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  1. 1. REMEMBER V Cód. 954 vendidas. Pede-se a razão entre o preço de custo e o preço marcado nas roupas. 01-O quadrado de 5 - √y² - 25 é: a)1 / 2 B) 1 / 3 c) 1 / 4 d) 2 / 3 e) 3 / 4 a) y² -5√y² - 25 b) – y² c) y² d) (5 – y)² e) y² -10√y² - 25 12- A solução do sistema de equações 2x – 3y = 7 é: 4x – 6y = 20 02- A equação a) x = 18 e y = 12 b) x = y = 0 2x² - 2x + 7 + 4 – 6x + 1 = 0 c) não existe solução d) há um número infinito x–1 3 x–1 de soluções pode ser transformada por eliminação de frações na e) x = 8, y = 5. equação x² - 5x + 4 = 0. As raízes dessa última equação são 4 e 1. Então as raízes da 1ª equação são: 13- Um quadrilátero está inscrito em um círculo. a) 4 e 1 b) somente 1 c) somente 4 Então a soma dos ângulos que são formados, inscritos d) nem 4 nem 1 e) 4 e alguma outra raiz. nos 4 arcos formados pelos lados do quadrilátero, com centro num dos pontos do arco e passando pelos 03- Se x varia com o cubo de y e y varia com a raiz vértices do lado do quadrilátero que forma o arco, é: quinta de z, então x varia com a enésima potência de a) 180° b) 540° c) 360° d) 450° e) 1080° z, onde n é igual a: a) 1 / 15 b) 5 / 3 c) 3 / 5 d) 16 e) 8 14- Depois de simplificada a expressão 1+ x4–1 ² torna-se: 04- Se o Máximo Divisor Comum de 2x² 6 432 e 132 é diminuído de 8, ele se torna: a) -6 b) 6 c) - 2 d) 3 e) 4 a) (x4 + 2x² - 1) / 2x² b) (x4 – 1) / 2x² c) (√x²+1) / 2 d) x² / √2 e) x²/ 2 + 1 / 2x² 05- Um hexágono regular é inscrito em um círculo de 10 cm de raio. Sua área é em cm²: 15- Log 125 = a) 150√3 b) 150 c) 25√3 d) 600 e) 300√3 a) 100 log 1,25 b) 5 log 3 c) 3 log 25 d) 3 – 3 log 2 e) (log 25)(log 5) 06- O valor de (1/16) a° + (1/16a)° - 64-1/2 – (-32)-4/5 é: a) 1 13/16 b) 1 3/16 c) 1 d) 7/8 e) 1/16. 16- Se f(x) = 5x² - 2x – 1, então f(x + h) é igual a: a) 5h² - 2h b) 10xh – 4x + 2 c) 10xh – 2x – 2 07- Uma senhora economiza R$ 2,50 por um vestido d) h(10x + 5h – 2) e) 3h em liquidação. Se o preço pago foi R$ 25,00 então sua economia foi de: 17- O gráfico da função f(x) = 2x³ - 7 tem o seguinte a) 8% b) 9% c) 10% d) 11% e) 12% aspecto: a) para cima à direita e para baixo à esquerda 08- A base de um ∆ é duas vezes o lado de um b) para baixo à direita e para cima à esquerda quadrado e suas áreas são iguais. Então razão entre a c) para cima à direita e para cima à esquerda altura do ∆ e o lado do quadrado é: d) para baixo à direita e para baixo à esquerda a) 1 / 4 b) 1 / 2 c) 1 d) 2 e) 4 e) nenhum dos aspectos descritos acima 09- Um ponto P está fora de um círculo e a 13 cm de 18- Indicar qual dos conjuntos a seguir contém todos seu centro. Uma secante que passa por P corta o os valores de x que satisfazem a 2x – 3 > 7 – x. círculo nos pontos Q e R de maneira que o segmento a) x > 4 b) x < 10 / 3 c) x = 10 / 3 externo da secante PQ mede 9 cm e QR 7 cm. O raio d) x > 10 / 3 e) x < 0 do círculo é: a) 3 cm b) 4 cm c) 5 cm d) 6 cm e) 7 cm 19- Se os três pontos de contato de um círculo 10- A soma dos coeficientes numéricos da expansão inscrito em um ∆ são ligados, então os ângulos do binomial (a + b)6 é: triângulo resultante: a) 32 b) 16 c) 64 d) 48 e) 7 a) são sempre iguais a 60° b) são sempre um ângulo obtuso e dois agudos 11- Um comerciante expôs diversas roupas com seus distintos respectivos preços. Depois disso, colocou um cartaz c) são sempre um ângulo obtuso e dois agudos iguais dizendo “desconto de 1/3 no preço destas roupas”. O d) são sempre ângulos agudos custo das roupas era ¾ do preço pelo qual elas foram e) são sempre 3 ângulos distintos 1
  2. 2. 20- A equação x³ + 6x² + 11x + 6 = 0 tem: 30- A e B trabalhando juntos fazem um trabalho em a) nenhuma raiz real negativa dois dias; B e C fazem o mesmo trabalho em 4 dias; b) nenhuma raiz real positiva c) nenhuma raiz real A e C em 2 2/5 dias. O número de dias que seriam d) uma raiz positiva e duas negativas necessários para que A faça o trabalho sozinho é: e) uma raiz negativa e duas positivas a) 1 b) 3 c) 6 d) 12 e) 2,8 21- As raízes da equação 2√x + 2x-1/2 = 5 podem 31- No ∆ABC, AB = AC e o ângulo A = 40°. O ser encontradas resolvendo-se: ponto X interior ao ∆, forma um ângulo XBC = a) 16x² - 92x + 1 = 0 b) 4x² - 25x + 4 = 0 ângulo XAC. Então o ângulo BXC mede: c) 4x² -17x + 4 = 0 d) 2x² - 21x + 2 = 0 a) 110° b) 35° c) 140° d) 55° e) 70° e) 4x² - 25x – 4 = 0 32- Os fatores de x4 + 64 são: 22- A expressão 2x² - x___ - 4 + x____ a) (x² + 8) b) (x² + 8)(x² - 8) (x + 1) (x – 2) (x + 1) (x – 2) c) (x² + 2x + 4)(x² - 8x + 16) não pode ser calculada para x = -1 ou x = 2, visto que d) (x² - 4x + 8)(x² - 4x – 8) e) (x² -4x +8)(x² +4x +8) a divisão por zero não é definida. Para os demais valores de x: 33- Um banco cobra R$ 6,00 sobre um empréstimo a) a expressão assume diversos valores distintos de R$ 120,00. Quem pede o empréstimo recebe b) a expressão assume apenas o valor 2 R$114,00 e paga sua dívida em 12 parcelas de R$ c) a expressão assume apenas o valor 1 10,00 ao mês. A taxa anual de juros sobre esse d) a expressão assume valores entre -1 e +2 empréstimo é aproximadamente, de: e) a expressão assume sempre valores maiores que +2 a) 5% b) 6% c) 7% d) 9% e) 15% ou menores que -1 34- a fração 1 / 3: 23- Se a margem de lucro feita por um artigo que a) é igual a 0, 33333333. custa C reais e é vendida por V reais é M= (1/n).C, 1 b) menor que 0, 3333333 então o valor da margem é dado por: 3.10 8 a) M = [ 1/(n-1)] V b) M = ( 1 / n) V c) 1 menor que 0, 33333333 3.10 9 c) M = [ 1 /(n+1)] V d) M = [ 1 /(n+1)] V e) M = [ n / (n-1)] V d) 1 maior que 0,33333333 3.10 8 24- Os valores de k para os quais a equação e) 1 maior que 0,33333333 3.10 9 2x³ - kx + x + 8 = 0 terá raízes reais e iguais são: a) 9 e -7 b) apenas -7 c) 9 e 7 d) -9 e -7 e)apenas 9 25- As duas raízes da equação a(b – c)x² + b(c – a)x + 35- No ∆ retângulo abaixo MCA a soma das c(a – b) = 0 são 1 e : distâncias BM e MA é igual a soma das distâncias aabbcc aabbc c ccaab b ccaabb a) bbcc a a b) ccaabb c) bbcc a a d) aabbc c e) bbcc aa BC e CA. Se MB = x, CB = h e CA = d, então o valor aabbc c de x é: a) h d / (2h + d ) 26- O segmento de reta AB é dividido por um ponto b) d – h C de tal forma que AC = 3 CB. São traçados dois c) 1 / 2 d círculos tendo AC e CB como diâmetros. Uma d) h + d - √2 d tangente aos dois círculos encontra a reta que passa e) √h² + d² - h por A e B no ponto D. Nestas condições BD é igual a: a) o diâmetro do círculo menor b) o raio do círculo menor c) o raio do círculo maior d) CB √3 36- Um barco navega na velocidade de 15 km/h em e) a diferença dos raios dos dois círculos água parada. Em uma corrente marinha cuja velocidade é de 5 km/h ele navega certa distância no 27- Um cone circular reto tem por base um círculo sentido da corrente e depois volta. A razão entre a cujo raio é igual ao de uma esfera. A razão entre a velocidade média da viagem (ida e volta) e a altura do cone e o raio de sua base é: velocidade em água parada é: a) 1 / 1 b) 1 / 2 c) 2 / 3 d) 2 / 1 e) √5/4 a) 5/4 b) 1/1 c) 8/9 d) 7/8 e) 9/8 37- Dado um ∆PQR onde RS bissecta o ângulo R, PQ m 4 r 9 3mrr nt é estendido até D e o ângulo n é reto, então: 28- Se n n 3 e t t 24 , então o valor de 4ntt 7mr é: a) ] m = ½ (]p - ]q) b) ]m = ½(]p + ]q) a) -5 1 2 b)- 11 14 c) -1 1 4 d) 11 14 e) - 2 3 c) ]d = ½ (]q + ]p) d) ]d = ½ ]m e) nra R 29- Se a proporção entre os comprimentos dos catetos de um ∆ retângulo é 1 : 2, então a proporção entre as m partes da hipotenusa que resultam da divisão da n mesma por uma reta perpendicular a ela passando p q d pelo vértice oposto é: P S Q D a) 1 : 4 b) 1 : √2 c) 1 : 2 d) 1 : √5 d) 1 : 5 2
  3. 3. 38- Se log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, então o valor o qual corta AB num de x quando 3x + 3 = 135 é aproximadamente: ponto T. Nestas a) 5 b) 1,47 c) 1,67 d) 1,78 e) 1,63 condições AT e TB são raízes de: 39- O lugar geométrico dos pontos médios de um a) x² + px + q² = 0 segmento que é traçado a partir de um ponto externo b) x² - px + q² = 0 P até um círculo de centro O e raio r é: c) x² + px – q² = 0 a) uma reta perpendicular a PO d) x² - px – q² = 0 b) uma reta paralela a PO e) x² - px + q² = 0 c) um círculo de centro P e raio r d) um círculo de centro no ponto médio de PO e raio 2r e) um círculo cujo centro é o ponto médio de 48- Um trem encontra a linha bloqueada por um PO e raio 1/2r. acidente, uma hora após sua partida, o que o detém por meia hora. Depois disso ele parte viajando a ¾ da 40- Se ( a + 1 / a )² = 3, então a³ + 1 / a³ é igual a: velocidade anterior e chega ao destino com 3 ½ hora a) 10√3 / 3 b) 3√3 c) 0 d) 7√7 e) 6√3 de atraso. Se o acidente tivesse ocorrido 90 km mais adiante, o atraso seria de apenas 3 horas. Qual é o 41- A soma de todas as raízes da equação comprimento (em km) do trajeto que o trem percorre? 4x³ - 8x² - 63x – 9 = 0 é : a) 400 b) 465 c) 600 d) 640 e) 550 a) 8 b) 2 c) -8 d) -2 e) 0 49- A diferença dos quadrados de dois números 42- Considere os gráficos de (1) y = x² - ½ x + 2 e ímpares é sempre divisível por 8. Se a > b ,e 2a+ 1 e (2) y = x² + ½ x + 2 num mesmo conjunto de eixos. 2b + 1 são números ímpares, então, para provarmos a Essas parábolas têm exatamente a mesma forma. afirmação anterior, devemos calcular a diferença dos Então: quadrados na forma: a) os gráficos coincidem a) (2 a + 1)² - (2b + 1)² b) 4 a² - 4b² + 4 a – 4b b) o gráfico de (1) está abaixo do gráfico de (2) c) 4[a (a + 1) – b(b + 1)] d) 4(a – b)(a + b + 1) c) o gráfico de (1) está à esquerda do gráfico de (2) e) 4 ( a² + a – b² - b) d) o gráfico de (1) está à direita do gráfico (2) e) o gráfico de (1) está acima do gráfico de (2) 50- Entre as 7 e as 8 horas, existem dois instantes em que os ponteiros do relógio farão entre si, um ângulo 43- A hipotenusa de um ∆retângulo mede 10cm e o exato de 84 graus. Esses instantes, calculados com raio do círculo inscrito, 1 cm. O perímetro do ∆, em aproximação ao minuto mais próximo, são: centímetros, mede: a) 7h 23’ e 7h 53’ b) 7h 20’ e 7h 50’ c) 7h 22’ e a) 15 b) 22 c) 24 d) 26 e) 30 7h 53’ d) 7h 23’ e 7h 52’ e) 7h 21’ e 7h e 49’. 44- Um homem nascido na primeira metade do século XIX tem x anos de idade no ano x². O ano de nascimento desse homem é: GABARITO a) 1 849 b) 1 825 c) 1 812 d) 1 836 e)1 806 01-E 11-A 21-C 31-A 41-B 45- Em um romboedro ABCD são traçados 02-C 12-C 22-B 32-E 42-D segmentos de reta no seu interior paralelos à diagonal BD, terminando nos lados do romboedro. É feito 03-C 13-B 23-D 33-D 43-B então um gráfico mostrando o comprimento do 04-E 14-E 24-A 34-D 44-E segmento em função da distância do vértice A. O 05-A 15-D 25-D 35-A 45-D gráfico é: 06-D 16-D 26-B 36-C 46-E a) uma reta que passa pela origem b) uma reta passando pelo quadrante superior direito 07-B 17-A 27-D 37-B 47-B c) duas retas, formando um V voltado para cima 08-C 18-D 28-B 38-B 48-C d) duas retas, formando um V invertido (∧) 09-C 19-D 28-A 39-E 49-C e) n.r.a. 10-C 20-B 30-B 40-C 50-A 46- Se os pontos A, B e C no diagrama são os pontos de tangência, então x é igual: a) 3 / 16 cm C b) 1 / 8 cm • x c) 1 / 32 cm A • 3/8 • B d) 3 / 32 cm 1/2 e) 1 / 16 cm 60 ° 47- No ponto médio de um segmento AB que mede p unidades de comprimento, é levantada uma perpendicular MR, de comprimento q. Depois é traçado um círculo com centro em R e raio 1 / 2 AB, 3
  4. 4. NOTA: Substituem-se as variáveis do binômio por 1, SOLUÇ’ES ou seja: a = b = 1. 01(E) 11(C) Seja P o preço de venda, M o preço marcado e Elevando-se a expressão ao quadrado(quadrando-se) C o custo. Temos então: 2 1 55 y 2 2 25 2 25 5 10 y 2 2 25  y 2 2 25 PPM - 3 M M2 M 3 3 3 2 y 2 2 10 y 2 2 25 CC 4 PP 4 . 3 M M1 M M 2 C M M 1 2 12(C) Do ponto de vista analítico, as duas equações 02(C) A equação de origem trata-se de uma equação representam duas retas paralelas e distintas, pois fracionária, possuindo a condição de existência: possuem o mesmo coeficiente angular m = 2/3. Logo x – 1 x 0 ∴ x 1. Logo o conjunto solução da elas não possuem ponto em comum. Outro modo é primeira equação é apenas o elemento 4. pela Regra de Cramer. Nota-se que o determinante dos seus coeficientes é nulo, portanto não há solução. 03(C) Temos que: x = k1y³ (i). A seguir temos: y = k2z1/5 (ii). 13(B) Temos uma Substituindo (ii) em (i), temos: x = k1(k2z1/5)³ ∴ questão sobre “ângulo x = k1k2³ z3/5 = k z 3/5. Onde n = 3/5. inscrito” em uma circunferência: Sua 04(E) Vamos fatorar os dois números e em seguida medida (α) é a metade da determinar o M.D.C. pelos fatores comuns de medida do arco: α = menores expoentes, ou seja: med.arc. / 2. 132 = 2².3.11 ; 6432 = 25.3.67 Para o nosso problema ∴ MDC (132, 6432) = 2². 3 = 12. Logo: 12 – 8 = 4 temos: ] x = 1 / 2 ( a + b + c). Portanto a soma dos quatro 05(A) No hexágono inscrito ângulos: S = ½ (a + b + c + b + c + d + c + d + a + d podemos traçar seis triângulos + a + b) = ½ (3a + 3b + 3c + 3d)= 3/2 (a + b + c + d) eqüiláteros de lado = raio(R) = 10. = 3/2 (360°) = 540°. (Veja a figura lado). ∴ Área do hexágono = 6.Área ∆ ∴ AH = 6.1/2. R.R. sen 60°= 14(E) Inicialmente, vamos desenvolver o quadrado 150√3 cm². no radicando e a seguir executar o mmc.Finalmente Nota: para cálculo da área de um ∆ do qual se tem dois de seus lados e o ângulo entre eles é dado por: x4 41 2 4x 4 x 882x 4 1 x 8 2x 4 1 x 4 1 2 1 2 4 4 2 A ∆ = ½(lado1. lado2). seno do ângulo entre lados. 2x 4x 4 4x 4 2x 2 x 4 1 x4 1 x2 1 2 2  2  06(D) Temos uma questão sobre potências e suas 2x 2 2x 2 2x 2 2 2x2 propriedades. executamos a raiz quadrada. x° = 1 para todo x ( x x 0) e – 32 = - 25 15(D) Temos uma questão envolvendo algumas ∴ 1 propriedades de logarítmos (divisão, expoentes,etc.) 16  11 1 4 1 4 5 16  1 1 1 8 16 6 7 1 8 1 8 log 125 = log (1000 / 8) = log 1000 – log 8 = 64 12 5 5 = log 10³ - log 2³ = 3.log 10 – 3.log2 = 3 – 3.log 2. 07(B) Vamos a primeiro lugar calcular o preço sem 16(D) Aplicando a função f(x) temos: descontos do vestido: Pr. venda = Pr. Custo – f(x + h) – f(x) = [5(x + h)² - 2(x + h) – 1] – (5x²-2x-1) desconto ∴ 25,00 = C – 2,50 ∴ C = 27,50. = 10xh + 5h² - 2h = h( 10x + 5h – 2). Logo a taxa dos descontos = desconto / Pr.Custo = 2,50 / 27,50 = 1 / 11 2 9%. 17(A) Há uma variedade de maneiras de se verificar que a alternativa correta é (A). Uma maneira (óbvia) 08(C) Sejam L o lado do quadrado e h a altura do ∆. é colocar vários pontos em um gráfico. Como as áreas são iguais, temos: NOTA: O traçado de um gráfico de um polinômio de At = Aq ∴ (base x altura) / 2 = (lado)² 3°grau está fora do escopo do nível médio. ∴(2L. h)/2 = L² ∴ h = L ∴ h / L = 1. 18(D) Assunto: Inequação do 1° grau. Temos que: 09(C) Considere as 2x – 3 > 7 – x, adicionando x + 3 a ambos os cordas: PQ = 9; PR = membros da inequação: 3x > 10 ∴ x > 10 / 3. PQ + QR=9+7 = 16. Temos ainda: PS = 13 – 19(D) Assunto: Ângulo Inscrito r(raio) e PT = 13 + r. em uma circunferência (Veja Usando uma das fórmulas da potência de um ponto, problema 13). Vamos temos: PT . PS = PQ . PR ∴ (13 + r)( 13 – r) = 16 . 9 considerar o ∆ A’B’C’ inscrito ∴ 169 – r² = 144 ∴ r = 5. no círculo e este por sua vez, inscrito no ∆ABC (Veja figura) 10(C) Soma dos coeficientes = ( 1 + 1)6 = 26 = 64. Como: A’ = a / 2 e que ] A = 180° - a∴ a = 180° - ] A. ] A’ = a / 2 = 90° - ]A / 2 ∴ A’ < 90°. 4
  5. 5. [Da mesma forma encontramos: ]B’ < 0 e ] C’ < 0. 29(A) Usando relações métricas no ∆ retângulo 20(B) Raízes racionais de uma eq. Polinomial: Se p/ m 4 r 9 (i) Temos que n e t , onde q, com p Ze q  Z*, é raiz de P(x) = ao + a1x + a2x² + ... n 3 t 14 + anxn = 0, p é divisor de ao e q é divisor de a n. Na multiplicando as proporções entre si,obtém-se: equação do problema x³ + 6x² + 11x + 6 = 0, temos mr n 4 3 14 4 6 7 6k k mr m 6k e nt n 7k 9 nt 3 7 7k que ao = 6 e a n= 1, p é divisor de 6 = {±1; ±2; ±3; ±6} e q é divisor de 1 = {±1}.Então p/q = {±1; ±2; Podemos então calculara a razão pedida: 3mrr nt ±3; ±6}. 4ntt 7mr r 28kk42k k k14k k k11 . 18kk7k 11k 14 Verifica-se então que p(-1) = p(-2) = p(-3) = 0, logo: (considerar figura) e dados do problema temos: -1; -2 e -3 são raízes racionais da equação x x c c a² e ec c xxc c b². 21(C) Inicialmente devem-se quadrar a equação e em Como a razão catetosc a b 1 b 2 seguida, “zera-la” (operar seus ternos semelhantes no 1º membro zerando o segundo). a razão das p artes da hip otenusa Temos: 2 x  2 x 5 5 2 x  2 2 2 2 5 2 4x  8  4 x x 25 h xccxxc c ccx x a² ² xc x b² 1 2 ² ² 1 4 . x x (multiplicando-se os membros da equação por x, temos) (Veja figura abaixo). 30(B) Sejam a, b ) 4x² ² 17x  4 4 0 e c os dias que A, B e C 22(B) Vamos operar as frações e fatorar: gastariam para 2x²² x 4 x 2x²² xx44x Temos : xx 111xx2 2 2 xx 111xx2 2 2 xx 111xx2 2 2 terminar o 22x²² xx22 22x 1 11xx22 trabalho se 2x²² 2xx4 2 4x 1 11xx22 2 2x 1 11xx22 2 2x 1 11xx22 2 2, estivessem trabalhando sozinhos. Então 1 / a. 1 / b e 1 / c para valores de x x x 1 ou x x 2. representam as frações do trabalho que eles executam 23(D) Pelas alternativas do problema, observa-se que em cada dia. Como A e B trabalhando juntos gastam o pedido é a margem (M) do lucro em função do 2 dias para fazer o trabalho, então fazem a metade do preço de venda (V). Iniciamos a resolução calculando trabalho por dia, isto é 1/a + 1/b = ½ (i) e o preço de custo (C) em função de (V), usando (i) semelhantemente 1/b + 1/c = ¼ (ii) e 1/a + 1/c= para em seguida calcularmos M em função de V. 1 / 2 2/5 = 5/12 (iii). (i) Venda (V) = Custo (C) + Lucro (L) ∴ Fazendo (iii) – (ii), temos: 1/a – 1/b = 1/6 (iv). V = C+1/n C = C ( 1 + 1/n ) ∴ C = [ n / (n+1)] V Finalmente: (i) + (ii) = 2/a = 2/3 ∴ a = 3. (ii) Como temos que: M = (1 / n)C ∴ M = (1 / n).[n / (n + 1)] V ∴ M = V / (n + 1) . 31(A) A 40° 24(A) Para uma equação do 2ºgrau possuir raízes reais e iguais, o valor do discriminante = 0 (zero). D E Na equação 2x² - x(k – 1) + 8 = 0 temos que: 40°+α ∆ = (k – 1)² - 64 = 0 ∴ k – 1= ± 8 ∴ k = 9 ou k = -7. X 70- α β α 25(D) Trata-se de um problema de equações do α 70- α 2ºgrau (ax² + bx + c = 0, a20) em que uma das raízes, B C temos que é x1= 1. Vamos usar a fórmula do produto das raízes, ou seja: Pelo enunciado temos que AB = AC ∴ ∆ABC é x1.x2 = c / a ∴ 1 . x2 = c(a – b) / a(b – c) isósceles, e: (i) ] A = 40°,(ii) pela soma dos ângulos ∴ x2 = c(a – b) / a(b – c). internos de um ∆, temos ] B = ] C = 70°. Vamos a figura acima e considere: 26(B) Seja x = BD e seja R o raio do a) No ∆BXC, temos: ] B = α; ]X = β e círculo menor. ]C= 70°- α. Traçada uma reta b) No ∆ADC, temos: ] A = 40°; ] C = α . do centro de cada circunferência até o c) NO ∆BDX, temos: ] B = 70°- α; ] D = ponto de contato da 40°+ α ( ângulo externo do ∆BDX) tangente e o círculo, por semelhança de triângulos, d) ] β (Externo ∆BDX) = (70°-α) + (40°+ α) temos: = 110°. x R x 5R R R 3R R xx R 27(D) Como dados temos: Rcone = Resf. = R; Temos mais que: Vcone = ½ Vesf ∴ 1/3 R² hc = ½ (4/3 RR³) ∴ h c / R = 4/2 = 2 / 1. 32(E) Trata-se de um problema de fatoração. Existem alguns métodos, como a complementação dos 28(B) Vamos usar algumas propriedades das quadrados, uso de regras dos produtos notáveis, etc. proporções: Mas vamos ao nosso caso: x4 + 64 = (x²)² + (8)² + 16x²- 16x²= 5
  6. 6. =(x4 + 16x²+64) - 16x² = (x² + 8)² - (4x)² = ∴x 1,47. (x² + 8+ 4x) (x²+ 8 – 4x) = (x² + 4x + 8) (x²- 4x + 8). 39(E) Seja PA um segmento de reta qualquer 33(D) A taxa de juros Compostos, trata-se de um passando por P de forma que A seja um ponto sobre cálculo bastante complexo. Vamos aqui usar uma uma circunferência de centro O e raio r. Seja A’ o aproximação. O quociente do juro pelo capital inicial ponto médio de PA r seja O’ o ponto médio de nos fornece a taxa, pois j = C.i ∴ i = j / C (onde C = PO.Para se convencer de que o lugar geométrico Capital inicial e j = juros). No nosso problema vamos procurado é a circunferência de centro O’ e raio r/2, considerar a média(metade) de C = 120/2 = 60. considere os triângulos equivalentes POA e PO’A’. Portanto temos: i = j / C = 6 / 60 = 0,10 P 10%. Qualquer que seja o ponto A sobre a circunferência dada, O’A’ = ½ AO = ½ r (veja figura a seguir). Logo 34(D) Assunto: Dízimas periódicas Simples e a alternativa Compostas: Temos que 1 / 3 = 0, 333. . . (dízima correta é (E). periódica simples). Podemos ver: 1/ 3 = 0, 33333333 + 0, 00000000333... 40(C) Como ∴ 1/3 – 0, 00000000333... = 0, 33333333. temos (a + Podemos concluir então que 1/3 é maior que 1/a)² = 3 ∴ a + 0,33333333 em 0,00000000333... = 1 / 3.10 8. 1/a = √3. Para o cálculo do pedido vamos usar o cubo da soma 35(A) Usando: (i) Teorema de Pitágoras no ∆ACM de dois termos e uma de suas aplicações. Lembrando temos: c² = m² + a² ∴ c = √ d² + (h + x)² = que: (x + y)3 = x³+3x²y+3xy²+y³ = x³ + y³ + 3xy(x+y) = √ d² +h² +2hx + x². ∴ x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y). Podemos então usar (ii) Dados do problema: BM + MA = BC + CA ∴ que: a³ + 1/a³ = (a + 1/a)³ - 3 a.1/a (a + 1/a) = x+c=h+d∴c=h+d–x. (√3)³-3.a.1/a(√3) ∴ a³ + 1/a³ = 3√3 - 3√3 = 0. Fazendo (i) = (ii), e a seguir quadrando a igualdade temos: 41(D) Uma equação do 3° grau apresenta-se como: ax³ + bx² + cx + d = 0 e tem como soma das raízes: √ d² + h² + 2hx + x² = h + d – x ∴ S = - b/a, portanto na equação 4x³ - 8x² - 63x – 9 = 0 d² + h² + 2hx + x² = h² + d² + x² +2hd – 2hx – 2dx ∴ temos: S = -(-8) / 4 ∴ S = 2. ∴2hx + dx = hd ∴ x = hd / (2h + d) . 42(D) Construindo o gráfico das funções ou 36(C) Do enunciado temos; Velocidade do barco em observando o ponto mínimo vértice V(-b / 2 a; -∆/4 a) águas parada → Vág. Par. = 15 km/h; Vel. da corrente de cada função, V1(1 / 4; 31 / 16) e V2(-1 / 4; 31 / 16), → Vcor = 5 km/h Vel. barco descendo o rio → Vds = em um plano cartesiano pode-se concluir que a 15 + 5 = 20 km/h; Vel. barco subindo o rio → Vsd = alternativa correta é (D). 15 – 5 = 10 km/h. Cálculo da velocidade média(Vm) da subida e 43(B) Num ∆ABC retângulo com hipotenusa c e descida do trecho do rio, usaremos a média catetos a e b temos que c = a – r + b – r , onde r é o harmônica sobre Vds e Vsd (Ver II REMEMBER – raio do círculo inscrito (Veja problema 35 – Prob 39), ou seja: Remember I ). Como dados temos: c = 10 cm e r = 1 cm. Daí: 10 = a + b – 2.1 ∴ a + b = 12(Soma com 2 2 2 40 Vm V 1 1 V 1 1 0 1 2 0 3 km/h catetos) ∴ Perímetro = a + b + c = 12 + 10 = 22 cm. Vds  Vsd 20  10 20 Vm 40/3 8 Logo a razão pedida: Vág.par. . 15 5 9 44(E) A 1ª metade do século XIX compreende um número inteiro entre 1800 e 1850. Extraindo a raiz 37(B) Pelas opções verifica-se que o pedido do quadrada de 1950 temos: 1950 = 43² + 1, ou seja, o problema é o ângulo ]m ou o ângulo ] d e que único inteiro que possui quadrado neste intervalo ] n = 90°. acima é 43, pois 43² = 1849. Portanto em 1849 =x² Como o ]m ele possui 43 anos = x, logo ele nasceu em 1849 – 43 é externo ao = 1806. ∆MPD 45(D) Seja x a distância de A medida da reta temos:]m= (diagonal)AC e seja y o comprimento do segmento ]p+]d. paralelo a BD e x Os ∆MRNM∆ORN → ]m = ]o → No ∆OQD → unidades a partir de A. ]q = ]m + ]d . Isolando ]d nas duas equações Considerando o losango ABCD, com diagonais AC temos: ]m - ]p = ]q - ]m → 2]m = ]p + ]q → e BD. Por semelhança ]m = (]p + ]q) / 2. (Observe a figura) temos: ∆AEF A ABD, logo: 38(B) Aplicando a princípio a propriedade de i) Se x ≤ AC / 2 → ½ y = ½ BD potências am + n = am. an e a seguir usando logarítmos x ½ AC na igualdade com a propriedade da divisão, temos: ∴y=2xBD/AC ∴ y = 2kx (k = BD/AC → constante) 3x + 3 = 3 x. 33 = 135 ∴ 3 x = 5 ∴ log3x = log 5 ∴ x log 3 = log 5 ∴ x log 3 = log( 10/2) =log10 – log 2 ii) Se x ≥ AC / 2 ( temos ∆CGH C ∆ CBD ) ∴ x = (log 10 – log 2) / log 3 = (1 – 0,3010) / 0,4771 ½ y = ½ BD ∴ y = 2k(AC – x) 6
  7. 7. AC – x ½ AC desloca-se apenas 30°).(Considere relógio com ∴ y = -2kx + 2kAC, onde k = BD / AC (constante). mostrador circular para melhor compreensão). O gráfico de y como função de x é linear. A 1ºinstante: Conforme o declividade da reta = 2k, é positiva para x < AC/2 e a enunciado, há um ângulo de 84° declividade = -2k (negativa) para x > AC/2. Portanto entre os ponteiros no horário a alternativa correta é a (D). entre 7 e 8 h. Neste horário o ponteiro das horas deslocou-se x 46(E) Na figura o ∆OBD é após as 7hs, formando um retângulo em B; logo: ângulo de 210° + x relativo as sen 30° = OB/OD ∴1/2=3/16 /OD ∴ OD=3/8. 12hs e, o ponteiro dos minutos deslocou-se y após a Daí então: marca das 4 hs, formando ângulo de 120° + y com a CD=3/8 + 3/19=9/16=x +1/2 ∴ x = 1/16 cm marca das 12 hs. (Veja figura ao lado). Temos por equação relacionada ao deslocamento dos ângulos: Deslocamento do ponteiro menor em relação 47(B) Usando o teorema de Pitágoras no ∆KMT as 12 hs – desl. do pont. maior relativo as 12 hs. = (retângulo em M) temos: (1/2 p)² = q² + MT² ∴ 84° ∴ (210° + x ) – (120° + y) = 84° . Como o ponteiro menor, entre 7 e 8 hs deslocou-se apenas x, MT = √(1/2 p)² - q² = ( √p² - 4q² ) / 2 . temos que 120° + y = 12x (deslocamento do ponteiro Vamos calcular as raízes, sua a soma e o produto: maior). Logo a nossa equação torna-se: 210° + x – AT = AM + MT = p/2 + ( √p² - 4q² ) / 2 = 12x = 84° ∴ x = 126/11° 23 minutos. =(p + √p² - 4q² ) / 2 e, Temos então o horário de 7hs e 23 min. TB = AB – AT = p - (p + √p² - 4q²) / 2 = = (p - √p² - 4q²) / 2. 2ºinstante: Fazendo as mesmas considerações do Daí então: S =AT+TB = p e P = AT.TB= q² instante anterior, temos(Veja figura ao lado) ∴ a equação é: x² - px + q² = 0. Deslocamento ponteiro pequeno = x 48(C) Seja d a distância do local do acidente ao final Deslocamento ponteiro grande = da viagem e v, a velocidade constante do trem antes 300° + y = 12x; do acidente. Nossa equação: Temos então que o tempo normal da viagem, em Desl. pont.Gde – Desl.pont.Peq. = horas, é dado por: 84° ∴ (300° + x) - ( 210° + x) = T normal = T (antes do acid.) + T (após o acid.) = 84° ∴ = 1 + d / v = (v + d ) / 2 hs. 12x – 210° - x = 84° ∴ x = 294°/11 53 min. Lembre-se no Mov.Uniforme: V = d/t ∴ t = d/v Logo o horário é 7 hs e 53 min. Vamos considerar o tempo gasto em cada tipo de viagem. Veja que, no primeiro tipo temos três etapas de tempo: t1 (antes do acid.) + t2 (retido) + t3 (após acidente) = = T normal + 3 ½ ∴ 1 + ½ + d / (3/4 v) = (v+d)/2 + 31/2 ∴ d = 9v (I) No segundo tipo temos as etapas: t1(antes do acid.) + t2(+ 90km) +t3(retido) + t4(após acid.) = T normal + 3 ∴ 1 + 90 / v + ½ + (d – 90)/ (3/4 v) = (v + d)/2 + 3 ∴ 2d – 15v = 180 (II). Substituindo (I) em (II), temos: v = 60 km/h e d = 540 km. Como o trem deslocou-se 1h com velocidade 60 km/h, antes do acidente podemos concluir: a viagem = 540 + 60 = 600 km. 49(C) Considerando os impares 2 a + 1 e 2b + 1, temos:(2 a + 1)² - (2b + 1)² = = 4 a + 4 a + 1 – 4b² - 4b – 1 = = 4 a (a + 1) – 4b (b + 1) = = 4[a (a + 1) – b( b + 1)] Como o produto de dois números consecutivos é divisível por 2, a última expressão é divisível por 8. 50(A) Para resolução deste problema temos que saber que, em termos de deslocamento, o que o ponteiro dos minutos (y) executa em determinado tempo, o ponteiro das horas (x) executa 1/12 do deslocamento, ou seja: y = 12.x (veja que enquanto o ponteiro grande (y) dar uma volta=360°, o ponteiro menor (x) 7

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