AA M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O
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A.3.1 Integrais a uma dimensão
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é a equação da geratriz do cone. Obtemos então
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Este campo escalar tanto pode ser encarado como uma função de ...
O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S
O integral de linha do gradiente goza duma propriedade importante, que é o ser...
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Figura A.20: Fluxo atrav...
O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S
O significado físico da divergência é dado considerando um volume elementar dV ...
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O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S
da circulação (regra do saca-rolhas), conforme se indica na Fig. A.22. Dado um...
A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O
Então,
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O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S
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A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O
A.6.4 Laplaciano
Define-se o laplaciano dum campo escalar por l...
O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S
A.6.6 Coordenadas curvilíneas
Em algumas aplicações interessa escrever as expr...
A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O
— Coordenadas cartesianas
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∂Ψ
∂x
ex +
∂Ψ
∂y
ey +
∂Ψ
∂z
ez
·...
O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S
— Coordenadas esféricas
Ψ =
∂Ψ
∂r
er +
1
r
∂Ψ
∂θ
eθ +
1
r sin θ
∂Ψ
∂ϕ
eϕ
· C =...
P R O B L E M A S A P Ê N D I C E A
A.1 Dada uma função f(x, y, z),
a) calcule o seu gradiente f;
b) mostre que × f = 0;
c...
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  1. 1. AA M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O
  2. 2. Página 316 (propositadamente em branco).
  3. 3. A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O A . 1 I N T R O D U Ç Ã O Uma das principais dificuldades no estudo do electromagnetismo é a insuficiente prepara- ção matemática dos alunos. De facto a maior parte das vezes a matemática relevante só é ensinada nas disciplinas de matemática depois de os conceitos terem sido já utilizados no electromagnetismo. Vamos neste apêndice apresentar os principais conceitos necessários numa perspectiva do utilizador, sem uma preocupação de rigor matemático. Admitimos que os alunos já dominam os conceitos de derivada, incluindo derivadas parciais, e de integral a uma dimensão. A . 2 S I S T E M A S D E C O O R D E N A D A S Para além do usual sistema de coordenadas cartesianas em R3 , é muitas vezes útil usar outros sistemas de coordenadas mais apropriados à geometria dum determinado pro- blema. Entre estes estão os sistemas de coordenadas polares em R2 e os sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas em R3 . A.2.1 Coordenadas polares Para problemas que tenham simetria de rotação em duas dimensões introduzem-se as coordenadas polares em R2 . São definidas através das relações: x = r cos θ y = r sin θ (A.1) onde r e θ estão definidos na Fig. A.1. As relações inversas são PSfrag replacements x y r O θ P(x, y) Figura A.1: Coordenadas polares em R2 . 317
  4. 4. S I S T E M A S D E C O O R D E N A D A S r = x2 + y2 θ = arctan y x . (A.2) A.2.2 Coordenadas cilíndricas Para problemas em R3 que tenham simetria de rotação em torno do eixo do z, introdu- zimos as coordenadas cilíndricas. Estas são coordenadas polares no plano xy a que se adiciona a cota z do ponto em questão. A sua definição é x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ z = z , (A.3) conforme se indica na Fig. A.2. O domínio de variação da coordenada ϕ é ϕ ∈ [0, 2π] (A.4) As relações inversas para as coordenadas ρ e ϕ são as das coordenadas polares, Eq. (A.2). PSfrag replacements x y z z O P(x, y, z) ϕ ρ Figura A.2: Coordenadas cilíndricas em R3 . A coordenada z é a mesma no sistema cartesiano e cilíndrico. 318
  5. 5. A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O A.2.3 Coordenadas esféricas Para problemas em R3 que tenham simetria esférica, introduzimos as coordenadas esfé- ricas. A sua definição é x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ , (A.5) conforme se indica na Fig. A.3. O domínio de variação das variáveis angulares para cobrir R3 é θ ∈ [0, π] ; ϕ ∈ [0, 2π] (A.6) PSfrag replacements x y z O P(x, y, z) ϕ θ r Figura A.3: Coordenadas esféricas em R3 . As relações inversas são r = x2 + y2 + z2 θ = arccos z r ϕ = arctan y x . (A.7) A . 3 C Á L C U L O I N T E G R A L E M Rn . Vamos nesta secção rever o cálculo integral em Rn . Admitimos que o cálculo integral em R já é conhecido. 319
  6. 6. C Á L C U L O I N T E G R A L E M RN . A.3.1 Integrais a uma dimensão Para introduzir os integrais, vamos usar o exemplo das distribuições de carga. Comece- mos pelo integral a uma dimensão. Seja uma barra de comprimento L e secção desprezável e carga total Q. Distribuição de carga uniforme Começamos por dividir o comprimento da barra em N intervalos de comprimento ∆xi = L/N (ver Fig. A.4). PSfrag replacements xO L1 2 ∆x1 ∆x2 Figura A.4: Barra de comprimento L. Então a carga em cada segmento ∆xi é dada por ∆qi = Q N = Q L L N = Q L ∆xj . (A.8) Se definirmos a densidade de carga por unidade de comprimento: λ = Q L , (A.9) podemos escrever ∆qi = λ∆xi (A.10) e Q = N i ∆qi = N i λ∆xi . (A.11) No limite N → ∞, a soma passa a integral e obtemos Q = lim N→∞ N i λ∆xi = L 0 λ dx . (A.12) Este caso é de facto trivial, pois L 0 λ dx = Q L L 0 dx = Q L L = Q . (A.13) 320
  7. 7. A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O Distribuição de carga não uniforme Se a distribuição não for uniforme, fazemos N suficientemente grande para que no inter- valo ∆xi a distribuição seja aproximadamente constante e igual ao valor λ(xi). Então, a carga em ∆xi é ∆qi = λ(xi)∆xi , (A.14) e portanto a carga total da barra será Q = N i=1 ∆qi = N i=1 λ(xi)∆xi , (A.15) e no limite N → ∞ obtemos Q = L 0 λ(x) dx . (A.16) Exemplo A.1 Seja uma barra de comprimento L carregada com carga total Q e densidade λ(x) = A x(L − x). Determinar a constante A. Calculemos a carga total a partir da Eq. (A.16): Q = L 0 λ(x)dx = L 0 A x(L − x) dx = A L2 6 (A.17) e A = 6 Q L2 . (A.18) A.3.2 Integrais de superfície Comecemos por considerar um rectângulo de dimensões Lx × Ly, conforme se indica na Fig. A.5, e carregado uniformemente com carga total Q. Seguindo o exemplo dos integrais a uma dimensão, dividimos cada eixo em N intervalos, o que equivale a definir intervalos elementares segundo x e segundo y dados por ∆xi1 = Lx N ; ∆yi2 = Ly N . (A.19) 321
  8. 8. C Á L C U L O I N T E G R A L E M RN . PSfrag replacements x y Lx Ly O Figura A.5: Partição em rectângulos elementares ∆xi1 × ∆yi2 . Então o rectângulo ficou dividido em N2 rectângulos elementares de área ∆Si = ∆xi1 ∆yi2 (A.20) Se introduzirmos a densidade de carga em superfície σ por σ = Q Lx × Ly , (A.21) podemos dizer que a carga elementar de cada rectângulo ∆Si é dada por ∆qi = σ∆Si . (A.22) Quando N → ∞, temos ∆qi → dq = σ dS = σ dxdy (A.23) e Q = i qi → Q = S σdS = Lx 0 Ly 0 σ dxdy . (A.24) O caso de densidade variável trata-se exactamente da mesma maneira que o exemplo a uma dimensão, substituindo no integral σ por σ(x, y). Consideremos agora o caso mais geral descrito na Fig. A.6, onde f(x) é a curva que limita a região. Não é difícil verificarmos que o resultado só será alterado nos limites de integração: Q = Lx 0 f(x) 0 σ(x, y) dxdy , (A.25) 322
  9. 9. A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O PSfrag replacements x y y = f(x) LxO Figura A.6: Região limitada pela curva y = f(x). e teremos, primeiro, de efectuar a integração em y e, depois, em x. Vejamos alguns exemplos. Exemplo A.2 Área do triângulo indicado na Fig. A.7. PSfrag replacements x y a b O Figura A.7: Área do triângulo. Obtemos I = S dS = a 0 dx x b a 0 dy (A.26) = a 0 dx xb a = b a a 0 dx x (A.27) = b a 1 2 a2 = 1 2 ab ≡ Área . (A.28) 323
  10. 10. C Á L C U L O I N T E G R A L E M RN . Exemplo A.3 Área do quarto de círculo representado na Fig. A.8. PSfrag replacements x y R RO Figura A.8: Área dum quarto de círculo. Primeiro, vamos usar coordenadas cartesianas. Então, temos de saber qual a equação do quarto de circunferência. Temos y = R2 − x2 . (A.29) Então, I = S ds = R 0 dx √ R2−x2 0 dy = R 0 dx R2 − x2 . (A.30) Sabendo agora a primitiva da função integranda: R2 − x2 = x 2 R2 − x2 + R2 2 arcsin x R , (A.31) obtemos I = x 2 R2 − x2 + R2 2 arcsin x R R 0 = π 4 R2 = Área . (A.32) 324
  11. 11. A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O PSfrag replacements x y θ r drdθ rdθ O Figura A.9: O elemento de área em coordenadas polares. Exemplo A.4 Mesmo exemplo em coordenadas polares. Devemos ter como anteriormente I = S dS . (A.33) O problema reside agora em saber como se escreve o dS em coordenadas polares. Para compreendermos o resultado, notemos que em coordenadas cartesianas dS = dx dy é a área compreendida entre x e x + dx e entre y e y + dy. Então, em coordenadas polares, dS deverá ser a área compreendida entre r e r+dr e entre θ e θ+dθ. Da Fig. A.9 resulta, então, que dS = rdθdr , (A.34) I = S dS = R 0 dr π 2 0 dθ r = R 0 dr r π/2 0 dθ = π 2 R 0 dr r = π 2 1 2 R2 = π 4 R2 . (A.35) A.3.3 Integrais de volume Do modo semelhante aos casos anteriores fazemos agora uma partição dum cubo em N3 cubos. Então, a carga de cada cubo elementar é ∆qi = ρ ∆Vi , (A.36) 325
  12. 12. C Á L C U L O I N T E G R A L E M RN . onde ∆Vi = ∆xi1 ∆yi2 ∆zi3 (A.37) e ρ = Q L3 . (A.38) No limite N → ∞, temos ∆qi → dq = ρ dV = ρ dxdydz (A.39) e Q = N i=1 qi → Q = V ρ dV = L 0 dx L 0 dy L 0 dz ρ(x, y, z) . (A.40) O caso geral dum integral a 3 dimensões será então I = b a dx f(x) c dy g(x,y) d dz h(x, y, z) , (A.41) onde primeiro se integra em z, depois em y e finalmente em x. Exemplo A.5 Cálculo do volume dum oitavo de esfera em coordenadas cartesianas. Consideremos o oitavo de esfera representado na Fig. A.10. PSfrag replacements x y z R R R Figura A.10: Volume dum oitavo de esfera. Calculamos o seu volume, generalizando o algoritmo do caso das superfícies, isto é, I = V dV = R 0 dx √ R2−x2 0 dy √ R2−x2−y2 0 dz = R 0 dx √ R2−x2 0 dy R2 − x2 − y2 . (A.42) 326
  13. 13. A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O Agora, usando o facto de que α2 − y2 dy = y 2 α2 − y2 + α2 2 arcsin y α , (A.43) obtemos I = π 4 R 0 dx (R2 − x2 ) = π 4 R2 x − 1 3 x3 R 0 = π 4 R3 − 1 3 R3 = 2π 12 R3 = 1 8 4 3 πR3 . (A.44) Exemplo A.6 Mesmo exemplo em coordenadas esféricas. Tal como anteriormente, o volume será dado por I = V dV . (A.45) A questão é saber agora como se escreve o elemento de volume dV em coordenadas esféricas. Seguindo o exemplo do elemento de área em coordenadas polares, concluímos que dV é o volume compreendido entre (r, r + dr), (θ, θ + dθ) e (ϕ, ϕ + dϕ), conforme indicado na Fig. A.11. Então o elemento de volume dV escreve-se PSfrag replacements x y z rdθ dr dϕ dθ r sin θdϕ O Figura A.11: Elemento de volume em coordenadas esféricas. dV = r dθdr r sin θ dϕ = r2 sin θ dr dθ dϕ . (A.46) 327
  14. 14. C Á L C U L O I N T E G R A L E M RN . Obtemos, então, para o integral I = V dV = π/2 0 dϕ π/2 0 dθ R 0 drr2 sin θ = π/2 0 dϕ 0 dθ sin θ R 0 drr2 = 1 3 R3 π/2 0 dϕ − cos θ π/2 0 = 1 3 R3 π/2 0 dϕ = π 6 R3 = 1 8 4π 3 R3 . (A.47) Exemplo A.7 Seja uma esfera de raio R e com uma carga total Q e uma distribuição dada por (ver Fig. A.12) ρ(r) = ρ0 1 − r R (A.48) Determine a constante ρ0. PSfrag replacements r ρ0 ρ(r) O R Figura A.12: Distribuição radial de carga. A carga total será Q = V ρ dV . (A.49) 328
  15. 15. A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O Vamos usar coordenadas esféricas. Então, Q = 2π 0 dϕ π 0 dθ sin θ R 0 drr2 ρ0 R (R − r) = 4π ρ0 R R 0 dr(r2 R − r3 ) = 4π ρ0 R 1 3 r3 R − 1 4 r4 R 0 = 4πρ0 1 12 R3 . (A.50) Então, a constante ρ0 é dada por ρ0 = 3 π Q R3 , (A.51) e podemos escrever para a densidade de carga: ρ = 3Q πR4 (R − r) . (A.52) Exemplo A.8 Volume dum cilindro em coordenadas cilíndricas. Tal como anteriormente, I = V dV , (A.53) onde dV é agora (ver Fig. A.13) o elemento de volume compreendido entre (ρ, ρ + dρ), (ϕ, ϕ + dϕ) e (z, z + dz), ou seja, dV = ρ dϕdρ dz (A.54) Então I = 2π 0 dϕ R 0 dρ ρ h 0 dz = h 2π 0 dϕ R 0 dρ ρ = 1 2 R2 h 2π 0 dϕ = πR2 h . (A.55) Exemplo A.9 Volume dum cone. Vamos usar coordenadas cilíndricas, conforme se indica na Fig. A.14. 329
  16. 16. C Á L C U L O I N T E G R A L E M RN . PSfrag replacements x y z z dρρdϕ dϕ O dz Figura A.13: Elemento de volume em coordenadas cilíndricas. Obtemos I = V dV = 2π 0 dϕ R 0 dρ ρ h R (R−ρ) 0 dz , (A.56) onde z = R − ρ tan α = h R (R − ρ) (A.57) PSfrag replacements h z z RρO α α Figura A.14: Geratriz dum cone em coordenadas cilíndricas. 330
  17. 17. A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O é a equação da geratriz do cone. Obtemos então I = 2π 0 dϕ R 0 dρ ρ h R (R − ρ) = 2π h R R 0 dρ (Rρ − ρ2 ) = 2π h R 1 2 R3 − 1 3 R3 = π 3 R2 h . (A.58) A . 4 C A M P O S E S C A L A R E S E V E C T O R I A I S Em física é frequente termos necessidade de especificar o valor duma grandeza em cada ponto de espaço. Assim, a cada ponto do espaço P(x, y, z) associamos um número, o valor da grandeza nesse ponto. Diz-se que a grandeza assim representada em todos os pontos é um campo escalar. Consideremos, como exemplo, a temperatura. A um ponto genérico de coordenadas P(x, y, z) associamos o valor da temperatura nesse ponto: P(x, y, z) → T(x, y, z) . (A.59) Nem todas as grandezas podem ser representadas por um único número em cada ponto P(x, y, z). Assim, se a cada ponto P associarmos um vector, temos aquilo a que se chama um campo vectorial. Um exemplo simples é o valor da velocidade da água em cada ponto de um canal Figura A.15: Campo de velocidades da água num canal. (x, y, z) → v(x, y, z) , (A.60) 331
  18. 18. S U P E R F Í C I E S , Â N G U L O S Ó L I D O E F L U X O onde v(x, y, z) = vx(x, y, z) ex + vy(x, y, z) ey + vz(x, y, z) ez . (A.61) Poderíamos ainda pensar em campos mais complicados como os chamados campos ten- soriais, que a cada ponto associam um tensor, mas não teremos necessidade deles para este curso, pelo que não os estudaremos aqui. O electromagnetismo é descrito por dois campos vectoriais E e B, como teremos opor- tunidade de ver. Teremos também oportunidade de falar de outros campos vectoriais, bem como de campo escalares. A . 5 S U P E R F Í C I E S , Â N G U L O S Ó L I D O E F L U X O A.5.1 Superfícies orientadas Uma superfície regular S (isto é, sem arestas nem vértices) tem em cada ponto definida uma direcção normal. Vamos considerar superfícies orientadas, ou seja, com um sentido positivo escolhido na direcção normal em cada ponto, de forma que esse sentido varie continuamente de ponto para ponto da superfície. Quando a superfície é fechada, nor- malmente convenciona-se que o sentido positivo da direcção normal é, em cada ponto de S, aquele que aponta para o exterior da superfície. No ponto de coordenadas r, perten- cente a S, designaremos por n(r) o vector unitário, orientado segundo o sentido positivo da normal à superfície nesse ponto, conforme se indica na Fig. A.16 PSfrag replacements S n Figura A.16: Normal a uma superfície fechada. A.5.2 Ângulo sólido Um conceito bastante útil em física é o chamado ângulo sólido. Por definição, ângulo sólido segundo o qual se vê uma superfície a partir dum ponto O é a área da esfera de raio unidade centrada em O que é intersectada pelo sólido que tem por base a superfície e por vértice o ponto O (ver Fig. A.17). Adoptemos a seguinte convenção de sinais: 332
  19. 19. A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O PSfrag replacements S n O n dΩ dS er Figura A.17: Ângulo sólido dΩ. dΩ > 0, se O vê a face positiva dΩ < 0, se O vê a face negativa. (A.62) Portanto: dΩ = − 1 r2 er · n dS = − 1 r2 r (r) · n dS = r 1 r · n dS . (A.63) Para superfícies fechadas S, teremos    Ponto O interior a S ⇒ Ω = −4π Ponto O exterior a S ⇒ Ω = 0 Ponto O sobre S ⇒ Ω = −2π (A.64) A.5.3 Fluxo dum campo vectorial Dado um campo vectorial arbitrário C(x, y, z), define-se fluxo do campo C através da superfície S por Fluxo = S C · n dS , (A.65) onde n é a normal positiva. Para uma superfície aberta, a definição de n é arbitrária, mas para uma superfície fechada é, como vimos, convencional definir a normal positiva como sendo a normal exterior. Consideremos agora um volume V limitado por uma superfície S. Dividamos o volume V em dois volumes V1 e V2 por meio duma superfície Sab. As superfícies S1 e S2 limítrofes dos volumes V1 e V2 são dadas por S1 = Sa + Sab, S2 = Sb + Sab. Então temos o teorema seguinte: 333
  20. 20. S U P E R F Í C I E S , Â N G U L O S Ó L I D O E F L U X O PSfrag replacements Sa Sab Sb V1 V2 n1 n2 Figura A.18: Volume V dividido pela superfície Sab. Teorema A.1 S C · n dS = S1 C · n dS + S2 C · n dS . (A.66) Demonstração Temos S1 C · n dS = Sa C · n dS + Sab C · n1 dS (A.67) e S2 C · n dS = Sb C · n dS + Sab C · n2 dS , (A.68) mas como n1 = −n2 e S = Sa + Sb, obtemos S1 C · n dS + S2 C · n dS = S C · n dS , (A.69) como pretendíamos. Corolário Consideremos uma região do espaço formando um volume elementar dV e limitada pela superfície dS. Como dV é infinitesimal, o campo C tem uma dada direcção nesse elemento de volume. Então (ver Fig. A.19): Fluxo através de dS =C · n dS = C · n dS1 + C · n dS2 , C · n dS2 > 0 C · n dS1 < 0 . (A.70) e portanto o fluxo através da superfície elementar é a diferença entre o fluxo que sai e o fluxo que entra. 334
  21. 21. A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O PSfrag replacements dS1 dS2 n n C Figura A.19: Fluxo através da superfície que limita o volume dV . A . 6 O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S No electromagnetismo têm um papel muito importante os chamados operadores diferen- ciais, gradiente, divergência, rotacional e laplaciano. Vamos nesta secção apresentar estes objectos. Na tabela seguinte é feito um resumo das suas propriedades fundamentais, isto é, em que tipo de objectos matemáticos actuam e qual o resultado dessa operação. Tabela A.1: Operadores diferenciais. Operador Actua sobre Produz Gradiente Campo escalar Campo vectorial Divergência Campo vectorial Campo escalar Rotacional Campo vectorial Campo vectorial Laplaciano Campo escalar Campo escalar Laplaciano Campo vectorial Campo vectorial A.6.1 Gradiente Definição Consideremos o exemplo do campo escalar temperatura T(x, y, z) e que queremos calcular a diferença de temperatura entre dois pontos vizinhos r e r. Definimos: ∆r = r − r ≡ (∆x, ∆y, ∆z) . (A.71) 335
  22. 22. O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S Então, ∆T = T(r ) − T(r) = ∂T ∂x ∆x + ∂T ∂y ∆y + ∂T ∂z ∆z , (A.72) onde desprezámos termos de ordem superior, por considerarmos que os pontos se encon- tram infinitesimalmente próximos. Como a diferença de dois campos escalares continua a ser um campo escalar, ∆T é um campo escalar. Por sua vez, ∆r ≡ (∆x, ∆y, ∆z) é um vector, o que nos permite interpretar (∂T ∂x , ∂T ∂y , ∂T ∂z ) como as componentes dum campo vectorial, pois o produto interno de dois vectores é uma quantidade escalar. A este campo vectorial dá-se o nome de gradiente. Por definição: grad T = ∂T ∂x ex + ∂T ∂y ey + ∂T ∂z ez , (A.73) pelo que tem lugar a igualdade ∆T = grad T · ∆r . (A.74) Aquilo que acabamos de fazer para a temperatura é válido obviamente para qualquer campo escalar. A componente do gradiente dum campo escalar segundo uma dada di- recção é portanto a taxa de variação desse campo nessa direcção. Operador nabla É conveniente por vezes introduzir um operador diferencial vectorial, chamado nabla, de acordo com definição ≡ ( ∂ ∂x , ∂ ∂y , ∂ ∂z ) . (A.75) Em termos deste operador, o gradiente dum campo escalar arbitrário φ(x, y, z) escreve-se grad φ ≡ φ . (A.76) No seguimento necessitaremos de algumas propriedades do gradiente, que vamos mostrar. Gradiente duma distância Consideremos dois pontos r = (x, y, z) e r = (x , y , z ). A distância entre r e r é um campo escalar, que designamos por R: R = |r − r | = (x − x )2 + (y − y )2 + (z − z )2 (A.77) 336
  23. 23. A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O Este campo escalar tanto pode ser encarado como uma função de r = (x, y, z) para r fixo como uma função de r para r fixo. Calculemos o gradiente, primeiro, em relação às coordenadas de r: rR = x − x R ex + y − y r ey + z − z R ez = r − r R = eR , (A.78) onde eR = r − r |r − r | (A.79) é o versor unitário na direcção de r − r . Se calcularmos o gradiente em relação às coordenadas do ponto r , obtemos r R = − x − x R ex − y − y R ey − z − z R ez = − r − r R = −eR , (A.80) isto é, rR = − r R , (A.81) o que constitui um resultado muito importante. φ é perpendicular às superfícies φ = constante Consideremos uma superfície tal que φ(x, y, z) = constante e sobre ela dois pontos r e r infinitesimalmente próximos. Então, ∆φ = φ · ∆r, onde ∆r = r − r. Mas se sobre a superfície temos φ = constante, então ∆φ = 0, ou seja, φ · ∆r = 0 , (A.82) para qualquer direcção sobre a superfície. Esta equação só pode ser satisfeita, se φ for perpendicular à superfície. Integral de linha do gradiente Dado um campo vectorial arbitrário C(x, y, z), dá-se o nome de integral de linha do campo vectorial C ao longo da linha Γa,b (com início no ponto localizado no vector a e fim no ponto correspondente ao vector b) ao integral: Integral de Linha = Γa,b C · d . (A.83) 337
  24. 24. O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S O integral de linha do gradiente goza duma propriedade importante, que é o ser inde- pendente do caminho, dependendo somente do valor da função nos pontos final e inicial. Este resultado pode ser posto no seguinte Teorema A.2 O integral do gradiente da função φ ao longo da linha Γa,b, com início no ponto localizado pelo vector a e fim no ponto localizado pelo vector b é dado por Γa,b φ · d = φ(b) − φ(a) , (A.84) sendo independente do percurso entre a e b. Demonstração Vem directamente da Eq. (A.74). A.6.2 Divergência Definição Num sistema de referência cartesiano define-se o operador divergência dum campo vec- torial C(x, y, z) pela relação · C = ∂Cx ∂x + ∂Cy ∂y + ∂Cz ∂z (A.85) Da definição resulta que o operador divergência se aplica a campos vectoriais e produz um campo escalar. Teorema da divergência O conceito de divergência está intimamente ligado ao conceito de fluxo dum campo vectorial. O teorema fundamental é o chamado teorema da divergência (ou de Gauss). Teorema A.3 Seja S a superfície fechada que limita o volume V e seja n a normal positiva a S (exterior). Então, S C · n dS = V · C dV . (A.86) Demonstração Dividimos o volume V em volumes elementares. Calculamos o fluxo através desses volumes elementares e aplicando o teorema 2 obtemos o fluxo através da superfície que limita o volume V somando todos esses fluxos elementares. Sem perda de 338
  25. 25. A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O x y z PSfrag replacements 1 2 3 4 5 6 Figura A.20: Fluxo através das faces dum paralelepípedo. generalidade, podemos considerar como volume elementar um paralelepípedo segundo os eixos, de arestas dx, dy e dz, conforme se indica na Fig. A.20. O fluxo através da superfície limítrofe do paralelepípedo é a soma dos fluxos através das suas faces (normal para o exterior). Portanto: fluxo 1 = −Cy(1) dxdz fluxo 2 = Cy(2) dxdz (A.87) e teremos fluxo através de 1 e 2 = [Cy(2) − Cy(1)] dxdz = ∂Cy ∂y dxdydz fluxo através de 3 e 4 = ∂Cz ∂z dxdydz fluxo através de 5 e 6 = ∂Cx ∂x dxdydz , (A.88) e o fluxo através da superfície que limita o paralelepípedo é então 6 i=1 (C · n)idSi = ∂Cx ∂x + ∂Cy ∂y + ∂Cz ∂z dxdydz = · C dV . (A.89) Somando todos os fluxos através de todos os paralelepípedos elementares, obtemos o fluxo através da superfície que limita o volume V , que será S C · n dS = V · C dV . (A.90) 339
  26. 26. O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S O significado físico da divergência é dado considerando um volume elementar dV limitado por uma superfície elementar dS. Então, · CdV = C · n dS . (A.91) Como vimos para volumes suficientemente pequenos, C tem o mesmo sentido em todo o volume, pelo que C · n dS representa a diferença entre os fluxos que saem e que entram no volume dV . A divergência é portanto a diferença entre o fluxo que sai e o fluxo que entra por unidade de volume. A.6.3 Rotacional Definição Num sistema de referência cartesiano define-se o operador rotacional dum campo vectorial C(x, y, z) como sendo o campo vectorial × C = ∂Cz ∂y − ∂Cy ∂z ex + ∂Cx ∂z − ∂Cz ∂x ey + ∂Cy ∂x − ∂Cx ∂y ez . (A.92) Da definição resulta que o operador rotacional se aplica a campos vectoriais e produz um campo vectorial denotado por × C. Circulação dum campo vectorial O significado do operador rotacional está ligado à circulação de vectores ao longo de con- tornos (linhas) fechados. Comecemos, então, por definir circulação dum campo vectorial C(x, y, z): Circulação = Γ C · d , (A.93) onde Γ é um contorno fechado. A circulação é feita no sentido do vector d . Consideremos o contorno fechado Γ e dividamos esse contorno em dois contornos Γ1 e Γ2 por meio da curva Γab (ver Fig. A.21). Γ = Γa + Γb Γ1 = Γa + Γab Γ2 = Γb + Γab . (A.94) Então temos o seguinte 340
  27. 27. A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O PSfrag replacements Γa Γb Γab Γ1 Γ2 d 1 d 2 Figura A.21: Circulação em contornos fechados. Teorema A.4 Γ C · d = Γ1 C · d + Γ2 C · d . (A.95) Demonstração Γ1 C · d = Γa C · d + Γab C · d 1 Γ2 C · d = Γb C · d + Γab C · d 2 , (A.96) mas d 1 = −d 2, logo: Γ C · d = Γ1 C · d + Γ2 C · d . (A.97) Notemos que as circulações em Γ1 e Γ2 são escolhidas para coincidirem com a circulação em Γ nos troços comuns. Teorema de Stokes Esta propriedade das circulações de campos vectoriais é essencial para a demonstração do seguinte teorema fundamental: Teorema A.5 Seja S uma superfície aberta que se apoia sobre o contorno fechado Γ. Seja n a normal à superfície com o sentido definido pela progressão dum saca-rolhas que roda no sentido 341
  28. 28. O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S da circulação (regra do saca-rolhas), conforme se indica na Fig. A.22. Dado um campo vectorial arbitrário C(x, y, z), temos Γ C · d = S × C · n dS . (A.98) PSfrag replacements S Γ n Figura A.22: Superfície aberta S que se apoia no contorno Γ. Demonstração Dividimos o contorno Γ em contornos elementares e calculamos a circulação ao longo desses contornos elementares. Pelo teorema anterior, a circulação ao longo de Γ obtem-se somando todas as circulações elementares. Em vez de fazer a demonstração em geral, escolhemos um contorno particular ∆Γ, indi- cado na Fig. A.23. PSfrag replacements x y 1 2 3 4 (x, y) (x + dx, y) (x, y + dy) (x + dx, y + dy) ∆Γ O Figura A.23: Contorno rectangular ∆Γ. 342
  29. 29. A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O Então, ∆Γ C · d = Cx(1)dx + Cy(2)dy − Cx(3)dx − Cy(4)dy = [Cy(2) − Cy(4)]dy − [Cx(3) − Cx(1)]dx = ∂Cy ∂x − ∂Cx ∂y dxdy = ( × C)zdxdy . (A.99) Mas a direcção z é a direcção normal ao plano do contorno (que foi escolhido ser o plano Oxy). Logo: ∆Γ C · d = ∆S × C · n dS . (A.100) Para um contorno Γ considerado como a soma de contornos ∆Γ elementares, teremos então: Γ C · d = S × C · n dS . (A.101) Notas 1. A superfície S é qualquer superfície que se apoie em Γ. 2. As componentes de × C obtém-se por permutação cíclica 3. Mais facilmente o rotacional pode ser obtido pelas regras do produto externo × C = ex eyez ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z Cx Cy Cz . (A.102) Do teorema de Stokes resulta a equivalência de duas das definições de campo vectorial conservativo. O rotacional de um campo vectorial C conservativo é igual a zero: × C = 0 , (A.103) 343
  30. 30. O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S se e só se a circulação desse campo ao longo de qualquer linha fechada Γ for igual a zero: Γ C · dr = 0 . (A.104) De facto, se ×C = 0, então a Eq. (A.104) resulta imediatamente do teorema de Stokes, Eq. (A.98). Mostremos, agora, que a Eq. (A.104) implica a Eq. (A.103). Escolhemos no ponto r = (x, y, z) uma superfície elementar ∆S(x) perpendicular ao eixo do x e delimitada pela linha ∆Γ(x) (ver Fig. A.24). Então, 0 = ∆Γ(x) C · dr = ∆S × C · ex dS × C x (x, y, z) ∆S(x) dS = × C x (x, y, z) ∆S(x) , (A.105) x PSfrag replacements ∆Γ(x) ex ∆S(x) Figura A.24: Contorno ∆Γ. e portanto no limite ∆S(x) → 0 obtemos × C x (x, y, z) = 0 . (A.106) De forma análoga se mostra a igualdade a zero das componentes do rotacional de C segundo os eixos y e z, pelo que a Eq. (A.103) fica demonstrada. 344
  31. 31. A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O A.6.4 Laplaciano Define-se o laplaciano dum campo escalar por lap Φ = · Φ = Φ ≡ 2 Φ. Utiliza- remos indiferentemente as notações lap e 2 . Em coordenadas cartesianas: 2 Φ = ∂2 Φ ∂x2 + ∂2 Φ ∂y2 + ∂2 Φ ∂z2 . (A.107) O laplaciano dum campo escalar é um campo escalar. Pode definir-se também um lapla- ciano dum campo vectorial através da seguinte relação 2 C = · C − × × C . (A.108) Trata-se portanto dum campo vectorial. Em coordenadas cartesianas pode-se mostrar que 2 C = 2 Cx ex + 2 Cy ez + 2 Cz ez . (A.109) Noutros sistemas de coordenadas ter-se-á de usar a definição acima. A.6.5 Identidades importantes Reunimos a seguir algumas identidades importantes dos operadores diferenciais:    (ΦΨ) = Φ Ψ + Ψ Φ · (ΦC) = Φ · C + Φ · C × (ΦC) = Φ × C + Φ × C (A.110)    · Φ = 2 Φ · × C = 0 (A.111) e    × Φ = 0 × × C = · C − 2 C . (A.112) 345
  32. 32. O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S A.6.6 Coordenadas curvilíneas Em algumas aplicações interessa escrever as expressões dos operadores diferenciais em co- ordenadas curvilíneas, normalmente coordenadas esféricas ou cilíndricas. Estes sistemas foram definidos nas Secções A.2.2 e A.2.3. Para escrever as expressões dos operado- res diferenciais num sistema arbitrário de coordenadas, é necessário ter em conta que a variação de comprimento d i na direcção da variação de coordenadas ui é dada por d i = hi dui i = 1, 2, 3 , (A.113) onde (u1, u2, u3) são as coordenadas curvilíneas. Então, podemos mostrar (refazendo as deduções apresentadas no texto) os resultados seguintes: ( Φ)i = 1 hi ∂Φ ∂ui · C = 1 h1h2h3 ∂(C1h2h3) ∂u1 + ∂(C2h3h1) ∂u2 + ∂(C3h1h2) ∂u3 ( × C)1 = 1 h2h3 ∂(h3C3) ∂u2 − ∂(h2C2) ∂u3 . (A.114) As outras componentes do rotacional obtêm-se por permutação cíclica dos índices. O laplaciano é obtido a partir da sua definição. Usando os valores de hi para os diversos sistemas de coordenadas: Cartesianas Cilíndricas Esféricas hx = 1 hρ = 1 hr = 1 hy = 1 hϕ = ρ hθ = r hz = 1 hz = 1 hϕ = r sin θ é fácil obter os resultados seguintes: 346
  33. 33. A M A T E M Á T I C A D O E L E C T R O M A G N E T I S M O — Coordenadas cartesianas Ψ = ∂Ψ ∂x ex + ∂Ψ ∂y ey + ∂Ψ ∂z ez · C = ∂Cx ∂x + ∂Cy ∂y + ∂Cz ∂z × C = ∂Cz ∂y − ∂Cy ∂z ex + ∂Cx ∂z − ∂Cz ∂x ey + ∂Cy ∂x − ∂Cx ∂y ez 2 Ψ = ∂2 Ψ ∂x2 + ∂2 Ψ ∂y2 + ∂2 Ψ ∂z2 . (A.115) — Coordenadas cilíndricas Ψ = ∂Ψ ∂ρ eρ + 1 ρ ∂Ψ ∂ϕ eϕ + ∂Ψ ∂z ez · C = 1 ρ ∂ ∂ρ (ρCρ) + 1 ρ ∂Cϕ ∂ϕ + ∂Cz ∂z × C = 1 ρ ∂Cz ∂ϕ − ∂Cϕ ∂z eρ + ∂Cρ ∂z − ∂Cz ∂ρ eϕ + 1 ρ ∂ ∂ρ (ρCϕ) − ∂Cρ ∂ϕ ez 2 Ψ = 1 ρ ∂ ∂ρ (ρ ∂Ψ ∂ρ ) + 1 ρ2 ∂2 Ψ ∂ϕ2 + ∂2 Ψ ∂z2 . (A.116) 347
  34. 34. O P E R A D O R E S D I F E R E N C I A I S — Coordenadas esféricas Ψ = ∂Ψ ∂r er + 1 r ∂Ψ ∂θ eθ + 1 r sin θ ∂Ψ ∂ϕ eϕ · C = 1 r2 ∂ ∂r (r2 Cr) + 1 r sin θ ∂ ∂θ (sin θCθ) + 1 r sin θ ∂Cϕ ∂ϕ × C = 1 r sin θ ∂ ∂θ (sin θCϕ) − ∂Cθ ∂ϕ er + 1 r sin θ ∂Cr ∂ϕ − 1 r ∂ ∂r (rCϕ) eθ + 1 r ∂ ∂r (rCθ) − ∂Cr ∂θ eϕ 2 Ψ = 1 r2 ∂ ∂r (r2 ∂Ψ ∂r ) + 1 r2 sin θ ∂ ∂θ (sin θ ∂Ψ ∂θ ) + 1 r2 sin2 θ ∂2 Ψ ∂ϕ2 . (A.117) 348
  35. 35. P R O B L E M A S A P Ê N D I C E A A.1 Dada uma função f(x, y, z), a) calcule o seu gradiente f; b) mostre que × f = 0; c) calcule · f. A.2 Dado o vector A = Axex + Ayey + Azez , a) calcule o seu rotacional × A; b) mostre que · ( × A) = 0. A.3 Dado um vector A, mostre que × ( × A) = ( · A) − 2 A . A.4 Dados os vectores A e B, mostre que × (A × B) = A( · B) − B( · A) + (B · )A − (A · )B . A.5 Desenhe linhas de campo de um campo vectorial tal que: a) o seu rotacional seja nulo; b) a sua divergência seja nula. A.6 Dado o vector de posição r = x ex + y ey + z ez , mostre que o teorema da divergência se ve- rifica, considerando para isso uma superfí- cie esférica centrada na origem e de raio R. A.7 Considere o vector A = 10/3x3 ex. Ve- rifique o teorema da divergência, aplicando- o a um cubo de volume a3 , de arestas pa- ralelas aos eixos e centrado na origem. A.8 Dado o vector A = kr er, verifique o teorema da divergência no volume definido por duas superfícies esféricas concêntricas, de raios R1 e R2 (R2 > R1). A.9 Num redemoinho colocamos uma ro- lha de cortiça. Esta andará à roda em torno do centro do redemoinho. Fazendo as hipó- teses simplificadoras que entender, deduza a relação entre a velocidade angular ω e o × v. Mostre que se obtém a mesma rela- ção aplicando o teorema de Stokes. Calcule · v. A.10 Seja o campo A = x ey. Represente A graficamente e calcule o respectivo rota- cional. Estará × A ligado a algum movi- mento de rotação? A.11 Considere o vector A = xy ex − 2x ey Verifique o teorema de Stokes sobre o quarto de círculo, de raio r = 3, situado no primeiro quadrante do plano (x, y) A.12 Calcule a circulação do vector A = (2x + y) ex + y ey + xz ez em torno do rec- tângulo indicado na figura. PSfrag replacements x y z O 5 10 Γ Verifique depois o teorema de Stokes.
  36. 36. Página 350 (propositadamente em branco).

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