UFMT                   Universidade Federal do Mato Grosso                   Departamento de Matem´tica-CUR               ...
Conte´ do     u1 Introdu¸˜o         ca                                        42 A teoria do Bigue Bangue ou The Theory of...
7 A m´trica de Robertson-Walker     e                            218 Relatividade Geral              269 Dinˆmica do Unive...
1    Introdu¸˜o            caImagine uma ´poca do passado remoto, h´ bilh˜es de anos, muito              e                ...
do tempo necess´rio, conseguir´                   a            ıamos visitar aquela misteriosaregi˜o onde tudo come¸ou. Po...
2   A teoria do Bigue Bangue ou The    Theory of the Big Bang   ´1. E uma teoria baseada na Teoria da Relatividade Geral d...
3    Distˆncias         aA luz do sol leva aproximadamente 8 mimutos para atingir a terra,                                7
e a distˆncia das estrelas mais pr´ximas s˜o de aproximadamente        a                         o       ade 3 anos-luz ou...
Uma das gal´xias mais pr´ximas da nossa gal´xia ´ Andromeda, e            a           o                   a   eest´ aproxi...
4    Redshift e Expans˜o do Universo                      a1. Em 1912 Vesto Slipher fez as primeiras medidas observando o ...
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2. Em 1929 Edwin Hubble relacionou o redshift com a distˆncia                                                        a   d...
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Dados trˆs gal´xias no espa¸o a distˆncia entre eles ´ dada por          e     a            c        a                e   ...
r12 (t) =     a(t)r12 (t0 )        (13)                       r23 (t) =     a(t)r23 (t0 )        (14)                     ...
5   Radia¸˜o de Corpo Negro e Radia¸˜o         ca                        ca    C´smica de Fundo     o                   16
A densidade de energia total de um Corpo-Negro ´ uma fun¸˜o da                                               e        cate...
6   Curvatura                18
O elemento de distˆncia                  a              ds2   = dx2 + dy 2       (Cartesianas)   (20)              ds2   =...
Na superf´ 2D de uma esfera o elemento de linha ´ descrito por         ıcie                                   e           ...
Em 3D a distˆncia nas coordenadas cartesianas ´ dada por            a                                 e                   ...
7      A m´trica de Robertson-Walker          eA distˆncia num universo em expans˜o ´ dada por      a                     ...
Robertson-Walker da seguinte forma                          [                                 ]                           ...
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A distˆncia pr´pria entre um observador e uma gal´xia num tempo      a       o                                  afixo t e ˆ...
A velocidade da expans˜o ´ dada por                      a e                        ˙                       dp (t) =    a(...
8    Relatividade GeralPara obter a dinˆmica partiremos da equa¸˜o de Einstein da                a                       c...
9    Dinˆmica do Universo        aUtilizando a m´trica de Robertson-Walker              e                        [        ...
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Da conserva¸˜o da energia temos que           ca                  µ                ∂Tν                    + Γµ Tν − Γα Tα ...
10   Coment´rios Finais           a1. O nada ´ quase tudo: aproximadamente 70% da           e   energia total do universo ...
• O nada est´ mortalmente quieto: armazenou a imensa             a  energia do Big Bang e acomodou-se. Virou o esqueleto d...
2. Quest˜o filos´fica: Provir do NADA        a      o  Como nada n˜o ´ coisa alguma, n˜o se pode provir do nada.            ...
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Bigue bangue

  1. 1. UFMT Universidade Federal do Mato Grosso Departamento de Matem´tica-CUR a Cosmologia: O Bigue Bangue Cosmology: The Big Bang Prof. Rosevaldo de OliveiraProfessor: Rosevaldo de Oliveira 1
  2. 2. Conte´ do u1 Introdu¸˜o ca 42 A teoria do Bigue Bangue ou The Theory of the Big Bang 53 Distˆncias a 64 Redshift e Expans˜o do Universo a 105 Radia¸˜o de Corpo Negro e Radia¸˜o C´smica de ca ca o Fundo 166 Curvatura 18 2
  3. 3. 7 A m´trica de Robertson-Walker e 218 Relatividade Geral 269 Dinˆmica do Universo a 2810 Coment´rios Finais a 30 3
  4. 4. 1 Introdu¸˜o caImagine uma ´poca do passado remoto, h´ bilh˜es de anos, muito e a oantes do nascimento da Terra, do Sol e da Via L´ctea. Imagine atamb´m o espa¸o c´smico primordial, escuro e frio, de volume e c oinfinito, totalmente vazio, exceto por um unico lugar, uma regi˜o ´ aextremamente pequena onde repousa a semente da Cria¸˜o. Aquele caponto diminuto, de temperatura e press˜o enormes, sofre algum atipo de perturba¸˜o interna e detona subitamente numa grande caexplos˜o, criando a mat´ria. Esta ´ lan¸ada em todas as dire¸˜es e a e e c coforma uma esfera que ocupa cada vez mais lugar naquele espa¸o cvazio e infinito anteriormente existente, organizando-se at´ chegar ` e aconfigura¸˜o peculiar e menos densa que observamos atualmente. O cacentro do Universo ´ o local onde ocorreu a explos˜o e corresponde e aao centro da grande esfera de gal´xias em expans˜o que vemos a ahoje. Se pud´ssemos viajar livremente pelo espa¸o e dispus´ssemos e c e 4
  5. 5. do tempo necess´rio, conseguir´ a ıamos visitar aquela misteriosaregi˜o onde tudo come¸ou. Por outro lado, as gal´xias da periferia a c ada esfera avan¸am velozmente para o v´cuo infinito que se c aapresenta ` sua frente. Se algum ser inteligente vive em uma delas, apercebe que s´ existem gal´xias numa metade do c´u. Com essa o a econstata¸˜o, ele raciocina e deduz que, quando ele olha para o cacentro da metade escura e vazia do espa¸o, vˆ o ponto para onde c esua gal´xia se dirige, e, quando olha para o lugar oposto, bem no ameio da regi˜o das gal´xias, vˆ o ponto de onde sua gal´xia se a a e aafasta, centro do Universo material, onde ocorreu a explos˜o. a 5
  6. 6. 2 A teoria do Bigue Bangue ou The Theory of the Big Bang ´1. E uma teoria baseada na Teoria da Relatividade Geral de Einstein. ´2. E a teoria padr˜o da cosmologia atual, o nome Big Bang vem a do fato de considerar o surgimento do universo como um evento inicial.3. Na metade dos anos 40 um f´ ısico sovi´tico G. Gamov rec´m e e ingressado nos EUA (ignorando o trabalhos de Adam e MecKellar) propˆs a um de seus estudadntes R. Alpher o o estudo da nucleoss´ ıntese de um universo em expans˜o. a4. No final dos anos 40 R. Alpher e R. Herman passam a considerar a existˆncia de uma radia¸˜o de fundo remanescente e ca do per´ ıodo da cria¸˜o do universo. ca 6
  7. 7. 3 Distˆncias aA luz do sol leva aproximadamente 8 mimutos para atingir a terra, 7
  8. 8. e a distˆncia das estrelas mais pr´ximas s˜o de aproximadamente a o ade 3 anos-luz ou 1 pc.O diˆmetro da nossa gal´xia ´ de aproximadamente 163000AL. a a e 8
  9. 9. Uma das gal´xias mais pr´ximas da nossa gal´xia ´ Andromeda, e a o a eest´ aproximadamente 2 milh˜es de anos luz. a oQuanto tempo levar´ ıamos para alcan¸ar a estrela mais pr´xima c onuma levocidade de 60000km/h? d t= ∼ 8, 5 anos (1) vE para chegarmos em Andromeda nesta velocidade o tempo seria de d t= ∼ 578 milh˜es de anos o (2) v 9
  10. 10. 4 Redshift e Expans˜o do Universo a1. Em 1912 Vesto Slipher fez as primeiras medidas observando o redshift que ´ definido por a λobs − λem z= (3) λem O valor de z varia entre 0 e 1 z > 0 Redshift (4) z < 0 Blueshift (5) ∆λ v ∆λ ∆λ v= = = =z (6) ∆T c c∆T λe 10
  11. 11. 11
  12. 12. 2. Em 1929 Edwin Hubble relacionou o redshift com a distˆncia a das gal´xias a H0 z= r (7) c Usando a rela¸˜o z = v/c podemos mostrar que ca z = H0 r (8) o valor atual da costante de Hubble ´ H0 = 70 ± 7 s.M pc . e km A idade do Universo pode ser estimada por meio de r r 1 t0 = = = ∼ 15 bilh˜es de anos o (9) v H0 r H0 12
  13. 13. 13
  14. 14. Dados trˆs gal´xias no espa¸o a distˆncia entre eles ´ dada por e a c a e r12 = |⃗1 − ⃗2 | r r (10) r23 = |⃗2 − ⃗3 | r r (11) r31 = |⃗3 − ⃗1 | r r (12)3. A expans˜o do universo implica no sugimento de um fator de a escala que preserva a forma do triˆngulo a 14
  15. 15. r12 (t) = a(t)r12 (t0 ) (13) r23 (t) = a(t)r23 (t0 ) (14) r31 (t) = a(t)r31 (t0 ) (15)4. A velocidade entre as trˆs gal´xias ´ e a e dr12 a˙ v12 (t) = = ar12 (t0 ) = r12 (t) ˙ (16) dt a v12 (t) = H0 r (17) 15
  16. 16. 5 Radia¸˜o de Corpo Negro e Radia¸˜o ca ca C´smica de Fundo o 16
  17. 17. A densidade de energia total de um Corpo-Negro ´ uma fun¸˜o da e catemperatura E = σT 4 (18) VEm 1965 Arno Penzias e Robert Wilson no laborat´rio da Bell odescobriram a Radia¸˜o C´smica de Fundo ca o T0 = 2.725 ± 0.001K (19) 17
  18. 18. 6 Curvatura 18
  19. 19. O elemento de distˆncia a ds2 = dx2 + dy 2 (Cartesianas) (20) ds2 = dr2 + r2 dθ2 (P olares) (21)onde A ´ a ´rea da esfera e R ´ o raio da esfera. e a e 19
  20. 20. Na superf´ 2D de uma esfera o elemento de linha ´ descrito por ıcie e (r) 2 2 2 2 ds = dr + R sin dθ2 (22) RA distˆncia no espa¸o hiperb´lico 2D ´ dada por a c o e (r) ds2 = dr2 + R2 sinh2 dθ2 (23) R 20
  21. 21. Em 3D a distˆncia nas coordenadas cartesianas ´ dada por a e ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 (24) ds2 = dr2 + Sk (r)2 dΩ2 (25)onde dΩ2 = dθ2 + sin2 (ϕ)dϕ2 (26)e Sk (r) = R sin(r/R) para k = +1 Sk (r) = r para k=0 (27) Sk (r) = R sinh(r/R) para k = −1 21
  22. 22. 7 A m´trica de Robertson-Walker eA distˆncia num universo em expans˜o ´ dada por a a e ds2 = −c2 dt2 + a(t)[dr2 + Sk (r)2 dΩ2 ] (28)onde dΩ2 = dθ2 + sin2 (ϕ)dϕ2 (29)e Sk (r) = R sin(r/R) para k = +1 Sk (r) = r para k=0 (30) Sk (r) = R sinh(r/R) para k = −1Fazendo algumas transforma¸˜es podemos escrever a m´trica de co e 22
  23. 23. Robertson-Walker da seguinte forma [ ] dr 2 ( 2 ) ds2 = −c2 dt2 + a2 (t) + r2 dθ + sin2 (θ)dϕ2 (31) 1 − kr2   −1 0 0 0    0 a2 (t)   1−kr 2 0 0  gµν =  (32)  0 0 2 a (t)r 2 0    0 0 0 a2 (t)r2 sin2 (θ)Para o caso particular k = 0 temos um universo plano (m´trica de eMinkowsky com fator de escala) 23
  24. 24. 24
  25. 25. A distˆncia pr´pria entre um observador e uma gal´xia num tempo a o afixo t e ˆngulos fixos θ, ϕ ´ dada por a e ds = a(t)dr (33) dp (t) = a(t)r (34) 25
  26. 26. A velocidade da expans˜o ´ dada por a e ˙ dp (t) = a(t)r ˙ (35) ( ) a ˙ v(t) = dp (t) (36) a v(t) = H(t)dp (t) (37)No momento o tempo ´ t0 e a rela¸˜o acima ´ dada por e ca e v(t0 ) = H(t0 )dp (t0 ) (38)Esta ´ a velocidade de recess˜o que as gal´xias est˜o se afastando e a a ade n´s. Quando a distˆncia atinge o valor de dH (t0 ) = c/H0 a o avelocidade de recess˜o atinge a velocidade da luz c esta ´ conhecida a ecomo sendo a distˆncia Hubble a dH (t0 ) = 4300 ± M pc (39) 26
  27. 27. 8 Relatividade GeralPara obter a dinˆmica partiremos da equa¸˜o de Einstein da a caRelatividade Geral 8πGTµν Gµν = − (40) c4onde Tµν ´ o tensor energia-momento e e 1 Gµν = Rµν − Rgµν (T ensor de Einstein) (41) 2 Rµν = Rλµλν (T ensor de Ricci) (42) R = Rµµ (Escalar de Curvatura) (43) 27
  28. 28. 9 Dinˆmica do Universo aUtilizando a m´trica de Robertson-Walker e [ ] dr 2 ( 2 ) ds = −c dt + a (t) 2 2 2 2 2 2 + r dθ + sin (θ)dϕ2 (44) 1 − kr2Podemos calcular a conex˜o Γ a da Γ0 ij = a gij ˜ (45) dt 1 da i Γi 0j = Γi j0 = δ (46) a dt j il ( ) g ˜ ∂˜lj g ∂˜lk g ∂˜jk g Γi jk = + − (47) 2 ∂xk ∂xj ∂xl 28
  29. 29. onde   −1 0 0 0    0 1   1−kr 2 0 0  gµν ˜ =  (48)  0 0 r 2 0    0 0 0 r2 sin2 (θ)e em posse do tensor energia-momento para um fluido isotr´pico otemos   −ρ 0 0 0    0 P 0 0    Tν =  µ  (49)  0 0 P 0    0 0 0 P 29
  30. 30. Da conserva¸˜o da energia temos que ca µ ∂Tν + Γµ Tν − Γα Tα = 0 αµ α νµ µ (50) ∂xµe fazendo uso da componente (0-0) da equa¸˜o de Einstein obtemos caa equa¸˜o de Friedmann ca ( )2 a ˙ 8πG kc2 = 2 ρ− 2 2 Eq. de Friedmann (51) a 3c R0 a a ˙ ρ + 3 (ρ + P ) = 0 ˙ Eq. do Fluido (52) a P = ωρ Eq. de Estado (53) 30
  31. 31. 10 Coment´rios Finais a1. O nada ´ quase tudo: aproximadamente 70% da e energia total do universo (a) 1948 Hendrik Casimir insere duas chapas met´licas no a v´cuo, separadas por 0,02 mil´ a ımetro. E da energia do v´cuo a surge uma for¸a devido as condi¸˜es de contorno. c co (b) 1980 Alan Guth e Andr´ Linde mostram que, ao nascer, o e Universo teve um crescimento por bilion´simos de segundo. e A causa: uma libera¸˜o de energia do v´cuo ca a (c) 1997 Descobre-se que o cosmo est´ de novo crescendo em a ´ ritmo acelerado. E poss´ que o novo impulso seja um ıvel res´ ıduo de energia do v´cuo, ainda em a¸˜o. a ca (d) 2003 A an´lise de dados do sat´lite-telesc´pio WMAP leva a e o a uma conclus˜o absurda: a de que 73% do peso do a Universo vem do vazio. Absurda, por´m incontest´vel. e a 31
  32. 32. • O nada est´ mortalmente quieto: armazenou a imensa a energia do Big Bang e acomodou-se. Virou o esqueleto do cosmo.• At´ hoje, desde que, em 1930, come¸ou-se a fazer e c experiˆncias com os precursores dos aceleradores de e part´ıculas, o equivalente a 1 863 272 195 pr´tons foram o trazidos do nada - uma insignificˆncia. a 32
  33. 33. 2. Quest˜o filos´fica: Provir do NADA a o Como nada n˜o ´ coisa alguma, n˜o se pode provir do nada. a e a Mas isto n˜o significa que algo n˜o possa surgir sem que seja a a proveniente de alguma coisa. Isto n˜o ´ proibido e n˜o significa a e a “surgir do nada”, mas sim surgir sem ser de coisa nenhuma. Tanto sem procedˆncia quanto sem causa e nem prop´sito. e o Assim ´ que deve ter ocorrido com o surgimento do conte´do e u cujo s´bito in´ de expans˜o consiste no Big Bang.Como nada u ıcio a n˜o ´ coisa alguma, n˜o se pode provir do nada. Mas isto n˜o a e a a significa que algo n˜o possa surgir sem que seja proveniente de a alguma coisa. Isto n˜o ´ proibido e n˜o significa “surgir do a e a nada”, mas sim surgir sem ser de coisa nenhuma. Tanto sem procedˆncia quanto sem causa e nem prop´sito. Assim ´ que e o e deve ter ocorrido com o surgimento do conte´do cujo s´bito u u in´ de expans˜o consiste no Big Bang. ıcio a 33

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