Sistemas lineares

1. Prof.: Rodrigo Carvalho
SISTEMAS
LINEARES

2. Prof.: Rodrigo Carvalho
Consideramos como equação linear toda equação do tipo
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... +anxn = b, onde:
I. a1, a2 ,a3 , ..., an são os coeficientes das incógnitas;
II. x1, x2, x3 , ..., xn são as incógnitas;
III. b é o termo independente.
EQUAÇÃO
LINEAR
DEFINIÇÃO:

3. Prof.: Rodrigo Carvalho
I. Os expoentes das incógnitas são todos iguais a 1;
II. As incógnitas são separadas em termos, pelos
sinais de adição e subtração;
III. Quando o termo independente é nulo (b = 0), a
equação linear é homogênea.
Exemplos:
a) 3x + 2y = 11
b) 8x – y + 3z = 0 (homogênea)
OBSERVAÇÕES
Contra-exemplos:
a) 3x² + y = 5
b) 1/x + y = 3

4. Prof.: Rodrigo Carvalho
A solução de uma equação linear é uma seqüência
(conjunto ordenado) de números que possuem tantos
elementos quanto for o número de incógnitas da equação
e que tornam a sentença verdadeira.
Exemplos:
a) Uma solução da equação linear 3x + 2y = 11 é o par
ordenado (1, 4), pois a sentença 3.1 + 2.4 = 11 é verdadeira.
SOLUÇÃO DE UMA
EQUAÇÃO LINEAR

5. Prof.: Rodrigo Carvalho
d) A equação linear 0x + 0y = 3 não admite solução.
b) Uma solução da equação linear 8x – y + 3z = - 1 é o terno
ordenado (0, 4, 1), pois a sentença 8.0 – 4 + 3.1 = -1 é
verdadeira.
*Equações lineares especiais
c) A equação linear 0x + 0y = 0 admite como solução
qualquer par ordenado.

6. Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplo: O sistema seguinte é um sistema linear 2 x 2.



−=−
=+
73y2x
8y5x
SISTEMA LINEAR
Chama-se sistema linear m x n um conjunto de m
equações lineares a n incógnitas.
O objetivo de resolver um sistema é determinar
todas as sua soluções.

7. Prof.: Rodrigo Carvalho
CLASSIFICAÇÃO DE
UM SISTEMA LINEAR
Podemos classificar um sistema linear quanto ao
número de soluções em:
a) SISTEMA POSSÍVEL E DETERMINADO (SPD)
Admite uma única solução.
b) SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO (SPI)
Admite infinitas soluções.
c) SISTEMA IMPOSSÍVEL (SI)
Não admite solução.

8. Prof.: Rodrigo Carvalho
Utiliza-se a Regra de Cramer para a solução de sistemas
lineares. Essa regra consiste em:
1. Calcular o determinante da matriz dos coeficientes, que será
simbolizado por e denominado determinante principal.
2. Colocam-se os termos independentes no lugar da coluna de
cada incógnita e calculam-se os determinantes que serão
simbolizados por , denominados
determinantes secundários(determinante das incógnitas).
3. Cada variável será determinada pela razão:
,...z,y,x zyx
∆
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=
∆
,...,, zyx ∆∆∆
REGRA DE CRAMER

9. Prof.: Rodrigo Carvalho
Discutir um sistema linear é determinar quando ele
é um SPD, SPI ou SI, a depender de um ou mais
parâmetros presentes no sistema.
DISCUSSÃO DE UM
SISTEMA LINEAR
Sistema
Possível
Impossível
Determinado
Indeterminado
0≠∆
0ΔΔΔe0Δ zyx ====
0Δou0Δou0Δe0Δ zyx ≠≠≠=
( )
( )
( )

10. Prof.: Rodrigo Carvalho
01. Discutir o sistema .



=+
=+
bay6x
72y3x
02. O sistema é possível e determinado se, e
somente se: 


=+
=−
2ym4x
1yx
Exercícios:
14)
1)
4)
4)
2)
=
≠
−≠
=
=
me
md
mc
mb
ma

11. Prof.: Rodrigo Carvalho
SISTEMAS LINEARES
HOMOGÊNEOS
Sistemas lineares homogêneos são sistemas nos
quais todos os termos independentes são nulos.
Exemplo:





=−+
=+−
=+
0zy3x
0zy2x
0z-yx
Esse tipo de sistema sempre admite a solução
(0,0,0,0,...,0), chamada de SOLUÇÃO TRIVIALSOLUÇÃO TRIVIAL.
Sendo assim, os sistemas homogêneos são
sempre possíveis. Caso seja determinado, admite
apenas a solução trivial. Se for indeterminado, admite
outras infinitas soluções, além da trivial.

12. Prof.: Rodrigo Carvalho
SISTEMA LINEAR
ESCALONADO
Dizemos que um sistema linear é um sistema
escalonado quando:
a) em cada equação há pelo menos um coeficiente
não nulo;
b) o número de coeficientes nulos, antes do
primeiro coeficiente não nulo, cresce da esquerda
para a direita, de equação para equação.

13. Prof.: Rodrigo Carvalho
Exemplos:

14. Prof.: Rodrigo Carvalho
RESOLUÇÃO DE UM
SISTEMA LINEAR
ESCALONADO
Ex.1: Resolvendo o sistema escalonado a seguir temos:
Como z = 1, substituindo esse valor na 2ª equação,
temos que y = 1.
Substituindo os valores de z e y na 1ª equação,
chegamos à conclusão de que x = 5.
Portanto, S = {(5,1,1)}.
SPD

15. Prof.: Rodrigo Carvalho
Ex.2: Resolvendo o sistema escalonado a seguir temos:
A 3ª equação indica uma impossibilidade. Logo não existe
terno ordenado que possa ser solução do sistema.
SI
Portanto, S = O.

16. Prof.: Rodrigo Carvalho
Ex.3: Resolvendo o sistema escalonado a seguir temos:
A 3ª equação pode ser resolvida para qualquer valor de z,
logo pode ser suprimida do sistema.
O sistema, então, passa a ser escrito da seguinte forma:
A incógnita z passa a ser chamada de variável livre,
podendo ser a ela atribuído qualquer valor .Rk ∈
Logo, x = 2 - 2k e y = k + 1.
Portanto, S = {(2 - 2k, k + 1, k), }.Rk ∈
SPI

17. Prof.: Rodrigo Carvalho
ESCALONAMENTO DE
UM SISTEMA LINEAR
PROPRIEDADE
Todo sistema linear pode ser transformado num
sistema escalonado por meio das seguintes operações
elementares sobre suas equações:
I. Permutar duas equações;
II. Multiplicar uma equação por um número
não nulo;
III. Somar à uma equação, uma outra previamente
multiplicada por uma constante.

18. Prof.: Rodrigo Carvalho





=+
=+
=++
104zy-3x
5z2y-2x
43zyx
b)





=++
=+
=+
8z3y2x
-52zy-3x
7z-2yx
)
:abaixosistemasosresolvererclassificaEscalonar,1)
a
Exemplos:



=−
=−
153y6x
5y2x
c)

19. Prof.: Rodrigo Carvalho
Com base nos conhecimentos sobre matrizes,
determinantes e sistemas lineares, é correto afirmar:
racional.númerouméxentão,inversívelé
x1
2x
matrizaSe(02) 







(01) Se duas matrizes quadradas de mesma ordem, A e B,
são simétricas, então a matriz (A + B) também é simétrica.
.3a
x1x1
310
12x2x
entãoa,
11x
xx
enulonãorealnúmerouméxSe(04) =
−−
−
=−
U F B A 2007

20. Prof.: Rodrigo Carvalho
.
2
7
a-bentão,impossívelé
3ay2x
by-x
sistemaoSe(08) ≠



=+
=
c.eba,dereaisvaloresossejamquequaisquer
o,determinadepossívelé
c1)y(a1)x-(a
b1)y-(a-1)x(a
linearsistemaO(16)



=++
=+