1. Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A
VICEDECANATURA DE CIENCIAS
PROYECTO DE MEJORAMIENTO ACADÉMICO
Guía de trabajo
INSTITUTO TECNOLÓGICO TRABAJO-MOMENTOS Y CENTROS DE MASA
METROPOLITANO
Institución Universitaria adscrita a la
Alcaldía de Medellín Cálculo Integral 2009 - 2
ESTIMADO ESTUDIANTE: El Proyecto de Mejoramiento Académico busca que usted
comparta un espacio con compañeros y profesores en donde se vivencien
experiencias y métodos de estudio efectivos y el trabajo independiente se convierta
en una disciplina y una actitud interior. En ese sentido, estas guías se constituyen en
un APOYO a dicho trabajo.
COMPETENCIA
Comprender y aplicar el concepto de integral indefinida y definida de
funciones reales, para modelar y dar solución a problemas en distintos
contextos.
INDICADOR DE LOGRO
Utiliza la integral definida para modelar una situación.
NOTA
Asegúrese de entender todos los conceptos y saber que restricciones existen en las
definiciones para evitar ideas erróneas.
CONCEPTOS TEÓRICOS BÁSICOS
Trabajo
La palabra Trabajo se emplea en forma cotidiana para indicar la cantidad total de
esfuerzo requerido para llevar a cabo una tarea. De física sabemos que si un objeto se
mueve una distancia D a lo largo de una línea, mientras le proporcionamos una fuerza
constante F en la dirección del movimiento, entonces el trabajo realizado es:
Unidades:
Fuerza (F) = Newtons Fuerza (F) = Libras
Distancia (D) = mts Distancia (D) = Pies
Trabajo (W) = Newtons*mts = Joules Trabajo (W) = Libras*pies
La ecuación nos sirve solo cuando la fuerza F es constante ¿qué pasa cuando F
es variable?. Supongamos que el objeto se mueve a lo largo del eje x positivo de
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2. Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A
y y en cada punto entre y actúa una fuerza sobre el objeto donde
es una función continua. De esta manera, el trabajo realizado al mover el objeto desde
hasta es
Momentos y Centros de Masa
El objetivo principal es determinar el punto P en el cual se equilibra, horizontalmente,
una placa delgada de cualquier forma dada, como en la siguiente figura.
Supóngase que tenemos dos masas de tamaños y que se colocan en un sube
y baja a distancias respectivas y del punto de apoyo (fulcro) y en lados opuestos
a él (ver figura). El sube y baja se equilibra si y sólo si
Ahora, supón que el sube y baja esta en un eje horizontal que tenga su origen en el
fulcro, entonces la coordenada de es , la de es y la
condición de equilibrio quedaría
Los números y se denominan momentos de las masas y , con
respecto al origen.
Generalizando, el momento total (con respecto al origen) de un sistema de
masas ubicados en los puntos a lo largo del eje x es la
suma de los momentos individuales; esto es
Por otro lado, no debemos esperar equilibrio en el origen, excepto en circunstancias
especiales. Pero seguramente un sistema de masas se equilibrará en alguna parte.
Ver la siguiente figura,
El punto , que se denomina centro de masa, es el punto de equilibrio y está dado por
Nota: Es claro en la anterior figura que .
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3. Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A
Ahora, describiremos un sistema de puntos materiales, cuyas masas son
, colocados en los puntos en el plano , ver
figura en particular,
Entonces, los momentos totales y respecto al eje y al eje , respectivamente,
están dados por
Luego las coordenadas del centro de masa se expresan en términos de los
momentos mediante las fórmulas
donde
Ahora consideramos el problema de encontrar el centro de masa (o centroide) de una
lámina con densidad uniforme (homogénea) .
Consideremos la lámina homogénea acotada por y ,
con . Entonces el centro de masa (centroide) está en , donde
Ejemplo 1.
¿Cuánto trabajo se lleva a cabo al levantar un libro que pesa 1.2 kg desde el piso para
colocarlo en un escritorio de 0.7 mts de altura?
Solución.
Sabemos que la fuerza ejercida es igual y opuesta a la ejercida por la gravedad, de
modo que
Luego,
Ejemplo 2.
¿Cuánto trabajo se efectúa al levantar un peso de 20 libras a 6 pies del piso?
Solución.
La fuerza es , entonces ft-lb
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4. Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A
Nota: Peso es una fuerza y NO la masa del objeto.
Ejemplo 3.
Se requiere una fuerza de 40 N para mantener estirado un resorte desde su longitud
natural de 10 cm, hasta 15 cm. ¿Cuánto trabajo se efectúa al estirarlo de 15 a 18 cm?
Solución.
Aplicamos la Ley de Hooke, la cual establece que la fuerza necesaria para
mantener un resorte estirado (o comprimido) unidades alargado (o acortado) de su
longitud natural está dado por
Cuando se estira de 10 a 15 cm, el estiramiento es de 5 cm = 0.05 mts. Es decir que
, lo que implica que
Luego , y el trabajo efectuado al estirar el resorte de 15 a 18 cm es
Ejemplo 4.
En los puntos 0, 1, 2 y 4, a lo largo del eje x, hay masas de 4, 2, 6 y 7 kilogramos,
respectivamente. Encuentre el centro de masa.
Solución.
Ejemplo 5.
Calcula los momentos y el centro de masa del sistema de objetos cuyas masas son 3,
4 y 8 y están, respectivamente, en los puntos .
Solución.
Donde . Entonces
Así, el centro de masa está en
Ejemplo 6.
Encuentra el centroide de la región limitada por y
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5. Proyecto de Mejoramiento Académico – Cálculo integral A
Solución.
En la siguiente figura hemos trazado esa región.
Luego, el centroide está en
Ejercicios.
1. Calcula el trabajo efectuado al empujar 8 m un automóvil, ejerciendo sobre él
una fuerza constante de 900 N.
2. ¿Cuánto trabajo lleva a cabo un pesista al levantar 60 kg de pesas del piso
hasta 2 m de altura?
3. Un resorte tiene 20 cm de longitud natural. Si se necesita una fuerza de 25 N
para mantenerlo estirado 30 cm, ¿cuánto trabajo se requiere para estirarlo de
20 a 25 cm?
4. Se precisan 2 J de trabajo para estirar un resorte desde su longitud natural de
30 cm hasta 42 cm. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirarlo de 35 a 40 cm?
5. Las masas están en los puntos . Calcula los momentos y encuentra el
lugar del centro de masa del sistema.
a.
.
b.
.
6. Localiza el centroide de la región limitada por las curvas dadas.
a.
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b.
c.
Bibliografía
1. STEWART, James. Cálculo: Conceptos y contextos. Tercera edición.
Bogotá: Thompson editores, 1999.
2. PURCELL, Edwin J. y DALE, Varberg. Cálculo diferencial e integral. Novena
edición. México: Pearson: Prentice Hall Hispanoamericana, 2007.
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