2. Zeno (490 – 435 SM)
Riwayat
Zeno dikenal banyak orang karena
namanya tercantum pada halaman
pertama buku Parmenides karangan
Plato. Diperkirakan bahwa saat itu
Zeno berumur 40 tahun, sedang
Socrates masih remaja, kisaran usia
20 tahun.
Dengan mengetahui bahwa Socrates
lahir pada 469 SM, maka diperkirakan
Zeno lahir pada tahun 490 SM.
3. Disinyalir bahwa Zeno mempunyai
hubungan “khusus” dengan Parmenides.
Catatan Plato menyebutkan adanya
gosip bahwa mereka saling jatuh cinta
saat Zeno masih muda, dan tulisan Zeno
tentang paradoks digunakan untuk
melindungi filsafat Parmenides dari para
pengkritiknya. Semua catatan itu tidak
pernah ada dan cerita itu dituturkan
oleh tangan kedua. Tulisan Aristoteles
yang terdapat pada Simplicius -terbit
ribuan tahun setelah Zeno digunakan
sebagai acuan.
4. Zeno dari Elea, lahir pada awal mulainya
perang Persia, konflik antara Timur dan
Barat. Yunani dapat menaklukkan Persia,
tapi semua filsuf Yunani tidak pernah
berhasil menaklukkan Zeno.
Zeno mengemukakan 6 paradoks, teka-
teki yang tidak dapat dipecahkan oleh
logika filsuf terkemuka Yunani saat itu.
Paradoks yang dilontarkan Zeno
membingungkan semua filsuf Yunani,
namun tidak seorang pun dapat
menemukan kesalahan pada logika Zeno.
5. Paradoks ini menjadi sangat
termasyur karena terus
“mengganggu”
pemikiran para matematikawan;
dan baru dapat dipecahkan
hampir 2000 tahun kemudian.
Dari enam paradoksnya, yang
paling terkenal, adalah
paradoks lomba lari Achilles
dan kura-kura.
6. Parmenides menolak faham
pluralisme dan realitas dalam
berbagai macam perubahan:
baginya segala sesuatu tidak
dapat dibagi, realitas tidak
berubah, dan hal-hal yang tampak
dan berbeda hanyalah ilusi belaka,
sehingga dapat dibantah dengan
argumen/alasan. Tidak perlu
disangsikan lagi, faham ini
mendapat banyak kritikan tajam.
7. Tanggapan terhadap kritik Zeno
memicu sesuatu yang lebih nyata,
namun mampu memberi dampak
mendalam bagi filsafat Yunani
bahkan sampai saat ini. Zeno
berusaha menunjukkan bahwa suatu
kemustahilan diikuti oleh logika
dari pandangan Parmenides. Segala
sesuatu dapat menjadi sangat kecil
atau menjadi sangat besar.
8. Paradoks ini sebagai bukti
kontradiksi atau kemustahilan
akibat asumsi-asumsi yang (tampak)
masuk akal. Apabila dilihat lebih
dalam maka paradoks mengarah
kepada target spesifik yaitu
menyangkut lebih atau kurang
pandangan orang atau aliran
pemikiran tertentu. Zeno – lewat
paradoks – berusaha menyatakan
bahwa alam semesta ini tidak
berubah dan tidak bergerak.
9. Mencoba menyingkap siapa yang
menjadi target serangan Zeno
relatif lebih mudah daripada
mencoba memecahkan
paradoksnya. Tahun kelahiran
Zeno, menunjuk bahwa dunia
remajanya dipenuhi dengan
pandangan Pythagoras (580 –
475 SM) dan para pengikutnya
(pythagorean).
10. Paradoks Zeno mengungkapkan
problem-problem yang tidak dapat
diselesaikan oleh semua teknik
matematika yang tersedia pada
saat itu. Penyelesaian paradoks
Zeno baru dimulai pada abad 18
(atau lebih awal dari itu). Paradoks
itu mampu merangsang otak-otak
kreatif matematikawan dan memberi
warna pada sejarah perkembangan
matematika.
11. matematikawan “hitam”
Zeno (490 – 435 SM) dari Alea dan
Eudoxus (408 – 355 SM) dari Cnidus
menghadirkan pertentangan dua
kubu pemikiran matematika:
penghancuran kritikal dan
pengembangan kritikal.
Pertentangan kedua pemikiran ini
layak disebut dengan ajang
pertempuran logika antara
matematikawan “hitam” dan
matematikawan “putih.”
12. duel “aliran” tidak hanya terjadi
pada jaman kuno,
matematikawan modern juga
mengekor atau menjadi
pengikut salah satu idola mereka.
Penghancuran kritikal seperti
pemikiran Zeno diteruskan oleh
Kronecker (1823 – 1891) dan Brouwer
(1881 - 1966), sedangkan pemikiran
Eudoxus diteruskan oleh
Weierstrass (1815 – 1897), Dedekind
(1831 – 1916) dan Cantor (1845 –
1918).
13. Paradoks zeno
Ada 4 paradoks Zeno yang terkenal
1. Dikhotomi
paradoks ini dikenal sebagai “dikhotomi”
karena selalu terjadi pengulangan
pembagian menjadi dua. Gerak adalah tidak
dimungkinkan, sebab apapun yang terjadi
gerak harus mencapai (titik) tengah
terlebih dahulu sebelum mencapai (titik)
akhir; tapi sebelum mencapai titik tengah
terlebih dahulu mencapai seperempat dan
seterusnya, suatu ketakterhinggaan. Jadi,
gerak tidak akan pernah ada bahkan pada
saat untuk memulainya.
14. 2. Perlombaan lari Achilles dan
kura-kura
Achilles kesatria pada perang
Troya, mitologi Yunani, berlomba
lari dengan kura-kura, tetapi
Achilles tidak dapat mengalahkan
kura-kura yang berjalan lebih
dahulu. Untuk memudahkan
penjelasan, maka diberikan
ilustrasi dengan menggunakan
angka pada paradoks ini.
15. Bayangkan:
Achilles berlari dengan kecepatan 1
meter per detik, sedangkan kura-kura
selalu berjalan dengan kecepatan
setengahnya, ½ meter per detik, namun
kura-kura mengawali perlombaan dari ½
jarak yang akan ditempuh (misal: jarak
tempuh perlombaan 2 km, maka titik
awal/start kura-kura berada pada
posisi 1 km, sedang Archilles pada titik 0
km). Kura-kura berjalan begitu Achilles
mencapai tempatnya.
16. Begitu Achilles mencapai posisi 1 km,
kura-kura berada pada posisi 1,5 km;
Achilles mencapai posisi 1,5 km, kura-
kura mencapai posisi 1,75; Achilles
mencapai posisi 1,75 km, kura-kura
mencapai posisi 1,875 km.
Pertanyaannya adalah kapan
Achilles dapat menyusul
kura-kura???
17. 3. Anak panah
Anak panah bergerak (karena
dilepaskan dari busur) pada waktu
tertentu, diam maupun tidak diam. Apabila
waktu tidak dapat dibagi, panah tidak
akan bergerak. Apabila waktu kemudian
dibagi. Tetapi waktu juga tersusun dari
setiap (satuan) saat. Jadi panah tidak
dapat bergerak pada suatu saat
tertentu, tidak dapat bergerak pula
pada waktu. Oleh karena itu anak panah
selalu diam.
18. 4. Stadion
Paradoks tentang gerakan urutan orang duduk
di dalam stadion. Urutan [AAAA] yang diam
diperbandingkan dengan urutan bergerak pada
tempat duduk stadion dari dua arah yang
berlawanan, [BBBB]: urutan orang yang
bergerak ke kiri dan [CCCC]: urutan orang duduk
yang bergerak ke kanan.
Paradoks tentang stadion ini dapat
digambarkan sbb.:
AAAA: urutan berhenti
BBBB: urutan bergerak ke kiri
CCCC: urutan bergerak ke kanan
Semuanya bergerak dengan kecepatan
tetap/sama.
19. Posisi I Posisi II
A A A A A A A A
B B B B B B B B
C C C C C C C C
Posisi I:
Urutan duduk AAAA, BBBB dan CCC terletak rapi,
baris dan kolom sama. Gerakan dimulai, dengan
kecepatan sama, urutan BBBB dan urutan CCCC
bergerak. Urutan B paling kiri melewati 2 orang:
C paling kiri dan A paling kiri. Jarak B paling kiri
dengan C paling kiri adalah 2 kali jarak B
paling kiri dengan A paling kiri, dengan waktu
yang sama.
Zeno mempertanyakan mengapa dengan waktu
yang sama dan kecepatan sama ada perbedaan
jarak yangditempuh???
20. Pemecahan modern Semua orang
tahu bahwa dalam dunia nyata,
Achilles pasti dapat menyusul kura-
kura, namun dari argumen Zeno,
Achilles tidak akan pernah dapat
menyusul kura-kura. Para filsuf
jaman itu pun tidak mampu
membuktikan paradoks tersebut,
walaupun mereka tahu bahwa
kesimpulan akhirnya adalah salah.
21. “senjata” filsuf hanya logika, dan
deduksi tidaklah berguna dalam
kasus ini. Semua langkah tampaknya
masuk akal, dan jika semua
prosedur sudah dijalani, bagaimana
kesimpulan yang didapat ternyata
salah?
Mereka terperangah dengan
problem tersebut, tetapi tidak
memahami akar permasalahan:
ketakterhingga (infinite).
22. Hal ini sama dapat terjadi apabila
anda membagi sebuah mata uang
menjadi 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64
dan seterusnya sampai tidak
terhingga tetapi hasilnya akhirnya
jelas, yaitu: tetap 1 mata uang.
Matematikawan modern menyebut
fenomena ini dengan istilah limit;
angka 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64,
1/128 dan seterusnya mendekati
angka 0 sebagai titik akhir (limit).
23. Angka berurutan dengan pola
tertentu sampai tidak mempunyai
batas akhir, mereka makin kecil dan
bertambah kecil sampai tidak dapat
dibedakan lagi. Orang Yunani tidak
mampu menangani
ketakterhinggaan.
Mereka berpikir keras tentang
konsep kosong (void) tetapi menolak
(angka) 0 sebagai angka. Hal ini
pula yang membuat mereka pernah
dapat menemukan kalkulus.
24. Dua paradoks tambahan
* Tidak puas dengan empat paradoks yang
dilontarkan. Zeno menambahkan dua paradoks
lain yang tidak kalah rumitnya.
5. Paradoks tentang tempat
Paradoks ini cukup singkat, sehingga Zeno sulit
menjelaskannya. Secara garis besar dapat
disederhanakan sbb.: keberadaan segala
sesuatu benda (misal: batu) adalah suatu
tempat tertentu (misal: meja), sedangkan
tempat tertentu itupun (meja) memerlukan suatu
tempat (misal: rumah) dan seterusnya sampai
ketakterhinggaan.
25. 6. Paradoks tentang bulir gandum
Apabila anda menjatuhkan sebuah
karung berisi gandum yang belum dikupas
kulitnya akan terdengar suara keras,
tetapi suara itu adalah akibat gesekan
bulir-bulir gandum dalam karung;
akibatnya setiap bagian dari bulir-bulir
gandum menimbulkan suara saat jatuh ke
tanah. Kemudian pertimbangkanlah
menjatuhkan setiap bagian dari bulir
gandum itu; kita semua tahu bahwa tidak
ada suara yang terdengar.
26. Zeno boleh mati, tetapi paradok tetap
hidup
Karena kecerdikan sendiri, Zeno akhirnya
menghadapi problem serius. Sekitar tahun
435 SM, dia bersekongkol untuk
mengulingkan tirani Elea saat itu,
Nearhus.
Zeno membantu menyelundupkan senjata
dan mendukung pemberontakan. Sialnya,
Nearchus mengetahui skenario itu, dan
Zeno akhirnya ditangkap.
27. Berharap dapat mengungkap
konspirasi itu, Zeno disiksa. Tidak
tahan oleh siksaan, Zeno menyuruh
para penyiksanya untuk
menghentikan siksaan dan dia
berjanji akan menyebutkan nama
rekan-rekannya. Ketika Nearchus
mendekat, Zeno meminta agar tiran
itu lebih mendekat lagi karena dia
akan menyebutkan nama-nama
komplotan rahasia itu langsung di
telinga Nearchus.
28. Setelah telinga ada dalam
jangkauan, tiba-tiba Zeno menggigit
telinga Nearchus. Nearchus
menjerit-jerit kesakitan, namun
Zeno menolak untuk melepaskan
gigitannya. Para penyiksanya
hanya dapat melepaskan gigitan
Zeno dengan jalan menusuk mati
Zeno. Ini adalah akhir hayat,
pencipta paradoks atau
guru ketakterhinggaan
29. Sumbangsih dari zeno
Jasa Zeno paling besar adalah
pengaruhnya bagi filsafat. Sasaran
„tembak‟ Zeno adalah pluraliti dan
gerak, sesuatu ditanamkan pada opini-
opini geometrikal yang lazim dikenal,
selain akal sehat, menyerang doktrin-
doktrin Pythagorean, ternyata mampu
memberi inspirasi para teori
relativitas (paradoks keempat) dan
fisika quantum.
30. Kenyataannya ruang dan waktu
bukanlah struktur matematika utuh
(continuum). Alasan bahwa ada
cara untuk melestarikan realitas
gerak mengingkari bahwa ruang
dan waktu terbentuk dari titik-titik
dan saat-saat. Paradoks ini sangat
terkenal, terutama paradoks
Archilles dan kura-kura, kelak
dipecahkan oleh Cantor.
31. Hampir seluruh buku matematika
mencantumkan nama
Zeno pada indeksnya. Paradoks
tidak hanya merupakan pertanyaan
terhadap matematika abstrak
tetapi juga pada realitas fisik.
Memperkecil skala seperti halnya
paradoks bulir gandum, sampai
tidak dapat dibagi memicu orang
“membedah” suatu benda sampai
tingkat atom.
