En cuanto al objeto de la investigación que consistió en el análisis de un fenómeno físico de una bola (esfera) sumergida en agua, que utiliza una empresa que fabrica tanques para piezas de baño que son requeridos tanto en hogares como en sectores industriales, se empleo la Ley de Arquímedes para establecer la relación entre la esfera sumergida y la cantidad de agua que esta desaloja, posteriormente se obtuvo la ecuación algebraica que representa el fenómeno asociado al caso, a partir de allí se aplicó la regla de Descartes y Lagrange a fin ubicar los cambios de signos y el numero de signos, además de los intervalos de las posibles raíces.

1. UNIVERSIDAD DE HOLGUÍN
“Oscar Lucero Moya”
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Mecánica
Maestría en Diseño y Fabricación Asistida por Computadoras
Métodos Numéricos
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
“ESFERA SUMERGIDA EN AGUA”
Prof. Dr. C. PT: José R, Velázquez C Ing. Roger José Medina Olivo
Ciudad Bolívar, diciembre de 2010.

2. UNIVERSIDAD DE HOLGUÍN
“Oscar Lucero Moya”
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Mecánica
Maestría en Diseño y Fabricación Asistida por computadoras
Métodos Numéricos
Análisis, síntesis y desarrollo de los Métodos Numéricos aplicados a problemas
de Ingeniería. Convenio Cuba-Venezuela. Instituto Universitario de Tecnología
del Estado Bolívar (IUTEB).
Autor:
Ing. Roger J, Medina O
El presente estudio se llevó a cabo en el área de la mecánica, haciendo uso de los
métodos numéricos, y en particular el de Newton Raphson. El objetivo central consistió
en la selección y aplicación de un método numérico para la resolución de un problema
de Ingeniería. La investigación se efectuó aplicando una metodología documental; ya
que hubo que apoyarse en la documentación suministrada por el conferencista
(material impreso y digital) durante los seminarios recibos de matemáticas, además de
consultas electrónicas en la web, utilizando el método inductivo y deductivo mediante
la técnica de análisis cualitativo y la investigación descriptiva. Se utilizó como
herramienta tecnológica el software Graph1 para graficar la función y obtener una
esquematización de la expresión, la cual refleja los puntos de cortes (raíces) con el eje
x y sus imágenes. Entre los resultados más destacados, se cuenta con la obtención
una función que representa las condiciones de una esfera sumergida en agua, dicha
ecuación permite establecer la posición de la esfera, según su peso especifico. A partir
de la ecuación se lograron tres raíces reales de las cuales dos son positivas y una
negativa. Se puede decir que la investigación permitió verificar y contrastar que hay
métodos numéricos que proporcionan una convergencia en menor tiempo, siendo su
aplicación más eficiente uno con respecto de otro, tal es el caso del método de
bisección que también pudo haberse aplicado, sin embargo se escogió el de Newton
Raphson que logró la convergencia en tres iteraciones, lo cual evidencia el
cumplimiento de los objetivos del curso.

3. Solución de una ecuación no linear
Método de Newton-Raphson
Una compañía que hace los flotadores para las cómodas del ABC. Diseñó una
bola (esfera) de flotación que tiene una gravedad específica de 0.6 y tiene un
radio de 5.5 cm. Por lo cual, se requiere encontrar la profundidad a la cual se
sumerge la bola al flotar en agua.
Figura 1. Porción de la bola de radio r que es sumergida hasta una altura d.
La masa Ma de agua desplazada cuando la esfera (bola) se sumerge en agua y
ésta alcanza la altura d está dada por la siguiente ecuación:
d 2
2 2 *d 3r d
Ma r x r dx (Ec. 1)
0
3
Y la masa de la esfera, Me es:
3
4 *r *
Me (Ec.2)
3
Aplicando la Ley de Arquímedes, según la cual Ma=Me (“Volumen del líquido
desplazado es igual al volumen del cuerpo sumergido”), se genera la ecuación:
3 2 3
d 3d r 4r
0 (Ec.3)
3

4. Reemplazando los valores r=5,5 cm, rho=0,6, se obtiene la ecuación 4. Para la
cual la profundidad “d” estará dada en metros y, a los cuales la bola se
sumerge debajo del agua, se tiene:
3 2 4
f (d ) d 0 . 165 d 3 . 993 10 (Ec. 4)
Se utilizará el método de Newton-Raphson para encontrar las raíces de
ecuación y poder determinar:
a) La profundidad a la cuál se sumerge la bola debajo del agua.
b) El error aproximado relativo absoluto al final de cada iteración.
c) El número de dígitos significativos por lo menos correctos al final de
cada iteración.
Solución
Al aplicar la Regla de Descartes, se observa que hay dos cambios de
signo por lo cual m= 2 raíces –pudiendo ser también cero- reales positivas.
Igualmente al hacer uso de la Regla de Lagrange, se tiene que todas las raíces
reales positivas (si existen) son menores que:
B
R 1 k (Ec.5)
a0
Donde
a0 >0
ak Primer coeficiente negativo
B Mayor valor absoluto de los coeficientes negativos
Separación de raíces de:
3 2 4
f d d 0 ,165 d 3 , 993 10
Tiene tres raíces.
Al menos dos raíces son reales.
Raíces positiva
m= 2 dos raíces

5. 0 ,165
R 1 2 1, 4062
1
Entonces habrá dos raíces en el intervalo [0; 1,4062] m, ver figuras 2 y 3 en la
cual se observa la gráfica de la función y puntos de cortes respectivamente, los
valores se graficaron en centímetros para que se pudieran observar al hacer
uso del programa Graph1.
Raíces negativa
Ecuación original: f(d)=0 (Ec. a)
Se forma la ecuación: f(-d) (Ec. b)
Si r es una raíz positiva de la ecuación b entonces –r es una raíz negativa de la
ecuación a.
Separando las raíces de
3 2 4
d 0 ,165 d 3 , 993 10 0 (Ec. a)
Cambiando d por –d:
3 2 4
( d) 0 ,165 ( d ) 3 , 993 10 0
3 2 4
d 0 ,165 d 3 , 993 10 0
3 2 4
d 0 ,165 d 3 , 993 10 0 (Ec. b)
m = 1 una raíz positiva en [1,0627;0]
3 , 993 E 4
R 1 1 1, 0627
1
La ecuación original tiene una raíz negativa en [-1,0627;0]

6. Desarrollo del método
Sea f(d) = 0 la ecuación cuya raíz se desea halla.
3 2 4
f d d 0 ,165 d 3 , 993 10
2
f d 3d 0 .33 d
Se supone la estimación inicial de la raíz es f(d)= 0, do=0,05 m. Esto es una
estimación razonable, como los valores extremos de la profundidad seria 0 y el
diámetro (0.11 m) de la bola.
Iteración 1: Evaluando la expresión
La estimación de la raíz es:
f d0
d1 d0
f d0
3 2 4
0 .05 0 .165 0 .05 3 . 993 10
0 .05 2
3 0 .05 0 .33 0 .05
4
1 . 118 10
0 .05 3
9 10
0 .05 0 . 01242
0.06242
Entonces, el error aproximado relativo absoluto a
al final de la 1 iteración es:
d1 d0
a
100
d1
0 .06242 0 .05
100
0 .06242
19.90%
El número de dígitos significativos por lo menos correcto es 0, ya que se
necesita un error absoluto aproximado relativo de 5% o menos para que se
tenga un dígito significativo y, el resultado sea correcto.

7. Iteración 2: Evaluando la expresión a partir de d1
La estimación de la raíz es
f d1
d2 d1
f d1
3 2 4
0 .06242 0 .165 0 .06242 3 . 993 10
0 .06242 2
3 0 .06242 0 .33 0 .06242
7
3 .97781 10
0 .06242 3
8 . 90973 10
5
0 .06242 4 . 4646 10
0.06238
Entonces, el error aproximado relativo absoluto a
al final de la 2 iteración es:
d2 d1
a
100
d2
0 .06238 0 .06242
100
0 .06238
0.0716 %
2 m
El máximo valor de m para el cual a
0 . 5 10 es 2,844. Por lo tanto, el
número de dígitos significativos al menos en la respuesta correcta es 2.
Iteración 3: Evaluando la expresión a partir de d2
La estimación de la raíz es
f d2
d3 d2
f d2
3 2 4
0 .06238 0 .165 0 .06238 3 . 993 10
0 .06238 2
3 0 .06238 0 .33 0 .06238
11
4 . 44 10
0 .06238 3
8 . 91171 10
9
0 .06238 4 . 9822 10
0.06238

8. Entonces, el error aproximado relativo absoluto a
al final de la 3 iteración es:
0 .06238 0 .06238
a
100
0 .06238
0
El número de dígitos significativos por lo menos correcto es de 4, ya que sólo
cuatro dígitos significativos se tomaron a través de todos los cálculos.
Desarrollo de operaciones asociadas con la evaluación de la primera y
segunda derivada de la función. Para este caso la evaluación de la primera
permite obtener los valores críticos (puntos máximos y mínimos), indicando los
intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Se tiene:
Determinación de los valores críticos en los intervalos
´
f (d ) 0
2
3x 0 , 33 x 0
x=0 x=0,33/3=0,11
Para la búsqueda de concavidad y puntos de inflexión
"
f (d ) 0
6x 0 , 33 0
x=0,33/6 x=0,055
En la grafica 4 y 5 se muestran los valores obtenidos al evaluar la expresión en
puntos cercanos a la primera y segunda raíz, además de valores de la primera
y segunda derivada.

9. y f(x)=x^3 -16.5x^2 + 399.3
300
250
200
150
100
50
x
-600 -550 -500 -450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600
-50
-100
-150
-200
-250
-300
Figura 2. Esquematización de la función, obtenida a través de Graph1.
y f(x)=x^3 -16.5x^2 + 399.3
20
15
10
5
x
-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35 40
-5
-10
-15
-20
Figura 3. Esquematización de la función, muestra puntos de corte con el eje x,
entre los punto 5;10 y 10;15. Se trabajo en cm.

10. Figura 4. Tabla resumen arrojada por el programa Graph1, indicando valores
cercanos a la primera raíz.
Figura 5. Tabla resumen arrojada por el programa Graph1, indicando valores
cercanos a la segunda raíz.

11. CONSIDERACIONES FINALES
En general el campo de la ingeniería requiere el apoyo de otras ciencias
básicas, tal es el caso de las matemáticas y sus diferentes ramas compuestas
por el análisis matemático, algebra y estadística. Hoy día el uso de estas ramas
ofrece mejores resultados cuando se combinan con la computación, ya que
hacen más rápidos los procesos iterativos que deben efectuarse, y que
anteriormente no podían ofrecer respuestas satisfactorias porque resultaban
muy engorrosos al trabajar con ecuaciones en las cuales sus raíces no eran
sencillas obtener.
Dependiendo del tipo de problema, estos pueden requerir soluciones de
ecuaciones algebraicas y transcendentales, solución de sistemas de
ecuaciones lineales, aproximación de funciones, integración numérica y
soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, en tales casos se pueden
aplicar alguno los métodos siguientes: Bisección, Regula Falsi, Newton
Raphson, Jacobi, Seidel, Interpolación Lineal, Trapecios, Simpson, Euler,
Taylor, Runge-Kutta, entre otros. Según sea el caso debe elegirse uno de estos
métodos para lograr la convergencia en menor tiempo y de manera eficiente,
de ahí la importancia de conocerlos para tener presente las ventajas y
desventajas.
En cuanto al objeto de la investigación que consistió en el análisis de un
fenómeno físico de una bola (esfera) sumergida en agua, que utiliza una
empresa que fabrica tanques para piezas de baño que son requeridos tanto en
hogares como en sectores industriales, se empleo la Ley de Arquímedes para
establecer la relación entre la esfera sumergida y la cantidad de agua que esta
desaloja, posteriormente se obtuvo la ecuación algebraica que representa el
fenómeno asociado al caso, a partir de allí se aplicó la regla de Descartes y
Lagrange a fin ubicar los cambios de signos y el numero de signos, además de
los intervalos de las posibles raíces.

12. En lo sucesivo, fue necesario elegir un punto de partida –que puede ser
arbitrario- el cual solicita el Método de Newton Raphson para iniciar las
iteraciones, así como también la evaluación de la función y su primera
derivada. Aquí fue necesario el apoyo del método analítico para lograr
determinar los valores críticos y los cambios de concavidad, es decir,
evaluando la primera y segunda derivada.
Con tres iteraciones fue posible la convergencia del método para la primera
raíz, la cual tiene una interpretación física del fenómeno estudiado, esto es, la
profundidad que alcanza bola en las condiciones de peso de la misma es
0,06238 m, las otras dos raíces se encuentran en los intervalos [10;15] y [-
1,0627;0] la segunda raíz positiva indica que la bola estaría totalmente
sumergida y la raíz negativa nos indica que la esfera estaría fuera del agua, así
pues que la opción acorde con el problema es la primera raíz positiva. Otros
aspectos de relevancia asociados a la investigación es el error aproximado
relativo absoluto a
y los dígitos significativos con los cuales de trabajo.

13. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Velázquez, R. y Urquiza, R. (2010). Métodos numéricos. La Habana.
Métodos numéricos “Separación de raíces”. [Documento en línea], Disponible:
http://www.scribd.com/05upc072-Separacion-de-Raices/d/14281507
[Consulta: 2010, Diciembre 106]
Métodos Numéricos “Separación de raíces”. [Documento en línea], Disponible:
http://www.scribd.com/05upc072-Separacion-de-Raices/d/14281507
[Consulta: 2010, Diciembre 06]
Notas de Métodos Numéricos. [Documento en línea], Disponible:
http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/temario.html [Consulta:
2010, Diciembre 06]