Lógica

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Lógica

  1. 1. Prof.: Rodrigo Carvalho LÓGICA
  2. 2. Prof.: Rodrigo Carvalho É a ciência do raciocínio e da demonstração. Compreende o estudo das proposições. PROPOSIÇÕES SIMPLES: São frases declarativas afirmativas. MODIFICAÇÃO NEGAÇÃO (~) Para indicar que uma proposição p está sendo negada, anotamos ~ p (não p). p ~p V F F V Notação: p, q, r, s, etc. Exemplos: p: = 2. q: Feira de Santana é a capital da Bahia. Toda vez que negamos uma proposição ela muda de valor lógico (se p é verdadeira, então ~p é falsa e vice-versa). 4 CONCEITO
  3. 3. Prof.: Rodrigo Carvalho ATENÇÃO! I. ~ (~p) = p, ou seja, uma dupla negação equivale a uma afirmação. II. OPERADOR NEGAÇÃO = ≠ > < ≥ ≤ ≠ = ≤ ≥ > <
  4. 4. Prof.: Rodrigo Carvalho PROPOSIÇÃO COMPOSTA: É uma proposição formada por duas ou mais proposições simples, ligadas entre si por elementos chamados de conectivos. 1. Conjunção: Proposições simples ligadas pelo conectivo “e”, representando simbolicamente pelo sinal “^”. Exemplo: p: Vou passar em física. q: Vou passar em matemática. p ^ q: Vou passar em física e matemática. Tabela - Verdade p q pΛq V V V F F V F F ~ (pΛq) ~p v ~q⇔ V F F F Regra: V = V V
  5. 5. Prof.: Rodrigo Carvalho 2. Disjunção: Proposições simples ligadas pelo conectivo “ou” representando simbolicamente pelo sinal “v”. Exemplo: p: Vou passar em física. q: Vou passar em matemática. p v q: Vou passar em física ou matemática Tabela - Verdade p q p v q V V V F F V F F ~ (p v q) ~ p Λ ~ q⇔ V V V F Regra: F = F F
  6. 6. Prof.: Rodrigo Carvalho *OBS: Disjunção exclusiva: Proposições simples ligadas pelo conectivo “ou ...ou” representando simbolicamente pelo sinal “v”.. Exemplo: p: Vou passar em física. q: Vou passar em matemática. p v q: Ou vou passar em física ou em matemática. p q p v q V V V F F V F F F V V F Tabela - Verdade . Regra: F = V V ou F F
  7. 7. Prof.: Rodrigo Carvalho 3. Condicional: Proposições simples ligadas pelo conectivo “se...então”, representando simbolicamente pelo sinal “”. Exemplo: p: O pássaro canta. q: O pássaro está vivo. p → q: Se o pássaro canta, então está vivo. Tabela - Verdade p q p → q V V V F F V F F ~ (p → q) p Λ ~q⇔ F V V V Regra: F = V F
  8. 8. Prof.: Rodrigo Carvalho 4. Bicondicional: Proposições simples ligadas pelo conectivo “...se somente se...”, representada simbolicamente pelo sinal “ ↔”. Exemplo: p: Juarez está vivo. q: Juarez respira. p ↔ q: Juarez está vivo se, somente se, respira. Tabela - Verdade p q p↔q V V V F F V F F ~ (p ↔ q) p ↔ ~ q⇔ ⇔ ou ~ (p ↔ q) ~ p ↔ q V V F F Regra: V = V V ou F F
  9. 9. Prof.: Rodrigo Carvalho PROPOSIÇÃO COMPOSTA SIMBOLOGIA SIGNIFICADO REGRA NEGAÇÃO CONJUNÇÃO Λ “e” V = V V ~ p v ~ q DISJUNÇÃO V “ou” F = F F ~ p Λ ~ q CONDICIONAL → “se..., então” F = V F p Λ ~q BICONDICIONAL ↔ “... se, e somente se...” V = V V ou V = F F p ↔ ~ q ou ~ p ↔ q PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
  10. 10. Prof.: Rodrigo Carvalho OBSERVAÇÕES: 1ª) Quando uma sentença é sempre verdadeira, dizemos que há uma TAUTOLOGIA; 2ª) Quando uma sentença é sempre falsa, dizemos que há uma CONTRADIÇÃO; 3ª) Quando não há uma tautologia nem uma contradição, dizemos que existe uma CONTINGÊNCIA.
  11. 11. Prof.: Rodrigo Carvalho 01) Monte as tabelas–verdades a seguir, e classifique-as em TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO ou CONTINGÊNCIA. a) (p ^ ~p)  (q v p) p q ~ p p Λ ~ q q v p (p Λ ~ p) → (q v p)
  12. 12. Prof.: Rodrigo Carvalho b) (p v ~ q) ↔ (~ p Λ q) p q ~ p ~ q (p v ~ q) (~ p Λ q) (p v ~ q) ↔ (~ p Λ q) c) (~ q  ~ p) p q ~ p ~ q (~ q  ~ p)
  13. 13. Prof.: Rodrigo Carvalho IMPLICAÇÃO Quando uma CONDICIONAL é TAUTOLÓGICA, dizemos que há uma IMPLICAÇÃO. qp ⇒ EQUIVALÊNCIA Quando uma BICONDICIONAL é TAUTOLÓGICA, dizemos que há uma EQUIVALÊNCIA. qp ⇔
  14. 14. Prof.: Rodrigo Carvalho QUESTÕES DE VESTIBULARES 01) (UCS) Sejam as proposições p, q e r, tais que p e q são verdadeiras e r é falsa. Nessas condições, qual entre as proposições seguintes é verdadeira? a) p ^ r b) ~p v r c) p  ~q d) r ↔ q e) ~q  p 02) (UFA) Considere as sentenças: p: 144 é múltiplo de 3 q: 7 é divisor de 82 Nessas condições, a sentença. a) p ^ q é verdadeira b) p v q é falsa c) p ↔ ~q é verdadeira d) ~p  q é falsa e) ~p ^ q é verdadeira
  15. 15. Prof.: Rodrigo Carvalho 03) (FACCEBA) “Se uma função é ímpar, então é injetora.” A negação da proposição anterior é a) Uma função não é ímpar e é injetora. b) Uma função não é ímpar e não é injetora. c) Se uma função não é ímpar, então não é injetora. d) Uma função é ímpar e não é injetora. e) Se uma função não é injetora, então é ímpar. 04) (MEDICINA – ABC) A negação de “O gato mia e o rato chia”é: a) “O gato não mia e o rato chia”. b) “O gato mia ou o rato chia”. c) “O gato não mia ou o rato não chia”. d) “O gato e o rato não chiam nem miam”. e) “O gato chia e o rato mia”.
  16. 16. Prof.: Rodrigo Carvalho SENTENÇA ABERTA: São sentenças que não possuem valor lógico definido. Exs.: a) “x é um número par.” b) “x + 2 = 5.” c) “O homem se chama Pedro.” QUANTIFICADORES: São símbolos utilizados para estabelecermos valores lógicos às sentenças abertas. Quantificador Universal ( ) : Esse símbolo pode ser lido das seguintes formas: “Para todo”, “Para qualquer”, “Qualquer que seja”, “Todo”, etc. ∀ Exs.: a) par.númerouméxR;x ∈∀ b) Todo homem se chama Pedro.
  17. 17. Prof.: Rodrigo Carvalho Quantificador Existencial ( ) : Esse símbolo pode ser lido das formas: “Existe”, “Existe algum”, “Há”, etc. ∃ Exs.: a) 5.2xZ;x =+∈∃ b) Existem homens que se chamam Pedro. *OBS.: Derivam ainda do quantificador existencial: ∃ ∃ - “Existe apenas um”, ”Existe um único”, etc. - “Não existe”. Exs.: a) 5.7xN;x =+∈∃ b) 9.xZ;x 2 =∈∃
  18. 18. Prof.: Rodrigo Carvalho NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES QUANTIFICADAS Para negar uma proposição quantificada, devemos trocar o quantificador universal pelo existencial(ou vice-versa) e negar a sentença. p: Todo homem se chama Pedro. ~ p: Existe homem que não se chama Pedro. 5.2xZ;x =+∈∃ 5.2xZ;x ≠+∈∀ r: ~ r: *OBS.: Também podemos negar uma sentença quantificada negando o quantificador e conservando a sentença. p: Todo homem se chama Pedro. ~ p: Nem todo homem se chama Pedro. 5.2xZ;x =+∈∃r: 5.2xZ;x =+∈∃~ r:
  19. 19. Prof.: Rodrigo Carvalho 05) (FDC) A negação da implicação: “Se um quadrilátero tem todos os lados iguais, então é um quadrado”é: a) Se um quadrilátero não é um quadrado, então não tem todos os lados iguais. b) Se um quadrilátero não tem todos os lados iguais, então não é um quadrado. c) Um quadrilátero não tem todos os lados iguais, e não é um quadrado. d) Um quadrilátero tem todos os lados iguais e não é um quadrado. e) Um quadrilátero tem todos os lados iguais, ou não é um quadrado. 06) (FDPL) A negação de “Todo aluno estudioso é aprovado no vestibular “ é a) Existe aluno estudioso que não é aprovado no vestibular. b) Todo aluno estudioso não é aprovado no vestibular. c) Todo aluno aprovado no vestibular é estudioso. d) Existe aluno estudioso que é aprovado no vestibular. e) Existe aluno aprovado no vestibular que é estudioso.
  20. 20. Prof.: Rodrigo Carvalho ARGUMENTO SDenomina-se argumento à relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, P3, ..., Pn, chamadas de premissas do argumento, a uma proposição C, chamada de conclusão do argumento. *OBS.: Os argumentos que só possuem duas premissas são chamados de silogismos. Ex.: P1: Todos os artistas são apaixonados. P2: Todos os apaixonados gostam de flores. C: Todos os artistas gostam de flores. NOTAÇÃO: P1, P2, P3, ..., Pn Q
  21. 21. Prof.: Rodrigo Carvalho ARGUMENTO VÁLIDO Dizemos que um argumento é válido quando sua conclusão é consequência obrigatória do seu conjunto de premissas. No processo de verificação da validade de um argumento, adotaremos os seguintes critérios: a) Admitiremos suas premissas como verdadeiras; b)Não adotaremos previamente que a conclusão seja verdadeira. Não estamos interessados em analisar a veracidade da conlusão, e sim se ela decorre de suas premissas; c)O argumento será válido se, através da Lógica ou das propriedades de conjuntos, for possível concluirmos que a conclusão decorre das suas premissas.
  22. 22. Prof.: Rodrigo Carvalho Observe que, se um argumento P1, P2, P3, ..., Pn Q é válido, então temos a implicação .QP...PPP n321 ⇒∧∧∧∧ *OBS.: Dizemos que um argumento é inválido, também chamado de falácia ou sofisma, quando a verdade das premissas é insuficiente para garantir a verdade da conlusão.
  23. 23. Prof.: Rodrigo Carvalho Exercícios de aplicação Julgue os argumentos a seguir em válido ou inválido. a) P1: Todos os rapazes adoram xadrez. P2: Nenhum enxadrista gosta de óperas. C: Nenhum rapaz gosta de óperas. b) P1: Todos os alunos do curso passaram. P2: Maria não é aluna do curso. C: Maria não passou.

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