lei de hooke

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Propriedades mecânicas dos materiais – diagrama tensão deformação
Com o objetivo de relacionar os carregamentos atuantes nas estruturas de
engenharia com as deformações devidas às cargas, realizam-se ensaios para
determinar o comportamento carga versus deformação nos materiais (aço, concreto,
madeira ou alumínio) usados na fabricação das estruturas. Várias propriedades
mecânicas são obtidas a partir de ensaios de tração ou compressão, em que a
resistência de um material depende de sua capacidade de suportar um carregamento
sem apresentar deformação excessiva ou ruptura.
Para realizar o ensaio de tração ou compressão, é confeccionado, a partir de
uma amostra da matéria, um corpo de prova, com dimensões padronizadas pelas
normas específi cas para cada material.
A Figura mostra um corpo de prova típico para metais, como ferro fundido, no
qual são feitas marcas separadas de uma distância L o (comprimento de referência).
Mede-se, também, o diâmetro d o para determinar a área da seção transversal A.
Corpo de prova metálico para ensaio de tração.
Utiliza- se uma máquina de ensaios, como mostrada nas Figuras , em que uma
carga axial P é aplicada gradualmente.
Máquina de ensaios de materiais.
Máquina de ensaios de materiais computadorizada.

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O valor de P é aumentado a uma taxa lenta e constante até atingir a ruptura.
Os valores de carga são registrados, bem como alongamento d = L - Lo, entre as
marcas, em cada incremento de tensão de carga.
corpo de prova sendo submetido à tração; corpo de prova em concreto.
Para cada conjunto de valores de P e d, registrados no ensaio, calcula- se a
tensão normal s, dividindo-se P (carga aplicada) pela área de seção transversal inicial
Ao.
s = P / Ao
Da mesma forma, a deformação específica e é encontrada pela leitura direta
em um extensômetro elétrico de resistência, ou dividindo- se o alongamento d pelo
comprimento inicial Lo.
e= d / Lo
Colocando- se os valores de e como abscissa e s como ordenada em um gráfi
co, a curva resultante é chamada de diagrama tensão versus deformação
convencional de engenharia.

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Este diagrama varia de material para material e para um mesmo material,
dependendo da temperatura, da taxa de incremento de carga, imperfeições ou
composições químicas.
Na Figura abaixo é mostrado o diagrama tensão versus deformação, para o
aço estrutural, no qual se identificam quatro etapas distintas de comportamento do
material, dependendo da deformação nele provocada, ou seja, a região elástica,
escoamento, endurecimento por deformação e estricção.
Diagramas tensão – deformação convencional e real para material dúctil (aço). Sem escala.
A região elástica (comportamento elástico), começando na origem dos eixos e
estendendo- se até o limite de proporcionalidade (σ LP ), compreende uma relação
linear entre a tensão e a deformação. O gráfico é representado por uma reta, no qual a
tensão é proporcional à deformação. O material é linearmente elástico, ou seja, se a
carga for removida, o corpo volta à sua forma original. Se a tensão for aumentada
acima de σ LP, o material pode, ainda, apresentar o comportamento elástico, que
continua até alcançar o limite de elasticidade que para o aço, é muito próximo ao limite
de proporcionalidade. Aumentando a tensão acima do limite de elasticidade, tem-se o
escoamento, causado pelo deslizamento relativo entre camadas do material em
superfícies oblíquas, associado a tensões de cisalhamento. A tensão que provoca este
fenômeno é chamada de limite de escoamento (σ E ).
O corpo se deforma permanentemente e continuará a alongar-se sem qualquer
aumento de carga, num trecho chamado de patamar de escoamento.
Após o escoamento, o material refaz as ligações entre as camadas e um
carregamento adicional pode ser aplicado. O diagrama assume a forma de uma curva,

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alcançando a tensão máxima chamada de limite de resistência (σr ) ou tensão de
última (σu ). Este aumento na curva é chamado de endurecimento por deformação.
Durante o ensaio de tração, enquanto o corpo apresenta um alongamento, a
área da seção transversal decresce de maneira uniforme ao longo de seu
comprimento. Ao atingir o limite de resistência, a área da seção transversal diminui
uma região localizada. Esse fenômeno é chamado de estricção e, como a área é
menor, a carga é decrescente e o diagrama curva- se para baixo, até que ocorra a
ruptura numa tensão chamada de tensão de ruptura ( σup ).
Corpo de prova submetido à tração, apresentando a estricção (a) e ruptura (b).
Com o conhecimento sobre o comportamento tensão-deformação dos
materiais, destacamos algumas propriedades mais significativas destes para o
engenheiro projetar ou analisar um equipamento ou estrutura, que são resistência,
rigidez e ductilidade.
· Resistência: medida por meio de três valores retirados do diagrama tensão-deformação:
O limite de escoamento, que é a maior tensão que o material
pode suportar, sem sofrer deformação permanente; o limite de resistência ou
limite último, que é o máximo valor de tensão que o material pode suportar; e, fi
nalmente, o limite de ruptura, que é o valor da tensão no instante da ruptura.
· Rigidez: medida por meio da relação entre a tensão e a deformação,
principalmente na região linear elástica.
· Ductilidade: quando um material, na temperatura ambiente, pode apresentar
grande deformação antes de atingir a ruptura, é classificado como material
dúctil. Já aquele que fratura sob pequena deformação, é chamado de material
frágil.
Portanto, os materiais são classificados como dúcteis ou frágeis, dependendo das
características do diagrama tensãodeformação. O aço estrutural, por exemplo, é um
material dúctil à temperatura ambiente. Isto permite que seja conformado ou dobrado
para fabricar perfis ou vergalhões. Este material é capaz de absorver choques e
energia e, quando sobrecarregado, exibe grande deformação antes de falhar,
prevenindo, deste modo, que falhas repentinas e catastróficas ocorram. O alumínio,
latão, cobre e o níquel, entre outros, podem ser classificados como dúcteis.
A ductilidade é medida por meio do alongamento percentual dado pela
equação:
em que Lf e Lo são, respectivamente, os comprimentos final e inicial do corpo de prova.
Outra medida de ductilidade é dada pela redução percentual de área, expressa por:

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onde Ao e Af são respectivamente, a área da seção transversal original e a área final
da seção onde ocorre a fratura.
Os materiais frágeis, como ferro fundido, vidro, pedra e concreto entre outros,
caracterizam-se por uma ruptura que ocorre sem nenhuma alteração significativa no
modo de deformação. Não existe diferença entre o valor da tensão última e a tensão
de ruptura e a deformação é muito menor do que nos materiais dúcteis e não ocorre a
estricção.
Diagrama tensãodeformação para material frágil e dúctil.
Lei de Hooke e módulo de Elasticidade
A maior parte das estruturas e equipamentos é projetada de modo que as
tensões e deformações permaneçam na região elástica inicial do diagramas versus e.
Nesta parte, a maioria dos materiais exibe um comportamento linear, onde a tensão
normal s é diretamente proporcional à deformação específica .Desse modo:
σ = E×ε
Esta equação é denominada Lei de Hooke. O coeficiente E é chamado de módulo de
elasticidade do material, ou módulo de Young, expresso geralmente em GPa ou MPa.
A Lei de Hooke é válida até o limite de proporcionalidade.
Exercícios
01. Duas marcas são feitas distantes 300 mm, em uma barra sólida com diâmetro de
22 mm. Quando uma carga axial de tração de 70 kN foi aplicada, a distância medida
entre as marcas é de 300,6175 mm. Determine o módulo de elasticidade do material.

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02. Um tubo com material com módulo de elasticidade de 180 GPa é submetido a uma
força axial de tração de 115 kN. Sabendo que o diâmetro externo do tubo é de 46 mm
e a espessura da parede é de 7mm, determine a deformação específica.
03.Uma barra de comprimento 5 m e seção transversal retangular 25 x 50 mm é
confeccionada com um material com módulo de elasticidade de 70 GPa (70000 MPa).
Determine a carga máxima P que pode ser aplicada, sabendo-se que a tensão normal
não pode exceder 150 MPa e que o alongamento não pode ser maior que 10 mm.
04. A montagem mostrada na Figura é composta de dois segmentos com seção
circular maciça, com os diâmetros indicados na fi gura. O segmento (1) é feito em
latão com módulo de elasticidade de 120 GPa e o segmento (2) em alumínio, com E =
70 GPa. Determine a deformação total da montagem, se uma força de 60 kN é
aplicada na extremidade.
05. Determine a deformação total da montagem mostrada na Figura, composta de
barras de seção circular maciça, conforme os diâmetros indicados. Os trechos (1) e (3)
são feitos em bronze com E = 120 GPa e o trecho (2) em alumínio com E = 70 GPa.

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06. A montagem mostrada na Figura 27 é composta de três hastes e uma barra rígida
ACB. Se uma força de 80 kN é aplicada na extremidade D, determine o deslocamento
vertical dos pontos A,B, C e D.
07. Considerando a montagem da fi gura, onde a barra rígida ABD suporta uma carga
de 80 kN, determine as tensões normais atuantes nas hastes (1) e (2) e o
deslocamento horizontal do ponto C
08. A barra composta de aço A-36 (E=29.106lbf/pol2) mostrada na figura abaixo está
composta por dois segmentos, AB e BD, com áreas da seção transversal AAB=1 pol2 e
ABD=2 pol2. Determinar o deslocamento vertical da extremidade A.

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09. O eixo de bronze C86100 está submetido às cargas axiais mostradas. Determinar
o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de
cada segmento são dAB = 0,75 pol, dBC = 2 pol e dCD = 0,5 pol.
Dado:módulo de elasticidade do bronze = 15×106 psi e as unidades libra-força e
polegada
10. A junta é feita de três chapas de aço A-36 ligadas pelas suas costuras. Determinar
o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D quando a junta é
submetida às cargas axiais mostradas. Cada chapa tem espessura de 6 mm.
11. Os arames de aço AB e AC suportam a massa de 200 kg. Supondo que a tensão
normal admissível para eles seja σadm = 130 MPa, determinar o diâmetro requerido
para cada arame. Além disso, qual será o novo comprimento do arame AB depois que
a carga for aplicada? Supor o comprimento sem deformação de AB como sendo 750
mm. Eaço = 200 GPa.

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12. A haste de alumínio mostrada na figura (a) tem seção transversal circular e está
submetida a uma carga axial de 10KN. Se uma parte do diagrama tensão-deformação
do material é mostrada na figura (b), determinar o alongamento aproximado da haste
quando a carga á aplicada. Se a carga for removida, qual será o alongamento
permanente da haste? Suponha que EAl = 70 Gpa.
13. Um corpo-de-prova com comprimentp original de 1 pé tem diâmetro de 0,5pol e
está submetido a uma força de 500lb. Quando a força é aumentada de 500lb para
1800lb, o corpo-de-prova alonga-se 0,009 pol. Determinar o módulo de elasticidade do
material se este permanecer com comprimento linear-elástico.

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12. A haste de alumínio mostrada na figura (a) tem seção transversal circular e está
submetida a uma carga axial de 10KN. Se uma parte do diagrama tensão-deformação
do material é mostrada na figura (b), determinar o alongamento aproximado da haste
quando a carga á aplicada. Se a carga for removida, qual será o alongamento
permanente da haste? Suponha que EAl = 70 Gpa.
13. Um corpo-de-prova com comprimentp original de 1 pé tem diâmetro de 0,5pol e
está submetido a uma força de 500lb. Quando a força é aumentada de 500lb para
1800lb, o corpo-de-prova alonga-se 0,009 pol. Determinar o módulo de elasticidade do
material se este permanecer com comprimento linear-elástico.