Este documento describe métodos para calcular integrales racionales. Existen tres tipos principales de integrales racionales: 1) con raíces reales simples, cuya integral toma la forma A ln(x-a); 2) con raíces reales múltiples; y 3) con raíces complejas simples, cuya integral se descompone en una parte logarítmica y otra arcotangente. El documento explica cómo calcular los coeficientes para cada caso.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
I.U.T “Antonio José de Sucre”
Departamento de Informática 78
Profesora:
Ranielina Rondón Bachiller
Solorzano Ricardo
C.I:18010063
Barcelona, 05 de diciembre del 2014

2. Integración de funciones racionales
Una función racional S(x) definida en un intervalo cerrado [a, b] se puede expresar en la forma:
En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor
que del denominador, si no fuera así se dividi ría.
Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador,
descomponemos el denominador en factores.
Siendo P(x) y Q(x) dos polinomios primos entre sí y de forma que Q(x) no se anula en el
intervalo [a, b].
En el caso de que el grado del numerador sea mayor que el del denominador, la función puede
expresarse como suma de un polinomio G(x) y de una función racional cuyo numerador sea de
grado inferior que el denominador, es decir:
Suponiendo que ya tenemos S(x) en esta última forma y que el polinomio Q(x) admite una
descomposición del tipo:
Donde a1, a2, … son raíces reales de multiplicidad a,b,..., … respectivamente y b1 ± c1.i , b2 ± c2.i
… son raíces imaginarias conjugadas de multiplicidad h, k, … respectivamente, entonces existe
la descomposición en fracciones simples del tipo:

3. Se demuestra que esta descomposición existe y que es única.
La obtención de los coeficientes indeterminados puede hacerse de distintas formas. Así, por
ejemplo, escrita a priori, la fórmula de descomposición, con coeficientes indeterminados en los
numeradores del segundo miembro, se quitan denominadores multiplicando ambos miembros
por Q(x). Basta entonces igualar coeficientes de las mismas potencias de x en la igualdad que
resulta para formar un sistema lineal de ecuaciones de solución única de las incógnitas
buscadas, Aj, Bj, Cj.
En algunos casos puede aplicarse un método sencillo que consiste en ir dando a x cada uno de
los valores que son raíces del denominador. Vamos a desglosar el problema de la
determinación de los coeficientes indeterminados en tres casos.
Caso de ceros simples reales.
No se precisa aplicar el método de los coeficientes indeterminados, pues si la descomposición
en fracciones simples se queda en la forma
Los coeficientes vienen dados por la expresión:
Y la función integral será de la forma:
Ejemplo 1.- Vamos a obtener la función primitiva de:

4. Esta función descompuesta en fracciones simples quedará en la forma:
Y los coeficientes A1, A2, A3 se pueden obtener por el método de las derivadas. Se tiene, siendo
la derivada del denominador 3•x² + 4•x-1:
Por lo tanto, la primitiva buscada será:
Caso de ceros simples imaginarios.
Consideremos el caso más sencillo, en el que el denominador Q(x) es de grado dos. Si sus raíces
son a + b•i y a – b•i, se tiene:
Y la fracción queda en la forma:
Así transformada, la función se integra como sigue:

5. Ejemplo 2.- Calcular la integral de la función:
La descomposición en fracciones simples de esta función nos da:
Y los coeficientes son: A = 1; B = -1; C = 0. De ese modo, la función integrada queda en la forma:
Caso de ceros múltiples.
Si en el denominador hay un factor (x-a) h, esta raíz h-ple origina h fracciones simples:
Multiplicando por (x-a)h y poniendo F(x) = P(x)/q(x), tenemos:

6. Los coeficientes se determinan entonces haciendo:
También se puede emplear el método de los coeficientes indeterminados, sobre todo cuando
hay raíces imaginarias.
Ejemplo 3.- Considerar la integral de la función:
Quitando denominadores resulta:
Identificando coeficientes y resolviendo se tiene: A = 1; B = 2; C = 1 y la función queda en la
forma:
E integrando:
Una vez estudiados los distintos métodos existentes para obtener los coeficientes, vamos a
analizar los tipos de funciones a integrar que aparecen. Los distintos tipos de funciones simples
que tenemos son:
El primer caso corresponde a una raíz real simple del denominador. Su integral se obtiene
inmediatamente y es de la forma A.Ln(x-a).

7. El segundo caso corresponde a una raíz real de multiplicidad, por lo menos, p del denominador.
Su integral se obtiene haciendo:
El tercer caso corresponde a un par de raíces conjugadas en el denominador y su integración se
realiza como se ha visto en el apartado “Caso de ceros simples imaginarios ”:
El último caso corresponde a un par de raíces conjugadas, de multiplicidad por lo menos p, en
el denominador. La integral de una expresión de ese tipo debe resolverse por un método de
reducción:
La primera de las integrales se obtiene como sigue:
Para resolver la segunda de las integrales hacemos:
Haciendo ahora el cambio:

8. Podemos poner:
Llamando Ip a la expresión comprendida bajo el signo integral podemos hacer:
La primera de las integrales queda Ip-1, la segunda pude integrarse por partes haciendo:
Y a partir de ahí:
Con lo que tenemos:
Y sustituyendo en la expresión de Ip
Agrupando términos y deshaciendo el cambio de variable realizado al principio, se tiene:

9. La expresión general para las integrales racionales con raíces conjugadas de multiplicidad por
lo menos p en el denominador queda, por tanto, en la forma:
Donde Ip tiene el valor obtenido anteriormente, que operado sucesivamente queda en la
forma:
Método de Hermite.
En el caso de que el denominador tenga ceros múltiples es posible y conveniente descomponer el
integrando en la siguiente forma:
Siendo en dicha expresión: Q1(x) el máximo común divisor de Q(x) y Q’(x); Q2(x) el cociente
(exacto) entre Q(x) y Q1(x) y los polinomios P1(x) y P2(x), de grados inferiores a Q1(x) y Q2(x),
respectivamente, cuyos coeficientes se determinan por el método de los coeficientes
indeterminados.
La integral de la fracción propuesta viene entonces dada en la forma:
Que se compone de una parte racional ya integrada y otra trascendente, por tener Q2(x) todos sus
ceros simples, ya que cada raíz h-ple de Q(x) es raíz (h-1)-ple de Q1(x).
La determinación de Q1(x), Q2(x), P1(x) y P2(x) es racional no exigiéndose la determinación de los
ceros y esta sólo se necesita para el polinomio de menor grado, Q2(x), al calcular la parte
trascendente de la integral.
Demostración.
Sea el polinomio del denominador Q(x) con h raíces distintas:

10. Cada una de las cuales tenga multiplicidad a1,…, ah, respectivamente. El grado de dicho polinomio
será, por ejemplo, n.
El polinomio Q1(x), máximo común divisor de Q(x) y Q’(x) vendrá dado en la forma:
Y su grado será n-h.
Por último, el polinomio Q2(x), cociente exacto entre Q(x) y Q1(x) será de la forma:
Y su grado será h (menor o igual que n).
Vamos a ver ahora cómo se determinan los polinomios P1(x) y P2(x), de grados inferiores a Q1(x) y
Q2(x), respectivamente, que satisfagan la relación (1 – MH) que se puede poner en la forma:
O lo que es igual:
Si, por ejemplo, P1(x) es un polinomio indeterminado de grado (n-h)-1 y P2(x) otro polinomio de
grado (h-1), el número total de coeficientes indeterminados, contando los términos
independientes de los dos polinomios, es n; y como el primer miembro, P(x), es a lo sumo, de
grado (n-1), se tiene un número suficiente de ecuaciones lineales para determinarlos. Estas
ecuaciones lineales forman un sistema determinado, porque si fuera nulo su determinante, el
sistema homogéneo que resultaría tomando términos independientes nulos, admitiría solución no
formada por ceros, es decir, habría dos polinomios no idénticamente nulos, P1(x) y P2(x) que
satisfarían (1 – MH) y (2 – MH) para el polinomio idénticamente nulo P(x) y resultaría de (2 – MH)
(cuyo primer miembro sería nulo) la igualdad de una función racional, P1(x)/Q1(x), con una
trascendente.
Ejemplo 4.- Determinar por el método de Hermite la integral
Formamos los distintos polinomios necesarios:

11. Y la ecuación de Hermite es:
Que da, igualando coeficientes, el siguiente sistema de ecuaciones:
En x4, c = 0
En x³, d – a – 2c = 0
En x², c + e – a – 2b – 2d = 0
En x¹, d – a – 2e = 0
En x0, e – a – 2b = 1
Que tiene por solución:
a = ½; b = -3/4; c = 0; d = ½; e = 0
Y la expresión a integrar resulta:
Calculamos la última integral por descomposición en fracciones simples:
Igualando coeficientes obtenemos el sistema de ecuaciones lineales:
En x², A + B = 0; en x¹, C – B = ½; en x0, A – C = 0
Que tiene como solución:
A = ¼; B = - ¼; C = ¼
De ese modo la integral queda en la forma:
Y su solución es:

12. Con lo que la integral general queda en la forma:
En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor
que del denominador, si no fuera así se dividi ría.
Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador,
descomponemos el denominador en factores.
Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los
siguientes tipos de integrales racionales :
Caso 1: Integrales racionales con raíces reales simples
La f racción puede escribi rse así:
Los coef icientes A, B y C son números que se obtienen efectuando la suma e
identi f icando coef icientes o dando valores a x.

13. Se efectúa la suma:
Como las dos f racciones tienen el mi smo denominador, los numeradores han de ser
iguales:
Calculamos los coef icientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al
denominador.
Caso 2: Integrales racionales con raíces reales múl tiples
La f racción puede escribi rse así:

14. Para calcular los valores de A, B y C, damo s a x los valores que anulan al
denominador y otro más.
Caso 3: Integrales racionales con raíces complejas simples
La f racción puede escribi rse así:
Esta integral se descompone en una de tipo logarítmico y otra de tipo arco
tangente.

15. Hal lamos los coef icientes real i zando las operaciones e igualando
coef icientes: