Rumus-Rumus Segitiga (Matematika kelas XI SMA)

1. disusun oleh :
Raden Mutiara
Rafa Zihan K
Rizka Amalia H
Rusydina Sabila
Shafira Putri A
Silvia Dwi L
Teguh Riandi P
Tiffany Grant
Trisha Nur A
Yaumi Hadi

2. Aturan Sinus
I. Materi Prasyarat
C
A B
Dengan menggunakan gambar 1, dapat
diperoleh
• Panjang BC dinyatakandengan a
• Panjang AB dinyatakandengan b
• Panjang AC dinyatakandengan c
• Sin∠ABC =
Panjang AC
Panjang BC
=
b
a
• Sin∠BCA =
Panjang AB
Panjang BC
=
c
a
(Gambar1)
a
b
c

3. Jika Jalan k dan Jalan l
berpotongan di kota A. Dinas Tata
Ruang Kota ingin menghubungkan
kota B dan C dengan
menghubungkan Jalan m dan
memotong kedua jalan yang ada
seperti pada Gambar 2.
Jika jarak kota A dan kota C
adalah 5 km, sudut yang dibentuk
Jalan m dengan Jalan l adalah 75º dan
sudut yang dibentuk Jalan k dan Jalan
m adalah 30º . Tentukan jarak kota A
dengan kota B!
A
Jalan k Jalanm
(Gambar2)
Jalan l
CB 75º30º

4. Dari sketsa pada Gambar 2
terlihat jelas bahwa segitiga ABC
bukan segitiga siku-siku, sehingga
untuk menentukan panjang sisi-
sisinya tidak dapat menggunakan
theorema phytagoras.
Untuk mencari panjangnya,
mari kita bahas dengan mencari
rumus 
A
Jalan k Jalanm
(Gambar2)
Jalan l
CB 75º30º

5. Pembahasan Aturan
Sinus
• Dari segitiga ABD, diperoleh :
Sin B =
AD
AB
→ AD = AB sin B
AD = c Sin B ... (1)
• Dari segitiga ACD, diperoleh :
Sin C =
AD
AC
→ AD = AC sin C
AD = b Sin C ...(2)
• Dengan menggunakan persamaan (1)
dan (2), diperoleh : c sin B = b sin C
(kalikankeduaruasdengan
1
sin 𝐵 sin 𝐶
)
c sin B
sin B sin C
=
b sin C
sin B sin C
Makadiperoleh :
c
sin C
=
b
sin B
... (3)
(Gambar 3)
B
A
CD
c b
Pada Gambar 3, buatlah garis
tinggi AD, sehingga terbentuk
segitiga ADB dan segitiga ADC.
a

6. • Dari segitiga ABE, diperoleh :
Sin A=
BE
AB
→ BE= AB sin A
BE= c Sin A ... (4)
• Dari segitiga BCE, diperoleh :
Sin C =
BE
BC
→ BE= BCsin C
BE= aSin C ... (5)
• Dengan menggunakan persamaan
(5)dan (6), diperoleh : c sin A = a sin C
(kalikankeduaruasdengan
1
sin 𝐴 sin 𝐶
)
c sin A
sin A sin C
=
a sin C
sin 𝐴 sin C
Makadiperoleh :
c
sin C
=
a
sin A
... (6)
A B
C
E
Pada Gambar 4 diatas, buatlah
garis tinggi BE, sehingga
terbentuk segitiga BEA dan
segitiga BEC.
a
c
(Gambar 4)
b

7. • Dari segitga ACF, diperoleh:
Sin A =
CF
AC
 CF = AC sin A
CF = b sin A ... (7)
• Dari segitiga BCF, diperoleh :
sin B =
CF
BC
 CF = BC sin B
CF = a sin B ... (8)
• Denganmenggunakanpersamaan (7)
dan (8), diperoleh : b sin A = a sin B
(kalikankeduaruasdengan
1
sin A sin B
)
b sin A
sin A sin B
=
a sin B
sin A sin B
Makadiperoleh :
b
sin B
=
a
sin A
... (9)
FA B
C
Pada Gambar 5 diatas,
buatlah garis tinggi CF,
sehingga terbentuk segitiga
AFC dan segitiga BFC.
(Gambar 5)
c
ab

8. a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C

9. Penyelesaian Masalah
• Dengan menggunakan aturan sinus, kita selesaikan masalah
tadi.
Yang ditanya: darikota A ke B
berarti c, menurutaturan sinus :
c = b
sin C
sin B
c = 5 x
sin 75°
sin 30°
c = 5 x
0.965
0.5
c = 10 x 0.965
c = 9.65 km
b
sin B
=
c
sin C
A
Jalan k
(Gambar 2)
Jalan l
CB 75º30º a
bc

10. Contoh - contoh
• Perhatikan segitiga ABC berikut. Panjang AB = 8 cm, BC = 8 2 cm, AC = b,
∠BAC = 45º, ∠ACB = yº, dan∠ABC = xº. Tentukanpanjang b!
B
A
C
45º
xº
yº
8
b
8 2
Penyelesaian :
𝐵𝐶
sin 𝐴
=
𝐴𝐵
sin 𝑦°
8 2
sin 45°
=
8
sin 𝑦°
8 2
1
2
2
=
8
sin 𝑦°
Sin yº =
1
2
2 𝑥 8
8 2
Sin yº =
1
2
 yº = 30º
↔ ∠A + ∠B + ∠C = 180º
45º + xº + 30º = 180º
75º + xº = 180º
xº = 105º
↔
𝐴𝐶
sin 𝐴
=
𝐴𝐵
sin 𝑦°
𝑏
sin 45º
=
8
sin 105°
𝑏
1
2
2
=
8
0.9659
b =
1
2
2 𝑥 8
0.9659
b = 5.855 cm

11. Uji Kompetensi
1. Perhatikan gambar dibawah ini. Panjang AC = ?
A
B
C
45º
60º
12
Jawab :
𝐴𝐶
sin 𝐵
=
𝐵𝐶
sin 𝐴
𝐴𝐶
sin 45º
=
12
sin 60°
𝐴𝐶
1
2
2
=
12
1
2
3
12 2 = AC 3
AC =
12 2
3
x
3
3
AC =
12 6
3
AC = 4 6 (𝐶)

12. 2. Pada segitiga ABC. Diketahui AC = 10, ∠ABC = 45º, dan ∠BAC =
30º. Panjang BC = ?
Jawab : 𝐵𝐶
sin 30º
=
10
sin 45º
𝐵𝐶
1
2
=
10
1
2
2
BC 2 = 10
𝐵𝐶 =
10
2
x
2
2
𝐵𝐶 = 5 2 (B)
B
C
A
45º 30º
105º 10

13. 3. Fatih ingin mengukur jarak sebuah
bangunan dengan tempat dia berdiri di sebuah
jalan. Untuk itu dia membuat sebuah garis
lurus pada jalan sepanjang 5 m. Kemudian dia
mengukur sudut yang dibentuk garis tersebut
dengan garis (kira-kira) yang menghubungkan
titik-titik ujung garis dengan bangunan seperti
digambarkan berikut. Jarak tempat Fatih
berdiri dengan bangunan adalah…
15º
60º
5A B
C
120º45º
Jawab :

14. 4. Pada segitiga PQR, panjang sisi PR = s, sisi QR = p, dan p+s =
6. Jika ∠P = 30º dan ∠Q = 60º, maka tentukan panjang sisi
PQ!
PR
Q
p + s = 6
s = 6 - p
60º
30º90º
Jawab :
PR
sin 60º
=
QR
sin 30º
6 − p
1
2
3
=
p
1
2
2
6 – p = p 3
6 = p 3 + 𝑝
p =
6
3+1
x
3−1
3−1
p = 3 ( 3 - 1)
p
sin 30º
=
PQ
sin 90º
3 ( 3 − 1)
1
2
=
PQ
1
PQ = 6 3 − 6 (𝐷)
↔
s
p

15. 5. Perhatikan gambar segitiga ABC berikut. AB = AC =2, ∠BAC =
90º, ∠DAC = 60º. Jika sin 105º = sin 60º cos 45º + cos 60º sin
45º, maka panjang BD = ?
60º
C
A B2
2
BD
sin A
=
AB
sin D
BD
sin 30º
=
2
sin 105º
BD
1
2
=
2
1
4 ( 6 + 2)
Jawab :
Sin 105º = sin 60º cos 45º + cos 60º sin 45º
=
1
2
3 .
1
2
2 +
1
2
.
1
2
2
=
1
4
6 +
1
4
2 =
1
4
( 6 + 2)
BD =
1
1
4
( 6 + 2)
=
4
6 + 2
x
6 − 2
6 − 2
= 6 − 2 (A)
↔
D
30º 45º
105º
A
D
B

16. 6. Pada segitiga ABC diketahui AB = 4 cm, AC = 4 2 cm, dan∠C
= 30º. Dengandemikian∠A = ?
4A
C
B
Jawab :
c
sin 30º
=
b
sin B
4
1
2
=
4 2
sin B
sin B =
1
2
2
∠B = 45º
4 2 30º
Maka ∠A = 180º - 30º - 45º = 105º (E)

17. 7. Perbandingan sudut – sudut suatu segitiga 3 : 4 : 5.
Perbandingan dua sisi terpendek adalah…
Jawab :
∠A : ∠B : ∠C = 3 : 4 : 5
3x + 4x + 5x = 180
12x = 180
x = 15
∠A = 45º ; ∠B = 60º ; ∠C = 75º
𝑎
sin A
=
b
sin B
𝑎
𝑏
=
sin A
sin 𝐵
𝑎
𝑏
=
1
2
2
1
2 3
𝑎
𝑏
=
2
3
↔
(A)

18. TERIMAKASIH
“Menuntut ilmu itu adalah taqwa
Menyampaikan ilmu adalah ibadah
Mengulang-ulang ilmu adalah dzikir
MENCARI ILMU ADALAH JIHAD. ”
Imam Al-Ghazali