RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
Prof. Dr. Daniel Caetano
2012 - 2
FLEXÃO
PARTE III
Objetivos
• Conceituar a flexão assimétrica
• Conceituar a flexão oblíqua
• Determinar a posição da linha
neutra em barras...
Material de Estudo
Material Acesso ao Material
Apresentação http://www.caetano.eng.br/
(Aula 11)
Biblioteca Virtual Resist...
REVENDO...
• Pode-se calcular  a paritr de M
𝑴 =
𝝈 𝒎á𝒙
𝒄
. 𝑰
𝝈 𝒎á𝒙 =
𝑴. 𝒄
𝑰
Flexão Pura Reta
• Material Homogêneo e Alta Deformabilidade
• Seção transversal simétrica a um eixo
• Momento aplicado em torno de linha c...
• Será que a teoria é limitada assim?
• Seção transversal qualquer
• Momento em qualquer direção
Flexão Pura Reta
Fórmula ...
A IMPORTÂNCIA DOS EIXOS
PRINCIPAIS NA FLEXÃO
• Consideremos a seguinte seção assimétrica
Importância dos Eixos Principais
• M induz 
• dF =  . dA
• Consideremos a seguinte seção assimétrica
Importância dos Eixos Principais
• Quais as eqs.
de equilíbrio?
• 𝐹𝑥 = 0
• 𝑀𝑧 ...
Importância dos Eixos Principais
• 𝐹𝑥 = 0
− 𝜎. 𝑑𝐴
𝐴
= 0
• Como visto na aula passada...
– Isso é satisfeito se z passa pel...
Importância dos Eixos Principais
• 𝐹𝑥 = 0
− 𝜎. 𝑑𝐴
𝐴
= 0
• O que nos permitiu concluir...
𝝈 = −
𝒚
𝒄
. 𝝈 𝒎á𝒙
Importância dos Eixos Principais
• 𝑀𝑧 = 𝑀
−𝑦. 𝜎. 𝑑𝐴
𝐴
= 𝑀
• Substituindo com...
• Nos permitiu concluir...
𝝈 𝒎á𝒙 =
𝑴. 𝒄
𝑰
...
Importância dos Eixos Principais
• 𝑀 𝑦 = 0
𝑧. 𝜎. 𝑑𝐴
𝐴
= 0
• Se substituirmos com ...
• Resultará em...
−𝜎 𝑚á𝑥
𝑐
. 𝑦. 𝑧. 𝑑𝐴...
Importância dos Eixos Principais
• 𝑀 𝑦 = 0
𝑧. 𝜎. 𝑑𝐴
𝐴
= 0
• Se substituirmos com ...
• Resultará em...
−𝜎 𝑚á𝑥
𝑐
. 𝑦. 𝑧. 𝑑𝐴...
Importância dos Eixos Principais
• 𝑀 𝑦 = 0
𝑧. 𝜎. 𝑑𝐴
𝐴
= 0
• Se substituirmos com ...
• Resultará em...
−𝜎 𝑚á𝑥
𝑐
. 𝑦. 𝑧. 𝑑𝐴...
Importância dos Eixos Principais
• Conclusão:
– Se momento é em torno de um dos eixos
principais, a teoria vale!
– Simetri...
Importância dos Eixos Principais
• Simetria ajuda...
– Um dos eixos principais é o de simetria
– O outro é perpendicular
Importância dos Eixos Principais
• Se não há simetria...
– Recorrer à fórmula
– Ângulo dos Eixos Principais
A FÓRMULA DA
FLEXÃO GENERALIZADA:
MOMENTOS OBLÍQUOS
• Momento Oblíquo:
– Não é em torno de um eixo principal
Momentos Oblíquos
M
z
y
θ
• Onde ocorre?
– Pilares de Canto
Momentos Oblíquos
M
z
y
• Onde ocorre?
– Pilares de Canto
Momentos Oblíquos
• Não é em torno de um eixo principal
– Mas podemos decompô-lo
Momentos Oblíquos
M
z
y
Mz
My
θ
𝑀𝑧 = 𝑀. cos 𝜃 𝑧
𝑀 𝑦 = 𝑀. se...
• Visão em Perspectiva
• Por superposição de efeitos...
Momentos Oblíquos
• Analisando as tensões
Momentos Oblíquos
• Analisando as tensões
Momentos Oblíquos
𝝈 = −
𝑴 𝒛. 𝒚
𝑰 𝒛
𝝈 =
𝑴 𝒚. 𝒛
𝑰 𝒚
z
y
𝝈 =?
• Analisando as tensões
Momentos Oblíquos
𝝈 = −
𝑴 𝒛. 𝒚
𝑰 𝒛
𝝈 =
𝑴 𝒚. 𝒛
𝑰 𝒚
z
y
𝝈 = −
𝑴 𝒛. 𝒚
𝑰 𝒛
+
𝑴 𝒚. 𝒛
𝑰 𝒚
• Se precisarmos saber onde é o eixo neutro...
Eixo Neutro
𝝈 = 𝟎
• Se precisarmos saber onde é o eixo neutro...
• 𝝈 = −
𝑴 𝒛.𝒚
𝑰 𝒛
+
𝑴 𝒚.𝒛
𝑰 𝒚
• 𝟎 = −
𝑴 𝒛.𝒚
𝑰 𝒛
+
𝑴 𝒚.𝒛
𝑰 𝒚
• 𝒚 =
𝑴 𝒚.𝑰 𝒛
𝑴...
• O ângulo do eixo neutro com o principal...
• 𝒚 =
𝑰 𝒛
𝑰 𝒚
. tan 𝜽 . 𝒛
• tan 𝛼 = 𝒚/𝒛
• tan 𝛼 =
𝑰 𝒛
𝑰 𝒚
. tan 𝜽
• 𝛼 = atan
...
• Considerando M=12kN.m, indique a tensão
em cada canto da seção transversal e a
direção do eixo neutro
Exemplo
C
3 4
• M=12kN.m, B a E, 
Exemplo
C
3 4
C
3 4
z
y
M
0,1 0,1
0,2
0,2
C
D E
B
Mz = (3/5).M
My = (4/5).M
• M=12kN.m, B a E, 
𝜎 𝑦 =
𝑀𝑧. 𝑦
𝐼𝑧
|𝜎 𝑧 | =
𝑀 𝑦. 𝑧
𝐼 𝑦
• Mas 𝜎 𝑦 <0 com Mz>0 e y>0...
𝜎 𝑦 = −
𝑀𝑧. 𝑦
𝐼𝑧
• E 𝜎 𝑧 <0 com M...
• M=12kN.m, B a E, 
𝜎 𝑦; 𝑧 = −
𝑀𝑧. 𝑦
𝐼𝑧
+
𝑀 𝑦. 𝑧
𝐼 𝑦
• Calculando Iz e Iy
𝐼𝑧 =
𝑏. ℎ3
12
=
0,2. 0,43
12
𝐼𝑧 = 1,067. 10−3...
• M=12kN.m, B a E, 
𝐼𝑧 = 1,067. 10−3
𝑚4
𝐼 𝑦 = 0,2667. 10−3
𝑚4
𝜎 𝑦; 𝑧 = −
𝑀𝑧. 𝑦
𝐼𝑧
+
𝑀 𝑦. 𝑧
𝐼 𝑦
• Os momentos My e Mz
𝑀 ...
• M=12kN.m, B a E, 
𝐼𝑧 = 1,067. 10−3 𝑚4
𝐼 𝑦 = 0,2667. 10−3 𝑚4
𝑀 𝑦 = −9,6𝑘𝑁. 𝑚
𝑀𝑧 = 7,2𝑘𝑁. 𝑚
𝜎 𝑦; 𝑧 = −
𝑀𝑧. 𝑦
𝐼𝑧
+
𝑀 𝑦. ...
• B a E, 
𝜎 𝑦; 𝑧 = −(6,75𝑦 + 36𝑧). 106
• Calculando em cada canto
𝜎 𝐵 = 𝜎 0,2; −0,1
𝜎 𝐵 = 2,25. 106
𝑁. 𝑚
𝜎 𝐶 = 𝜎 0,2; 0...
• B a E, 
𝜎 𝑦; 𝑧 = −(6,75𝑦 + 36𝑧). 106
• Calculando em cada canto
𝜎 𝐵 = 2,25. 106
𝑁. 𝑚
𝜎 𝐶 = −4,95. 106
𝑁. 𝑚
𝜎 𝐷 = −2,2...
• B, C, D, E, 
𝜎 𝑦; 𝑧 = −(6,75𝑦 + 36𝑧). 106
• Calculando em cada canto
𝜎 𝐵 = 2,25. 106
𝑁. 𝑚
𝜎 𝐶 = −4,95. 106
𝑁. 𝑚
𝜎 𝐷...
• B, C, D, E, 
𝜎 𝑦; 𝑧 = −(6,75𝑦 + 36𝑧). 106
• Calculando em cada canto
𝜎 𝐵 = 2,25. 106
𝑁. 𝑚
𝜎 𝐶 = −4,95. 106
𝑁. 𝑚
𝜎 𝐷...
𝜎 𝐵 = 2,25. 106
𝑁. 𝑚
𝜎 𝐶 = −4,95. 106
𝑁. 𝑚
𝜎 𝐷 = −2,25. 106
𝑁. 𝑚
𝜎 𝐸 = 4,95. 106
𝑁. 𝑚
𝛼 = 79,4 𝑜
Exemplo
EXEMPLO MAIS COMPLETO
• Uma viga em T está sujeita a um momento
fletor de 15kN.m. Determine a tensão normal
máxima na viga e a orientação do eix...
• M=15kN.m. máx e 
• Calcular o centro de gravidade
Exemplo
C
• M=15kN.m máx e 
• Calcular o cg
• z = (A1.d1 + A2.d2)/A
𝑧 =
((0,2.0,03).0,115 + (0,1.0,04).0,05)
(0,2.0,03)+(0,1.0,04)...
• M=15kN.m máx e 
• Z = 0,089m
• Decompor M
• My = M cos 30o
– My = 12,99kN.m
• Mz = M sen 30o
– Mz = 7,5kN.m
Exemplo
C
• máx e 
• máx em B ou C
• Clalcular Iy e Iz
• 𝐼𝑦 =
𝑏1.ℎ13
12
. 𝐴1. 𝑑12
+
𝑏2.ℎ23
12
. 𝐴2. 𝑑22
• 𝐼𝑦 = 13,92. 10−6
. 𝑚4
•...
• máx e 
• máx em B ou C
• Iy=13,92.10-6m4
• Iz=20,53.10-6m4
• Calcular 
• 𝛼 = atan
𝑰 𝒛
𝑰 𝒚
. tan 𝜽 𝒛
• 𝛼 = atan
𝟐𝟎,𝟓𝟑...
• máx
• máx em B ou C
• Iy=13,92.10-6m4
• Iz=20,53.10-6m4
• = 68,6o
Exemplo
• máx
• máx em B ou C
• Iy=13,92.10-6m4
• Iz=20,53.10-6m4
• = 68,6º
• Cálculo dos máx
• 𝜎 = −
𝑀 𝑧.𝑦
𝐼 𝑧
+
𝑀 𝑦.𝑧
𝐼 𝑦
• ...
• máx
• máx em B ou C
• Iy=13,92.10-6m4
• Iz=20,53.10-6m4
• = 68,6º
• Cálculo dos máx
• 𝜎 = −
𝑀 𝑧.𝑦
𝐼 𝑧
+
𝑀 𝑦.𝑧
𝐼 𝑦
• ...
EXERCÍCIO
Exercício (Em Dupla)
• Considerando M=3,5kN.m, calcule o máx e a
direção do eixo neutro.
PARA TREINAR
Para Treinar em Casa
• Hibbeler (Bib. Virtual), Pág. 245 a 246
• Mínimos:
– Exercícios 6.97, 6.101
• Extras:
– Exercícios ...
Para Treinar em Casa
CONCLUSÕES
Resumo
• A flexão oblíqua pode
– Ser interpretada como duas flexões retas...
– ...considerando-se os eixos principais
• A ...
Próxima Aula
• O que ocorre quando
há flexão e
compressão/tração?
PERGUNTAS?
BOM DESCANSO
A TODOS!
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  1. 1. RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II Prof. Dr. Daniel Caetano 2012 - 2 FLEXÃO PARTE III
  2. 2. Objetivos • Conceituar a flexão assimétrica • Conceituar a flexão oblíqua • Determinar a posição da linha neutra em barras sob flexão pura oblíqua
  3. 3. Material de Estudo Material Acesso ao Material Apresentação http://www.caetano.eng.br/ (Aula 11) Biblioteca Virtual Resistência dos Materiais (Hibbeler) – 5ª Edição Páginas 237 a 246.
  4. 4. REVENDO...
  5. 5. • Pode-se calcular  a paritr de M 𝑴 = 𝝈 𝒎á𝒙 𝒄 . 𝑰 𝝈 𝒎á𝒙 = 𝑴. 𝒄 𝑰 Flexão Pura Reta
  6. 6. • Material Homogêneo e Alta Deformabilidade • Seção transversal simétrica a um eixo • Momento aplicado em torno de linha central perpendicular a esse eixo Flexão Pura Reta
  7. 7. • Será que a teoria é limitada assim? • Seção transversal qualquer • Momento em qualquer direção Flexão Pura Reta Fórmula da Flexão Generalizada Flexão Assimétrica
  8. 8. A IMPORTÂNCIA DOS EIXOS PRINCIPAIS NA FLEXÃO
  9. 9. • Consideremos a seguinte seção assimétrica Importância dos Eixos Principais • M induz  • dF =  . dA
  10. 10. • Consideremos a seguinte seção assimétrica Importância dos Eixos Principais • Quais as eqs. de equilíbrio? • 𝐹𝑥 = 0 • 𝑀𝑧 = 𝑀 • 𝑀 𝑦 = 0
  11. 11. Importância dos Eixos Principais • 𝐹𝑥 = 0 − 𝜎. 𝑑𝐴 𝐴 = 0 • Como visto na aula passada... – Isso é satisfeito se z passa pelo centróide • Z passa pela superfície neutra – Z é o eixo neutro
  12. 12. Importância dos Eixos Principais • 𝐹𝑥 = 0 − 𝜎. 𝑑𝐴 𝐴 = 0 • O que nos permitiu concluir... 𝝈 = − 𝒚 𝒄 . 𝝈 𝒎á𝒙
  13. 13. Importância dos Eixos Principais • 𝑀𝑧 = 𝑀 −𝑦. 𝜎. 𝑑𝐴 𝐴 = 𝑀 • Substituindo com... • Nos permitiu concluir... 𝝈 𝒎á𝒙 = 𝑴. 𝒄 𝑰 Momento é positivo e há compressão onde y é positivo... e há tração onde y é negativo 𝝈 = − 𝒚 𝒄 . 𝝈 𝒎á𝒙
  14. 14. Importância dos Eixos Principais • 𝑀 𝑦 = 0 𝑧. 𝜎. 𝑑𝐴 𝐴 = 0 • Se substituirmos com ... • Resultará em... −𝜎 𝑚á𝑥 𝑐 . 𝑦. 𝑧. 𝑑𝐴 𝐴 = 0 𝝈 = − 𝒚 𝒄 . 𝝈 𝒎á𝒙
  15. 15. Importância dos Eixos Principais • 𝑀 𝑦 = 0 𝑧. 𝜎. 𝑑𝐴 𝐴 = 0 • Se substituirmos com ... • Resultará em... −𝜎 𝑚á𝑥 𝑐 . 𝑦. 𝑧. 𝑑𝐴 𝐴 = 0 𝝈 = − 𝒚 𝒄 . 𝝈 𝒎á𝒙 Isso não pode ser zero... O que é isso? Produto de Inércia
  16. 16. Importância dos Eixos Principais • 𝑀 𝑦 = 0 𝑧. 𝜎. 𝑑𝐴 𝐴 = 0 • Se substituirmos com ... • Resultará em... −𝜎 𝑚á𝑥 𝑐 . 𝑦. 𝑧. 𝑑𝐴 𝐴 = 0 𝝈 = − 𝒚 𝒄 . 𝝈 𝒎á𝒙 Isso não pode ser zero... O que é isso? Produto de Inércia O que significa o produto de inércia ser zero?
  17. 17. Importância dos Eixos Principais • Conclusão: – Se momento é em torno de um dos eixos principais, a teoria vale! – Simetria não importa
  18. 18. Importância dos Eixos Principais • Simetria ajuda... – Um dos eixos principais é o de simetria – O outro é perpendicular
  19. 19. Importância dos Eixos Principais • Se não há simetria... – Recorrer à fórmula – Ângulo dos Eixos Principais
  20. 20. A FÓRMULA DA FLEXÃO GENERALIZADA: MOMENTOS OBLÍQUOS
  21. 21. • Momento Oblíquo: – Não é em torno de um eixo principal Momentos Oblíquos M z y θ
  22. 22. • Onde ocorre? – Pilares de Canto Momentos Oblíquos M z y
  23. 23. • Onde ocorre? – Pilares de Canto Momentos Oblíquos
  24. 24. • Não é em torno de um eixo principal – Mas podemos decompô-lo Momentos Oblíquos M z y Mz My θ 𝑀𝑧 = 𝑀. cos 𝜃 𝑧 𝑀 𝑦 = 𝑀. sen 𝜃 𝑧
  25. 25. • Visão em Perspectiva • Por superposição de efeitos... Momentos Oblíquos
  26. 26. • Analisando as tensões Momentos Oblíquos
  27. 27. • Analisando as tensões Momentos Oblíquos 𝝈 = − 𝑴 𝒛. 𝒚 𝑰 𝒛 𝝈 = 𝑴 𝒚. 𝒛 𝑰 𝒚 z y 𝝈 =?
  28. 28. • Analisando as tensões Momentos Oblíquos 𝝈 = − 𝑴 𝒛. 𝒚 𝑰 𝒛 𝝈 = 𝑴 𝒚. 𝒛 𝑰 𝒚 z y 𝝈 = − 𝑴 𝒛. 𝒚 𝑰 𝒛 + 𝑴 𝒚. 𝒛 𝑰 𝒚
  29. 29. • Se precisarmos saber onde é o eixo neutro... Eixo Neutro 𝝈 = 𝟎
  30. 30. • Se precisarmos saber onde é o eixo neutro... • 𝝈 = − 𝑴 𝒛.𝒚 𝑰 𝒛 + 𝑴 𝒚.𝒛 𝑰 𝒚 • 𝟎 = − 𝑴 𝒛.𝒚 𝑰 𝒛 + 𝑴 𝒚.𝒛 𝑰 𝒚 • 𝒚 = 𝑴 𝒚.𝑰 𝒛 𝑴 𝒛.𝑰 𝒚 . 𝒛 • Logo... • 𝒚 = 𝑰 𝒛 𝑰 𝒚 . 𝒕𝒂𝒏 𝜽 𝒛 . 𝒛 Eixo Neutro 𝑀𝑧 = 𝑀. cos 𝜃𝑧 𝑀 𝑦 = 𝑀. sen 𝜃𝑧
  31. 31. • O ângulo do eixo neutro com o principal... • 𝒚 = 𝑰 𝒛 𝑰 𝒚 . tan 𝜽 . 𝒛 • tan 𝛼 = 𝒚/𝒛 • tan 𝛼 = 𝑰 𝒛 𝑰 𝒚 . tan 𝜽 • 𝛼 = atan 𝑰 𝒛 𝑰 𝒚 . tan 𝜽 • 𝜶 ≠ 𝜽 Eixo Neutro
  32. 32. • Considerando M=12kN.m, indique a tensão em cada canto da seção transversal e a direção do eixo neutro Exemplo C 3 4
  33. 33. • M=12kN.m, B a E,  Exemplo C 3 4 C 3 4 z y M 0,1 0,1 0,2 0,2 C D E B Mz = (3/5).M My = (4/5).M
  34. 34. • M=12kN.m, B a E,  𝜎 𝑦 = 𝑀𝑧. 𝑦 𝐼𝑧 |𝜎 𝑧 | = 𝑀 𝑦. 𝑧 𝐼 𝑦 • Mas 𝜎 𝑦 <0 com Mz>0 e y>0... 𝜎 𝑦 = − 𝑀𝑧. 𝑦 𝐼𝑧 • E 𝜎 𝑧 <0 com My<0 e z>0... 𝜎 𝑧 = 𝑀 𝑦. 𝑧 𝐼 𝑦 Exemplo z y 0,1 0,1 0,2 0,2 C D E B Mz = (3/5).M My = (4/5).M 𝝈 =? 𝑺𝒊𝒏𝒂𝒊𝒔?
  35. 35. • M=12kN.m, B a E,  𝜎 𝑦; 𝑧 = − 𝑀𝑧. 𝑦 𝐼𝑧 + 𝑀 𝑦. 𝑧 𝐼 𝑦 • Calculando Iz e Iy 𝐼𝑧 = 𝑏. ℎ3 12 = 0,2. 0,43 12 𝐼𝑧 = 1,067. 10−3 𝑚4 𝐼 𝑦 = 𝑏. ℎ3 12 = 0,4. 0,23 12 𝐼 𝑦 = 0,2667. 10−3 𝑚4 Exemplo z y 0,1 0,1 0,2 0,2 C D E B Mz = (3/5).M My = (4/5).M 𝑰𝒚 𝒆 𝑰𝒛?
  36. 36. • M=12kN.m, B a E,  𝐼𝑧 = 1,067. 10−3 𝑚4 𝐼 𝑦 = 0,2667. 10−3 𝑚4 𝜎 𝑦; 𝑧 = − 𝑀𝑧. 𝑦 𝐼𝑧 + 𝑀 𝑦. 𝑧 𝐼 𝑦 • Os momentos My e Mz 𝑀 𝑦 = −0,8.12 = −9,6𝑘𝑁. 𝑚 𝑀𝑧 = 0,6.12 = 7,2𝑘𝑁. 𝑚 Exemplo z y 0,1 0,1 0,2 0,2 C D E B Mz = (3/5).M My = (4/5).M 𝑴𝒚 𝒆 𝑴𝒛?
  37. 37. • M=12kN.m, B a E,  𝐼𝑧 = 1,067. 10−3 𝑚4 𝐼 𝑦 = 0,2667. 10−3 𝑚4 𝑀 𝑦 = −9,6𝑘𝑁. 𝑚 𝑀𝑧 = 7,2𝑘𝑁. 𝑚 𝜎 𝑦; 𝑧 = − 𝑀𝑧. 𝑦 𝐼𝑧 + 𝑀 𝑦. 𝑧 𝐼 𝑦 Exemplo z y 0,1 0,1 0,2 0,2 C D E B Mz = (3/5).M My = (4/5).M • Logo... 𝜎 𝑦; 𝑧 = − 7,2. 103 . 𝑦 1,067. 10−3 + −9,6. 103 . 𝑧 0,2667. 10−3
  38. 38. • B a E,  𝜎 𝑦; 𝑧 = −(6,75𝑦 + 36𝑧). 106 • Calculando em cada canto 𝜎 𝐵 = 𝜎 0,2; −0,1 𝜎 𝐵 = 2,25. 106 𝑁. 𝑚 𝜎 𝐶 = 𝜎 0,2; 0,1 𝜎 𝐶 = −4,95. 106 𝑁. 𝑚 𝜎 𝐷 = 𝜎 −0,2; 0,1 𝜎 𝐷 = −2,25. 106 𝑁. 𝑚 Exemplo z y 0,1 0,1 0,2 0,2 C D E B Mz = (3/5).M My = (4/5).M
  39. 39. • B a E,  𝜎 𝑦; 𝑧 = −(6,75𝑦 + 36𝑧). 106 • Calculando em cada canto 𝜎 𝐵 = 2,25. 106 𝑁. 𝑚 𝜎 𝐶 = −4,95. 106 𝑁. 𝑚 𝜎 𝐷 = −2,25. 106 𝑁. 𝑚 𝜎 𝐸 = 𝜎 −0,2; −0,1 𝜎 𝐸 = 4,95. 106 𝑁. 𝑚 Exemplo z y 0,1 0,1 0,2 0,2 C D E B Mz = (3/5).M My = (4/5).M
  40. 40. • B, C, D, E,  𝜎 𝑦; 𝑧 = −(6,75𝑦 + 36𝑧). 106 • Calculando em cada canto 𝜎 𝐵 = 2,25. 106 𝑁. 𝑚 𝜎 𝐶 = −4,95. 106 𝑁. 𝑚 𝜎 𝐷 = −2,25. 106 𝑁. 𝑚 𝜎 𝐸 = 4,95. 106 𝑁. 𝑚 Exemplo z y 0,1 0,1 0,2 0,2 C D E B Mz = (3/5).M My = (4/5).M 𝛼 = atan 𝑰 𝒛 𝑰 𝒚 . tan 𝜽 𝑧 = atan 1,067. 10−3 0,2667. 10−3 . 𝟒 𝟑
  41. 41. • B, C, D, E,  𝜎 𝑦; 𝑧 = −(6,75𝑦 + 36𝑧). 106 • Calculando em cada canto 𝜎 𝐵 = 2,25. 106 𝑁. 𝑚 𝜎 𝐶 = −4,95. 106 𝑁. 𝑚 𝜎 𝐷 = −2,25. 106 𝑁. 𝑚 𝜎 𝐸 = 4,95. 106 𝑁. 𝑚 Exemplo z y 0,1 0,1 0,2 0,2 C D E B Mz = (3/5).M My = (4/5).M 𝛼 = 𝟏, 𝟑𝟗𝒓𝒂𝒅 = 𝟕𝟗, 𝟒 𝒐
  42. 42. 𝜎 𝐵 = 2,25. 106 𝑁. 𝑚 𝜎 𝐶 = −4,95. 106 𝑁. 𝑚 𝜎 𝐷 = −2,25. 106 𝑁. 𝑚 𝜎 𝐸 = 4,95. 106 𝑁. 𝑚 𝛼 = 79,4 𝑜 Exemplo
  43. 43. EXEMPLO MAIS COMPLETO
  44. 44. • Uma viga em T está sujeita a um momento fletor de 15kN.m. Determine a tensão normal máxima na viga e a orientação do eixo neutro. Exemplo C 3 4
  45. 45. • M=15kN.m. máx e  • Calcular o centro de gravidade Exemplo C
  46. 46. • M=15kN.m máx e  • Calcular o cg • z = (A1.d1 + A2.d2)/A 𝑧 = ((0,2.0,03).0,115 + (0,1.0,04).0,05) (0,2.0,03)+(0,1.0,04) = 0,089𝑚 • Agora vamos decompor o momento fletor Exemplo C
  47. 47. • M=15kN.m máx e  • Z = 0,089m • Decompor M • My = M cos 30o – My = 12,99kN.m • Mz = M sen 30o – Mz = 7,5kN.m Exemplo C
  48. 48. • máx e  • máx em B ou C • Clalcular Iy e Iz • 𝐼𝑦 = 𝑏1.ℎ13 12 . 𝐴1. 𝑑12 + 𝑏2.ℎ23 12 . 𝐴2. 𝑑22 • 𝐼𝑦 = 13,92. 10−6 . 𝑚4 • 𝐼𝑧 = ℎ1.𝑏13 12 + 𝑏2.ℎ23 12 • 𝐼𝑧 = 20,53. 10−6 . 𝑚4 Exemplo
  49. 49. • máx e  • máx em B ou C • Iy=13,92.10-6m4 • Iz=20,53.10-6m4 • Calcular  • 𝛼 = atan 𝑰 𝒛 𝑰 𝒚 . tan 𝜽 𝒛 • 𝛼 = atan 𝟐𝟎,𝟓𝟑 𝟏𝟑,𝟗𝟐 . tan 60 𝒐 = 𝟔𝟖, 𝟔 𝒐 Exemplo
  50. 50. • máx • máx em B ou C • Iy=13,92.10-6m4 • Iz=20,53.10-6m4 • = 68,6o Exemplo
  51. 51. • máx • máx em B ou C • Iy=13,92.10-6m4 • Iz=20,53.10-6m4 • = 68,6º • Cálculo dos máx • 𝜎 = − 𝑀 𝑧.𝑦 𝐼 𝑧 + 𝑀 𝑦.𝑧 𝐼 𝑦 • 𝜎 𝐵 = − 7,5.103. −0,1 20,53.10−6 + 12,99.103.0,041 13,92.10−6 = 74,8𝑀𝑃𝑎 Exemplo
  52. 52. • máx • máx em B ou C • Iy=13,92.10-6m4 • Iz=20,53.10-6m4 • = 68,6º • Cálculo dos máx • 𝜎 = − 𝑀 𝑧.𝑦 𝐼 𝑧 + 𝑀 𝑦.𝑧 𝐼 𝑦 • 𝜎 𝐶 = − 7,5.103.0,02 20,53.10−6 + 12,99.103. −0,089 13,92.10−6 = −90,3𝑀𝑃𝑎 Exemplo 𝜎 𝐵 = 74,8𝑀𝑃𝑎 𝜎 𝐶 = −90,3𝑀𝑃𝑎
  53. 53. EXERCÍCIO
  54. 54. Exercício (Em Dupla) • Considerando M=3,5kN.m, calcule o máx e a direção do eixo neutro.
  55. 55. PARA TREINAR
  56. 56. Para Treinar em Casa • Hibbeler (Bib. Virtual), Pág. 245 a 246 • Mínimos: – Exercícios 6.97, 6.101 • Extras: – Exercícios 6.102, 6.103
  57. 57. Para Treinar em Casa
  58. 58. CONCLUSÕES
  59. 59. Resumo • A flexão oblíqua pode – Ser interpretada como duas flexões retas... – ...considerando-se os eixos principais • A tensão máxima é calculada por superposição de efeitos • O ângulo da linha neutra não é o mesmo do momento fletor oblíquo • Exercitar – Exercícios Hibbeler
  60. 60. Próxima Aula • O que ocorre quando há flexão e compressão/tração?
  61. 61. PERGUNTAS?
  62. 62. BOM DESCANSO A TODOS!

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