Aplicación Libre 3. Utilizando los métodos de solución EDO para la clase de

1. ROMARIO FAJARDO AMAYA
FABIÁN EULYN RIVAS CARRILLO
FREDY CONTRERAS SALAS
GRUPO: 01 - SIMULACIÓN

2. La simulación de aplicaciones en la computadora, es la
herramienta mas poderosa hasta ahora conocida, para la
solución de problemas en el campo de las ciencias exactas, en
este caso los métodos numéricos para la solución EDO, como
punto principal por sus aplicaciones en la ingeniería y en
infinidades de ramas.
El trabajo monótono que se hacia anteriormente, al uso de la
simulación de aplicaciones en la computadora, hace de
importancia, el dominio de los métodos numéricos para la
solución EDO, los cuales se deben llevar a cabo en combinación
con las capacidades y potencialidades de la programación de
estas aplicaciones para de esa forma resolver los problemas de
ingeniería mucho mas fácilmente y eficientemente.

3. Un piloto pierde el control de un aeroplano y esta apunto de estrellarse
pero decide lanzarse al vacío con un paracaídas, el piloto con una masa
M de 70 kg. Calcular la velocidad del piloto desde el momento que salto
para salvar su vida hasta los 20 s después que fue el momento que abrió
el paracaídas y salir del peligro en el que se encontraba.
Consideremos que la velocidad vertical inicial del piloto es cero en t = 0
y que la caída es vertical. Si el arrastre aerodinámico esta dado por
Faire = 𝑐𝑣 2 , donde c es una constante aproximadamente igual a 0.27
kg/m. y v es la velocidad vertical (positiva hacia abajo).

4. Formula de la primera ley de newton:
F= ma  F es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo.
m es la masa del objeto.
Utilizando esta ley, vamos a determinar la velocidad del
piloto en caída libre. Para este caso expresamos la
aceleración como la razón de cambio de la velocidad con
respecto al tiempo (dv/dt). Y sustituimos en la ecuación de
nueva forma:
F=m(dv/dt)

5. Para un cuerpo que cae la fuerza total esta compuesta por
dos fuerzas contrarias, la atracción debida a la gravedad
Fgravedad, y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia
del aire Faire.
Por lo tanto: F= Fgravedad + Faire
La fuerza debida a la gravedad se puede rescribir:
Fgravedad=mg  g :: constante de gravitación= 9.8
m/𝑠𝑔2 .
La resistencia del aire se puede formular como una
aproximación sencilla proporcional a la velocidad:
Faire = -𝑐𝑣 2  c :: constante de proporcionalidad
llamada coeficiente de arrastre.

6. Entonces la fuerza total es la diferencia de las fuerzas hacia
abajo y hacia arriba, así que combinando las ecuaciones
anteriores:
m
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑚𝑔 − 𝑐𝑣
o dividiendo cada lado entre m:
𝑑𝑣
𝑐 2
= 𝑔 −
𝑣
𝑑𝑡
𝑚
Remplazando los valores que nos plantea el problema
tenemos:
𝑓 𝑡, 𝑣 = 9.8 −
0.27
70
𝑣2

8. iteración
Tiempo
Velocidad
1
0
0
2
0.1
0.9800
3
0.2
1.9600
Ecuación Diferencial :
(-0.27/70)*x^2+9.8
4
0.3
2.9400
6
0.5
4.8999
Valor del Primer Punto x1: 0
10
0.9
8.8192
50
4.9
47.8733
100
9.9
95.7913
150
14.9
141.8096
199
19.8
184.1353
200
19.9
184.9640
En el método de Euler tuvimos como
entradas:
Valor del Segundo Punto x2: 20
Condición inicial y(x0): 0
Ingrese el valor de pasos h=0.1

10. En el método de Runge - Kutta
tuvimos como entradas:
Valor del Primer Punto x1: 0
Valor del Segundo Punto x2: 20
Condición inicial y(x0): 0
Ingrese el numero de pasos n= 200
Tiempo
Velocidad
0
0
0.9800
1
0.1
1.9600
2
0.2
2.9400
3
Ecuación Diferencial :
(-0.27/70)*x^2+9.8
iteración
0.3
3.9199
5
0.5
5.8797
10
1.0
10.7783
50
5.0
49.8094
100
10.0
97.6553
150
15.0
143.5533
198
19.9
184.8878
199
20.0
185.7143

11. Solución Analítica:
185.7013 km/h
iteración
Tiempo
Velocidad
iteración
Tiempo
Velocidad
1
0
0
0
0
0.9800
2
0.1
0.9800
1
0.1
1.9600
3
0.2
1.9600
2
0.2
2.9400
4
0.3
2.9400
3
0.3
3.9199
6
0.5
4.8999
5
0.5
5.8797
10
0.9
8.8192
10
1.0
10.7783
50
4.9
47.8733
50
5.0
49.8094
100
9.9
95.7913
100
10.0
97.6553
150
14.9
141.8096
150
15.0
143.5533
199
19.8
184.1353
198
19.9
184.8878
200
19.9
184.9640
199
20.0
185.7143

12. EL MEJOR MÉTODO A UTILIZAR ES EL MÉTODO DE RUNGE
KUTTA YA QUE SE APROXIMA MAS AL RESULTADO DESEADO Y
UN MARGEN DE ERROR MENOR A LOS DEMÁS MÉTODOS, Y
OBSERVAMOS QUE
GRACIAS A ESTAS APLICACIONES
RESUELTAS CON HERRAMIENTAS TECNOLÓGICAS EN LA
COMPUTADORA SE PUEDEN DESARROLLAR INFINIDADES DE
CASOS QUE OCURREN EN LA VIDA REAL, ADEMÁS DE
PROBLEMAS DE LAS DIFERENTES RAMAS DE LAS CIENCIAS.