
Dedicatoria…………………………………..… 3
Agradecimiento ……………………………..... 4
CAPITULO I
Derivada de una función Logarítmica ……………..… 7
Aplicando las Propiedades ……….………….…… 11
Ejercicios de Aplicación ………………………….…… 17
Ejercicios Complementarios …………………….…… 27
Derivada de una función exponencial …………...… 32
Derivada de una función exponencial con Y = e .…. 36
Ejercicios de Aplicación ………………………….…… 37
CAPITULO II
Aplicaciones de la 1era. derivada economía ........… 49
Valor medio o promedio ……….……..……..…… 49
Valor Marginal ……….……..……………………… 49
Maximización de Utilidades ……….………..…… 50
Ejercicios de Aplicación …………………………….… 50
La Derivada como una razón de cambio …………... 54
Razón de Cambio Porcentual ……….……………….. 57
Costos …….…….……………..…….…………………… 60
10

62. Materia de Matemáticas II
Elaborado en el segundo parcial
del Módulo de Matemática II
Vanesa Insuasti Rodriguez
Elizabeth Luna Espinoza
Ketty Morocho Alves
Miguel Ochoa Chuchuca
Jimmy Ordoñez Procel
Joffre Ordoñez Barreto
Rosibel Pardo Aguirre
Tatiana Poggio Victor
Karen Vera Mosquera
Rolando Romero Chicaíza
Rocío Villacís Matute
Andrea Zapata Alava
Ing. Rafael Salcedo