RESOLUCION DE DERIVADAS

1. MATEMATICAS II
Página1
2009
DEDICATORIA
Todo el empeño que hemos puesto en este proyecto se lo dedicamos ante
todo a DIOS a nuestros padres, familiares,y compañeros quienes de una u
otra manera nos han apoyado para la satisfactoria culminación de este
proyecto.
De igual manera a nuestros maestros, en especial al catedrático de la ciencia
de Matemáticas el Ing. Civil Rafael Salcedo por proporcionarnos la guía
necesaria que nos ha estimulado para alcanzar el objetivo deseado.

2. MATEMATICAS II
Página2
2009
AGRADECIMIENTO
Agradecemos de todo corazón primordialmente a nuestros familiares que
contribuyeron a la realización de este proyecto.
A nuestro maestro guía por compartir e impartirnos sus conocimientos y
llevarnos por senderos de sabiduría, prosperidad y poder lograr que
nuestro esfuerzo obtenga el objetivo deseado.
A la Universidad Técnica de Máchala, por la oportunidad que brinda a los
jóvenes paraqué puedan convertirse en profesionales que contribuyan con
el desarrollo de la misma.

3. MATEMATICAS II
Página3
2009
INTEGRANTES:
1.- AGUIRRE CHUCHUCA KELVIN 2.- ALCIVAR ROMERO ANYELO
3.- BALCAZAR CALERO JUAN 4.- CAJAMARCA COYAGO JUAN
5.-GANAN BLACIO KAREN 6.- HERNANDEZ TORRES TATIANA
7.- JADAN ORTEGA GEOVANNA 8.- JARAMILLO GRANDA ROSA
9.- MOSCOSO OLLAGUE WALTER 10.- NARANJO CARPIO JUAN
11.- QUEVEDO MENDOZA ALEXANDER 12.- PUTAN PUTAN MARCOS
13.- RAMIREZ SANCHEZ FLAVIO 14.- RIOFRIO JIMENEZ YURY
15.-ROMERO GRANDA ANDRES 16.- ROMERO ZAVALA HERMEL
17.- RUILOVA CUMBICOS FAUSTO 18.- SALAZAR NARVAEZ JOHANNA
19.- TORRES RAMIREZ YULIANA 20.- VARGAS SURIAGA VANESSA

4. MATEMATICAS II
Página4
2009
DERIVADA DE PRODUCTO DE DOS FUNCIONES:
La derivada de producto de dos funciones es la primera función multiplicada por la derivada
de la segunda función, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒖. 𝒗
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒖.
𝒅𝒗
𝒅𝒙
+ 𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙

5. MATEMATICAS II
Página5
2009
DERIVADA DE UN COCIENTE:
La derivada de un cociente es el denominador multiplicado por la derivada del numerador,
menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, y todo ello dividido por el
cuadrado del denominador.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
− 𝒖
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒗 𝟐

6. MATEMATICAS II
Página6
2009
DERIVADA EXPONENCIAL:
Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la
función
f:R  R
x  f(x) = ax
Esta función se escribe también como f(x) = exp a x y se lee «exponencial en base a de x».
Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de
las potencias:
1. a° = 1
2. a-n = 1/an

7. MATEMATICAS II
Página7
2009
DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL:
La derivada con logaritmo es igual a uno (1) sobre la variable (v) que se multiplica por la
derivada de la variable.
En análisis matemático se llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de la
función:
que toma el valor 1 cuando la variable x es igual a 1,
La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial:
Si y= ln v
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏
𝒗
.
𝒅𝒗
𝒅𝒙

8. MATEMATICAS II
Página8
2009
DERIVADA DE LOGARITMO VULGAR:
Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a ≠ 0; a ≠ 1), y un número N
positivo y no nulo (N > 0; N ≠ 0), se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay
que elevar dicha base para obtener el número.
Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe:
loga N = x
y se lee «logaritmo en base a de N es igual a x».
Por lo tanto, loga N = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N
(notación exponencial).
Notación
logarítmica
Notación
exponencial

9. MATEMATICAS II
Página9
2009
log 2 8 = 3
log 1/2 4 = -2
log 7 7³ = 3
2³ = 8
(1/2)-2 = 2 ² = 4
7³ = 7³
Consecuencias de la definición de logaritmo
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, ya que a° = 1
2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: loga a = 1, ya que a¹ = a
3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al
exponente de la potencia: loga am = m, ya que am = am
4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.
5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es
negativo si la base a del logaritmo es a>1.
Así, por ejemplo, log 3 1/9 = -2, ya que 3-2 = 1/9
6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0< N<1, es
positivo si la base a del logaritmo es a<1.

10. MATEMATICAS II
Página
10
2009
Por ejemplo, log 1/3 1/9 = 2, ya que (1/3) ² = 1/9
7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es a>1.
Así, log3 9 = 2; ya que 3 ² = 9
8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es a<1.
Así, log 1/5 25 = -2, ya que (1/5)-2 = 25

11. MATEMATICAS II
Página
11
2009
EJEMPLOS:
1. DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒖. 𝒗
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒖.
𝒅𝒗
𝒅𝒙
+ 𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙

12. MATEMATICAS II
Página
12
2009
1) 𝒀 = (𝟑 + 𝟐𝑿) 𝟒
(𝟑 − 𝟓𝑿) 𝟓
PASOS A SEGUIR
 Identificamos la función U (3 + 2𝑋)4
y luego la función V (3 − 5𝑋)5
 Empezamos a derivar la función U
𝑼 = (𝟑 + 𝟐𝑿) 𝟑
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4(3 + 2𝑋)3
. (2)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 8(3 + 2𝑋)3

13. MATEMATICAS II
Página
13
2009
 Luego derivamos la función V
𝑽 = (𝟑 − 𝟓𝑿) 𝟓
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 5(3 − 5𝑋)5
. (−5)
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −25(3− 5𝑋)4
 Se procede a remplazar las funciones y sus derivadas en la formula antes dada.
𝒀 = (𝟑 + 𝟐𝑿) 𝟒
(𝟑 − 𝟓𝑿) 𝟓
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (3 + 2𝑥)4
. [−25(3− 5𝑥4] + (3 − 5𝑥)5
. 8(3 + 2𝑥)3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −25(3 + 2𝑥)4
(3+ 2𝑥)4
+ 8(3 + 2𝑥)3
(3 − 5𝑥)5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (3 − 5𝑥)4
(3 + 2𝑥)3[−25(3+ 2𝑥) + 8(3 − 5𝑥)]

14. MATEMATICAS II
Página
14
2009
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (3 − 5𝑥)4(3 + 2𝑥)3
(−75 − 50𝑥 + 24 − 40𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (3 − 5𝑥)4(3 + 2𝑥)3(−90𝑥 − 51)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3(3 − 5𝑥)4(3 + 2𝑥)3(−30𝑥 − 17)
2) Y=(𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟕) 𝟑
(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒
(𝟏 − 𝟑𝒙) 𝟓
(𝟏 + 𝟕𝒙) 𝟒
U= (𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟕) 𝟑
(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (𝑥2
+ 2𝑥 − 7)3
∙ 4(2𝑥 − 3)3
(2)+(2𝑥 − 3)4
∙ 3( 𝑥2
+ 2𝑥 − 7)2
(2𝑥 − 2)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (𝑥2
+ 2𝑥 − 7)3
∙ 8(2𝑥 − 3)3
+ (2𝑥 − 3)4
∙ 3( 𝑥2
+ 2𝑥 − 7)2
(𝑥 + 1)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2(𝑥2
+ 2𝑥 − 7)2
(2𝑥 − 3)3[4(𝑥2
+ 2𝑥 − 7) + 3(2𝑥 − 3)(𝑥 + 1)]

15. MATEMATICAS II
Página
15
2009
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2( 𝑥2
+ 2𝑥 − 7)2(2𝑥 − 4)3
(4𝑥2
+ 8𝑥 − 28 + 6𝑥2
+ 6𝑥 − 9𝑥 − 9)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2( 𝑥2
+ 2𝑥 − 7)2(2𝑥 − 3)3
(10𝑥2
+ 5𝑥 − 37).
𝑽 = (𝟏 − 𝟑𝒙) 𝟓
(𝟏 + 𝟕𝒙) 𝟒
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= (1 − 3𝑥)5
∙ 4(1 + 7𝑥)3(7)+ (1 + 7𝑥)4
∙ 5(1 − 3𝑥)4
∙ (−3)
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= (1 − 3𝑥)4
(1 + 7𝑥)3[(1 − 3𝑥)4 ∙ 7 + 5(1 − 7𝑥)(−3)]
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= (1 − 3𝑥)4
(1 + 7𝑥)3
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= (1 − 3𝑥)4(1 + 7𝑥)3
(13 − 21𝑥)
Y=(𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟕) 𝟑
(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟒
(𝟏 − 𝟑𝒙) 𝟓
(𝟏 + 𝟕𝒙) 𝟒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=(x2+2x-7)3(2x-3)4(1-3x)4(1+7x)3(13-21x)+ (1-3x)5 (1+7x)4.2 (x2+2x-7)2

16. MATEMATICAS II
Página
16
2009
(2x- 3)3(10x2+5x-37)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3[(x2+2x-7)(2x-3)(13-21x)+2
(1-3x)(1+7x)(10x2+5x-37)]
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3(42x4+5x3+141x2-78x-340x3-150x2+1268x-74)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=(x2+2x-7)2(2x-3)3(1-3x)4(1+7x)3 (42x4-335x3-9x2-74).
3) Y= (
𝟑
𝟓
𝑿 𝟐
− 𝟏)2 (
𝟐
𝟑
𝑿 + 𝟏)3 (
𝟑
𝟒
𝑿 − 𝟑)4
U= (
𝟑
𝟓
𝑿 𝟐
− 𝟏)2 (
𝟐
𝟑
𝑿 + 𝟏)3
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2
− 1)2.3(
2
3
𝑥 + 1)2(
2
3
) + 2(
3
5
𝑥2
− 1)(
6
5
𝑥) (
2
3
𝑥 + 1)3
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2
− 1) (
2
3
𝑥 + 1)2 [3(
3
5
𝑥2
− 1)(
2
3
) + .2(
2
3
𝑥 + 1) (
6
5
𝑥)]

17. MATEMATICAS II
Página
17
2009
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2
− 1) (
2
3
𝑥 + 1)2[2 (
3
5
𝑥2
− 1) +
12
5
(
2
3
𝑋 − 1)]
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2
− 1) (
2
3
𝑥 + 1)2[(
6𝑥2
5
− 2) + (
24𝑥2
18
−
12
5
𝑥)]
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2
− 1) (
2
3
𝑥 + 1)2[(
6𝑥2
−10
5
) + (
24𝑥2
+36𝑥
15
)]
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2
− 1) (
2
3
𝑥 + 1)2[
18𝑥2
−30+24𝑥2
+36𝑥
15
]
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2
− 1) (
2
3
𝑥 + 1)2[
42𝑥2
+36𝑥−30
15
]
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2
− 1) (
2
3
𝑥 + 1)2(
14𝑥2
+12𝑥−10
15
)
V= (
𝟑
𝟒
𝑿 − 𝟑)4
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=4(
3
4
𝑥 − 3)3(
3
4
)

18. MATEMATICAS II
Página
18
2009
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 3. (
3
4
𝑥 − 3)3
Y= (
𝟑
𝟓
𝑿 𝟐
− 𝟏)2 (
𝟐
𝟑
𝑿 + 𝟏)3 (
𝟑
𝟒
𝑿 − 𝟑)4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑋2
− 1)2 (
2
3
𝑋 + 1)3 3. (
3
4
𝑥 − 3)3 +(
3
4
𝑋 − 3)4(
3
5
𝑥2
− 1)(
2
3
𝑥 + 1)2[
42𝑥2
+36𝑥−30
15
]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2 − 1)(
2
3
𝑥 + 1)
2
(
3
4
𝑥 − 3)
3
[(
3
5
𝑋2 − 1)(
2
3
𝑥 + 1) .3 + (
3
4
𝑥 − 3) . 2(
42𝑥2+36𝑥−30
15
)]
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (
3
5
𝑥2 − 1)(
2
3
𝑥 + 1)
2
(
3
4
𝑥 − 3)
3
[(
3
5
𝑋2 − 1)(
1
3
𝑥 + 1) + (
3
2
𝑥 − 3) (
42𝑥2+36𝑥−30
15
)]
DERIVADA DE UN COCIENTE:

19. MATEMATICAS II
Página
19
2009
1.-) y=
(
𝟑
𝟓
𝑿
𝟐
𝟑 +
𝟕
𝟖
𝑿
𝟏
𝟒−𝟏𝟎)
𝟑
𝟒
(
𝟑
𝟕
𝑿
𝟕
𝟖 −
𝟓
𝟖
𝑿
𝟖
𝟑 +
𝟑
𝟒
)
𝟏𝟏
𝟏𝟓
PASOS A SEGUIR:
 Identificamos cual es la función U (
3
5
𝑋
2
3 +
7
8
𝑋
1
4 − 10)
3
4
y
Luego la función V (
3
7
𝑋
7
8 −
5
8
𝑋
8
3 +
3
4
)
11
15
 Empezamos a derivar la función U
u=(
3
5
𝑥
2
3 +
7
8
𝑥
1
4 − 10)
3
4

20. MATEMATICAS II
Página
20
2009
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
3
4
(
3
5
𝑥
2
3 +
7
8
𝑥
1
4 − 10)
−1
4
(
2
3
𝑥
−1
3 +
7
32
𝑥
−3
4 )
 Empezamos a derivar la función V
v=(
𝟑
𝟕
𝒙
𝟕
𝟖 −
𝟓
𝟖
𝒙
𝟖
𝟑 +
𝟑
𝟒
)
𝟏𝟏
𝟏𝟓
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
11
15
(
3
7
𝑥
7
8 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4
)
−4
15
(
3
8
𝑥
−1
8 −
5
9
𝑥
−1
9 )
 Se procede a remplazar las funciones y sus derivadas en la formula antes dada.

21. MATEMATICAS II
Página
21
2009
y=
(
𝟑
𝟓
𝑿
𝟐
𝟑 +
𝟕
𝟖
𝑿
𝟏
𝟒−𝟏𝟎)
𝟑
𝟒
(
𝟑
𝟕
𝑿
𝟕
𝟖 −
𝟓
𝟖
𝑿
𝟖
𝟑 +
𝟑
𝟒
)
𝟏𝟏
𝟏𝟓
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(3
7
𝑥
8
9 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4
)
11
15 3
4
(3
5
𝑥
2
3 +
7
8
𝑥
1
4 − 10)
−1
4
(2
5
𝑥
−1
3 +
7
32
𝑥
−3
4 ) − (3
5
𝑥
2
3 +
7
8
𝑥
1
4 − 10)
3
4 11
15
(3
7
𝑥
7
8 −
5
8
𝑥
8
3 +
3
4
)
−4
15
(3
8
𝑥
−1
8 −
5
9
𝑥
−1
9 )
[(3
7
𝑥
7
8 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4
)
11
15
]
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(3
7
𝑥
8
9 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4
)
−4
15
(3
5
𝑥
2
3 +
7
8
𝑥
1
4 − 10)
−1
4
[3
4
(3
7
𝑥
8
9 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4
)(2
5
𝑥
−1
3 +
7
32
𝑥
−3
4 ) −
11
15
(3
5
𝑥
2
3 +
7
8
𝑥
1
4 − 10)(3
8
𝑥
−1
8 −
5
9
𝑥
−1
9 )]
[(3
7
𝑥
7
8 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4
)
11
15
]
2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(
3
7
𝑥
8
9 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4
)
−4
15
(
3
5
𝑥
2
3 +
7
8
𝑥
1
4 − 10)
−1
4
[
9
70
𝑥
13
24 +
9
28
𝑥
1
8 −
3
6
𝑥
5
9 −
105
1024
𝑥
5
36 +
9
40
𝑥
−1
3 +
63
512
𝑥
−3
4 −
33
200
𝑥
13
24 +
33
155
𝑥
5
9 −
77
320
𝑥
1
8 +
77
216
𝑥
5
36 +
33
12
𝑥
−1
8 −
110
27
𝑥
−1
9 ]
(
3
7
𝑥
7
8 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4)
22
15

22. MATEMATICAS II
Página
22
2009
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−
51
1400
𝑥
13
24 −
109
640
𝑥
1
8 +
41
720
𝑥
5
9 +
7021
27648
𝑥
5
36 +
9
40𝑥
1
3
+
63
512𝑥
3
4
+
33
12𝑥
1
8
−
110
27𝑥
1
9
(3
7
𝑥
8
9 −
5
8
𝑥
8
9 +
3
4
)
26
15
(3
5
𝑥
2
3 +
7
8
𝑥
1
4 − 10)
1
4
2.-) y=
𝒙 𝟐−𝒙+𝟏
𝒙 𝟐+𝒙+𝟏
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
( 𝑥2
+ 𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) − ( 𝑥2
− 𝑥 + 1)(2𝑥 + 1)
( 𝑥2 + 𝑥 + 1)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
( 𝑥2
+ 𝑥 + 1)[(2𝑥 − 1) − (2𝑥 + 1)]
( 𝑥2 + 𝑥 + 1)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑥 − 1 − 2𝑥 − 1
( 𝑥2 + 𝑥 + 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2
( 𝑥2 + 𝑥 + 1)

23. MATEMATICAS II
Página
23
2009
3.-) 𝒚 =
√𝐮+𝟏
√𝐮−𝟏
u= √ 𝐮 + 𝟏
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
2
𝑢−
1
2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
2√ 𝑢
V= √ 𝐮 − 𝟏
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
1
2
𝑢
−
1
2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
1
2√ 𝑢

24. MATEMATICAS II
Página
24
2009
𝒚 =
√ 𝐮 + 𝟏
√ 𝐮 − 𝟏
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(√ 𝑢 − 1) (
1
2√𝑢
) − (√ 𝑢 + 1) (
1
2√𝑢
)
(√𝑢 − 1)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
√𝑢 – 1 − √𝑢 − 1
2√𝑢
(√𝑢 − 1)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2
2√𝑢( 𝑢 − 1)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2
2√𝑢( 𝑢 − 1)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
√𝑢( 𝑢 − 1)2

25. MATEMATICAS II
Página
25
2009
DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL
1) Y = 𝒆 𝒗
PASOS A SEGUIR:
 Identificamos las funciones la variable (V)
 Derivamos la variable ( V )
𝑣 = 4𝑥2
− 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8𝑥
 Derivamos la función Y
Y = 𝒆 𝒗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8𝑥𝑒4𝑥2
−5

26. MATEMATICAS II
Página
26
2009
2) Y=
𝒆 𝟐𝒙+𝟑
𝒆 𝟕𝒙−𝟐
𝒖 = 𝒆 𝟐𝒙+𝟑
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑒2𝑥+3
.2
𝒗 = 𝒆 𝟕𝒙−𝟐
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝑒7𝑥−2
. 7
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2( 𝑒7𝑥−2).( 𝑒2𝑥+5) − ( 𝑒2𝑥+3)( 𝑒7𝑥−2). 7
( 𝑒7𝑥−2)2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
( 𝑒2𝑥+3)(5)
𝑒7𝑥−2

27. MATEMATICAS II
Página
27
2009
3) 𝒚 =
𝒆 𝒙 𝟐
𝒆 𝒙
𝒖 = 𝒆 𝒙 𝟐
u= 𝒆 𝒗′
𝑣′ = 𝑥2
𝑑𝑣′ = 2𝑥
𝒗 = 𝒆 𝒙
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝑒 𝑥
.1
𝒚 =
𝒆 𝒙 𝟐
𝒆 𝒙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑒 𝑥2
. 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥.2𝑥𝑒 𝑥2
𝑒2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑒 𝑥 𝑒 𝑥2
[1 − 2𝑥]
𝑒2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑒 𝑥2
[1 − 2𝑥]
𝑒 𝑥

28. MATEMATICAS II
Página
28
2009
DERIVADA DE UNA FUNCION EXPONENCIAL
𝒚 = 𝒂 𝒗
PASOS A SEGUIR
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒂 𝒗
. 𝒍𝒏 𝒂 .
𝒅𝒗
𝒅𝒙
1) 𝒚 = 𝟑
−
𝒙+𝟏
𝒙−𝟏
𝑎 = 3
𝑣 =
𝑥 + 1
𝑥 − 1
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
2
( 𝑥 − 1)2

29. MATEMATICAS II
Página
29
2009
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3
𝑥+1
𝑥−1 ln 2
2
( 𝑥 − 1)2
2.-) 𝒚 = −𝟑−𝒙 𝟐
𝑎 = 2
𝑣 = 𝑥2
− 5𝑥 + 1
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2 𝑥2
−5+5
. 𝑙𝑛 3 .(2𝑥 − 5)

30. MATEMATICAS II
Página
30
2009
3.-) 𝒚 = −𝟕 𝒆 𝟓𝒙 𝟐−𝟑𝒙+𝟏
𝑎 = 7
𝑣 = 𝑒5𝑥2−3𝑥+1(10𝑥 − 3)
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −7 𝑒5 𝑥2−3𝑥+1
ln 7 (10𝑥 − 3)𝑒5𝑥2
−3𝑥+1
4.-) 𝟔 𝟑𝒙+𝒆 𝒙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3 + 𝑒 𝑥 (1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 63𝑥+𝑒 𝑥
. ln 6. 3+ 𝑒 𝑥

31. MATEMATICAS II
Página
31
2009
DERIVADA DE LOGARITMO NATURAL
1.-) 𝒚 = 𝒍𝒏
(𝒙+𝟐) 𝟑 (𝒙−𝟑) 𝟒
(𝒙−𝟏) 𝟐 (𝒙+𝟏) 𝟓
𝑦 = 3ln( 𝑥 + 2) + 4ln( 𝑥 − 3) − 2ln( 𝑥 − 1) − 5ln(𝑥 + 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3
(𝑥 + 2)
.1 +
4
(𝑥 − 3)
.1 −
2
(𝑥 − 1)
.1 −
5
( 𝑥 + 1)
.1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3( 𝑥 − 3)( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 1) + 4( 𝑥+ 2)( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 1) − 2( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 1) − 5(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 1)
( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑥3
− 9𝑥2
− 3𝑥 + 9 + 4𝑥3
+ 8𝑥2
− 4𝑥 − 8 − 𝑥2
+ 7𝑥 + 6 − 𝑥3
+ 2𝑥2
+ 5𝑥 − 6
( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
6𝑥3
+ 5𝑥 + 1
( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑅.

32. MATEMATICAS II
Página
32
2009
2.-) 𝒚 =
( 𝒙−𝟐)(𝒙+𝟒)
( 𝒙−𝟓)(𝒙+𝟑)
𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛
( 𝑥 − 2)(𝑥 + 4)
( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
𝑙𝑛𝑦 = ln( 𝑥 − 2) + ln( 𝑥 + 4) − ln( 𝑥 − 5) − ln(𝑥 + 3)
1
𝑦
∗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
(𝑥 − 2)
+
1
( 𝑥 + 4)
−
1
(𝑥 − 5)
−
1
(𝑥 + 3)
1
𝑦
∗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)( 𝑥 + 3) + ( 𝑥 − 2)( 𝑥 − 5)( 𝑥 + 3) − ( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 + 3) − ( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)(𝑥 − 5)
( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
1
𝑦
∗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥3
+ 2𝑥2
− 23𝑥 − 60 + 𝑥3
− 4𝑥2
− 11𝑥 + 30 − 𝑥3
− 5𝑥2
+ 2𝑥 + 24 − 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 18𝑥 − 40
( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
1
𝑦
∗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−4𝑥2 − 14𝑥 − 46
( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−2(2𝑥2 + 7𝑥 + 23)
( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
∗ 𝑦

33. MATEMATICAS II
Página
33
2009
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−2(2𝑥2 + 7𝑥 + 23)
( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 5)( 𝑥 + 3)
∗
( 𝑥 − 2)(𝑥 + 4)
( 𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
−2(2𝑥2 + 7𝑥 + 23)
(𝑥 − 5)2(𝑥 + 3)2 𝑅.
4.-)𝒚 = (𝒙 + 𝟏) 𝟐
(𝟐𝒙 + 𝟑) 𝟑
𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥 + 1)2
(2𝑥 + 3)3
1
𝑦
×
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2 ln( 𝑥 + 1) + 3ln(2𝑥 + 3)
1
𝑦
×
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2 ×
1
(𝑥 + 1)
+ 3 ×
1
(2𝑥 + 3)
× 2
1
𝑦
×
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2
(𝑥 + 1)
+
6
(2𝑥 + 3)

34. MATEMATICAS II
Página
34
2009
1
𝑦
×
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2(2𝑥 + 3) + 6(𝑥 + 1)
( 𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)
1
𝑦
×
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4𝑥 + 6 + 6𝑥 + 6
( 𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)
1
𝑦
×
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
10𝑥 + 12
( 𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2(5𝑥 + 6)
(𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)
∗ 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2(5𝑥 + 6)
( 𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)
∗ (𝑥 + 1)2
(2𝑥 + 3)3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2(5𝑥 + 6)( 𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)2
𝑹.

35. MATEMATICAS II
Página
35
2009
DERIVADA DEL LOGARITMO VULGAR
Si y= log v
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
log 𝑒
𝑣
∗
𝑑𝑣
𝑑𝑥
EJERCICIOS
𝒀 = 𝒍𝒐𝒈(𝒙 𝟐
− 𝟓) 𝟓
𝑣 = (𝑥2
− 5)5 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑙𝑜𝑔𝑒
𝑣
∗
𝑑𝑣
𝑑𝑥

36. MATEMATICAS II
Página
36
2009
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 5(𝑥2
− 5)4
∗ (2𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑙𝑜𝑔𝑒
(𝑥2−5)5
∗ 10𝑥(𝑥2
− 5)4
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 10𝑥(𝑥2
− 5)4 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
10𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑒
(𝑥2−5)
𝒚 = 𝐥𝐨𝐠( 𝒆 𝒙)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
log 𝑒 𝑥
( 𝑒 𝑥)
𝑒 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= log 𝑒

37. MATEMATICAS II
Página
37
2009
𝒚 =
𝐥𝐨𝐠( 𝒆 𝒙)
𝒙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= log 𝑒 𝑥( 𝑥)−1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= log( 𝑒 𝑥)− 1( 𝑥)−2
+ ( 𝑥)−1
log 𝑒 𝑥
𝑒 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −log
( 𝑒 𝑥)
( 𝑥)2
+
log 𝑒
𝑥

38. MATEMATICAS II
Página
38
2009
1.- DERIVADA DE PRODUCTO DE DOS FUINCIONES:
𝐘 = 𝐮. 𝐯
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑢.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣.
𝑑𝑢
𝑑𝑥

39. MATEMATICAS II
Página
39
2009
2.- DERIVADA DE UN COCIENTE:
𝒚 =
𝒖
𝒗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
− 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣2
3.- DERIVADA EXPONENCIAL:
𝒚 = 𝒆 𝒗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒 𝑣.
𝑑𝑣
𝑑𝑥

40. MATEMATICAS II
Página
40
2009
4.-DERIVADA CON EXPONENTE:
𝒚 = 𝒂 𝒗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑎 𝑣 𝑙𝑛𝑎
𝑑𝑣
𝑑𝑥
5.-DERIVADA CON LOGARITMO NATURAL:
𝒚 = 𝒍𝒏 𝒗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑣
.
𝑑𝑣
𝑑𝑥

41. MATEMATICAS II
Página
41
2009
6.-DERIVADA CON LOGARITMO VULGAR:
𝒚 = 𝒍𝒐𝒈. 𝒗
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
log 𝑒
𝑣
.
𝑑𝑣
𝑑𝑥