áLgebra de clifford

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áLgebra de clifford

  1. 1. UFMT Universidade Federal do Mato Grosso Departamento de Matem´tica-CUR a ´ Algebra de Clifford: Uma Estrutura Coerente Apliaca¸˜o: Generaliza¸˜o da Part´ ca ca ıcula Relativ´ ısticaProfessor: Rosevaldo de Oliveira 1
  2. 2. Conte´ do u1 Um pouco de Hist´ria o 42 Estruturas Alg´bricas B´sicas e a 6 2.1 Anel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Espa¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 c 2.3 ´ Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ´ 2.3.1 Algebra de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ´3 Algebras Geom´tricas do espa¸o euclidiano R3 e c 124 Formalismo Lagrangiano da Part´ ıcula Relativ´ ıstica com Spin 20 ´ 4.1 Algebra de Clifford no espa¸o Vn . . . . . . . . . . . . 20 c 2
  3. 3. 4.2 ´ Algebra Geom´trica do Espa¸o de Minkowski R1,3 . . 25 e c 4.3 Sistema Dinˆmico Cl´ssico com Spin numa Variedade a a C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.4 Part´ ıcula Livre Relativ´ ıstica sem Spin . . . . . . . . . 325 Coment´rios Finais e Pretens˜es Futuras a o 36 5.1 Pesquisas em Andamento - (2010-2011) . . . . . . . . 39Bibliografia 39 3
  4. 4. 1 Um pouco de Hist´ria o1. 1843 Hamilton e a tentativa de generalizar os n´meros u complexos: quat´rnions. A ´lgebra se desvinculou da e a Aritm´tica dos n´meros reais. e u2. 1844 Hermann Grassmann: generaliza os quat´rnions de e Hamilton, pois ele trata de uma ´lgebra n˜o comutativa em N a a dimens˜es; tamb´m conhecida como ´lgebra de extens˜o. o e a a3. 1878 Clifford A verdadeira s´ ıntese dos trabalhos de Hamilton ´ e Grassmann foi obtida, a Algebra Geom´trica que e ´ atualmente tamb´m ´ donominada Algebra de Clifford. e e ´ ´ A Algebra de Clifford n˜o possui as incoerˆncias da Algebra de a e ´ Gibbs. Mais do isso, as corrige. E uma estrutura fechada, onde o produto da ´lgebra ´ unico, e n˜o dois produtos como no caso a e´ a ´ de Gibbs. E os spinores aparecem naturalmente na Algebra de 4
  5. 5. Clifford, portanto pode-se dar uma interpreta¸˜o geom´trica ca e para os spinores.4. 1886 Gibbs: tentou unificar os quat´rnions com a ´lgebra de e a Grassmann, e encontrou o que hoje conhecemos como ´lgebra a vetorial.5. Anos 60, Hestenes: Hestenes generalizou o c´lculo, criando o a c´lculo multivetorial, onde ele mostra que o c´lculo de Gibbs ´ a a e apenas um caso particular de uma estrutura maior. Tamb´m e reformulou o formalismo Hamiltoniano para usando multivetores, [?], [?],[?], [?], [?], [?], [?], [?] e [?].6. 2005 Pavsic: definiu a a¸˜o da part´ ca ıcula livre no espa¸o de c Clifford C4 , e mostrou que esta a¸˜o ´ equilavente ` teoria de ca e a Stueckelberg. Pavsic [?], [?] e [?] definiu a a¸˜o da part´ ca ıcula livre no espa¸o c de Clifford C4 , e mostrou que esta a¸˜o ´ equilavente ` teoria ca e a 5
  6. 6. de Stueckelberg.2 Estruturas Alg´bricas B´sicas e a2.1 AnelUm anel ´ uma estrutura alg´brica (A, +, ·) satisfazendo e e • (A, +) ´ um grupo abeliano, para a, b, c ∈ A tem-se que: e 1. (a + b) + c = a + (b + c) associativa 2. a + b = b + a comutativa 3. 0 + b = b e b + 0 = b elemento neutro 4. a + (−a) = (−a) + a = 0 elemento oposto • A opera¸˜o (·) ´ associativa, (a.b).c = a.(b.c) ca e • A opera¸˜o (·) ´ distributiva a.(b + c) = a.b + a.c ca e 6
  7. 7. 2.2 Espa¸os vetoriais cDefini¸˜o Um espa¸o vetorial V sobre um corpo K ´ um conjunto ca c ede elementos chamados vetores dotados de uma opera¸˜o “ + ”: caV × V → V denominada soma vetorial e tamb´m de um produto epor escalares K × V → V com as seguintes propriedades 1. A cada par u, v ∈ V de vetores ´ associado um elemento e u + v ∈ V denominado soma de u e v (a) A soma ´ comutativa: u + v = v + u e (b) A soma ´ associativa: u + (v + w) = (u + v) + w e (c) A soma possui um elemento neutro: u + 0 = u, e 0 + u = u (d) A soma possui elemento inverso: u + (−u) = 0 2. A cada par α ∈ K, e u ∈ V existe um vetor denotado por αu ∈ V (a) αu = uα 7
  8. 8. (b) α(βu) = (αβ)u (c) 1u = u (d) α(u + v) = αu + βv (e) (α + β)u = αu + βuExemplos1. Seja (K, +, ·) um corpo, o produto cartesiano K n = {(k1 , . . . , kn ), kj ∈ K; j = 1, ..., n} ´ um espa¸o vetorial e c sobre K. Com opera¸˜o soma definida por ca (k1 , . . . , kn ) + (l1 , . . . , ln ) = (k1 + l1 , . . . , kn + ln ) e um produto por escalares dado por α(k1 , . . . , kn ) = (αk1 , . . . , αkn ).2. Exemplos s˜o: Rn , Cn e K = (Zp )n s˜o espa¸os vetoriais. a a c 8
  9. 9. 2.3 ´ AlgebrasDefini¸˜o: Uma ´lgebra ´ um espa¸o vetorial V sobre um corpo ca a e cK dotado de uma opera¸˜o bin´ria “ · ” dita produto da ´lgebra, de ca a amodo que as seguintes propriedades s˜o satisfeitas para a, b, c ∈ V e aα, β ∈ K 1. O produto da ´lgebra ´ distributivo em rela¸˜o a soma vetorial a e ca a.(b + c) = a.b + a.c (1) (a + b).c = a.c + b.c (2) 2. O produto por escalares comuta com o produto da ´lgebra e ´ a e distributivo α(a.b) = (αa).b = a.(αb) (3) Uma ´lgebra ´ dita ser comutativa ou ´lgebra abeliana se a e a 9
  10. 10. a.b = b.a. Uma ´lgebra ´ associativa se a.(b.c) = (a.b).c. a e2.3.1 ´ Algebra de LieUma ´lgebra L sobre um corpo K ´ dita ser uma ´lgebra de Liea se a e aseu produto al´m das propriedades b´sicas satisfaz e a • Para todo a ∈ L vale [a, a] = 0. • Para todo a, b, c ∈ L a identidade de Jacobi ´ v´lida e a [a, [b, c]] + [c, [a, b]] + [b, [c, a]] = 0 (4)Propriedades importantes desta ´lgebra. Para todo a, b ∈ L devido ao fato que [a, a] = 0, ent˜o [a + b, a + b] = 0 e devido as apropriedades b´sicas de uma ´lgebra a a a Marius Sophus Lie (1842-1899) 10
  11. 11. [a + b, a + b] = 0 (5) = [a, b] + [b, a] (6)E assim obtemos a importante propriedade da ´lgebra a[a, b] = −[b, a]. 11
  12. 12. 3 ´ Algebras Geom´tricas do espa¸o e c euclidiano R3Escolhemos um vetor v ∈ R3 . Se {e1 , e2 , e3 } ´ uma base de e v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3.Queremos que o teorema de Pit´goras seja v´lido a a |v|2 = v1 + v2 + v3 2 2 2 (7)O produto de um vetor por ele mesmo ´ dado por e 12
  13. 13. P (v, v) = |v|2 = 2 v1 e2 + v2 e2 + v3 e2 1 2 2 2 3 (8) + v1 v2 [e1 e2 + e2 e1 ] + v1 v3 [e1 e3 + e3 e1 ] + v2 v3 [e2 e3 + e3 e2 ]Para que seja v´lido o teorema de Pit´goras o produto deve ser a adefinido por e2 = 1 i com i = 1, 2, 3 (9) ei ej + ej ei = 0 i=jEsta ´ a Escolha de Clifford. eOs ei definimos como sendo vetores, mas ei ej o que ´? vetor? eescalar? Sabemos que um escalar α e um vetor u, ´ v´lido a e a 13
  14. 14. seguinte rela¸˜o ca αu = uαVamos verificar esta propriedades dos escalares para (e1 e2 ) (e1 e2 )e1 = −e1 e1 e2 = −e2 (10) e1 (e1 e2 ) = e2 (11)Portanto a quantidade e1 e2 n˜o pode ser considerada um escalar. aVamos verificar se esta quantidade ´ um vetor. Sabemos que o equadrado de um vetor ´ maior ou igual a zero |v|2 = v 2 0, ent˜o e a (e1 e2 )2 = e1 e2 e1 e2 = −e2 e2 = −1 < 0 1 2 (12)Desta forma e1 e2 tamb´m n˜o ´ um vetor! Ent˜o o que ´? e a e a ePor enquanto vamos limitar a defini¸˜o de que ei ej ´ um 2-vetor ou ca e 14
  15. 15. bi-vetor e est´ associado a um fragmento de plano. aDa mesma forma o elemento e1 e2 e3 tamb´m n˜o ´ nem escalar nem e a evetor, ´ um 3-vetor ou tri-vetor. ePodemos provar que os 2-vetores formam um espa¸o vetorial cdenotado por ∧2 (R3 ). E os 3-vetores tamb´m formam um espa¸o e cvetorial dado por ∧3 (R3 ).Vamos classificar os espa¸os vetorial gerado pelo produto cgeom´trico: e dimens˜o a Espa¸o vetorial c elementos 1 ∧0 (R3 ) escalares 3 ∧1 (R3 ) vetores (13) 3 ∧2 (R3 ) 2-vetores 1 ∧3 (R3 ) tri-vetor 15
  16. 16. Seja A ∈ Cl3 um multivetor A = A0 + A1 + A2 + A3 ,onde Ak ∈ ∧k (R3 ) ´ um k-vetor. e ¸˜ 1. PROJECAO: Definamos a rela¸˜o de proje¸˜o da seguinte ca ca forma <>k : ∧(R3 ) → ∧k (R3 ) < A >k = Ak (14) ¸˜ 2. INVOLUCAO: esta opera¸˜o ´ definida por ca e ˆ Ak = (−1)k Ak (15) a gradua¸˜o de Ak ´ par se (−1)k = +1 e ´ ´ ca e e ımpar se (−1)k = −1. 16
  17. 17. ˜3. REVERSAO: que ´ denotada por A e ˜k = (−1) k(k−1) Ak , 2 portanto o multivetor A altera-se para ˜ A = A0 + A1 − A2 − A3 (16) ¯ ˜ ˆ ¸˜ ¸˜ ˜4. CONJUGACAO=INVOLUCAO+REVERSAO A = A5. NORMA A norma de um multivetor ´ dada por e ˜ |A|2 =< AA >0 .6. DUALIDADE Dado um k-vetor Ak definamos o seu dual por ˜ ∗Ak = Ak I (17) I = e1 e2 e3 A opera¸˜o dualidade transforma um k − vetor em um ca 17
  18. 18. 3 − k − vetor, devido ao fato de existir um isomorfismo entre ∧k (R3 ) ∼ ∧3−k (R3 ). Alguns exemplos desta opera¸˜o: ca ∗1 = I = e1 e2 e3 ∗e1 = e2 e3 ∗e2 = e3 e1 ∗e3 = e1 e2 ∗(e1 e2 ) = e3 ∗(e3 e1 ) = e2 ∗(e2 e3 ) = e1 ∗I = 1 (18)7. PRODUTO VETORIAL Na ´lgebra de Clifford definimos o a 18
  19. 19. produto vetorial entre dois vetores da seguinte forma v × u = ∗(v ∧ u) = −(v ∧ u)I = −I(v ∧ u) (19) 19
  20. 20. 4 Formalismo Lagrangiano da Part´ ıcula Relativ´ ıstica com Spin4.1 ´ Algebra de Clifford no espa¸o Vn cConsidere um espa¸o Vn de dimens˜o arbitr´ria n. Para cada ponto c a ado espa¸o Vn podemos associar n parˆmetros xµ , onde c aµ = 1, 2, 3, . . . , n, que s˜o conhecidas como sendo as coordenadas adeste ponto. Podemos entender os pontos como sendo as casas emuma cidade e as coordenadas s˜o os n´meros das casas, elas podem a user escolhidas de forma arbitr´ria, mas uma vez definidas n˜o a adevem ser alteradas.O quadrado da distˆncia entre os pontos deste espa¸o ´ definida a c ecomo ds2 = gµν dxµ dxν (20) 20
  21. 21. gµν ´ o tensor m´trico do espa¸o Vn . O elemento ds2 ´ invariante e e c epor uma transforma¸˜o geral de coordenadas xµ → x µ = f (xµ ). caLidar com a express˜o quadr´tica leva a algumas complica¸˜es n˜o a a co alineares quando tentamos tirar a raiz. Portanto definimos oseguinte objeto dx = dxµ eµ (21)que satisfaz o seguinte desenvolvimento 1 dx2 = eµ eν dxµ dxν = (eµ eν + eν eµ )dxµ dxν = gµν dxµ dxν (22) 2 1 gµν ≡ (eµ eν + eν eµ ) (23) 2Os objetos eµ s˜o vetores bases de uma ´lgebra de Clifford, e a aportanto o objeto dx = dxµ eµ ´ um vetor contido na estrutura ealg´brica citada. Enquanto que a m´trica ´ um elemento da ´lgebra e e e aconstitu´ de bivetores. ıdo 21
  22. 22. Podemos definir a seguinte diferencia¸˜o ca dx dxµ = eµ (24) dτ dτonde τ ´ um parˆmetro arbitr´rio invariante por transforma¸˜o e a a cageral de coordenadas. dx µ dxµFa¸amos as seguintes denota¸˜es a = c co dτ ea = dτ , com isto aequa¸˜o acima torna-se ca a = a µ eµ (25)No caso de dois objetos semelhantes teremos o seguinte (a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 (26)e 1 1 a.b = (ab + ba) = (eµ eν + eν eµ )aµ aν = gµν aµ aν (27) 2 2este ´ o produto interno da ´lgebra de Clifford. e a 22
  23. 23. O produto externo ´ definido por e 1 1 a ∧ b = (ab − ba) = (eµ eν − eν eµ )aµ aν (28) 2 2´E importante notar que a = aµ eµ ´ um vetor, aµ s˜o suas e acomponentes e eµ s˜o suas bases. As componentes aµ e as bases eµ as˜o alteradas devido uma transforma¸˜o geral de coordenadas, a caenquanto que a ou dx n˜o se altera (s˜o invariantes). a aImportante: • A raiz quadrada da distˆncia ´ um vetor a e • Os vetores s˜o elementos da ´lgebra de Clifford a a • Os vetores s˜o objetos que s˜o invariantes sob transforma¸˜o a a ca geral de coordenadas.Consideremos agora o elemento mais geral poss´ desta ´lgebra de ıvel aClifford 23
  24. 24. 1 1A = α + αµ eµ + αµν eµ ∧ eν + αµνρ eµ ∧ eν ∧ eρ ∧ eσ + . . . (29) 2 3! 1 + αµνρ... eµ ∧ eν ∧ eρ . . . n!as componentes deste Polivetor s˜o escalares, vetores, bivetores, atrivetores, quadrivetores, etc... 24
  25. 25. 4.2 ´ Algebra Geom´trica do Espa¸o de e c Minkowski R1,3O espa¸o vetorial de Minkowsky (espa¸o-tempo) possui 4 vetores c cbases linearmente independentes eµ , µ = 0, 1, 2, 3. Vamosconsiderar neste momento que o espa¸o-tempo seja plano, neste ccaso as bases γµ obedecem a seguinte rela¸˜o ca γµ · γν = ηµν (30)onde ηµν ´ um tensor m´trico diagonal com assinatura (+, −, −, −). e eUm elemento geral deste espa¸o, isto ´, um polivetor ´ dado por c e e 1 µν 1 1 D = d + dµ γν + d γµν + dµνρ γµνρ + dµνρσ γµνρσ (31) 2! 3! 4! 25
  26. 26. onde os coeficientes (d, dµ , dµν , dµνρ e dµνρσ ) s˜o escalares, e a γµ vetor γµν = γµ ∧ γν bivetor (32) γµνρ = γµ ∧ γν ∧ γρ trivetor γµνρσ = γµ ∧ γν ∧ γρ ∧ γσ quadrivetorO elemento de volume do espa¸o de Minkowski plano ´ um c epseudoescalar dado por 2 γ5 = γ0 ∧ γ1 ∧ γ2 ∧ γ3 = γ0 γ1 γ2 γ3 γ5 = −1 (33)Usando as rela¸˜es co γµνρσ = γ5 µνρσ (34) γµνρ = γµνρσ γ σ (35)onde µνρσ ´ um tensor totalmente antisim´trico, introduzindo os e e 26
  27. 27. novos coeficientes 1 µν S = d, V µ = dµ , T µν = d (36) 2 1 µνρ 1 µνρσ Cσ = d µνρσ , P = d µνρσ (37) 3! 4!Usando as rela¸˜es acima podemos escrever D como uma soma de coescalar, vetor, pseudovetor e pseudoescalar D = S + V µ γµ + T µν γµν + C µ γ5 γµ + P γ5 (38) 27
  28. 28. 4.3 Sistema Dinˆmico Cl´ssico com Spin numa a a Variedade C4Pavsic [?], [?] e [?] definiu a a¸˜o da part´ ca ıcula livre no espa¸o de cClifford C4 , e mostrou que esta a¸˜o ´ equilavente ` teoria de ca e aStueckelberg [?].O que Pavsic propˆs foi escrever a a¸˜o numa variedade de Clifford o caou em C4 (“C-space”) ao inv´s do espa¸o-tempo. O espa¸o-tempo ´ e c c eum sub-espa¸o da variedade de Clifford C4 . cO conceito de velocidade e momento da part´ ıcula s˜o generalizados. aO momento e a velocidade s˜o definidos como polivetores, isto ´ a e P = µ + pµ eµ + S µν eµ eν + π µ e5 eµ + me5 (39) ˙ X = ˙ ˙ ˙ ˙ σ + xµ eµ + αµν eµ eν + ξ µ e5 eµ + se5 ˙ (40) 28
  29. 29. onde os termos S µν = −S νµ e αµν = −ανµ . E a seguinte rela¸˜o ´ ca ev´lida a eµ · eν = ηµν (41)onde ηµν ´ um tensor m´trico diagonal com assinatura (+, −, −, −). e eA a¸˜o ´ definida por ca e 1 ˙ ˙ I[X, P, λ] = dτ P X + XP − λ(P 2 − K 2 ) (42) 2onde a “massa”generalizada ´ dada por e K 2 = η 2 + k µ eµ + K µν eµ eν + K µ e5 eµ + k 2 e5 (43)onde η 2 pode ser positivo, negativo ou zero. 29
  30. 30. Escreveremos as componentes da Lagrangiana de forma expl´ ıcita 4 1 ˙ ˙ L= P X + XP − λ(P 2 − K 2 ) = < L >k (44) 2 k=0Agora fa¸amos a varia¸˜o em fun¸˜o do multiplicador de Lagrange c ca ca∂ < L >0 =0 µ2 + pµ pµ + π µ πµ − m2 − 2S µν Sµν − η 2 (45) =0 ∂λ∂ < L >1 µν ρ 1 =0 µπσ − S π µνρσ − kσ = 0 (46) ∂λ 2∂ < L >2 =0 (π µ π ν + mS µν ) µνρσ + 2µSρσ − Kρσ = 0(47) ∂λ∂ < L >3 µν ρ 1 =0 µπσ + S p µνρσ + ησ = 0 (48) ∂λ 2∂ < L >4 =0 2µm + S µν S ρσ µνρσ − k2 = 0 (49) ∂λ 30
  31. 31. Das equa¸˜es (??) e (??) obtemos as seguintes rela¸˜es co co ησ 1 πσ − = − S µν pρ µνρσ (50) 2µ µ kσ 1 µν ρ pσ − =− S π µνρσ (51) 2µ µ ησo pseudovetor πσ − 2µ comporta-se como o pseudovetorPauli-Lubanski.Das rela¸oes acima podemos mostrar que c˜ µ ησ µ kσS µν = µνρσ pρ πσ − =− µνρσ πρ pσ − (52) 2pα pα 2µ 2π α πα 2µpara obter a axpress˜o acima assumimos as seguintes rela¸˜es a co S µν pν = 0 S µν πν = 0 (53) 2 σ ησPara positivo p pσ > 0, obtemos πσ − < 0 (s˜o componentes 2µade um vetor tipo espa¸o. Da mesma forma, π σ πσ < 0 isto resulta c 31
  32. 32. 2 kσ pσ − 2µ > 0, ent˜o estas s˜o as componentes de um vetor tipo a atempo. Inserindo (??) na (??) e levando em conta a (??) obtemos 2mµ − k 2 = 0 (54)4.4 Part´ ıcula Livre Relativ´ ıstica sem SpinAssumiremos que K 2 = 0 e a condi¸˜o (??) seja mantida, das caequa¸˜es dos v´ co ınculos (??)-(??) nos fornece que S µν = 0 , πµ = 0 e µ=0 (55)o unico v´ ´ ınculo que permanece ´ e pµ pµ − m2 = 0 (56) 32
  33. 33. A a¸˜o (??) torna-se ca µ λI[X, P, λ] = I[s, m, x , pµ , λ] = dτ −ms + pµ x − (pµ pµ − m2 ) (57) ˙ ˙ µ 2onde a massa m ´ uma vari´vel dinˆmica associada ao momento s. e a aTemos que P = pµ eµ + me5 ˙ X = xµ eµ + se5 ˙ ˙ (58)As equa¸˜es de movimento s˜o dadas por co a δm : −s + λm = 0 ˙ (59) δs : m=0 ˙ (60) δpµ : xµ − λpµ = 0 ˙ (61) δxµ : pµ = 0 ˙ (62) δλ : pµ pµ − m2 = 0 (63) 33
  34. 34. Podemos mostrar que xµ ˙ dxµ pµ = =m (64) λ ds s 2 = λ2 m 2 = x 2 , ˙ ˙ i.e. ds2 = dxµ dxµ (65)usando a rela¸˜o (??) encontramos que ca λ 2 ms˙ 1 d −ms + m = − ˙ =− (ms) (66) 2 2 2 dτSe escolhermos fixar λ = Λ(τ ) obteremos a seguinte a¸˜o ca Λ(τ ) µ I= dτ (pµ xµ − ˙ p pµ ) (67) 2esta ´ justamente a a¸˜o de Stueckelberg. As equa¸˜es de e ca comovimento derivada da a¸˜o (??) s˜o dadas por ca a xµ − Λpµ = 0 ˙ (68) pµ = 0 ˙ (69) 34
  35. 35. a equa¸ao (??) nos informa que o momento ´ uma constante de c˜ emovimento, denotaremos que pµ pµ = m2 . Da equa¸˜o (??) obtemos ca µ xµ ˙ dxµ p = m√ ν =m (70) x xν ˙ ˙ ds 35
  36. 36. 5 Coment´rios Finais e Pretens˜es a o FuturasO que foi feito na se¸˜o anterior foi muito diferente do que tem sido ca e ´feito na literatura at´ o momento. E usual assumirmos que a f´ ısicaacontece no espa¸o tempo e por isto o princ´ c ıpio variacional ´ eempregado sobre o espa¸o-tempo. O que a ´lgebra de Clifford nos c asugere ´ que podemos encontrar a relatividade n˜o no e aespa¸o-tempo, mas em uma variedade de Clifford Cn , cujos pontos cs˜o as coordenadas dos polivetores a n 1 X= X µ1 ...µr γµ1 ∧ ... ∧ γµr ≡ X A EA (71) r! r=0onde X A s˜o as coordenadas e EA = (1, γµ , γµ ∧ γν , ...) s˜o os a avetores bases do espa¸o Cn . c 36
  37. 37. A a¸˜o invariante por reparametriza¸˜o da a part´ ca ca ıcula livre ´ dada epor A I[X ] = κ ˙ A XA ) 1 dτ (X ˙ 2 (72)Se assumirmos que a dimens˜o do espa¸o-tempo ´ n = 4, ent˜o a c e aobteremos que ˙ ˙ ˙ X ≡ X A EA = X = ˙ σ + xµ eµ + αµν eµ eν + ξ µ e5 eµ + se5 (73) ˙ ˙ ˙ ˙Em um caso particular das condi¸˜es iniciais teremos co 1 I[X A ] = κ dτ (xµ xµ − s) 2 ˙ ˙ ˙ (74)Uma escolha natural do gauge ´ s = τ , a a¸˜o reduzida ´ dada por e ca e 1 I[X A ] = κ ds(xµ xµ − 1) 2 ˙ ˙ (75) 37
  38. 38. e as equa¸˜es de movimento s˜o co a dpµ µ κxµ ˙ = 0, p = 1 = constante (76) ds (xν xν ˙ ˙ − 1) 2Definindo que a constante de movimento seja µ 2 κ2 xµ xµ ˙ ˙p pµ = M = ν 1 obteremos o seguinte resultado (x xν −1) 2 ˙ ˙ M xµ ˙ κ(xµ xµ )1/2 ˙ ˙ pµ = , M= (77) ˙ νx )1 (x ˙ ν 2 (xν xν ˙ ˙ − 1) 1 2A diferen¸a neste formalismo ´ que a massa n˜o uma contante c e afixada na a¸˜o, mas uma constante de movimento. ca 38
  39. 39. 5.1 Pesquisas em Andamento - (2010-2011)1. Encontrar a estrutura Hamiltoniana desta teoria e quantiza¸˜o ca via integra¸˜o funcional. ca2. Encontrar as transforma¸˜es passivas e ativas da relatividade co especial. (Projeto de Inicia¸˜o cient´ ca ıfica PIBIC em andamento) ´3. Relacionar a Algebra de Clifford com as Teorias de Quebra Espontˆnea da Simetria de Lorentz. a4. Estudar a estrutura espinorial de forma geom´trica. e5. Outros projetos.Referˆncias e [1] D. Hestenes, SpaceTime Algebra, Gordon and Breach, New York, (1966). 39
  40. 40. [2] Hestenes D., Multivector Calculus, J. Math. Anal. Appl., 24 (1968), 313-325.[3] D. Hestenes and G. Sobczyk (1984), Clifford Algebra to Geometric Calculus, D. Reidel Publ. Co., Dordrecht/Boston.[4] D. Hestenes (1986), A Unified Language for Mathematics and Physics. In: J. S. R. Chisholm and A. K. Common (eds.), Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, D. Reidel Publ. Co., Dordrecht/Boston, pp. 1-23.[5] D. Hestenes (1986), New Foundations for Classical Mechanics, D. Reidel Publ. Co., Dordrecht/Boston.[6] D. Hestenes (1987), Curvature Calculations with SpaceTime Algebra, Int. J. Theo. Phys. 25, 581-588; Spinor Approach to Gravitational Motion and Precession, IJTP 25, 589-598.[7] D. Hestenes (1988), Universal Geometric Algebra, Simon Stevin 62, 253-274. 40
  41. 41. [8] Hestenes D., Mathematical viruses, in Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, A. Micali et al (eds.), Kluwer, Dordrecht, (1992), 3-16. [9] Hestenes D., Differential Forms in Geometric Calculus, in Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, F. Brackx et al (eds.), Kluwer, Dordrecht, (1993), 269-285.[10] Stueckelberg, E.C.G. (1941) Un Nouveau mod`le de l’´lectron e e ponctuel en th´orie classique, Helvetica Physica Acta 14, e 51-55; Stueckelberg, E.C.G. (1941) Remarque ` propos de la a cr´ation de paires de particules en th´orie de de relativit´, e e e Helvetica Physica Acta 14, 588 (1941); Stueckelberg, E.C.G. (1942) Helvetica Physica Acta 15, 23-37.[11] Pavsic, M. Clifford algebra as a useful language for geometry and physics, in H.Gauster, H. Grosse and L. Pittner (eds.), 41
  42. 42. Geometry and Physics, Springer, Berlin, pp. 395-395 (2000)[12] Pavsic, M. Clifford-algebra based polydimensional relativity and relativistic dynamics, Foundations of Physics 31, 1185-1209 (2001).[13] Pavsic, M. The Landscape of Theoretical Physics : A Global View, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (2001). 42

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