Apostila de algebra linear

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Apostila de algebra linear

  1. 1. Fortaleza, Fevereiro/2010 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE Álgebra Linear Realização:
  2. 2. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 2 de 40 Sumário 1. Matrizes .......................................................................................................................................................... 3 1.1. Operações com matrizes ............................................................................................................................. 4 1.2. Operações elementares com linhas de uma matriz...................................................................................... 5 1.3. Questões ..................................................................................................................................................... 6 2. Determinantes ................................................................................................................................................ 7 2.1. Regra de Chió.............................................................................................................................................. 8 2.2. Teorema de Laplace .................................................................................................................................... 9 2.3. Questões ....................................................................................................................................................10 3. Sistemas Lineares ...........................................................................................................................................11 3.1. Método do escalonamento.........................................................................................................................11 3.2. Regra de Cramer ........................................................................................................................................13 3.3. Questões ....................................................................................................................................................13 4. Vetores...........................................................................................................................................................14 4.1. Adição de Vetores ......................................................................................................................................15 4.2. Multiplicação por escalar ...........................................................................................................................15 4.3. Questões ....................................................................................................................................................16 5. Operações com vetores..................................................................................................................................16 5.1. Módulo.......................................................................................................................................................16 5.2. Produto escalar (ou produto interno) .........................................................................................................16 5.3. Produto vetorial (ou produto externo)........................................................................................................17 5.4. Questões ....................................................................................................................................................19 6. Espaços vetoriais ............................................................................................................................................19 6.1. Questões ....................................................................................................................................................21 7. Subespaços vetoriais ......................................................................................................................................22 7.1. Questões ....................................................................................................................................................24 8. Interseção, união e soma de subespaços........................................................................................................25 8.1. Interseção ..................................................................................................................................................25 8.2. Soma..........................................................................................................................................................26 8.3. União .........................................................................................................................................................27 8.4. Questões ....................................................................................................................................................27 9. Combinação linear..........................................................................................................................................27 9.1. Questões ....................................................................................................................................................28 10. Subespaços gerados ...................................................................................................................................29 10.1. Questões ....................................................................................................................................................30 11. Dependência e Independência Linear.........................................................................................................31 11.1. Questões ....................................................................................................................................................32 12. Base de um espaço vetorial........................................................................................................................33 12.1. Questões ....................................................................................................................................................36 13. Dimensão ...................................................................................................................................................36 13.1. Questões ....................................................................................................................................................37 14. Mudança de base .......................................................................................................................................38 14.1. A inversa da matriz de mudança de base ...................................................................................................39 14.2. Questões ....................................................................................................................................................40
  3. 3. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 3 de 40 1. Matrizes Sejam m e n inteiros positivos. Chama-se matriz m × n (sobre R) qualquer lista ordenada de m-n números reais, dispostos em m linhas e n colunas. Os números que constituem uma matriz são chamados de termos da matriz. Uma matriz A, m × n, pode ser denotada como se segue: A = a11 ⋯ a1n ⋮ ⋱ ⋮ am1 ⋯ amn Ou, simplesmente, A = (aij), onde 1 < 𝑖 < 𝑚 e 1 < 𝑗 < 𝑛. Notamos que os índices i e j indicam a posição que o termo ocupa na matriz. O termo aij está na i-ésima linha e na j-ésima coluna. Seja A = (aij ) uma matriz n × n. Chama-se diagonal principal, ou simplesmente diagonal da matriz A, a lista ordenada (a11, a22, . . . , ann ). Chama-se diagonal secundária da matriz A, a lista ordenada (a1n, a2(n−1), an1). A soma dos índices dos termos da diagonal secundária é sempre igual a n+1.  Igualdade de Matrizes: Sendo A = (aij), e B = (bij ), matrizes, A e B são iguais, se e somente se, aij = bij para quaisquer valores de i e de j.  Tipos de Matrizes: o Chama-se matriz linha toda matriz 1 × 𝑛, ou seja, toda matriz constituída de uma só linha. o Chama-se matriz coluna toda matriz 𝑚 × 1, ou seja, toda matriz constituída de uma só coluna. o Chama-se matriz nula aquela cujos termos são todos nulos. o Uma matriz 𝑚 × 𝑛 chama-se quadrada se 𝑚 = 𝑛. o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se triangular superior se todos os termos que ficam abaixo da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 > 𝑗. o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se triangular inferior se todos os termos que ficam acima da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 < 𝑗. o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se diagonal se todos os termos fora da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 ≠ 𝑗. o Chama-se matriz identidade 𝑛 × 𝑛 a matriz diagonal 𝑛 × 𝑛 cujos termos da diagonal principal são todos iguais a 1. Ela é denotada por 𝐼 𝑛 ou simplesmente por I. o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se simétrica se 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 para quaisquer que sejam i e j, isto é, se os termos simetricamente situados em relação à diagonal principal são iguais. o Exemplos: 2 −1 −1 0 , 5 1 3 1 0 2 3 2 1 , 𝐼 𝑛, toda matriz diagonal. o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se anti-simétrica se 𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑗𝑖 para quaisquer que sejam i e j, ou seja, se os termos simetricamente situados em relação à diagonal principal são números reais simétricos e os termos da diagonal são todos nulos.
  4. 4. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 4 de 40 o Exemplos: 0 1 −1 0 , 0 4 8 4 0 −1 −8 1 0 , matriz quadrada nula. 1.1. Operações com matrizes  Adição de Matrizes: Sejam A = (aij ), e B = (bij ) matrizes m × n. Definimos a soma das matrizes A e B como sendo a matriz A + B = (cij), em que cij = aij + bij. Ou seja, somar A com B consiste em somar termos correspondentes. Propriedades (1): Para quaisquer matrizes m × n, A = (aij ), B = (bij ) e C = (cij ), as seguintes propriedades são válidas: o Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C; o Comutatividade: A + B = B + A; o Elemento neutro: A + O = A, onde O é a matriz m × n nula; o Matriz oposta: A + (-A) = O, onde −A = (aij ). Chamamos (–A) de matriz oposta de A; o Multiplicação de um escalar por uma matriz: Sejam x ∈ R e A = (aij ) uma matriz m × n. Definimos o produto da matriz A pelo escalar x como x. A = (x. aij). Isto é, multiplicar x por A consiste em multiplicar x por todos os termos de A. Propriedades (2): Para quaisquer que sejam as matrizes m × n, A = (aij ) e B = (bij ) e os números reais x e y, valem as seguintes propriedades: o x.(A + B) = x.A + x.B (Distributiva para escalar) o (x + y).A = x.A + y.A (Distributiva para matrizes) o x.(y.A) = (xy).A (Associativa) o 1.A = A (1 é o escalar que representa o elemento neutro dessa operação)  Multiplicação de Matrizes: Seja A = (aij ) uma matriz m × n. Denotaremos por Ai a i-ésima linha de A e Aj a j-ésima coluna de A. Isto é: 𝐴𝑖 = 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑛 e 𝐴 𝑗 = 𝑎1𝑗 𝑎2𝑗 ⋮ 𝑎 𝑚𝑗 Sejam A = (aij) uma matriz m × n e B = (bjk ) uma matriz n × p. Definimos o produto da matriz A pela matriz B como A. B = C = (cij ) = aij bjk n j=1 . Observação 1: O produto A.B é uma matriz m × p; Observação 2: O termo de A.B que se situa na i-ésima linha e na j-ésima coluna é Ai. Bk . Observação 3: Quando existe uma matriz A−1 tal que A. A−1 = I, dizemos que A é uma matriz invertível, e chamamos A−1 de matriz inversa de A.
  5. 5. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 5 de 40  Propriedades: o Se A é uma matriz m × n, então A. In = Im . A. Isso indica que a matriz identidade é o elemento neutro para a multiplicação de matrizes. o Se A é uma matriz m × n e B e C são matrizes n × p, então A(B + C) = AB + AC, ou seja, a multiplicação se distribui à esquerda em relação à soma de matrizes. o Para as mesmas matrizes A, B e C, temos (A + B) = BA + CA, ou seja, a multiplicação se distribui à direita em relação à soma de matrizes. o Seja A uma matriz m × n, B uma matriz n × p e x ∈ ℝ, então x. (AB) = A(x. B). o Se A, B e C são, respectivamente, matrizes m × n, n × p e p × q, então A(BC) = (AB)C (comutatividade).  Transposição de Matrizes: Seja A uma matriz m × n, definimos a transposta de A como sendo a matriz n × m At = (bji ), em que bji = aij. Exemplo: 2 3 4 5 −1 0 2 1 𝑡 = 2 −1 3 0 4 2 5 1 Propriedades: Sejam x um número real, A e B matrizes m × n e C uma matriz n × p. Então valem as seguintes propriedades: o At t = A o (A + B)t = At + Bt o (xA)t = x(A)t o (BC)t = Ct Bt 1.2. Operações elementares com linhas de uma matriz Seja A uma matriz m × n. Chama-se operação elementar com linhas de A qualquer uma das operações descritas a seguir: Permutação de duas linhas de A; Multiplicação de uma linha de A por um número real não nulo; Substituição de Ai por Ai + xAj, em que j ≠ i e x é um número real qualquer. Exemplo: 3 0 3 12 2 1 −1 3 1 3 𝐴1 1 0 1 4 2 1 −1 3 𝐴2−2𝐴1 1 0 1 4 0 1 −3 −5 A primeira operação acima consistiu em multiplicar a primeira linha por 1/3 e a segunda operação em substituir a segunda linha por ela mais (-2) vezes a primeira (A2 − 2A1).
  6. 6. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 6 de 40 Sejam A e B matrizes m × n. Dizemos que A é linha-equivalente a B se B pode ser obtida a partir de A através de operações elementares com linhas. (No exemplo anterior, notamos que a primeira matriz é linha-equivalente à terceira) Matriz na forma escada: Seja A uma matriz m × n. Dizemos que A é uma matriz na forma escada, se as seguintes condições são satisfeitas: As possíveis linhas nulas ficam abaixo das possíveis linhas não nulas. O primeiro termo não nulo de cada linha não nula é igual a 1. Os demais termos da coluna à qual pertence o primeiro termo não nulo de uma linha não nula são todos nulos. A coluna à qual pertence primeiro termo não nulo de uma linha não nula fica à direita do primeiro termo não nulo da linha anterior, isto é, se p é o número de linhas não nulas e se o primeiro termo não nulo da i-ésima linha não nula ocorre na ki-ésima coluna, então k1 < k2 < ⋯ < kp. Exemplos: 1 0 1 4 0 1 −3 5 , 1 0 0 −1 0 0 1 5 0 0 0 0 , 1 −2 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 , O, I. Teorema: Toda matriz m × n é linha-equivalente a uma matriz na forma escada. Exemplo: 2 3 −1 −4 0 2 1 1 3 1 2 A1 1 3/2 −1/2 −4 0 2 1 1 3 A2+4A1 A3−A1 1 3/2 −1/2 0 6 0 0 −1/2 7/2 1 6 A2 1 3/2 −1/2 0 1 0 0 −1/2 7/2 A1− 3 2 A2 A3+ 1 2 A2 1 0 −1/2 0 1 0 0 0 7/2 1 7 A3 1 0 −1/2 0 1 0 0 0 1 A1+ 1 2 A3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1.3. Questões 1) Se A = 1 −2 3 −6 e B = 4 2 2 1 , calcule AB e BA.
  7. 7. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 7 de 40 2) Se A= 3 −2 −4 3 , ache B, de modo que B2 = A. 3) Suponha que A≠0 e AB=AC onde A,B,C são matrizes tais que a multiplicação esteja definida. a) B=C? b) Se existir uma matriz Y, tal que YA=I, onde I é a matriz identidade, então B=C? 4) Diz-se que as matrizes A e B são comutativas se AB = BA. Encontre todas as matrizes x y z w que sejam comutativas com 1 1 0 1 5) Seja A = 2 2 3 −1 . a) Encontre A2 e A3 . b) Se f x = x3 − 3x2 − 2x + 4 , encontre f A c) Se g x = x2 − x − 8, encontre g(A) 6) Para cada uma das matrizes a seguir, encontra uma matriz na forma escada, à qual a matriz dada é linha equivalente. a) 2 1 5 6 3 15 b) 2 0 −2 0 0 2 −1 0 c) 2 1 5 1 −3 6 d) 1 2 1 0 −1 0 3 5 1 −2 1 1 e) 2 −1 3 1 4 2 1 −5 1 4 16 8 f) 0 2 0 2 1 1 0 3 3 −4 0 2 2 −3 0 1 7) Sejam A e B matrizes quadradas do mesmo tamanho, em que A é invertível. Mostre, por indução, que (𝐴𝐵𝐴−1 ) 𝑛 = 𝐴𝐵 𝑛 𝐴−1 para todo inteiro positivo n. 2. Determinantes Determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um escalar. Seu cálculo é feito somando os termos ligados pelas diagonais paralelas à diagonal principal, e subtraindo deste valor a soma dos produtos dos termos ligados pelas setas paralelas à diagonal secundária:
  8. 8. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 8 de 40 Temos que: det A = (a11 ∙ a22 ∙ a33 + a12 ∙ a23 ∙ a31 + a21 ∙ a32 ∙ a13) − (a13 ∙ a22 ∙ a31 + a12 ∙ a21 ∙ a33 + a23 ∙ a32 ∙ a11) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n, e x um escalar qualquer, essas são algumas das propriedades dos seus determinantes: o det(x ∙ A) = xn ∙ det A o det A = det⁡(At ) o Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero. o Se A tem duas filas iguais, então detA = 0 o Se permutarmos duas linhas ou colunas de A, então o determinante muda de sinal. o Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det AB = detA. det⁡B Observação 1: O determinante de uma matriz triangular ou diagonal é o produto dos termos de sua diagonal principal. Observação 2: O determinante permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0. A. A−1 = I, aplicando determinante dos dois lados, temos: det A. A−1 = detI detA. det A−1 = 1 det A−1 = 1 det A Assim, se o determinante da matriz A for nulo, a matriz inversa não pode existir. 2.1. Regra de Chió Através dessa regra é possível diminuir de n para (n − 1) a ordem de uma matriz quadrada A sem alterar o valor do seu determinante. A regra prática de Chió consiste em: 1) Escolher um elemento aij = 1 (caso não exista, aplicar as propriedades para que apareça o elemento 1). 2) Suprimir a linha i e a coluna j do elemento aij = 1, obtendo-se o menor complementar do referido elemento.
  9. 9. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 9 de 40 3) Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas. 4) Multiplicar o determinante obtido no item anterior por (−1)i+j onde i e j designam as ordens da linha e da coluna às quais pertence o elemento aij = 1 do primeiro item. Exemplo: det 𝐴 = 1 5 7 2 4 3 3 2 4 = 4 − 5.2 3 − 2.7 2 − 3.5 4 − 3.7 . (−1)1+1 = −6 −11 −13 −17 = 6.17 − 13.11 = −41 2.2. Teorema de Laplace Chama-se de menor complementar (Dij) de um elemento aij de uma matriz quadrada A o determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz. Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem a seguir: A = 2 0 3 5 7 9 3 5 1 , podemos escrever: D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A. Pela definição, D23 será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja: D23 = 2 0 3 5 = 2.5 − 3.0 = 10 Chama-se de cofator de um elemento aij de uma matriz o seguinte produto: cof aij = (−1)i+j . Dij Assim, por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior é igual a: cof a23 = (−1)2+3 . D23 = (−1)5 . 10 = −10 Observações sobre o teorema: o O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. o Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. Seu uso possibilita diminuir a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. o Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, para que seu produto seja nulo.
  10. 10. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 10 de 40 2.3. Questões 1) Dadas as matrizes A = 1 2 1 0 e B = 3 −1 0 1 , calcule a) det 𝐴 + det 𝐵 b) det(A + B) 2) Sejam A e B matrizes do tipo n × n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas: a) det(AB) = det(BA) b) det A’ = det A c) det(2A) = 2 det A d) det(A²) = (det A)² 3) Calcule o det A, onde: a) A = 3 −1 5 0 0 2 0 1 2 0 −1 3 1 1 2 0 b) A = i 3 2 −i 3 −i 1 i 2 1 −1 0 −i i 0 1 4) Prove que 𝑎1 0 0 0 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4 𝑑1 𝑑2 𝑑3 𝑑4 = 𝑎1 𝑏2 𝑏3 𝑏4 𝑐2 𝑐3 𝑐4 𝑑2 𝑑3 𝑑4 5) Mostre que det 1 1 1 a b c a² b² c² = a − b b − c (c − a). 6) Verdadeiro ou falso? a) Se det A = 1, então A-1 = A. b) Se A é uma matriz triangular superior e A-1 existe, então também A-1 será uma matriz triangular superior. c) Se A é uma matriz escalar n × n da forma kIn, então det A = kn . d) Se A é uma matriz triangular, então det A = a11+. . . +ann . 7) Calcule a2 (a + 2)2 (a + 4)2 (a + 2)2 (a + 4)2 (a + 6)2 (a + 4)2 (a + 6)2 (a + 8)2 .
  11. 11. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 11 de 40 8) Mostre que cos2a cos2 a sen2 a cos2b cos2 b sen2 b cos2c cos2 c sen2 c = 0. 3. Sistemas Lineares  Definição 1: Seja 𝑛 um inteiro positivo. Chama-se equação linear a 𝑛 incógnitas toda equação do tipo 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 em que 𝑎1, 𝑎2, ..., 𝑎 𝑛, 𝑏 são constantes reais e 𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥 𝑛 são incógnitas. Chamamos cada 𝑎𝑖 de coeficiente de 𝑥𝑖 e 𝑏 de termo independente da equação.  Definição 2: Sejam 𝑚 e 𝑛 inteiros positivos. Chama-se sistema linear a 𝑚 equações e 𝑛 incógnitas todo sistema com m equações lineares, todas às mesmas n incógnitas. Denotaremos o sistema citado como se segue: a11x1 + a12x2 + ⋯ + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ⋯ + a2nxn = b2 ⋮ a31x1 + a32x2 + ⋯ + a3nxn = b3 Chama-se solução do sistema toda lista ordenada (x1, x2, … , xn) de números reais que satisfaz a todas as equações do sistema linear e chama-se conjunto solução do sistema o conjunto constituído de todas as soluções. Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, impossível, possível determinado ou possível indeterminado conforme seu conjunto solução seja vazio, unitário ou tenha pelo menos dois elementos. 3.1. Método do escalonamento O método do escalonamento consiste em transformar uma matriz qualquer em uma matriz na forma escada através de operações elementares com linhas. O objetivo disso é resolver sistemas lineares. Para tanto, devemos saber que cada sistema linear tem duas matrizes correspondentes: uma chamada matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema e outra chamada matriz completa do sistema. Listemos a seguir as matrizes referentes a um sistema genérico: a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ am1 am2 … amn Matriz incompleta Matriz completa
  12. 12. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 12 de 40 Se A é a matriz dos coeficientes, X = x1 x2 ⋮ xn e B = b1 b2 ⋮ bm , então o sistema pode ser representado (matricialmente) pelas seguintes equações: A1. X = b1 A2. X = b2 ⋮ Am . X = bm O método do escalonamento para resolver um sistema linear cuja matriz completa é C consiste em encontrar uma matriz C’, tal que C’ seja linha-equivalente a C e o sistema cuja matriz é C’ já explicite o seu conjunto solução. Para tanto, essa matriz deverá estar na forma escada. Exemplo: Resolvamos o sistema 2x + 3y − z = 6 −4x + 2z = −1 x + y + 3z = 0 , que tem a seguinte matriz completa: 2 3 −1 6 −4 0 2 −1 1 1 3 0 Devemos operar essa matriz com linhas, de maneira a deixar a matriz dos coeficientes na forma escada. 2 3 −1 6 −4 0 2 −1 1 1 3 0 → 1 3/2 −1/2 3 −4 0 2 −1 1 1 3 0 → → 1 3/2 −1/2 3 0 6 0 11 0 −1/2 7/2 3 → 1 3/2 −1/2 3 0 1 0 11 0 −1/2 7/2 3 /6 → → 1 0 −1/2 1/4 0 1 0 11/6 0 0 7/2 −25/12 → 1 0 −1/2 1/4 0 1 0 11/6 0 0 1 −25/42 → 1 0 0 −1/21 0 1 0 11/6 0 0 1 −25/42 Assim, o sistema inicial é equivalente a x = −1/21 y = 11/6 z = −25/42 . Portanto, está resolvido. Observações: o Um sistema linear AX = B chama-se homogêneo se B = O. Isto é, se todos os termos independentes são nulos. Neste caso, uma solução óbvia é a trivial, composta apenas de zeros. (Por exemplo, para n = 3, a solução trivial é (0,0,0).) o Se, num sistema linear homogêneo, o número de incógnitas é maior do que o número de equações, ele admite solução não trivial. o Se m = n, então o sistema linear AX = B tem uma única solução, então A é linha- equivalente a In.
  13. 13. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 13 de 40 3.2. Regra de Cramer A regra de Cramer é utilizada para a resolução de um sistema linear a partir do cálculo de determinantes. Vamos considerar aqui um sistema linear Ax = B, sendo x uma matriz de incógnitas. Seja A uma matriz invertível n × n e seja B ∈ ℝn . Seja Ai a matriz obtida substituindo a i-ésima coluna de A por B. Se x for a única solução de Ax = B, então xi = det⁡(Ai) det⁡(A) para i = 1,2, … , n Com i variando até n, é possível encontrar as matrizes-solução do sistema, e descobrir se ele é possível determinado (quando há somente uma matriz-solução), possível indeterminado (infinitas matrizes-solução) ou impossível (nenhuma solução). Exemplo: Considerando o sistema de equações: x1 + 2x2 + x3 = 5 2x1 + 2x2 + x3 = 6 x1 + 2x2 + 3x3 = 9 Solução: det A = 1 2 1 2 2 1 1 2 3 = −4 det A1 = 5 2 1 6 2 1 9 2 3 = −4 det A2 = 1 5 1 2 6 1 1 9 3 = −4 det A3 = 1 2 5 2 2 6 1 2 9 = −8 Portanto: x1 = −4 −4 = 1 x2 = −4 −4 = 1 x3 = −8 −4 = 2 Então temos como solução a matriz x = 1 1 2 e o sistema é possível determinado. 3.3. Questões 1) Determine os valores de k tais que o sistema nas incógnitas x, y e z tenha: (i) única solução, (ii) nenhuma solução, (iii) mais de uma solução. a) 𝑘𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 1 b) 𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 2 3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑘 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1 2) Ache as soluções dos problemas dados ou prove que não existem soluções
  14. 14. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 14 de 40 c) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 2𝑥 − 3𝑦 + 7𝑧 = 0 3𝑥 − 2𝑦 + 8𝑧 = 4 d) x − y + 2z = 4 3x + y + 4z = 6 x + y + z = 1 e) 2x − y + 5y = 19 x + 5y − 3z = 4 3x + 2y + 4z = 25 f) x + 3y + z = 0 2x + 7y + 4z = 0 x + y − 4z = 0 3) Dado o sistema: 1 2 1 0 0 −1 2 −1 1 2 3 4 2 −1 4 −3 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 = 2 2 4 8 a) Encontre uma solução dele sem resolvê-lo (atribua valores para x, y, z e w). b) Resolva efetivamente o sistema, isto é, encontre sua matriz-solução. c) Resolva também o sistema homogêneo associado. d) Verifique que toda matriz-solução obtida em (b) é a soma de uma matriz-solução encontrada em (c) com a solução particular que você encontrou em (a). 4) Dado o sistema linear: 3𝑥 + 5𝑦 + 12𝑧 − 𝑤 = −3 𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 − 𝑤 = −6 2𝑦 + 2𝑧 + 𝑤 = 5 a) Discuta a solução do sistema. b) Acrescente a equação 2z + kw = 9 a este sistema, encontre um valor de k que torne o sistema impossível. 5) Dê o conjunto solução do seguinte sistema linear: 𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 − 8𝑥4 = 1 𝑥1 + 4𝑥2 + 13𝑥3 − 3𝑥4 = 1 −2𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 + 21𝑥4 = −2 3𝑥2 + 8𝑥3 + 5𝑥4 = 0 4. Vetores Um vetor é definido por três características: intensidade, direção e sentido. Força, deslocamento e velocidade são representados por vetores, mas um vetor pode ser bem mais do que isso. Ao longo do curso de Álgebra Linear, o seu conceito será desenvolvido de forma bem mais ampla. Soluções de sistemas lineares poderão, por exemplo, ser representadas por vetores.
  15. 15. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 15 de 40 Desenhando um vetor no plano cartesiano, ele deve apresentar uma origem e uma extremidade. Os segmentos orientados cuja origem é o ponto (0,0) são chamados de vetores no plano, e são muito mais fáceis de trabalhar. Para representá-lo, basta indicar o par ordenado que corresponda à sua extremidade, pois já conhecemos seu ponto inicial. A definição segue para vetores no espaço, caso em que a origem dos vetores é o ponto (0,0,0), e assim por diante. De tal forma, para representar um vetor V = OP com ponto inicial na origem, usa-se usualmente a notação de coordenadas V = (a, b, c), mas também existe a notação de matriz coluna V = a b c e matriz linha V = a b c . Com essas notações, a soma de vetores e a multiplicação do vetor por um escalar são operações que ficam bem mais simples. 4.1. Adição de Vetores Propriedades: o Associatividade: A + B + C = A + B + C, ∀ A, B, C ∈ ℝn o Comutatividade: A + B = B + A, ∀ A, B ∈ ℝn . o Elemento neutro: o Seja O o vetor nulo. Então A + O = A, para qualquer A ∈ ℝn . Assim, O é o elemento neutro em relação à operação de adição, o qual chamaremos de elemento nulo de ℝn . o Elemento oposto: o Dado A = a1, a2, … , an , denotaremos por – A o vetor (−a1, −a2, … , −an). Então A + (−A) = O. Chamaremos (−A) de elemento oposto a A. o Considerando que: A − B = A + −B e as quatro propriedades anteriores, teremos três propriedades conseqüentes: 1. 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + 𝐶 ⟹ 𝐵 = 𝐶 2. 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 ⟹ 𝐴 = 𝐶 − 𝐵 3. 𝐴 + 𝐴 = 𝐴 ⟹ 𝐴 = 𝑂 Exemplo: Sendo v = 1,2 e w = (3,5), temos: v + w = 1,2 + 3,5 v + w = (4,7) Do mesmo modo, 2v = (2,4). 4.2. Multiplicação por escalar Sejam A = (a1, a2, … , an) ∈ ℝn e λ ∈ ℝ. Definimos a multiplicação de A por λ como sendo: λ ∙ A = (λa1, λa2, … , λan)
  16. 16. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 16 de 40 A seguir as propriedades de vetores: 1. Associativa na adição: 2. Comutativa: 3. Existência de elemento neutro na adição: 4. Existência de elemento oposto: 5. Distributiva por vetor: 6. Distributiva por escalar: 7. Associativa na multiplicação: 8. Existência de elemento neutro na multiplicação: 4.3. Questões 1) Determine o vetor X, tal que , para vetores V e U dados. 2) Determine os vetores X e Y, tal que e para vetores V e U dados. 5. Operações com vetores 5.1. Módulo Seja , definimos o módulo ou a norma de um vetor como sendo: Observação: para , note que o módulo de um vetor é o seu comprimento. Chamaremos de vetor unitário todo vetor cuja norma é 1. 5.2. Produto escalar (ou produto interno) Sejam e dois vetores não nulos nos reais. Considere os vetores A+B e A - B. Temos que se, e somente se , pois as diagonais de um paralelogramo só são iguais se o paralelogramo é um retângulo. Como consequência dessa condição podemos observar que:
  17. 17. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 17 de 40 𝐴 ⊥ 𝐵 ⟺ 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + … + 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 = 0 Esta condição é necessária para que dois vetores sejam perpendiculares. Sejam 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛 ) e 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏 𝑛 ) dois vetores quaisquer em ℝ 𝑛 . O produto escalar é definido como a multiplicação termo a termo e a soma dos produtos: 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + … + 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 Assim, dois vetores não nulos 𝐴 e 𝐵 em ℝ 𝑛 são perpendiculares apenas se 𝐴 ∙ 𝐵 = 0. Propriedades do produto escalar: i. 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴, para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ 𝑛 ii. 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶, para quaisquer 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ 𝑛 iii. 𝐴 ∙ 𝜆𝐵 = 𝜆 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝜆𝐴 ∙ 𝐵, para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ 𝑛 e qualquer 𝜆 ∈ ℝ iv. 𝐴 ∙ 𝐴 ≥ 0, para qualquer 𝐴 ∈ ℝ 𝑛 e 𝐴 ∙ 𝐴 = 0 ⟺ 𝐴 = 𝑂 A norma (ou módulo) de um vetor pode ser caracterizada pelo produto escalar: 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴, como é provado a seguir: 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝑎1 𝑎1 + 𝑎2 𝑎2 + … + 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝑎1 2 + 𝑎2 2 + … + 𝑎 𝑛 2 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐴 5.3. Produto vetorial (ou produto externo) Consideremos dois vetores em 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) e 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3). Queremos encontrar um vetor 𝐶, em ℝ3 , de preferência não nulo, de tal forma que C seja simultaneamente perpendicular a A e a B. Devemos ter 𝐶. 𝐴 = 0 e 𝐶. 𝐵 = 0. Se 𝐶 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), então: 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑦 + 𝑎3 𝑧 = 0 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑏3 𝑧 = 0 Tentaremos resolver este sistema. Para isso, começaremos multiplicando a primeira equação por 𝑏2, a segunda por −𝑎2 e, em seguida, somaremos as duas equações. A seguinte equação é obtida: 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 . 𝑥 = 𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 . 𝑧 Depois, multiplicando a primeira equação do sistema acima por −𝑏1, a segunda por 𝑎1 e, em seguida, somando as duas equações, chegamos a:
  18. 18. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 18 de 40 Enfim, temos as seguintes equações: Agora fica fácil visualizar os valores das variáveis. Se x assumir o valor do coeficiente de z na primeira equação, y assumi o valor do coeficiente de z na segunda equação, basta que z assuma o valor dos coeficientes de x e de y (que são iguais) para as equações serem verdadeiras. O conjunto-solução é: Há mais soluções do sistema. Contudo, esta é especialmente chamada de produto vetorial de A por B e será denotado por 𝐴 × 𝐵. Note que 𝐴 × 𝐵 é o determinante formal: em que Observe ainda que: , visto que cada gerador (pois temos os três vetores que formam a base de ) está num eixo diferente, x, y ou z. Nós o chamamos de determinante formal uma vez que não é um determinante formado só por números. A primeira linha é constituída de vetores.
  19. 19. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 19 de 40 Como vimos, o produto vetorial de dois vetores já surgiu com uma propriedade importante: é um vetor simultaneamente perpendicular aos dois vetores. Vejamos a seguir mais propriedades do produto vetorial: i. 𝐴 × 𝐵 = −(𝐵 × 𝐴) ∈ ℝ3 ii. 𝐴 × (𝜆𝐵) = 𝜆(𝐴 × 𝐵) = (𝜆𝐴) × 𝐵, para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ3 e qualquer 𝜆 ∈ ℝ iii. 𝐴 × 𝜆𝐴 = 0, para qualquer 𝐴 ∈ ℝ3 e qualquer 𝜆 ∈ ℝ iv. 𝐴 × 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 + (𝐴 × 𝐶) e (𝐵 + 𝐶) × 𝐴 = (𝐵 × 𝐴) + (𝐶 × 𝐴), para quaisquer 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ3 v. (𝐴 × 𝐵) × 𝐶 = (𝐴. 𝐶)𝐵 − (𝐵. 𝐶)𝐴, para quaisquer 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ3 vi. (𝐴 × 𝐵). (𝐴 × 𝐵) = (𝐴. 𝐴)(𝐵. 𝐵) − (𝐴. 𝐵)2 vii. Se A e B são dois vetores não nulos de ℝ3 e θ é a medida do ângulo formado por A e B, então: 𝐴 × 𝐵 = 𝐴 . 𝐵 . 𝑠𝑒𝑛θ viii. (Produto misto) 𝐴. 𝐵 × 𝐶 = 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑐1 𝑐2 𝑐3 , em que 𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3), e 𝐶 = (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3) 5.4. Questões 1) Ache dois vetores mutuamente ortogonais e ortogonais ao vetor (5, 2, -1). 2) Calcule 𝑢. 𝑣, onde: a) 𝑢 = (2, −3, 6) e 𝑣 = (8,2, −3) b) 𝑢 = (1, −8,0,5) e 𝑣 = (3,6,4) c) 𝑢 = (3, −5,2,1) e 𝑣 = (4,1, −2,5) 3) Sejam 𝑢 = (1, −2,5), 𝑣 = (3, 1, −2). Encontre: a) 𝑢 + 𝑣 b) −6𝑢 c) 2𝑢– 5𝑣 d) 𝑢. 𝑣 4) Ache dois vetores mutuamente ortogonais de comprimento unitário, e ambos ortogonais ao vetor (2,- 1,3). 5) Determine o número real positivo c de maneira que os pontos (−1,1, 𝑐) e (−1,1, −𝑐) e a origem sejam vértices de um triângulo retângulo em (0,0,0). 6) Sabendo que o ângulo entre os vetores (2, 1,-1) e (1,-1,m+2) é 60°, determine 𝑚. 7) Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são (-1,-2,4), (-4,-2,0) e (3,-2,1). 6. Espaços vetoriais Um espaço vetorial é um conjunto de vetores. As oito propriedades citadas acima devem ser satisfeitas, além de duas operações: soma e multiplicação por escalar. Considerando dois vetores quaisquer de um
  20. 20. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 20 de 40 espaço vetorial V, a soma deles deve ser um terceiro vetor que ainda faz parte de V. Se multiplicarmos um vetor de V por um escalar, o resultante também deve ser elemento de V. Em resumo, um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações:  Soma: 𝑉 𝑥 𝑉 → 𝑉  Se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉, então 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉;  Produto por escalar: ℝ 𝑥 𝑉 → 𝑉  Se 𝛼 é escalar e 𝑥 ∈ 𝑉, então 𝛼𝑥 ∈ 𝑉. Se uma dessas duas operações não for válida para um conjunto W, então é porque o conjunto não é um espaço vetorial. Dizemos que um espaço vetorial é fechado em relação às duas operações (soma e multiplicação por escalar). Para saber se um conjunto é um espaço vetorial, verifica-se se as duas operações são válidas e depois se as oito propriedades dos vetores também são válidas. Observação: O conjunto de todas as matrizes de ordem 2 é um espaço vetorial. Deste modo, os vetores desse espaço são matrizes 2x2.Tal conjunto é designado assim: 𝑉 = 𝑀 2,2 . Exemplo: Seja o conjunto W = { 𝑎, 1 /𝑎 ∈ ℝ}. Com as duas operações de soma e multiplicação por escalar definidas, verifique se W é um espaço vetorial. Solução: Considere os elementos 3,1 e (5,1) ∈ 𝑊. Assim, i) Soma: 3,1 + 5,1 = (8,2) ∉ 𝑊 ii) Produto: 𝛼 3,1 = 3𝛼, 𝛼 ∉ 𝑊 𝑠𝑒 𝛼 ≠ 1, assim não é válido para todo 𝛼 Logo, W não é um conjunto fechado em relação a essas duas operações e, portanto, não é um espaço vetorial. Exemplo: Verifique se o conjunto ℝ3 é um espaço vetorial. Solução: Sejam 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 , 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 e 𝑤 = (𝑥3, 𝑦3, 𝑧3) vetores de ℝ3 e 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ. i) Soma: 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2) ∈ ℝ3 Multiplicação por escalar: 𝛼𝑢 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1, 𝛼𝑧1) ∈ ℝ3 ii) 1. 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2, 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑥1, 𝑦2 + 𝑦1, 𝑧2 + 𝑧1 = 𝑣 + 𝑢 2. 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑥3, 𝑦3, 𝑧3 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3, 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3, 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 𝑥1 + (𝑥2 + 𝑥3 , 𝑦1 + (𝑦2 + 𝑦3), 𝑧1 + (𝑧2 + 𝑧3)] = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) 3. ∃0 = 0,0,0 ∈ ℝ3 / 𝑢 + 0 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 0,0,0 = 𝑥1 + 0, 𝑦1 + 0, 𝑧1 + 0 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 4. ∃ −𝑢 = −𝑥1, −𝑦1, −𝑧1 ∈ ℝ3 / 𝑢 + −𝑢 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + −𝑥1, −𝑦1, −𝑧1 = 𝑥1 − 𝑥1, 𝑦1 − 𝑦1, 𝑧1 − 𝑧1 = 0,0,0 = 0 5. 𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2 = 𝛼 𝑥1 + 𝑥2 , 𝛼 𝑦1 + 𝑦2 , 𝛼 𝑧1 + 𝑧2 = (𝛼𝑥1 + 𝛼𝑥2, 𝛼𝑦1 + 𝛼𝑦2, 𝛼𝑧1 + 𝛼𝑧2) = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1, 𝛼𝑧1) + (𝛼𝑥2, 𝛼𝑦2, 𝛼𝑧2) = 𝛼 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝛼 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 6. 𝛼 + 𝛽 𝑢 = 𝛼 + 𝛽 𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1, 𝛼𝑧1 = [ 𝛼 + 𝛽 𝑥1, 𝛼 + 𝛽 𝑦1, 𝛼 + 𝛽 𝑧1] = [𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥1, 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦1, 𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧1] = 𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1, 𝛼𝑧1 + (𝛽𝑥1, 𝛽𝑦1, 𝛽𝑧1) = 𝛼 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 + 𝛽 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢 7. 𝛼𝛽 𝑢 = 𝛼𝛽 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 = 𝛼𝛽𝑥1, 𝛼𝛽𝑦1, 𝛼𝛽𝑧1 = [𝛼 𝛽𝑥1 , 𝛼 𝛽𝑦1 , 𝛼 𝛽𝑧1 ] = 𝛼[(𝛽𝑥1), (𝛽𝑦1), (𝛽𝑧1)] = 𝛼[𝛽 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 ]
  21. 21. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 21 de 40 = 𝛼(𝛽𝑢) 8. 1𝑢 = 1 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 = 1𝑥1, 1𝑦1, 1𝑧1 = 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 = 𝑢 Exemplo: Considere em V = ℝ2 o produto por escalar usual, mas com a adição, a operação definida por: 𝑥1, 𝑦1 + 𝑥2, 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 2𝑦2). Determine se V, com essas operações, é um espaço vetorial. Solução: i) 1. Soma: 𝑥1, 𝑦1 + 𝑥2, 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 2𝑦2) ∈ 𝑉 2. Produto por escalar: 𝛼 𝑥1, 𝑦1 = (𝛼𝑥1, 𝛼𝑦1) ∈ 𝑉 Logo, V é um espaço fechado em relação a essas duas operações. Portanto, temos que verificar as oito propriedades. ii) 1. Associativa na adição: 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1, 𝑦1 + 𝑥2, 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 2𝑦2) 𝑣 + 𝑢 = 𝑥2, 𝑦2 + 𝑥1, 𝑦1 = (𝑥2 + 𝑥1, 𝑦2 + 2𝑦1) Como 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 já não é satisfeita, não precisamos mais testar as outras propriedades. V não é espaço vetorial. Exemplo: O conjunto que contém um único objeto, com as operações definidas por: 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 + 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 = 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜  𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 = 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜, com 𝛼 ∈ ℝ Solução: i) Da própria definição no enunciado, o conjunto é fechado em relação às operações de soma e multiplicação por escalar e, portanto, não precisamos verificá-las; ii) Substituindo 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 por 𝑥: 1. 𝑢 + 𝑣 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 𝑣 + 𝑢 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 2. 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 3. Seja 𝑛 o vetor nulo. Logo, 𝑢 + 𝑛 = 𝑢 ⇒ 𝑥 + 𝑛 = 𝑥 ⇒ 𝑛 = 𝑥. Assim, existe vetor nulo, que equivale ao próprio 𝑥. 4. Seja 𝑝 o vetor oposto. Logo, 𝑢 + 𝑝 = 𝑛 ⇒ 𝑥 + 𝑝 = 𝑥 ⇒ 𝑝 = 𝑥. Assim, existe vetor oposto, que também equivale ao próprio 𝑥. O vetor oposto de 𝑢 é 𝑢. 5. 𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼 𝑥 + 𝑥 = 𝛼𝑥 = 𝑥 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⇒  𝑢 + 𝑣 =  𝑢 +  𝑣 6.  + 𝛽 𝑢 =  + 𝛽 𝑥 = 𝑥  𝑢 + 𝛽𝑢 =  𝑥 + 𝛽𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 ⇒ ( + 𝛽)𝑥 = 𝑎𝑢 + 𝛽𝑣 7.  𝛽𝑢 =  𝛽𝑥 =  𝑥 = 𝑥 𝛼𝛽 𝑢 = 𝛼𝛽 𝑥 = 𝑥  ⇒  𝛽𝑢 = β 𝑢 8. 1𝑢 = 1𝑥 = 𝑥 = 𝑢 6.1. Questões 1) Verifique que 𝑀 2,2 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 ∈ ℝ é um espaço vetorial com as operações. 2) Seja 𝐹 o conjunto de todas as funções reais, de variável real, ou seja 𝐹 = {𝑓: ℝ → ℝ}. O vetor soma 𝑓 + 𝑔, para quaisquer funções 𝑓 e 𝑔 em 𝐹 é definido por: 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 e para qualquer escalar 𝑟 ∈ ℝ e qualquer 𝑓 ∈ 𝐹 o produto 𝑟𝑓 é tal que:
  22. 22. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 22 de 40 𝑟𝑓 𝑥 = 𝑟. 𝑓 𝑥 Mostre que 𝐹, com essas operações, é um espaço vetorial. 7. Subespaços vetoriais Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços vetoriais, só que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não-vazio, será um subespaço vetorial de V se forem válidas as mesmas duas operações de antes:  Soma: 𝑉 𝑥 𝑉 → 𝑉  Se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉, então 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉;  Produto por escalar: ℝ 𝑥 𝑉 → 𝑉  Se 𝛼 é escalar e 𝑥 ∈ 𝑉, então 𝛼𝑥 ∈ 𝑉. Se ambas as operações forem válidas em W, não é necessário verificar as oito propriedades dos vetores para dizer que W é espaço vetorial, pois elas já são válidas em V, que contém W. Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (que são chamados triviais): 1. O conjunto formado somente pelo vetor nulo (a origem). 2. O próprio espaço vetorial: V é subconjunto de si mesmo. Todo subespaço vetorial tem como elemento o vetor nulo, pois ele é necessário à condição de multiplicação por escalar: quando 𝛼 = 0 ⇒ 𝛼𝑢 = 0. Para conferirmos se um subconjunto W é subespaço, basta verificar que 𝑣 + 𝛼𝑢 ∈ 𝑊, para quaisquer 𝑣 𝑒 𝑢 ∈ 𝑉 e qualquer 𝛼 ∈ ℝ, em vez de checar as duas operações separadamente. Exemplo: Em ℝ3 , os únicos subespaços são a origem, as retas e os planos que passam pela origem e o próprio ℝ3 . Exemplo: Seja 𝑉 = 𝑀(3,3), ou seja, o conjunto das matrizes de ordem 3, e W o subconjunto das matrizes triangulares superiores. W é subespaço de V? Solução: Está implícito que V é um espaço vetorial. Assim, verificamos as duas operações para W: i) 𝑎 𝑏 𝑐 0 𝑑 𝑒 0 0 𝑓 + 𝑔 𝑕 𝑖 0 𝑗 𝑘 0 0 𝑙 = 𝑎 + 𝑔 𝑏 + 𝑕 𝑐 + 𝑖 0 𝑑 + 𝑗 𝑒 + 𝑘 0 0 𝑓 + 𝑙 ∈ 𝑊 ii) 𝛼 𝑎 𝑏 𝑐 0 𝑑 𝑒 0 0 𝑓 = 𝛼𝑎 𝛼𝑏 𝛼𝑐 0 𝛼𝑑 𝛼𝑒 0 0 𝛼𝑓 ∈ 𝑊 Logo, W é subespaço de V. Observação: as matrizes triangulares inferiores formam um conjunto que também é subespaço, o que também é o caso das matrizes diagonais e das simétricas. Exemplo: Verifique se o conjunto-solução do sistema linear homogêneo abaixo é um subespaço de 𝑉 = 𝑀(3,1). 2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 0 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0 Solução: Temos o seguinte sistema: 2 4 1 1 1 2 1 3 −1 𝑥 𝑦 𝑧 = 0 0 0
  23. 23. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 23 de 40 Desta forma, estamos procurando, dentro do espaço vetorial 𝑀(3,1), os vetores que satisfazem o sistema, isto é, o conjunto dos vetores-solução. Depois precisamos saber se esse conjunto é subespaço de 𝑀(3,1). Assim, considere os vetores-solução: 𝑥1 𝑦1 𝑧1 e 𝑥2 𝑦2 𝑧2 i) 2 4 1 1 1 2 1 3 −1 𝑥1 𝑦1 𝑧1 + 𝑥2 𝑦2 𝑧2 = 2 4 1 1 1 2 1 3 −1 𝑥1 𝑦1 𝑧1 + 2 4 1 1 1 2 1 3 −1 𝑥2 𝑦2 𝑧2 = 0 0 0 + 0 0 0 = 0 0 0 ii) 2 4 1 1 1 2 1 3 −1 𝛼 𝑥1 𝑦1 𝑧1 = 𝛼 2 4 1 1 1 2 1 3 −1 𝑥1 𝑦1 𝑧1 = 𝛼 0 0 0 = 0 0 0 O resultado de (i) e (ii) ainda pertence ao conjunto dos vetores-solução e, portanto, ele é subespaço de 𝑀(3,1). Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ2 e 𝑊 = { 𝑥, 𝑥2 / 𝑥 ∈ ℝ}. Verifique se W é subespaço de V. Solução: Se escolhermos 𝑢 = 1,1 e 𝑣 = (2,4), temos 𝑢 + 𝑣 = (3,5) ∉ 𝑊. Logo, W não é subespaço. Exemplo: Seja 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛) e W o subconjunto de todas as matrizes em que 𝑎11 < 0. Verifique se W é subespaço de V. Solução: i) A condição de soma é satisfeita, pois ainda gera uma matriz em que 𝑎11 < 0. ii) Se fizermos 𝛼𝑀, com 𝛼 < 0, temos que 𝑎11 da nova matriz será maior que zero. Assim, W não é subespaço. Exemplo: Verifique se o conjunto solução do sistema linear não-homogêneo abaixo é um subespaço. 2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 1 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0 Solução: Temos o seguinte sistema: 2 4 1 1 1 2 1 3 −1 𝑥 𝑦 𝑧 = 1 1 0 e os seguintes vetores-solução: 𝑥1 𝑦1 𝑧1 e 𝑥2 𝑦2 𝑧2 . Assim, i) 2 4 1 1 1 2 1 3 −1 . 𝑥1 𝑦1 𝑧1 + 𝑥2 𝑦2 𝑧2 = 2 4 1 1 1 2 1 3 −1 . 𝑥1 𝑦1 𝑧1 + 2 4 1 1 1 2 1 3 −1 . 𝑥2 𝑦2 𝑧2 = 1 1 0 + 1 1 0 = 2 2 0 O vetor dos termos independentes resultante 2 2 0 é diferente do vetor do sistema linear 1 1 0 . Logo, o conjunto dos vetores-solução não é um subespaço de M(3,1). Exemplo: Seja 𝑆 = 𝑥1, 𝑥2 / 𝑥2 = 2𝑥1 . Sendo S subconjunto de ℝ2 , verifique se S é subespaço de ℝ2 . Solução: i) 𝑐1, 2𝑐1 + 𝑐2, 2𝑐2 = 𝑐1 + 𝑐2, 2𝑐1 + 2𝑐2 = 𝑐1 + 𝑐2, 2(𝑐1 + 𝑐2) ∈ 𝑆 ii)  𝑐1, 2𝑐1 =  𝑐1, 2 𝑐1 ∈ 𝑆 Exemplo: Verifique se 𝑊 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 / 𝑦 = −2𝑥 + 1 é subespaço de ℝ2 . Solução: i) 𝑊 = 𝑥, −2𝑥 + 1 / 𝑥 𝜖 ℝ . Como (0,0) ∉ 𝑊, pode-se concluir que o subconjunto 𝑊não é um subespaço vetorial de ℝ2 . Exemplo: Verifique se 𝑊 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 / 𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = 6 é subespaço de ℝ3 . Solução:
  24. 24. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 24 de 40 i) 𝑊 = 6 + 2𝑦 + 4𝑧, 𝑦, 𝑧 ; 𝑦, 𝑧 𝜖 ℝ . Tomando 𝑦 = 0 e 𝑧 = 0 temos (6,0,0). Como (0,0,0) ∉ 𝑊, então 𝑊não é um subespaço vetorial de ℝ3 . 7.1. Questões 1) Mostre que os seguintes subconjuntos de ℝ4 são subespaços a) W = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4 / x + y = 0 e z – t = 0} b) U = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4 / 2x + y – t = 0 e z = 0} 2) Considere o subespaço S = [(1, 1, -2, 4), (1, 1, -1, 2), (1, 4, -4, 8)] de ℝ4 . a) O vetor ( 2 3 , 1, -1, 2) pertence a S? b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S? 3) Nos problemas que seguem, determine se W é ou não um subespaço do espaço vetorial: a) 𝑉 = ℝ3 , 𝑊1 = 𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥0𝑦, 𝑊2 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ; 𝑥 = 𝑦 = 𝑧} e 𝑊3 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ; 𝑥 = 𝑦} b) 𝑉 = ℝ2 ; 𝑊 = {(𝑥, 𝑦); 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1}; 4) Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de ℝ3 ? a) (x,y,z), tais que z = x3 b) (x,y,z), tais que z = x + y; c) (x,y,z), tais que z >= 0; d) (x,y,z), tais que z = 0 e xy >= 0; e) (x,y,z), tais que x = z = 0; f) (x,y,z), tais que x = -z; g) (x,y,z), tais que y = 2x + 1; h) (x,y,z), tais que z2 = x2 + y2 . 5) Determine se W é subespaço de ℝ3 ou não, onde W consiste nos vetores (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ ℝ3 para os quais: a) a = 2b b)a ≤ b ≤ c c)ab = 0 d)a = b = c
  25. 25. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 25 de 40 6) Seja W o conjunto de todos os vetores em ℝ4 de forma (x, x+y, y, 2x + 3y), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. W é um subespaço de ℝ4 ? 7) Seja W o conjunto de todos os vetores do ℝ3 da forma (x, y, x2 + y2 ), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. W é um subespaço de ℝ3 ? 8) Seja W o conjunto de todos os vetores ℝ4 da forma (x, y, x+1, 2x + y – 3), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. W é um subespaço de ℝ4 ? 9) Dados os conjuntos W em cada espaço vetorial V indicado proceda assim: i) Reescreva W apresentando seu vetor genérico; ii) Verifique se W é subespaço vetorial de V. a) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4 ; 𝑥 = 𝑦 e 𝑧 = 2𝑡} sendo 𝑉 = ℝ4 ; b) W é o conjunto de todas as matrizes identidade de ordem 𝑛 × 𝑛, sendo 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛); c) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ; 𝑦 ≤ 0} sendo 𝑉 = ℝ2 ; d 𝑊 = {(𝑎, 2𝑎, 3𝑎); 𝑎 ∈ ℝ} sendo 𝑉 = ℝ3 . 10) Considere o subespaço de ℝ3 gerado pelos vetores v1=(1,1,0), v2=(1,-1,1) e v3=(1,1,1). O espaço gerado por esses vetores é igual ao ℝ3 ? Por quê? 8. Interseção, união e soma de subespaços 8.1. Interseção Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção 𝑊1 ∩ 𝑊2 sempre será subespaço de V. Prova: Inicialmente observamos que 𝑊1 ∩ 𝑊2 nunca é vazio, pois ambos contêm o vetor nulo de V. Assim, basta verificar as condições de soma e produto por escalar apresentadas anteriormente para os subespaços. Suponha então 𝑤 𝑒 𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2  W1 é subespaço ↔ 𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1 𝛼𝑣 ∈ 𝑊1  W2 é subespaço ↔ 𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊2 𝛼𝑣 ∈ 𝑊2 , deste modo → 𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2 𝛼𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2 Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ3 , 𝑊1 ∩ 𝑊2 é a reta de interseção dos planos 𝑊1 e 𝑊2.
  26. 26. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 26 de 40 Exemplo: Seja 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛) e 𝑊1 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑊2 = {𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠} , então 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 . 8.2. Soma Podemos construir um conjunto que contenha 𝑊1 e 𝑊2 e ainda é subespaço de V. Este conjunto será formado por todos os vetores de V que forem a soma de vetores de W1 com vetores de W2. 𝑊1 + 𝑊2 = 𝑢 ∈ 𝑉 / 𝑢 = 𝑣 + 𝑤 𝑐𝑜𝑚 𝑣 ∈ 𝑊1 𝑒 𝑤 ∈ 𝑊2 Prova: Dados: 𝑢 = 𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1 + 𝑊2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣 ∈ 𝑊1 𝑒 𝑤 ∈ 𝑊2 𝑢′ = 𝑤′ + 𝑣′ ∈ 𝑊1 + 𝑊2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣′ ∈ 𝑊1 𝑒 𝑤′ ∈ 𝑊2 Temos que: 𝑢 + 𝑢′ = 𝑤 + 𝑣 + 𝑤′ + 𝑣′ = 𝑣 + 𝑣′ + 𝑤 + 𝑤′ ∈ 𝑊1 + 𝑊2 𝛼𝑢 = 𝛼 𝑤 + 𝑣 = 𝛼𝑤 + 𝛼𝑣 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛼𝑤 ∈ 𝑊1 𝑒 𝛼𝑣 ∈ 𝑊2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝛼𝑢 ∈ 𝑊1 + 𝑊2 Caso os dois subespaços sejam retas não-colineares, a soma deles equivale ao plano formado por elas. Se as parcelas 𝑊1 e 𝑊2 têm interseção 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 0 , a soma 𝑊1 + 𝑊2 é dita soma direta e é denotada por 𝑊1⨁𝑊2.
  27. 27. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 27 de 40 Exemplo: Seja 𝑊1 = 𝑎 𝑏 0 0 e 𝑊2 = 0 0 𝑐 𝑑 , onde a, b, c, d ∈ ℝ, então 𝑊1 + 𝑊2 = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 𝑀(2,2). Esta é uma soma direta, pois 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 0 0 0 0 = 0. 8.3. União A união de dois subespaços 𝑊1 e 𝑊2, diferente da soma, é um conjunto que contém exatamente todos os elementos de 𝑊1 e de 𝑊2. Deste modo, nem sempre a união de subespaços é um subespaço. Exemplo: 𝑊1 = (𝑥, 0) / 𝑥 ∈ ℝ = 𝑥(1,0) / 𝑥 ∈ ℝ 𝑊2 = (0, 𝑦) / 𝑦 ∈ ℝ = 𝑦(0,1) / 𝑦 ∈ ℝ W1 e W2 são retas que passam pela origem. Assim, 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 0 e 𝑊1 ∪ 𝑊2 é o feixe formado pelas duas retas, que não é subespaço vetorial de ℝ3 . De fato, se somarmos os dois vetores 𝑣 𝑒 𝑤, vemos que 𝑣 + 𝑤 está no plano que contém 𝑊1 e 𝑊2, mas 𝑣 + 𝑤 ∉ 𝑊1 ∪ 𝑊2. 8.4. Questões 1) Sejam 𝑊1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4 |𝑥 + 𝑦 = 0 e 𝑧 − 𝑡 = 0} e 𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4 |𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0} subespaços de ℝ4 . a) Determine 𝑊1 ∩ 𝑊2 b) Exiba uma base para 𝑊1 ∩ 𝑊2 c) Determine 𝑊1 + 𝑊2 d) 𝑊1 + 𝑊2 é soma direta? Justifique. e) 𝑊1 + 𝑊2 = ℝ4 ? 9. Combinação linear Considere um conjunto de vetores qualquer, pertencente a um espaço vetorial V. Já foi mostrado que somar estes vetores entre si em qualquer combinação resultará em um vetor pertencente a V. Também
  28. 28. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 28 de 40 foi mostrado que multiplicar cada vetor por um escalar também gera um resultado pertencente a V, caso contrário V não seria um espaço vetorial. De fato, sejam 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉 e sejam os escalares 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛 ∈ ℝ. Então qualquer vetor 𝑣 da forma 𝑣 = 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 + … + 𝑎 𝑛 𝑣𝑛 é um elemento do mesmo espaço vetorial V. Por ter sido gerado pelos vetores primitivos 𝑣1, … , 𝑣 𝑛, o vetor 𝑣 é denominado o resultado de uma combinação linear de 𝑣1, … , 𝑣 𝑛. O conjunto de escalares {𝑎1, … , 𝑎 𝑛 } é arbitrário, mas sendo um conjunto de números reais, o vetor 𝑣 sempre pertencerá a V. O vetor 𝑣 não é único, pois para cada combinação de escalares pode gerar um vetor 𝑣 diferente. Exemplo: O vetor 𝑣 = (−4, −18,7) é combinação linear dos vetores 𝑣1 = 1, −3,2 e 𝑣2 = (2,4, −1), já que 𝑣 pode ser escrito como 𝑣 = 2𝑣1 − 3𝑣2. 9.1. Questões 1) Quais dos seguintes vetores são combinação linear de 𝑥1, 𝑥2 e 𝑥3? 𝑥1 = 4,2, −3 , 𝑥2 = (2,1, −2) e 𝑥3 = (−2, −1,0) a) (1,1,1) b) 4,2, −6 c) −2, −1,1 d) (−1,2,3) 2) Escreva 𝐸 como combinação linear de 𝐴 = 1 1 0 −1 , 𝐵 = 1 1 −1 0 , 𝐶 = 1 −1 0 0 , onde: a) 𝐸 = 3 −1 1 −2 b) 𝐸 = 2 1 −1 −2 3) Considere os vetores 𝑢 = (1, −3,2) e 𝑣 = (2, −1,1) em ℝ3 . a) Escreva (1,7, −4) como combinação linear de 𝑢 e 𝑣. b) Escreva (2, −5,4) como combinação linear de 𝑢 e 𝑣. c) Para que valor de 𝑘 o vetor (1, 𝑘, 5) é uma combinação linear de 𝑢 e 𝑣? d) Procure uma condição para 𝑎, 𝑏 e 𝑐 de modo que (𝑎, 𝑏, 𝑐) seja combinação linear de 𝑢 e 𝑣. 4) Determinar o valor de 𝑘 para que o vetor 𝑢 = (−1, 𝑘, −7) seja combinação linear de 𝑣1 = (1,3,2) e 𝑣2 = (2,4,1).
  29. 29. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 29 de 40 10.Subespaços gerados Um conjunto de vetores {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 } pode construir vetores 𝑣 por meio de combinação linear. Fazendo todas as combinações possíveis (isto é, fazendo cada escalar ter todos os valores reais possíveis), o conjunto constrói uma infinidade de vetores que compõem um conjunto expandido. Esse conjunto é um subespaço vetorial. O conjunto 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 é chamado de conjunto de vetores de base, pois, em termos formais, ele gerou o subespaço W, definido abaixo. Definição: Um subespaço gerado por um conjunto de vetores 𝐵 = 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 é o conjunto de todos os vetores V que são combinações lineares dos vetores 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉. 𝑊 = 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 = {𝑣 ∈ 𝑉 / 𝑣 = 𝑎1 𝑣1+. . . +𝑎𝑖 𝑣𝑖+. . . + 𝑎 𝑛 𝑣𝑛 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} Obs.: A notação de colchetes informa que o conjunto W é o conjunto gerado por 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 . Não confundir com o próprio conjunto gerador 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 . Ou seja, 𝑣1, 𝑣2 é um conjunto com infinitos vetores formados da combinação destes dois e {𝑣1, 𝑣2} é um conjunto com apenas dois vetores. Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ3 e 𝑣 ∈ 𝑉 (sendo 𝑣 ≠ 0), então 𝑣 = {𝑎𝑣, 𝑎 ∈ ℝ} é a reta que contém o vetor 𝑣, pois é o conjunto de todos os vetores com a mesma direção de 𝑣 que tem origem em (0,0). Exemplo: Se 𝑣1, 𝑣2 ∈ ℝ3 são tais que 𝛼𝑣1 ≠ 𝑣2 qualquer que seja 𝛼 ∈ ℝ, então 𝑣1, 𝑣2 será o plano que passa pela origem e contém 𝑣1 e 𝑣2: A condição 𝛼𝑣1 ≠ 𝑣2 é importante para garantir que os dois vetores gerem um plano. Caso ela não seja satisfeita, os vetores 𝑣1 e 𝑣2 seriam colineares, e não existira nenhuma combinação deles que pudesse gerar um vetor que não pertencesse à reta que eles geram.
  30. 30. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 30 de 40 Nota-se que um conjunto gerador de dois elementos que um é combinação linear do outro equivale a um conjunto gerador com apenas um desses dois elementos. Assim, se 𝑣3 ∈ 𝑣1, 𝑣2 , então 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 = 𝑣1, 𝑣2 , pois todo vetor que pode ser escrito como combinação linear de 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 é uma combinação linear apenas de 𝑣1 e 𝑣2, já que 𝑣3 é combinação linear de 𝑣1 e 𝑣2. Exemplificando: Seja 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} tal que 𝑣3 = 𝑝𝑣1 + 𝑞𝑣2. Um elemento qualquer do conjunto gerado por B é da forma: 𝑣 = 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 + 𝑎3 𝑣3 = 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 + 𝑎3(𝑝𝑣1 + 𝑞𝑣2) = 𝑎1 + 𝑝𝑎3 𝑣1 + 𝑎2 + 𝑞𝑎3 𝑣2 = 𝑏1 𝑣1 + 𝑏2 𝑣2 Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ2 , 𝑣1 = (1,0) e 𝑣2 = (0,1). Assim, 𝑉 = 𝑣1, 𝑣2 , pois dado 𝑣 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑉, temos 𝑥, 𝑦 = 𝑥 1,0 + 𝑦(0,1), ou seja, 𝑣 = 𝑥𝑣1 + 𝑦𝑣2. Exemplo: Seja 𝑣1 = 1 0 0 0 e 𝑣2 = 0 1 0 0 , então 𝑣1, 𝑣2 = 𝑎 𝑏 0 0 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑒 𝑏 ∈ ℝ Observa-se que se em um conjunto gerador existir algum vetor que é combinação linear de outros elementos do próprio conjunto gerador, esse elemento é inútil. Eliminá-lo do conjunto gerador não modifica o conjunto gerado. Tal propriedade pode ser verificada lembrando que a combinação linear é uma soma de vetores, e que a parcela da soma do vetor que é gerado por outros pode ser substituída pelos próprios vetores que o geram. Assim, qualquer elemento do conjunto gerado por B pode ser escrito como combinação linear de apenas 𝑣1 e 𝑣2. Surge então a necessidade de verificar quando um vetor é combinação linear de outros. 10.1. Questões 1) Quais dos seguintes conjuntos de vetores é um conjunto gerador de ℝ4 ? a) {(1,0,0,1); (0,1,0,0); (1,1,1,1); (0,1,1,1)} b) {(1, −1,0,2); (3, −1,2,1); (1,0,0,1)} c) {(0,0,1,1); (−1,1,1,2);(1,1,0,0); (2,1,2,1)} 2) Resolva o seguinte sistema, usando a Regra de Cramer: 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1 2𝑥 + 𝑦 = 3 𝑦 − 5𝑧 = 4
  31. 31. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 31 de 40 11. Dependência e Independência Linear Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (freqüentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros (lembrar o conceito de combinação linear apresentado anteriormente). Naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Sejam V um espaço vetorial e 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 ∈ 𝑉. Dizemos que o conjunto 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 ou que os vetores 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 são linearmente independentes (LI) se a equação 𝑎1 𝑣1+. . . + 𝑎 𝑛 𝑣𝑛 = 0 admitir apenas a solução trivial, isto é: 𝑎1 = . . . = 𝑎 𝑛 = 0 Se existir algum 𝑎𝑗 ≠ 0, dizemos que 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 ou que os vetores 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 são linearmente dependentes (LD). Em outras palavras, o conjunto 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 é LD se, e somente se um destes vetores for combinação linear dos outros. Prova: Sejam 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 LD e 𝑎1 𝑣1+. . . +𝑎𝑗 𝑣𝑗 +. . . + 𝑎 𝑛 𝑣 𝑛 = 0. Suponha que 𝑎𝑗 ≠ 0 (para ser LD). Então 𝑣𝑗 = −1 𝑎 𝑗 𝑎1 𝑣1+. . . +𝑎𝑗−1 𝑣𝑗−1 + 𝑎𝑗+1 𝑣𝑗+1+. . . + 𝑎 𝑛 𝑣 𝑛 . Portanto, 𝑣𝑗 é combinação linear. Por outro lado, se tivermos 𝑣1, … , 𝑣𝑗 , … , 𝑣 𝑛 tal que para algum 𝑗 𝑣𝑗 = 𝑏1 ∙ 𝑣1 + ⋯ + 𝑏𝑗−1 ∙ 𝑣𝑗−1 + 𝑏𝑗+1 ∙ 𝑣𝑗+1 + ⋯ + 𝑏 𝑛 ∙ 𝑣 𝑛 Então, 𝑏1 ∙ 𝑣1 + ⋯ − 𝑣𝑗 + ⋯ + 𝑏 𝑛 ∙ 𝑣 𝑛 = 0 Logo, 𝑏𝑗 = −1 e, portanto, V é LD. A Independência Linear tem uma interpretação geométrica útil: i) Seja 𝑉 = 𝑅2 e 𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑉. 𝑣1, 𝑣2 é LD se e somente se 𝑣1 e 𝑣2 estiverem na mesma reta quando colocados com seus pontos iniciais na origem 𝑣1 = 𝜆 ∙ 𝑣2 *são pararlelos:
  32. 32. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 32 de 40 ii) Seja 𝑉 = 𝑅3 e 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 e 𝑉. 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 é LD se estes 3 vetores estiverem no mesmo plano quando colocados com seus pontos iniciais na origem: Exemplo: Os vetores 1 (2,2,0)v   , 2 (0,5, 3)v    e 3 (0,0,4)v   são LI ou LD? Solução: Verificando a expressão 1 2 3(2,2,0) (0,5, 3) (0,0,4) (0,0,0)a a a    1 1 1 2 2 2 3 3 2 0 0 2 5 0 0 3 4 0 0 a a a a a a a a                    Logo, como o sistema admite somente a solução trivial, os vetores são LI. 11.1. Questões 1) Considere dois vetores (𝑎, 𝑏) e (𝑐, 𝑑) no plano. Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0, mostre que eles são LD. Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0, mostre que eles são LI. 2) Para quais valores de 𝑎 o conjunto de vetores {(3,1,0); (𝑎2 + 2,2,0)} é LD? 3) Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes. a) 𝑡2 − 2𝑡 + 3, 2𝑡2 + 𝑡 + 8 e 𝑡2 + 8𝑡 + 7
  33. 33. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 33 de 40 b) 𝑡2 − 1, 𝑡 + 1 e 𝑡 + 2 4) Ache as relações lineares não triviais satisfeitas pelos seguintes conjuntos de vetores. a) (2,1,1), 3, −4,6 e (4, −9,11) ∈ ℝ3 b) (2,1), (−1,3) e (4,2) ∈ ℝ2 c) (1,0,2,4), 0,1,9,2 e (−5,2,8, −16) ∈ ℝ4 R4 d) (1,4), 3, −1 e (2,5) ∈ ℝ2 5) Verifique se o conjunto a seguir é LD ou LI: {(1,2𝑥, −𝑥2 ), (2, −𝑥, 3𝑥2 ), (3, −4𝑥, 7𝑥2 )}. 12. Base de um espaço vetorial Considere um espaço vetorial V. Admita a existência de um subconjunto B desse espaço (não necessariamente um subespaço) tal que B gere V por combinação linear. Notar que para um espaço particular V, B não é único, vários conjuntos B distintos podem gerar V. De fato, o próprio V pode gerar ele mesmo. Porém, é mais simples trabalhar com conjuntos menores, e é de interesse resumir um grande conjunto V em um pequeno conjunto B. Foi verificado acima que dentro de B quaisquer elementos formados por combinações lineares dos outros são “inúteis”. Ou seja, se B for um conjunto LD, existe pelo menos um vetor “inútil”, que pode ser eliminado para tornar B menor e mais simples. O processo pode continuar até que B se torne LI. Se B é LI, e ainda consegue gerar V (Lembre-se que a eliminação de elementos LD de um conjunto gerador não modifica o conjunto gerado) é denominado base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto LI gerador deste espaço. É também a maneira mais simples de “resumir” o espaço. Condições: i) {𝑣1, … , 𝑣 𝑛} é LI ii) 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 = 𝑉 (O conjunto gera V) Atenção! Todo conjunto LI de um vetorial V é base de um subespaço gerado por ele. Exemplo: Prove que {(1,1),( 1,0)}B   é base de 2 R Solução: i) (1,1) ( 1,0) (0,0)a b     ( , ) (0,0) 0a b a a b B       é LI ii) (1,1) ( 1,0) ( , )a b x y    
  34. 34. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 34 de 40 2 ( , ) ( , ) gera a b x b y x a b a x y B R a y               Exemplo: Prove que {(0,1),(0,2)} Não é base de 2 R Solução: i) (0,1) (0,2) (0,0) (0, 2 ) (0,0) 2 a b a b a b             Mas como 𝑎 e 𝑏 não são necessariamente zero, o conjunto é LD. Exemplo: 1,0,0 , 0,1,0 não é base de ℝ3 . É LI, mas não gera todo ℝ3 , isto é, 1,0,0 , 0,1,0 ≠ ℝ3 𝑎 ∙ 1,0,0 + 𝑏 ∙ 0,1,0 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑎, 𝑏, 0 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ⟹ 𝑧 = 0 Como o ℝ3 não é composto apenas de pontos com a coordenada z nula, os dois vetores não podem ser base. Exemplo: 𝑉 = 𝑀 2,2 . 1 0 0 0 ; 0 1 0 0 ; 0 0 1 0 ; 0 0 0 1 é uma base de 𝑉. Observação: Existem espaços que não tem base finita, principalmente quando trabalhamos com espaços de funções. Então, precisaremos de um conjunto infinito de vetores para gerar o espaço. Isto não implica que estamos trabalhando com combinações lineares infinitas, mas sim, que cada vetor do espaço é uma combinação linear finita daquela “base infinita”. Ou seja, para cada vetor dado, podemos escolher uma quantidade finita de vetores da base para escrevê-lo. Por exemplo, o conjunto de todos polinômios de coeficientes reais formam um espaço vetorial. Uma base naturalmente definida é {1, 𝑥, 𝑥2 , 𝑥3 , . . . }, que é infinita, pois não há restrição para o grau do polinômio. Porém, para formar um polinômio particular é possível utilizar um número finito de elementos da base. Teorema: Sejam 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 vetores não nulos que geram um espaço vetorial 𝑉. Dentre estes vetores podemos extrair uma base de 𝑉. Prova: i) Se 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 são LI, eles cumprem as condições para uma base e não temos mais nada a fazer.
  35. 35. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 35 de 40 ii) Se 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 são LD, então existe uma combinação linear deles com algum coeficiente diferente de zero, dando o vetor nulo: 𝑥1 ∙ 𝑣1 + … + 𝑥 𝑛 ∙ 𝑣 𝑛 = 0 Por exemplo, seja 𝑥 𝑢 ≠ 0, então: 𝑣 𝑛 = − 𝑥1 𝑥 𝑛 ∙ 𝑣1 − 𝑥2 𝑥 𝑛 ∙ 𝑣2 − ⋯ − − 𝑥 𝑛−1 𝑥 𝑛 ∙ 𝑣 𝑛−1. Ou seja, 𝑣 𝑛 é uma combinação linear de 𝑣1, … , 𝑣 𝑛−1 e, portanto 𝑣1, … , 𝑣 𝑛−1 ainda geram 𝑉. Se 𝑣1, … , 𝑣 𝑛−1 ainda for LD, podemos prosseguir da mesma forma até chegar a um subconjunto 𝑣1, … , 𝑣𝑟 com 𝑟 ≤ 𝑛 que ainda geram 𝑉, ou seja, formaremos uma base. Isto é, de um espaço gerador qualquer é possível retirar elementos “inúteis” até que ele se torne uma base. Veremos agora uma propriedade curiosa dos espaços vetoriais: o número de elementos de qualquer base de um espaço vetorial particular é constante, independe da base escolhida. Este número é uma propriedade inerente à natureza do espaço. Teorema: Seja um espaço vetorial 𝑉 gerado por um conjunto de vetores 𝑣1, … , 𝑣 𝑛. Então, qualquer conjunto LI tem no máximo "𝑛" vetores. Prova: Como 𝑣1, … , 𝑣 𝑛 = 𝑉, então podemos extrair uma base para 𝑉. Seja {𝑣1, … , 𝑣𝑟} com 𝑟 ≤ 𝑛, esta base. Considere agora 𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤 𝑚 , 𝑚 vetores de 𝑉, com 𝑚 > 𝑛. Então, existem constantes tais que: (𝑖) 𝑤1 = 𝑎11 ∙ 𝑣1 + 𝑎12 ∙ 𝑣2+. . . +𝑎1𝑟 ∙ 𝑣𝑟 𝑤2 = 𝑎21 ∙ 𝑣1 + 𝑎22 ∙ 𝑣2+. . . +𝑎2𝑟 ∙ 𝑣𝑟 ⋮ 𝑤 𝑚 = 𝑎 𝑚1 ∙ 𝑣1 + 𝑎 𝑚2 ∙ 𝑣2+. . . +𝑎 𝑚𝑟 ∙ 𝑣𝑟 Consideremos agora uma função linear de 𝑤1, … , 𝑤𝑛 dando zero: (𝑖𝑖)0 = 𝑥1 ∙ 𝑤1 + 𝑥2 ∙ 𝑤2+. . . +𝑥 𝑚 ∙ 𝑤 𝑚 Substituindo (𝑖) em (𝑖𝑖), temos: 0 = 𝑥1 ∙ 𝑎11 ∙ 𝑣1 + 𝑎12 ∙ 𝑣2+. . . +𝑎1𝑟 ∙ 𝑣𝑟 +. . . +𝑥 𝑚 ∙ 𝑎 𝑚1 ∙ 𝑣1 + 𝑎 𝑚2 ∙ 𝑣2+. . . +𝑎 𝑚𝑟 ∙ 𝑣𝑟 0 = 𝑎11 ∙ 𝑥1 + 𝑎21 ∙ 𝑥2+. . . +𝑎 𝑚1 ∙ 𝑥 𝑚 ∙ 𝑣1 + ⋯ + 𝑎1𝑟 ∙ 𝑥1 + 𝑎2𝑟 ∙ 𝑥 𝑟 +. . . +𝑎 𝑚𝑟 ∙ 𝑥 𝑚 ∙ 𝑣𝑟 Como 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛 são LI, então os coeficientes dessa equação devem ser nulos:
  36. 36. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 36 de 40 𝑎11 ∙ 𝑥1+. . . 𝑎 𝑚1 ∙ 𝑥 𝑚 = 0 ⋮ 𝑎1𝑟 ∙ 𝑥1+. . . 𝑎 𝑚𝑟 ∙ 𝑥 𝑚 = 0 Temos então um sistema linear homogêneo com 𝑟 equações e 𝑚 incógnitas 𝑥1, … , 𝑥 𝑚 e, como 𝑟 ≤ 𝑛 < 𝑚, ele admite uma solução não trivial, ou seja, existe uma solução com algum 𝑥𝑖 não nulo. Portanto 𝑤1, … , 𝑤 𝑚 são LD. 12.1. Questões 1) Quais são as coordenadas de x = (1,0,0) em relação à base β = {(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)}? 13. Dimensão A dimensão de um espaço vetorial 𝑉 é definida como o número de vetores de uma base de 𝑉 e é denotada por 𝑑𝑖𝑚 𝑉. Se 𝑉 não possui base, 𝑑𝑖𝑚 𝑉 = 0. Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos e o número de bases para cada espaço vetorial é infinito. Exemplo: 𝑑𝑖𝑚ℝ2 = 2, pois toda base do ℝ2 tem dois vetores, como { 1,0 ; 0,1 } ou { 1,1 ; 0,1 }. Exemplo: 𝑑𝑖𝑚ℝ 𝑛 = 𝑛. Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑀 2,2 = 4. Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑀 𝑚, 𝑛 = 𝑚𝑥𝑛. Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑃𝑛 = 𝑛 + 1 (polinômios de grau n). Exemplo: dim 0 = 0, pois a origem é apenas um ponto. Observação: Quando um espaço vetorial V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço vetorial de dimensão finita. Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V. Prova: Seja 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 e 𝑣1, … , 𝑣𝑖 vetores LI, com 𝑖 ≤ 𝑛. i) Se 𝑣1, … , 𝑣𝑖 = 𝑉, então 𝑖 = 𝑛 e o conjunto forma uma base. ii) Se existe 𝑣𝑖+1 ∈ 𝑉 tal que 𝑣𝑖+1 ∉ 𝑣1, … , 𝑣𝑖 , isto é, 𝑣𝑖+1 não é uma combinação linear de 𝑣1, … , 𝑣𝑖, então {𝑣1, … , 𝑣𝑖, 𝑣𝑖+1} é LI. Se 𝑣1, … , 𝑣𝑖, 𝑣𝑖+1 = 𝑉, então {𝑣1, … , 𝑣𝑖, 𝑣𝑖+1} é a base procurada. Caso contrário, existe 𝑣𝑖+2 ∉ 𝑣1, … , 𝑣𝑖, 𝑣𝑖+1 e {𝑣1, … , 𝑣𝑖, 𝑣𝑖+1, 𝑣𝑖+2} é LI. Se 𝑣1, … , 𝑣𝑖, 𝑣𝑖+1, 𝑣𝑖+2 = 𝑉,
  37. 37. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 37 de 40 nossa prova está concluída. Se não, prosseguimos analogamente. Como não poderemos ter mais do que n vetores LI em V, então após um número finito de passos teremos obtido uma base de V. Teorema: Se 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V. Prova: Se não formasse uma base, poderíamos completar o conjunto até formá-la e dessa forma teríamos uma base com mais do que n vetores em V, o que é um absurdo. Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então 𝑑𝑖𝑚𝑈 ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑉 e 𝑑𝑖𝑚𝑊 ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑉. Além disso: dim 𝑈 + 𝑊 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 + 𝑑𝑖𝑚𝑊 − dim⁡(𝑈 ∩ 𝑊) Para permitir uma interpretação geométrica, consideramos o espaço tridimensional ℝ3 . A dimensão de qualquer subespaço S de ℝ3 só poderá ser 0,1,2 ou 3. Portanto, temos os seguintes casos: i) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 0, então 𝑆 = {0}. Ou seja, o subespaço é a origem (apenas um ponto); ii) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 1, então S é uma reta que passa pela origem; iii) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 2, então S é um plano que passa pela origem; iv) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 3, então S é o próprio ℝ3 . 13.1. Questões 1) Ilustre com um exemplo a proposição: “se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita então dim 𝑈 + 𝑊 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 + 𝑑𝑖𝑚𝑊 − dim⁡(𝑈 ∩ 𝑊)”. 2) Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes 2 × 2. Qual a dimensão desse espaço? 3) Resolva a questão anterior considerando o espaço das matrizes 3 × 3. E qual seria a dimensão de um espaço de matrizes 𝑛 × 𝑛? 4) Seja V o espaço das matrizes 2 × 2, e seja W o subespaços gerado por 1 −5 −4 2 , 1 1 −1 5 , 2 −4 −5 7 , 1 −7 −5 1 Encontre uma base e a dimensão de W. 5) Considere o subespaço de ℝ4 gerado pelos vetores 𝑣1 = (1, −1,0,0), 𝑣2 = (0,0,1,1), 𝑣3 = −2,2,1,1 e 𝑣4 = (1,0,0,0). a) O vetor (2, −3,2,2) pertence a [𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4]? Justifique. b) Exiba uma base para [𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4]. Qual a dimensão? c) 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4 = ℝ4 ? Por quê?
  38. 38. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 38 de 40 14. Mudança de base Sejam 𝛽 = {𝑢𝑖, … , 𝑢 𝑛 } e 𝛽′ = {𝑤𝑖, … , 𝑤𝑛 } duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V de dimensão 𝑛. Dado 𝑣 ∈ 𝑉, podemos escrevê-lo como: (i) 1 1 1 1 ... ... n n n n v x u x u v y w y w              Devemos relacionar 𝑣 𝛽 = 𝑥1 … 𝑥 𝑛 com 𝑣 𝛽′ = 𝑦1 … 𝑦𝑛 . Já que {𝑢1, … 𝑢 𝑛 } é base de V, podemos escrever os vetores 𝑤𝑖 como combinação linear dos vetores 𝑢𝑖: (ii) 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 ... ... ... ... n n n n n n n nn n w a u a u a u w a u a u a u w a u a u a u                             Substituindo (ii) na segunda equação de (i), temos: 1 1 ... n nv y w y w      = 1y ( 11 1 21 2 1... n na u a u a u      ) + ... + ny ( 1 1 2 2 ...n n nn na u a u a u      ) 11 1 1 1 1 1( ... ) ... ( ... )n n n nn n na y a y u a y a y u         Mas 1 1 ... n nv x u x u      , e, como as coordenadas em relação a uma base são únicas, temos: 1 11 1 1 1 1 ... ... ... n n n n nn n x a y a y x a y a y          ↔ 𝑥1 … 𝑥 𝑛 = 𝑎11 … 𝑎1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑛1 … 𝑎 𝑛𝑛 𝑦1 … 𝑦𝑛 A matriz dos coeficientes está atuando como uma matriz de mudança de base, pois transforma o vetor 𝑣 𝛽′ = 𝑦1 … 𝑦𝑛 em outro 𝑣 𝛽 = 𝑥1 … 𝑥 𝑛 , numa segunda base. Assim: 𝑎11 … 𝑎1𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎 𝑛1 … 𝑎 𝑛𝑛 = 𝐼 𝛽 𝛽′ Esta é a matriz de mudança de base da base 𝛽′para a base 𝛽. Uma vez obtida 𝐼 𝛽 𝛽′ , podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor 𝑣 em relação à base 𝛽 multiplicando a matriz pelas coordenadas de 𝑣 em relação à base 𝛽′ (ambas as bases supostamente conhecidas).
  39. 39. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 39 de 40 𝑣 𝛽 = 𝐼 𝛽 𝛽′ 𝑣 𝛽′ Observação: Note que a matriz 𝐼 𝛽 𝛽′ é obtida de (ii) transpondo a matriz dos coeficientes. Questão: Calcule 𝑣 𝛽 de 𝑣 = (5, −8) para 𝛽 = { 2, −1 ; 3,4 } e 𝛽′ = { 1,0 ; 0,1 }. Solução 1: i) Inicialmente, procurando 𝐼 𝛽 𝛽′ , então colocamos 𝛽′em função de 𝛽: w1 = 1, 0 = a11 2, −1 + a21 3, 4 = 2a11 + 3a21, −a11 + 4a21 w2 = 0, 1 = a12 2, −1 + a22 3, 4 = 2a12 + 3a22, −a12 + 4a22 𝑎11 = 4 11 ; 𝑎12 = −3 11 ; 𝑎21 = 1 11 ; 𝑎22 = 2 11 Dessa forma,   11 12 21 22 4 3 11 11 1 2 11 11 a a I a a                     ii)       4 3 5 411 115, 8 5, 8 1 2 3 1 11 11 I                                      Isto é, (5, 8) 4(2, 1) 1(3,4)    ; Solução 2: Basta resolver o sistema: (5, 8) (2, 1) (3,4)a b     2 3 5 4 8 a b a b         4 1 a b     Observação: O cálculo feito da matriz de mudança de base só é vantajoso quando se trabalha com vários vetores, para não ter que resolver um sistema de equações a cada vetor. 14.1. A inversa da matriz de mudança de base
  40. 40. II Curso Pré-Engenharia Apostila de Álgebra Linear Página 40 de 40 Um fato importante é que a matriz 𝐼 𝛽 𝛽′ é invertível e 𝐼 𝛽 𝛽′ −1 = 𝐼 𝛽′ 𝛽 . Dessa forma, podemos usá-la para encontrar 𝑣 𝛽′ pois 𝑣 𝛽′ = 𝐼 𝛽′ 𝛽 𝑣 𝛽 . 14.2. Questões 1) Se [𝐼] 𝛼 𝑎′ = 1 1 0 0 −1 1 1 0 −1 , ache [𝑣] 𝑎′ onde [𝑣] 𝛼 = −1 2 3 . 2) Se α é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de mudança de base [𝐼] 𝛼 𝛼 ? 3) Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 × 2 triangulares superiores. Sejam 𝛽 e 𝛽′ duas bases de V tais que 𝛽 = 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 0 1 e 𝛽′ = 1 0 0 0 , 1 1 0 0 , 1 1 0 1 . a) Ache [𝐼] 𝛽 𝛽′ . b) Mostre que 𝐼 𝛽 𝛽′ −1 = 𝐼 𝛽′ 𝛽 . 4) Uma elipse em uma base cartesiana está rotacionada em um ângulo de 45° e sua base é formada pelos vetores {(1,0); (0,1)}. Ache a matriz de mudança de base para uma nova base onde os vetores sejam respectivamente (−1,1) e (2,2).

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