REMEMBER - IX                                  Temos então a expressão:
       Cód.958                                  x ...
a) nenhum b) todos c) o primeiro e                       Temos uma equação irracional em que
o quarto d) apenas o quarto e...
Sol: ( B )                                    16. A área de um círculo inscrito em um
Denominando os números de x e y     ...
partindo do vértice C divide c em dois                               Então a razão =
segmentos r e s, adjacentes          ...
a) 75     b) 48       c) 45     d) 24         a) 12             b) -12         c) ±12
e) impossível calcular sem conhecer ...
de bezerro b e o número de novilhas n
Sol: ( E )                                   são ambos inteiros positivos, então:
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Fazendo a interseção de ( i ) com ( ii )         consecutivos é k² + 1. A soma de 2k+1
=> 3/5 ≤ x ≤ 2.                    ...
39. O símbolo 3 x significa x se x for                                 B ² − 2 AC
                                        ...
No  retângulo ACD temos:                    c) o valor do cheque não pose ser
AD² = AC² + CD² => 7² = b² + (a/2)² =>     ...
1              1                       Seja Q o ponto de interseção entre a
y=      ⋅ (0 – 1 +      ) = −1
      2        ...
A        P B
D   o    o     o      o         o  o
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                              ...
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  1. 1. REMEMBER - IX Temos então a expressão: Cód.958 x +1 +1 x −1 x + 1 + ( x − 1) 1 Prof.Edir Reis Bessa = =x= x +1 − 1 x + 1 − ( x − 1) 2 x −1 1. O valor de [2 – 3 (2 – 3) -1] -1 é: a) 5 b) -5 c) 1/5 d) – 1/5 e) 5/3 05. A expressão 1 1 Sol: ( C ) 2+ 2 + + =? Usaremos a propriedade potência 2+ 2 2 −2 a-n = 1/ an. a) 2 b) 2 - 2 c) 2 + 2 d) 2 2 [2 – 3 (2 – 3) -1] -1 = [2 – 3 (-1) -1] -1 = e) 2 /2 = [2 – 3/-1] -1 = [2 + 3] -1 = 5-1 = 1 / 5. Sol: ( A ) 1 1 1 Executando o m.m.c e operando termos 02. − = , portanto z é igual a: semelhantes, temos: x y z a) y – x b) x – y c) (x – y) / xy (2 + 2 )²( 2 − 2) + 2 − 2 + 2 + 2 − 4 = =2 d) xy / (y – x) e) xy / (x – y) (2 + 2 )( 2 − 2) −2 Sol: ( D ) 06. A média aritmética entre Executando o m.m.c. no 1º membro e x+a x−a em seguida isolando z, temos: e quando x ≠ 0 é: a x 1 1 1 y−x 1 xy a) 2, se a 0 b) 1 c) 1, se a = 0 − = => = => z = x y z xy z y−x d) a / x e) x 03.Uma das expressões seguintes é Sol: ( B ) a −1b −1 Como a média aritmética entre A e B é igual a − 3 M. A = (A + B) / 2 temos que: a − b−3 1 x+a x−a 1 2x a ²b ² a ²b ² ab M. A = ( + ) = ( ) =1 a) b) c) 2 x x 2 x b² − a ² b³ − a ³ b³ − a³ a ³ − b³ a ³b ³ d) e) 07. Uma reta que passa pelos pontos ab a−b A(-1,1) e B( 3, 9) ela corta o eixo x em: a) -2/3 b) -2/3 c) 2/5 d) 2 e) 3 Sol: ( B ) Multiplicando a fração por a³b³ temos: Sol: ( A ) Sendo a equação reduzida da reta a −1b −1 a ³b³ a ²b ² y = mx + b e que passa pelos pontos . = a − b a ³b³ b ³ − a ³ −3 −3 (-1,1) e (3, 9), temos então: 1 = - m + b e 9 = 3m + b. x +1 Resolvendo o sistema temos: m = 2 e b 04. Na expressão cada x é = 3 e formamos a equação: y = 2x + 3. x −1 x +1 Para o cálculo do ponto de interseção substituído por . A expressão com o eixo x, usamos ordenada y = 0, x −1 então: 0 = 2x + 3 => x = -3/2 . resultante calculada para x = 1 / 2 toma o valor: 08. Qual (quais) dos números a seguir é a) 3 b) -3 c) 1 d) -1 e) n.r.a (são) racional: Sol: ( E ) π ² ; 3 0,8 ; 4 0,00016 ; 3 − 1. (0,09) −1 1
  2. 2. a) nenhum b) todos c) o primeiro e Temos uma equação irracional em que o quarto d) apenas o quarto e) apenas sua condição de existência é: 5 – x ≥ 0. o primeiro Para iniciar a resolução da equação, vamos elevar os dois membros ao Sol: ( D ) quadrado, ficamos então com: Temos: π ² = π é irracional; 5 – x = x²(5 – x) => x²(5 - x) – (5 – x)=0 => (5 – x)(x² - 1) = 0. Daí então: 8 2 3 0,8 = 3 =3 é irracional; i) 5 – x = 0 => x = 5 10 10 ii) x² - 1 = 0 => x = ± 1. 0,00016 = 16.10 −5 = 4.10 −2 10 −1 é Usando a condição de existência todos os valores satisfazem, mas temos que irracional; fazer a verificação, ou seja: 9 −1 3 − 1. 0.09 −1 = −1. ( ) = −1.10 / 3 = −10 / 3 i) Para x = 5 => 100 é racional. 5 − 5 = 5 5 − 5 => 0 = 5.0 (Verdade) 09. O valor de x que satisfaz a equação ii) Para x = 1 => x² + b² = ( a – x )² é: 5 − 1 = 1 5 − 1 => 2 = 1.2 a) (b² + a² ) / 2 a b) (b² - a²) / 2 a (Verdade) c) ( a² - b² ) / 2 a d) (a – b) / 2 iii) Para x = -1 => e) (a² - b²) / 2 5 − ( −1) = −1. 5 − (−1) => Sol: ( C ) 6 = − 6 (Falso). Logo -1 Operando o quadrado da diferença no não é raiz. segundo membro da equação, seus Daí então o conjunto solução da termos semelhantes e isolando x, temos: equação inicial é: S = {1,5} x² + b² = a² - 2ax + x² => 2ax = a² - b² => x = (a² - b²) / 2 a. s 12. Se P = então n é igual a: (1 + k ) n 10. Para que valores reais de k, log( s / P ) s diferentes de k = 0, a equação x² + kx + a) b) log k² = 0 tem raízes reais? log(1 + k ) P (1 + k ) a) k < 0 b) k > 0 c) k ≥ 1 s−P c) log d) log s/P + log (1 + k) d) qualquer valor e) nenhum valor 1+ k log s Sol: ( E ) e) log P (1 + k ) Vamos determinar o valor de delta da equação. Para que uma equação admita Sol: ( A ) raízes reais temos:  ≥ 0. Então: Aplicando log nos dois membros da  ≥ 0 => k² - 4k² ≥ 0 => -3k² ≥ 0 é igualdade e algumas propriedades de impossível, pois não existe nenhum log, temos: valor real de k para o fato. s log P =log =log s – n log(1 + k) (1 + k ) n 11. O número de raízes da equação log s − log P log(s / P ) 5 − x = x 5 − x é: ∴n= = a) ilimitado b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 log(1 + k ) log(1 + k ) 13. A soma de dois números é 10. Seu Sol: ( C ) produto é 20. A soma dos inversos é: a) 1/10 b) ½ c) 1 d) 2 d) 4 2
  3. 3. Sol: ( B ) 16. A área de um círculo inscrito em um Denominando os números de x e y hexágono regular é 100π. A área do temos: hexágono é: 1 1 y + x 10 1 a) 600 b) 300 c) 200/2 + = = = x y xy 20 2 d) 200/3 e) 120/5. 14. Num baile, um grupo de moças e Sol: ( D ) rapazes monta pares da seguinte i)Área círculo = π r² = 100 => r = 10. maneira: um rapaz dança com 5 moças; ii)Temos que apótema(ap) = r = 10 o segundo rapaz com 6 e assim por iii)No hexágono: apót.=(Lh.i 3)/2 => diante de modo que o último dança com Lh = 20/ 3 (Lh = lado do hexágono) todas. Se r é o número de rapazes e m o iv)Área hex. = 6. área do triângulo = número de moças, então: = 6. ½. ap.Lh = 3.10.20/ 3=60033/3 a) r = m b) r = m/5 c) r = m – 4 = 200 3. d) r = m – 5 e) é impossível saber a relação entre rapazes (r) e moças (m) 17. Se x é positivo e sem saber o número total de r e m. log x ≥ log 2 + 1 / 2 log x então: a) x não tem valor máximo ou mínimo Sol: ( C ) b) o valor máximo de x é 1 Formando a tabela abaixo, temos: c) o valor mínimo de x é 1 Nº de rapazes:..............1 – 2 – 3 ... r d) o valor máximo de x é 4 Nº de moças q.dançou: 5 - 6 – 7... 4 + r e) o valor mínimo de x é 4 ∴ m = 4 + r ou r = 4 – m. Sol: ( E ) 15. Um quadrilátero está inscrito em um Aplicando transposição de termos e círculo. Se um ângulo é inscrito em propriedade de logarítmos: cada um dos quatro segmentos fora do log x - 1 / 2 log x ≥ log 2 ∴ quadrilátero, então a soma desses quatro 1 / 2 log x ≥ log 2 ∴ log x ≥ 2. log 2 ∴ ângulos, expressa em graus, é: log x ≥ log 2² ∴ x ≥ 4. a) 1080 b) 900 c) 720 d) 540 e) 360 18. A área de um círculo dobra quando o raio r cresce de uma quantidade n. Sol: ( D) Então r é igual a: A B a) n(a2 + 1) b) n(22 - 1) c) n X d) n(2 - d2) e) nπ / ( 2 + 1) 90º 90º E Sol: ( A ) D BC Considerando: Área círculo = A = π r² e 90º Área do círculo aumentado de n>0 : Vamos considerar ABCD um quadrado 2 A = π ( r + n )² = π ( r² + 2r n + n² ) = inscrito no círculo. = π r² + 2π r n + π n² = A+ 2π r n + π n² Temos então quatro ângulos inscritos ∴ A = 2π r n +π n² ∴π r² = 2π r n +π n² em cada vértice do quadrado conforme ∴ r² - 2 r n - n² = 0 ( Eq. 2ºgrau em n) o ângulo x de onde vem: Então: Delta =  = 4n² + 4n² = 8n² x = ⊇ABE = 270º / 2 = 135º. Raízes: r‘= n(1 - R2) (não satisf. é < 0 ) Então a soma = 4x = 4. 135º = 540º. e r” = n(1 + e2). 19. Os lados de um  retângulo são a e b e a hipotenusa é c. Uma perpendicular 3
  4. 4. partindo do vértice C divide c em dois Então a razão = segmentos r e s, adjacentes =Área CED / Área AOB = 2. respectivamente a a e b. Se a : b = 1 : 3 então a proporção r e s é: 22. Uma partícula é colocada sobre a a) 1 : 3 b) 1 : 9 c) 1 : 10 parábola y = x² - x – 6 em um ponto P d) 3 : 10 e) 1 : d10 cuja ordenada é 6. Essa partícula percorre a parábola até chegar à menor Sol: ( B ) distância do ponto Q cuja ordenada é -6. Temos: a / b = 1 / 3 ; r / s = ? A distância horizontal percorrida pela C partícula (isto é, o valor numérico da diferença das abscissas de P e Q) é: b a Usando as relações h a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 métricas no  A r s B retângulo, temos c Sol: ( C ) (ver figura). i) Vamos inicialmente determinar a(s) b² = r.c => r = b²/c abscissa(s) de P(xp ;6). Usando a a² = s.c => s = a²/c função dada: 6 = xp² - xp – 6 => Então: r / s = b² / a² = (b / a )² = (1/3)² xp² - xp –12 = 0 => xp’ = -3 e xp”= 4  r / s = 1 / 9. => P1(-3;6) e P2(4;6) (Pontos em que a partícula pode ser solta). 20. Se 4x – 4x – 1 = 24, então (2x)x é igual ii) Cálculo do ponto onde a partícula a: pode chegar possui (em) ordenada -6. a) 5a5 b) 55 c) 2555 d) 125 e) 25 Novamente usaremos a função inicial: Q(xq;-6) => -6 = xq² - xq – 6 => Sol: ( C ) xq² - xq = 0 => xq’= 0 e xq” = 1 => Temos: 4x – 4x / 4 = 24 ∴ 3.4x = 4.24 Q1(0;-6) e Q2(0;1). ∴ 4x = 32 ∴ 22x = 25 ∴ x = 5 / 2. Em qualquer caso, a menor distância Então: (2x)x = (2.5/2)5/2 = 55/2 = horizontal é 3, pois a partícula rola de: = 25=5. (4; 6) à (1; -6) ou de (-3; 6) à (0; -6). 21. Na figura, CE e DE são duas cordas 23. Se, na expressão x² - 3, x aumenta iguais de um círculo cujo E centro é ou diminui de uma quantidade positiva 0. O arco AB mede um a, então a expressão varia de uma quarto da quantidade igual a: circunferência. a) ± 2ax + a² b) 2ax ± a² c) ± a² - 3 0 d) (x + a)² - 3 e) (x – a)² - 3 Então a C D proporção entre a área do  CED e A Sol: ( A ) B a Temos: i) y = x² - 3 e aumentando ou área do AOB é: a) a2 : 1 b) 23 : 1 c) 4 : 1 diminuindo x de a: ii) y = (x ± a)² - 3 = x² ±2ax +a² -3 d) 3 : 1 e) 2 : 1 Fazendo (ii) – (i) = ± 2ax + a². Sol: ( E ) E A rc o C D = 1 8 0 ° 24. Um homem caminha m unidades de Temos: CE = DE; arco comprimento na direção norte, a uma AB = ¼ π r². A = C 1 80° 0 velocidade de 2 minutos por quilômetro. Na figura, 90° D Ele retorna depois ao sul, para o ponto consideremos um de partida a 2 km/minuto. A velocidade caso especial: i) A rc o B C = 9 0 ° B média em km/h para a viagem completa Área CED = 2r.r/2 = r² é: ii) Área AOB = r . r= r / 2 = r²/ 2. 4
  5. 5. a) 75 b) 48 c) 45 d) 24 a) 12 b) -12 c) ±12 e) impossível calcular sem conhecer o d) 12 ou 6 e ) 6 ou 6 2/3 valor de m. Sol: ( A) Sol: ( B ) Se os pontos pertencem a uma mesma Seja a = velocidade p/norte = (1km)/ reta os pontos possuem o mesmo (2.1/60) = 30 km/h. coeficiente angular dois a dois. Então: Sendo b = retorno p/ sul = ∆ y 3 − (−3) k 2 − 3 = (2 km)/(1/60 h) = 120 km/h. m= = = => ∆x 4−2 5−4 Calculo da velocidade média total: (k − 6) 2/Vm = 1 / a + 1 / b => 6 = 2 => 3 = k − 6 ⇒ k = 12 Vm = (2ab)/(a+b) = 2.30.120/(30+120) 2 1 2 => Vm = 48 km/h. 28. Um radiador com capacidade para 25. Se log k x . log 5 k = 3 então o valor 16 litros é cheio com água pura. Depois de x é: são retirados 4 litros e substituído por a) k5 b) 5k³ c) k³ d) 243 e) 125 líquido anticongelante. Depois, 4 litros da mistura são retirados e substituídos Sol: ( E ) por 4 litros de líquidos do líquido Aplicando a propriedade mudança de anticongelante. Repete-se esse processo bases no 2º logarítmo e a igualdade: uma terceira e uma quarta vez. No final, log k x . log 5 k = 3 => a porção de água na mistura é: 1 a) ¼ b) 81 / 256 c) 27 / 64 log k x . = 3 => d) 37 / 64 e) 175 / 256 log k 5 3 log k x = 3. log k 5 = log k 5 => x = 5³ Sol: ( B )  x = 125. Operação Água Água Anticong Anticong Retirad. q.resta Retirado q.Resta 26. Um conjunto de n elementos tem 1 4 12 0 4 soma igual a s. Cada elemento do 2 3 12-3 1 3 + 4= 7 =9 conjunto é aumentado de 20, 3 2,25 9- 2,25 1,75 5,25+ 4= multiplicado por 5 e depois se subtrai = 6,75 9,25 20. A soma dos elementos no novo 4 1 11/16 5 1/16 2 5/16 615/16+4 =1015/16 conjunto assim obtido é: a) s + 20n b) 5s + 80n c) s 51 d) 5s e) 5s + 4n Água Restante na mist.= 16 = 81 16 256 Sol: ( B ) Seja s = a1 + a2 + a3 + . . . + a n. 29. Em um triângulo qualquer ADE (ao Seja s1 = 5(a1+20)-20 + 5(a2+20)-20 + lado) as linhas EB e EC são traçadas. 5(a3+20)-20 + . . . + 5(a n+20)-20 = Qual das seguintes relações entre = 5 a1 + 80 + 5 a2 + 80 + 5 a3 + 80 + . . . ângulos é correta? E + 5 a n + 80 = a) x + z = a + b y w b = 5(a 1 + a 2 + . . . + a n) + 80 n = b) y + z = a + b = 5 s + 80 n. c) m + z = w = n A x z Bm n c C a D d) x + z + n = w + c + m 27. Os pontos (2 , - 3); (4, 3) e (5, k/2) e) x + y + n = a + b + m estão sobre uma reta. O(s) valores de k é(são): 5
  6. 6. de bezerro b e o número de novilhas n Sol: ( E ) são ambos inteiros positivos, então: Aplicando que a soma ângulos internos a) o problema não tem solução  = 180°, temos que: b) há 2 soluções com b > n i)No  AEC : x + y + w + n = 180° c) há 2 soluções com n > b d) há 1 solução com b > n ii)No  BED: m + w + b + a = 180° e) há 1 solução com n > b Temos então: x + y + n = a + b + m Sol: ( E ) 1 1 Pelos dados temos: 30. Se xy = b e 2 + = a então 25b + 26n = 1000 => 25b = 1000 – 26n x y² (x + y)² é igual a: 1000 − 26n 26n => b = = 40 − a) (a + 2b)² b) a² + b² c) b(ab+2) 25 25 1 Para n = 25 => b = 40 – 26 = 14 d) ab (b + 2) e) + 2b Para n = 50 => b = 40 – 26 x 2 = a = -12 (não satisfaz). Sol: ( C ) Logo temos n = 50 e b = 14, ou seja: Temos: xy = b ( i ) n > b. 1 1 x² + y ² + =a⇒ =a⇒ 33. Para que uma raiz de ax² + bx + c = x² y ² ( xy )² 0 seja o dobro da outra, os coeficientes x² + y² = a.(xy)² => x² + y² = a.b² (ii) a, b e c devem estar assim relacionados: a) 4b² = 9c b) 2b² = 9ac c) 2b² = 9 a Então: (x + y)² = x² + y² + 2xy = ab²+2b d) b² - 8ac = 0 e) 9b² = 2ac.  (x + y)² = b( ab + 2 ). Sol: ( B ) 31. A altura relativa à base de um Temos: ( i ) x1 = 2x2 triângulo isóscele é 8 e o perímetro é ( ii ) x1 + x2 = 3x2 = - b/a => 32. A área do triângulo é: x2 = -b/3 a a) 56 b) 48 c) 40 d) 32 e) 24 Usando ( i ), temos: x1 = -2b/3 a. ( iii ) x1.x2 = c/a => Sol: ( B ) -2b/3 a. –b/3 a = c/a =>2b²/9 a² = c/a Sendo: altura = h = 8; Base = 2 a; => 2b² = 9ac. Perímetro = 2 a + 2 b = 32 => a + b = 16 ( i ) 34. O numerador de uma fração é Aplicando Pitágoras em um dos  6x + 1; o denominador é 7 – 4x e x pode relacionados com a altura: ter um valor entre -2 e 2, inclusive. Os b² = a² + 8 => b² - a² = 8² => valores de x para os quais o numerador (a + b)(a – b) = 64 => 16.(a – b) = 64=> é maior que o denominador são: a – b = 64/16 => a – b = 4 ( ii ) a) 3/5 < x ≤ 2 b) 3/5 ≤ x ≤ 2 Cálculo de a e b: c) 0 < x ≤ 2 d) 0 ≤ x ≤ 2 Formando um sistema com ( i ) e ( ii ) e) 2 ≤ x ≤ 2. determinamos: a = 6 e b = 10. Cálculo da área do  : Sol: ( A ) At = (base. Altura) / 2 = (2 a . h) / 2 => Pela condição do problema para x: At = (12 . 8) / 2 = 48 -2 ≤ x ≤ 2 ( i ). Valores de x para os quais o numerador 32. Com R$ 1 000,00 um fazendeiro é maior que o denominador são: compra bezerro a R$ 25,0 cada e 6x + 1 > 7 – 4x => 10x > 6 => novilhas a R$ 26,00 cada. Se o número x > 3/5 (ii). 6
  7. 7. Fazendo a interseção de ( i ) com ( ii ) consecutivos é k² + 1. A soma de 2k+1 => 3/5 ≤ x ≤ 2. termos desta série pode ser expressa como: 35. Um triângulo é formado, ligando-se a) k³ + (k + 1)³ b) (k – 1)³ + k³ três pontos cujas coordenadas são c) (k + 1)³ d) (k + 1)² e) (2k+1)(k+1)² números inteiros. Se as unidades dos eixos x e y são iguais e medem 1 cm, Sol: (A) então a área do triângulo, em cm²: Seja (a1, a2, a3, . . .an) uma PA de a) deverá ser um número inteiro inteiros consecutivos => razão = r =1; e b) poderá ser um número irracional mais: a1 = k²+1 e nºde termos = n=2k+1 c) deverá ser um número irracional Como a n = a1 + ( n – 1).r => Soma = d) deverá ser um número irracional n(a1 + a n ) n(2a1 + nr − r ) Sn = = = e) deverá ser um número racional. 2 2 (2k + 1)(2k ² + 2 + 2k + 1 − 1) Sol: ( D ) = 2 Vamos considerar os pontos: O (0,0), A (a, c) e B(b, d) onde, pela condição (2k + 1)(k ² + k + 1) = do problema, a, b, c e d são números =>Sn = 2 inteiros. 2k ³ + 3k ² + 3k + 1 = A área do  é dada por: = k ³ + k ³ + 3k ² + 3k + 1 = At = ½ AD , onde D = determinante = (k + 1)³ + k ³. formado pelas coordenadas dos três pontos. Calculando o determinante, temos: 38. Seja r a distância da origem até o D = bc – ad. ponto P(x, y). Seja s a razão y/r e c a Então: At = ½ (bc – ad). razão x/r. Então os valores s²- c² estão Como a, b, c e d são números inteiros, o limitados pelos números: resultado é número racional. a) menor que -1 e maior que +1, ambos excluídos. 36. Os lados de um triângulo medem b) menor que -1 e maior que +1, ambos 30, 70 e 80 unidades. Se a altura relativa incluídos. ao lado de comprimento 80 for traçada, c) entre -1 e +1, ambos excluídos. ela deverá cortar esse lado em dois d) entre -1 e +1, ambos incluídos. segmentos cujo lado maior medirá: e) +1 e -1 apenas. a) 62 b) 63 c) 64 d) 65 e) 66 Sol: (D) Sol: (D) Como s = y / r => s² = y²/ r² e c = x / r i) No  ADB (reto)=> h² = 30² - x²; => c² = x² / r². ii) No ADC (reto)=> h² = 70² -(80-x)² y ² − x² Daí então: s² - c² = . Fazendo i = ii => 30² - x² = 70² -(80-x)² r² => [(80- x+ x)(80- x – x )]= 70² - 30² => Os valores máximo e mínimo da fração => 80.(80-2x) = 4x.100=> 80 – 50 acima são dados por: A = 2x y² i) Valor máximo = (qdo x = 0) = => x = 30/2 => x = 15. 3 0 h 70 r² Resp: Segmentos: x = x = 1 / 1 = 1. 8 0 -x 15 e 80-x=65 => B 80 C Maior segmento = 65. − x² ii) Valor mínimo = (qdo y = 0) = r² 37. O primeiro termo de uma = -1 / 1 = -1. progressão aritmética de inteiros 7
  8. 8. 39. O símbolo 3 x significa x se x for B ² − 2 AC  r² + s² = positivo e – x se x for negativo. A² Podemos dizer, então, com relação à equação e x ² + ² x - 6 =0 que: Vamos ao cálculo de p: a) ela tem apenas uma raiz Usando x² + px + q = 0 temos: b) a soma das raízes é 1 r² + s² = -p / 1( iii )e r² / s² = q / 1( iv). c) a soma das raízes é 0 Usando ( iv ) temos que: d) o produto das raízes é 4 B ² − 2 AC e) o produto das raízes é -6 p = - (r² + s²) = - ( ) => A² 2 AC − B ² Sol: ( C ) p= . Fazendo y temos a equação: A² y² + y – 6 = 0 , de onde temos as raízes y’ = - 3 e y” = 2. Cálculo de x: 42. Em um círculo cujo centro é O, a Para y = -3 => P x = - 3 Não satisfaz. corda AB = corda AC. A corda AD corta BC em E. Se AC = 12 e AE = 8 Para y = 2 => P x = 2 => x = ∀ 2, então AD é igual a: Logo a soma = 2 + (-2) = 0 a) 27 b) 24 c) 21 d) 20 e) 18 40. Dados a0 = 1, a1 = 3 e a relação geral Sol: ( E ) A an² - a n – 1 a n+1 = (- 1) n para n ≥ 1 então o 12 8 12 valor assumido por a3 será: B E C 80 80 a) 13/27 b) 33 c) 21 d) 10 e) -17 O 0 Sol: (B) D Atribuindo valores a n, temos: Temos: AB = AC = 12; AD 1 BC = {E} Para n = 1=> a 1² - a 1 – 1 a 1 + 1 =(-1)1 AE = 8; e vamos considerar que as  3² - 1. a2 = 1 => a2 = 10. cordas AD ⊥ BC. Para n = 2=> a 2² - a2- 1. a 2 + 1=(- 1)² No  AEC (retângulo) temos: => 10² - 3. a3 = 1 => a3 = 33. AC² = AE² + EC² => 12² = 8² + EC² => EC = E80. 41. As raízes de Ax² + Bx + C = 0 são r No círculo temos em relação as cordas: e s. Para que as raízes de x² + px + q = 0 AE.ED = BE.EC => 8.ED = A 88080. sejam r² e s² o valor de p deverá ser igual: => ED = 10. Daí então: AD = AE + ED = 8 + 10 = 18. B ² − 4 AC B ² − 2 AC a) b) A² A² 43. AB é a hipotenusa de um  2 AC − B ² retângulo ABC. A mediana AD = 7 e a c) d) B² - 2C e) 2C – B² A² mediana BE = 4. O comprimento de AB é: Sol. ( C ) a) 10 b) 5 a3 c) 5 32 Sendo Ax² + Bx + C = 0 e r e s suas d) 2d13 e) 2115 raízes temos: ( i ) r + s = - B / A e A ( ii ) r . s = - C / A. Sol; ( D ) Quadrando ( i ) e usando ( ii ) temos: c= ? E r² + s² + 2rs = B² / A² => b /2  r² + s² = B² / A² - 2.C / A => C B D a 8
  9. 9. No  retângulo ACD temos: c) o valor do cheque não pose ser AD² = AC² + CD² => 7² = b² + (a/2)² => múltiplo de 5 => b² = 49 – a² / 4 ( i ) . d) o valor incorreto pode ser igual ao No  retângulo ECB temos: dobro do valor correto BE² = EC² + BC² => 4² = ( b/2)² + a² => e) a soma dos dígitos do valor correto é b² = 64 – 4 a² ( ii ) divisível por 9. Fazendo ( i ) = ( ii ), temos: 49 – a²/4 = 64 – 4 a² => a = ∀ 2(como a Sol: ( B ) O valor que deveria ser pago é um segmento -2 não satisfaz). era x+ y/100 reais, e foi pago y+ x/100 Daí então, usando ( ii ) : reais, pagando - se 17,82 a mais, então: b² = 64 – 4.2² => b = b48. x + y/100 + 17,82 = y+x/100 (. 100) ∴ No  retângulo ACB temos: 100x + y + 1782 = 100y + x c² = a² + b² => c² = 2² + (c48)² => 99y – 99y = 1782 c = 2c 13 99(y - x) = 1782 y - x = 18 44. São dadas 3 afirmações verdadeiras: Vamos ver qual alternativa é a correta: (1) se a é maior que b então c é maior que d; (2) se c é menor que d então e é a) x não pode ser maior que 70. maior que f. Uma conclusão válida é: Falsa, pois x pode ser 71 e y 89 assim: a) se a é menor que b então e é maior y - x= 18 e x > 70 que f b) y pode ser igual a 2x b) se e é maior que f então a é menor Pode, pois se y = 2x=> 2x – x = 18 => que b x=18 e y = 2x = 36 que x e y tem 2 c) se e é menor que f então a é maior algarismos! que b (b) é verdadeira! d) se a é maior que b então e é menor que f 46. Para que valores de x menores que 1 e) nenhuma das anteriores. e maiores que -4, a expressão x² − 2 x + 2 tem: Sol: ( E ) 2x − 2 Trata-se de uma questão de lógica com a) nenhum valor máximo ou mínimo as afirmações: b) o valor mínimo é + 1 p: a é maior que b c) o valor máximo é + 1 q: c é maior que d d) o valor mínimo é -1 r: e é maior que f. e) o valor máximo é – 1. Destes dados, podemos escrever que: p 6 q e ~q 6 r . S0l: ( E ) Pela regra da contraproposta: Fazendo para -4 < x < 1 o valor: ~q 6 ~p e ~r 6 q. x ² − 2 x + 2 1 ( x ² − 2 x + 2) y= = ⋅ = Portanto as alternativas: (a); (b); (c); e 2x − 2 2 ( x − 1) (d) não são conclusões válidas. 1 ( x − 1)² + 1 1 1 = ⋅ = ⋅ (x − 1 + ) 2 ( x − 1) 2 ( x − 1) 45. Um cheque é escrito no calor de x A soma de um número e seu recíproco reais e y centavos, ambos os números de (inverso) é mínimo quando esse valor é dois dígitos. Por engano, na ocasião do recebimento, é pago o valor de y reais e ∀ 1. x centavos, aumentando de R$ 17,82 o - Para x – 1 = 1 => x = 2 (é excluído, valor correto. Então: não satisfaz). a) x não pode ser maior que 70 - Para x – 1 = - 1 => x = 0 => b) y pode ser igual a 2x 9
  10. 10. 1 1 Seja Q o ponto de interseção entre a y= ⋅ (0 – 1 + ) = −1 2 0 −1 perpendicular a AB que passa por P, e a Temos então que, todos os valores de x reta PB. no intervalo dado produzem valores de Fazendo QB = x, então PQ ² = x (10 – y < - 1, logo -1 é o máximo. x) ; CP = x(10 − x ) + (6 − x)² ; A P B e DP = x(10 − x ) + (4 − x)² . Daí então: T S CP + DP = 36 − 2 x + 16 + 2 x . Esta soma será máxima quando Q E R 36 − 2 x = 16 + 2 x , ou seja, quando F x = 5. Então, (e) é a alternativa correta. D C 47. ABCD é um retângulo e P é um 49. Na expansão de (a + b)n há n + 1 ponto qualquer sobre AB. PS ⊥ BD e termos distintos. O número de termos PR ⊥ AC. AF ⊥ BD e PQ ⊥ AF. Então distintos de (a + b + c)10 é: PR + PS é igual a: a) 11 b) 33 c) 55 d) 66 e) 132 a) PQ b) AE c) PT + AT Sol; ( D ) d) AF e) EF No desenvolvimento do binômio de Newton (a + b) n, temos n + 1 termos, Sol: (D) então: Observando a figura observa-se que o ( a + b + c )10 = [ (a + b) + c ]10 =  PTR  ATP =>  10   10   10   PR / AQ = PT / AT. =  (a + b) .c +  (a + b) .c¹+ (a + b) .c ² + ...  0 10 0  1 9 2 8  Como PT = AT pois P PAT = PBS = PAPT;  10   10  +  9 (a + b)¹.c +  10 (a + b) .c 9 0 10.  PR = AQ; PS = QF, então:      PR + PS = AF + QF = AF. Daí então temos (a+b)10 possui 11 termos; (a+b)9 possui 10 termos; ...; 48. O diâmetro AB de um círculo cujo (a+b)¹ possui 2 termos e (a + b)º possui centro é O mede 10 unidades. C é um 1 termo. ponto a 4 unidades de A, sobre AB: D é O Nº. de termos então = 11 + 10 + 9 outro ponto a 4 unidades de B, sobre + . . . + 2 + 1 = 66. AB. P é um ponto qualquer sobre o círculo. Uma linha pontilhada ligando C 50. Na figura a seguir existe um a P e depois a D: esquema que associa a cada ponto de a) tem o mesmo comprimento, qualquer AB um ponto de A’B’ e vice-versa. que seja a posição de P Para se descrever essa associação b) mede mais que 10 unidades qualquer analítica, seja x a distância de um ponto que seja a posição de P P sobre AB até D e seja y a distância de c) nunca é maior que 10 unidades P’ sobre A’B’ até D’. Dado um par de d) é mínima quando CPD é um pontos associado, se x = a então x + y é triângulo retângulo igual a: e) é máxima quando P é eqüidistante de a) 13 a b) 17 a – 51 c) 17 – 3 a C e D. d) (17 – 3 a) / 4 e) 12 a – 34 Sol: ( E) 10
  11. 11. A P B D o o o o o o oo 4 5 o 0 1 2 3 B' A' D'o o o o o o oo 4 5 o 0 1 2 P '3 Sol: ( C ) Pela figura temos: DP = x = a ; D’P’ = y; PB / P’B’ = 1 / 4. Daí então: y = D’B’ + B’P’ = 1 + B’P’ = 1 + 4PB; Como PB = 4 – x = 4 – a, temos: y = 1 + 4(4 – a) = 17 – 4 a. Assim: x + y = a + 17 – 4 a = 17 – 3 a. 11

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