El documento trata sobre el concepto de estabilidad en sistemas de control. Explica que un sistema es estable si ante una entrada limitada responde con una salida limitada. Describe que para que un sistema realimentado sea estable, todas las raíces de su ecuación característica deben estar en el semiplano izquierdo de Laplace. Finalmente, presenta el criterio de Routh-Hurwitz para determinar la estabilidad analizando los signos en el arreglo de Routh.

1. Capítulo 4: ESTABILIDAD
El Concepto de Estabiliad
Un sistema lineal e invariante en el tiempo, SLIT, es
estable si ante una entrada limitada o acotada
responde con una salida limitada o acotada.
𝑟 𝑡 ≤ 𝑁 < ∞; ∀ 𝑡 ≥ 𝑡0 ≥
𝑦 𝑡 ≤ 𝑀 < ∞; ∀ 𝑡 ≥ 𝑡0 ≥

2. Concepto de Estabilidad
Estable Neutral Inestable

3. Consideremos la siguiente función de transferencia de
lazo cerrado:
Donde las a y las b son constantes y m ≤ n.
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑏 𝑚 𝑠 𝑚
+ 𝑏 𝑚−1 𝑠 𝑚−1
+ 𝑏 𝑚−2 𝑠 𝑚−2
+ ⋯ + 𝑏1 𝑠 + 𝑏0
𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 𝑠 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0
La Ecuación Característica (EC) del Sistema es:
𝑎 𝑛 𝑠 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1
+ 𝑎 𝑛−2 𝑠 𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 = 0

4. Una condición necesaria y suficiente
para que un Sistema realimentado sea
estable, es que todas las raíces de la
EC esten ubicadas en el semiplano
izquierdo de Laplace.
Concepto de Estabilidad
Nota.- Las raíces de la EC son los polos de lazo cerrado del sistema realimentado.

5. Estabilidad Absoluta
Se refiere a la condición de un Sistema de ser
estable o no.
Estabilidad Relativa
Se refiere al grado de estabilidad del Sistema. Si
un Sistema es estable, entonces se puede
determinar su grado de estabilidad o estabilidad
relativa.
Tipos de Estabilidad

6. Criterio de Estabilidad de Routh-Hurwitz
Si no se cumplen, el sistema es inestable. Si se cumplen, pasaremos
a analizar la estabilidad del Sistema.
Si todos los coeficientes de la ecuación característica
de un sistema de control realimentado tienen el
mismo signo y son diferentes de cero, diremos que
se esta cumpliendo los dos requisitos necesarios,
pero no suficientes para que el sistema sea estable.

7. Arreglo de Routh-Hurwitz
    
31
31
1
1
51
4
1
3
31
2
11
321
1
1
0
531
3
531
2
531
1
42
01
2
2
1
1
1
1
1
0





































nn
nn
n
n
nn
nn
n
n
nn
nn
nn
nnnn
n
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
nnn
n
n
n
n
n
n
n
bb
aa
b
c
aa
aa
a
b
aa
aa
aa
aaaa
b
hs
cccs
bbbs
aaas
aaas
asasasasa 
Ecuación Característica,
Arreglo de Routh

8. El criterio de Routh-Hurwitz establece
que:
El número de raíces de la Ecuación
Característica con parte real positiva en el
plano de Laplace es igual al número de
cambios de signo de la primera columna
del arreglo de Routh-Hurwitz.

9. Casos del Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
Caso 1: Ningun elemento de la primera columna es cero.
0
0
1
0
1
1
02
2
bs
as
aas
Ejemplo.- Sea la EC:
Un sistema de segundo orden es estable si la EC es un polinomio completo y
todos sus coeficientes tienen el mismo signo.
𝑎2 𝑠2 + 𝑎1 𝑠 + 𝑎0 = 0
El arreglo R-H es:
𝑏1 =
𝑎1 𝑎0 − (0)𝑎2
𝑎1
= 𝑎0

10. Caso 2: Ceros in la primera columna del arreglo R-H con algunos
elementos de la fila que contiene al cero diferentes de cero.
0010
00
010
06
1042
1121
0
1
1
1
2
1
3
4
5
s
ds
cs
bs
s
s
Ejemplo.-
Hay 2 cambios de signo en la primera columna del arreglo R-H, el sistema es
inestable (2 polos de lazo cerrado con parte real positiva.)
𝑠5 + 2𝑠4 + 2𝑠3 + 4𝑠2 + 11𝑠 + 10 = 0
𝑏1 =
2 2 − 1(4)
2
= 0 = 𝜀
𝑐1 =
4𝜀 − 2(6)
𝜀
=
−12
𝜀
𝑑1 =
6𝑐1 − 10𝜀
𝑐1

11. Caso 3: Ceros en la primera columna del arreglo R-H, y los otros
elementos de la fila que contiene al cero también son ceros.
0
0
2
41
0
2
81
2
3
Ks
s
Ks
s
K
El sistema es estable con 0 < K < 8. El sistema es oscilante con
K = 8. En la fila de 𝑆1 del arreglo R-H todos los elementos de la
fila son ceros.
Ejemplo.- Sea la EC: 𝑠3
+ 2𝑠2
+ 4𝑠 + 𝐾 = 0

12. Usemos la ecuación auxiliar U(s) = 0; para determinar las raíces
que generan la respuesta oscilante del sistema. La ecuación
auxiliar la formaremos con los coeficiente de la fila 𝑆2
.
𝑈 𝑠 = 2𝑠2 + 𝐾𝑠0 = 2𝑠2 + 8 = 2 𝑠2 + 4 = 2(𝑠 + 𝑗2)(𝑠 − 𝑗2)
La tercera raíz de la EC se halla dividiendo la EC entre U(s), y es
(s + 2).

13. PROBLEMA
Una línea de llenado de botellas usa un mecanismo alimentador tipo
tornillo, Como se muestra en la figura. El tacómetro se usa para
mantener un control de velocidad preciso. Determine y grafique el
rango de K y p para tener una operación estable.

14. Problema: El diseño de control de giro de un vehículo de dos carriles contempla la selección
de dos parámetros K y a (ver Fig.). Los carriles se operan a velocidad diferente para hacer
girar al vehículo. Seleccione K y a, tal que el sistema sea estable y el error para una entrada
rampa sea menor o igual al 24% de la magnitud de la rampa de entrada.