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19 O ângulo B de um ∆ ABC é trissectado por BD e BE os            a) 1,2 e 8,75 b) 2,75 e 7,25     c) 2 e 8 d) 4 e 6 e)nra...
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41 Aumentando-se o raio de um cilindro de 6 unidades, o seu       ...
08 (D) Dois círculos iguais em um mesmo plano nunca têm            (Pr. Venda) → V = C + 20%V=C + 1/5V ∴V =5/4C.
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  1. 1. REMEMBER III 2 2 2 2 = - √ 85. Portanto (E) é a alternativa correta. 01 Se o raio de um círculo é um número racional. sua área é dada por um número: 07 Quando simplificada, a expressão (x-1+y-1)-1 é igual a: a) racional b) irracional c) inteiro a) x + y b) xy / (x + y) c) xy d)quadrado perfeito e) n.r.a. d) 1 / xy d) (x +y)/xy 08 Dois círculos iguais, num mesmo plano, não pode ter o número de tangentes comuns * igual a : 01(B) Como a área do círculo = A = πr²; π é irracional e r, a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.r.a. racional, temos que A é irracional.(O produto de um nº. *N.T. – “número de tangentes comuns” deve ser entendido racional por um nº. irracional é irracional). como o número de elementos do conjunto: A = {r / r é uma reta tangente aos dois círculos de igual tamanho e pertencentes ao mesmo plano}. 02 Duas classes de um colégio fizeram o mesmo teste. Uma classe de 20 alunos teve uma nota média correspondente a 09 Se m = cab / (a – b) então b é igual a: 80%; a outra classe de 30 alunos teve uma nota média de a) m(a – b) / ca b) (cab – ma) / (-m) c) 1 / (1 + c) 70%. A nota média das duas classes è: d) ma / (m + ca) e) (m + ca) / ma a) 75% b) 74% c) 72% d) 77% e)n.r.a. 10 Um automóvel subiu uma encosta viajando a 10 km / h e desceu-a a 20 km / h. A velocidade média do percurso foi: 02(B) Devemos usar a Média Arit. Ponderada: a) 12,5 km/h b) 13 1/3 km/h c) 14,5 km/h A média das duas classes = 20. 80 + 30. 70 = 74 d) 15 km/k d) n.r.a. 20 + 30 11 Se y = f( x ) = x + 2 , então é incorreto afirmar : x-1 03 A expressão a³ - a-3 é igual a: a) x = (y + 2) / (y – 1) b) f(0) = -2 c) f(1) = 0 a) (a – 1/a) (a² + 1 + 1/a²) b) (1/a – a) (a² - 1+ 1/a²) d) f(-2) = 0 e) f(y) = x. c) (a – 1/a) (a² - 2 + 1/a²) d) (1/a – a) (1/a² + 1 + a²) e) n.r.a. 12 A soma infinita dos termos de uma PG infinita é 6. A soma dos dois primeiros termos é 4,5. O primeiro termo da progressão é: 03 (A)Prepara-se e usa-se Produtos Notáveis: a) 3 ou 1,5 b) 1 c) 2,5 d) 6 e) 9 ou 3. a³ - a-3 = a³ - 1/a³ = (a – 1/a)(a² + 1 + 1/a²). 13 a função x² + px + q com p e q maiores do que zero tem seu valor mínimo quando: 04 O custo de enviar um pacote pesando P kg, P inteiro, é 10 a) x = - p b) x = p / 2 c) x = -2p d) x = p²/4p centavos pelo 1º kg e 3 centavos por kg adicional. A fórmula e) x = -p/2. que estabelece esse custo é: a) C = 10 + 3P b) C = 10P + 3 c) C = 10+ 3(P – 1) 14 Uma casa e uma mercearia foram vendidas por d) C = 9 + 3P e) C = 10P – 7. R$ 12.000,00 cada uma. A casa foi vendida 20% abaixo do custo e o armazém, 20% acima do custo. Ao final, o resultado do negócio foi: a) sem lucro nem prejuízo b) prejuízo de R$ 1.000,00 c) 04 (C) O custo de P – 1 quilos é 3 centavos por quilo. O custo lucro de R$ 1.000,00 d) lucro de R$ 2.000,00 e) do primeiro quilo é 10 centavos. Portanto o custo (C) é dado n.r.a. pela equação: C = 10 + (P – 1). 3. 15 Os lados de um triângulo estão na proporção de 6: 8: 9. Então: 05 Os pontos (6, 12) e (0, -6) pertencem a uma reta. Um a) o triângulo é obtuso b) os ângulos estão na proporção terceiro ponto dessa reta pode ser: de 6: 8: 9 c) o triângulo é acutângulo a) (3,3) b) (2,1) c) (7,16) d)(-1,-4) e)(-3,-8) d) o ângulo oposto ao maior lado é o dobro do ângulo oposto ao menor lado e) n.r.a. 05 (A) Determinando a equação da reta que passa por dois 16 Se a base de um retângulo é aumentada em 10% e sua área não se altera então a sua altura é diminuída em: pontos A(0,6),B(6,12): m = yB – yA = y – yA a) 9% b)10% c) 11% d) 11 1/9% e) 9 1/11% xB – xA x – xA ∴ 12 + 6 = y + 6 ∴ y = 3x – 6 . (É um modo rápido 17 Um mercador comprou produtos com um desconto de 6–0 x–0 para cálculo reta por 2 pontos). 20% sobre os preços de tabela. Ele pretende marca-los com Verificando os pontos das alternativas, o que pertence a reta é um preço tal que, dando um desconto de 20% sobre o preço (3,3), pois é o único que satisfaz a igualdade: 3 = 3.3 – 6. marcado ele ainda tenha um lucro de 20% do preço de venda. O percentual sobre o preço de tabela que ele deve marcar é: a) 20 b) 100 c ) 125 d) 80 e) 120 06 A diferença entre as raízes da equação x² -7x -9 =0 é; a) 7 b) 7/2 c) 9 d) 2 √ 85 e) √ 85 18 Log p + log q = log (p + q) se e somente se: a) p = q = zero b) p = q² / (1 – q) c) p = q = 1 d) p = q / (q – 1) e) p = q / (q + 1) 06 (E) As raízes são (7 ∓ √ 49 + 36 ) / 2 e a diferença entre elas é: 7 + √ 85 - 7 - √ 85 = √ 85 ou 7 -√ 85 - 7 + √ 85 = 1
  2. 2. 19 O ângulo B de um ∆ ABC é trissectado por BD e BE os a) 1,2 e 8,75 b) 2,75 e 7,25 c) 2 e 8 d) 4 e 6 e)nra quais encontram AC nos pontos D e E respectivamente. Então: 30 Quando a soma dos dez primeiros termos de uma PA é a) AD = AE b) AD = AB C) AD = BD quatro vezes a soma dos 5 primeiros termos, a razão entre o EC DC EC BC EC BE primeiro termo e a diferença comum é: a) 1:2 b) 2:1 c) 1:4 d) 1:4 e) 1:1. d) AD = (AB)(BD) e) AD = (AE)(BD) EC (BE)(BC) EC (DC)(BE) 31 Dados 12 pontos em um plano, onde 3 nunca estão alinhados. O número de retas que eles determinam é: 20 Se x = 3 , então a expressão incorreta é: a) 24 b) 54 c) 120 d) 66 e) n.r.a. y 4 a) x + y = 7 b) y = 4 c) x + 2y = 11 32 K leva 30 minutos menos que M para percorrer 30 Km. K y 4 y-x 1 x 3 anda 1/3 km/h mais rápido que M. Se x é a velocidade de K em km/h, então o tempo que K leva para percorrer a distância d) x = 3 e) x – y = 1 é: 2y 8 y 4 a) x + 1/3 b) x – 1/3 c) 30 d) 30/x e) x/30 21 Os lados de um polígono regular de n lados, n >4, são 30 30 x + 1/3 estendidos para se formar uma estrela. Os ângulos em cada ponta da estrela valem: 33 Um círculo e um quadrado têm o mesmo perímetro. a) 360 / n b) (n – 4)180 / n c) (n – 2) 180 / n Então: d) 180 – 90/n e) 180 / n. a) suas áreas são iguais b) a área do círculo é maior c) a área do quadrado é maior d) a área do círculo é π vezes 22 Na hipotenusa AB de um ∆ retângulo ABC, um segundo ∆ a área do quadrado e) n.r.a. retângulo ABD, é construído, cuja hipotenusa também é AB. Se BC = 1, AC = b e AD = 2, então BD é igual a: 34 O preço de certo artigo é aumentado p%. Mais tarde, o a) √ b² + 1 b) √ b² - 3 c) √ b² + 1 + 2 novo preço sofreu um desconto de p%. Se o preço final é R$ d) b² + 5 e) √ b² + 3 . 1,00 então o preço original era: a) (1 – p²)/200 b) (√ 1 – p²)/100 c) um Real d) 1 - p² / (10000 – p²) e) 10 000 / (10 000 – p²) 23 Se x² - bx = m – 1 tem raízes numericamente ax – c m+1 √2 iguais e de sinais opostos, então o valor de m deve ser: 35 A expressão com denominador √2 +√3-√5 a) a – b b) a + b c) c d) 1 / c e) 1 racional, é equivalente a: a+b a–b a) 3 + √ 6 + √ 15 b) √ 6 – 2 + √ 10 c) 2 + √ 6 + √ 10 24 Na figura ao C E 6 6 10 lado, o ângulo C = 90°, d) (2 + √ 6 - √ 10) / 6 e) n.r.a. AD = DB, DE ⊥ AB, AB = 20 e AC = 12. 36 Para que a função x³ + 1 seja contínua no ponto x A área do x² - 1 quadrilátero ADEC A D B é: = -1, o valor da função nesse ponto deve ser: a) 75 b) 58,5 c) a) -2 b) 0 c) 3 /2 d) ∞ e) -3/2 48 d) 37,5 e) n.r.a. 37 Duas cordas iguais e paralelas são traçadas, com distância de 8 cm uma da outra em um círculo de 8 cm de raio. A área 25 Um técnico em explosivos coloca uma dinamite com um do círculo contida entre essas duas cordas é de: pavio aceso que o fará detonar em 30 segundos. Aí ele se a) 21 1/3π - 32 √ 3 b) 32 √ 3 – 21 1/3 π afasta do local correndo a 8 m/s. O som se desloca a 1.200 c) 32√ 3 + 42 2/3π d) 16√3+42 2/3π e) 42 2/3 π km/h. Quando o técnico ouve a explosão, ele correu aproximadamente: 38 A área de um trapézio é de 1.400 m².Sua altura é de 50 m. a) 200m b) 352m c) 300m d) 245m e) 512m. Calcular a medida das duas bases, sabendo que a medida de cada uma delas é múltiplo de 8. O número de soluções deste 26 Se (r + 1/r)² = 3, então r³ + 1/r³ é igual a: problema é: a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 6. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) n.r.a. 27 A razão entre o perímetro de um ∆ eqüilátero cuja altura é 39 Se o perímetro de um retângulo é p e se a diagonal mede igual ao raio de um círculo e o perímetro de um ∆ eqüilátero d, então a diferença entre o comprimento e a largura do inscrito no círculo é: retângulo é: a) 1:2 b) 1:3 c) 1:√ 3 d) √ 3:2 e) 2:3. a) (√ 8d² - p²) / 2 b) (√ 8d² + p²) / 2 c) (√ 6d² - p²) / 2 d) (√ 6d² + p²) / 2 e) (√ 8d² - p²) / 4. 28 Na tabela abaixo, a fórmula que relaciona x com y é: x 1 2 3 4 5 40 Para desenhar o gráfico de f(x) = ax² + bx + c, foi y 3 7 1 2 31 elaborada uma tabela. Os valores desta função para um 3 1 conjunto de valores crescentes eqüiespaçados de x era 3844, 3969, 4096, 4227, 4356, 4489, 4624 e 4761. O valor errado a) y = 4x – 1 b) y = x³ - x² + x + 2 c) y = x² + x + 1 nesta seqüência é: d) y = (x² + x + 1)(x – 1) e) n.r.a. a) 4096 b) 4356 c) 4489 d) 4761 e)n.r.a. 29 Um círculo cujo raio é de 5 unidades, CD e AB são Para entender basta diâmetros perpendiculares. Uma corda CH de 8 unidades de Seiscentos anos de estudo comprimento corta AB em um ponto k. O diâmetro AB é dividido em 2 segmentos cujas dimensões são: Ou seis segundos de atenção 2
  3. 3. mesmo ocorrendo para os segmentos BE e CF. Então a área 41 Aumentando-se o raio de um cilindro de 6 unidades, o seu do triângulo N1N2N3 é: volume aumenta de y unidades.O mesmo acontece se a) 1/10 ∆ ABC b) 1/9 ∆ ABC c) 1/7 ∆ ABC aumentarmos a altura do cilindro de 6 unidades. Se a altura d) 1/6 ∆ ABC e) n.r.a. original era 2, então o raio original era: a)2 b) 4 c) 6 d) 6π e) 8 50 Um segmento de 1cm cresce de acordo com a seguinte lei, onde o primeiro termo é o comprimento inicial . 42 Seja D um valor decimal que se repete. Se P denota os r 1+1√2+1+ 1√2 + 1 + 1 √2 + 1 +... algarismos que não se repetem e Q representa os s algarismos 4 4 16 16 64 64 que se repetem, então a expressão incorreta é: Se o processo de crescimento continua sempre, então o limite a) D = 0, PQQQ. . . b) 10rD = P, QQQ. . . para o crescimento do segmento é: c)10r + s D = PQ,QQQ. . . d)10r(10s – 1)D = Q(P – 1) a) ∞ b) 4/3 c) 8/3 d) 1/3 (4 + √ 2). e) 10r.102sD = PQQ,QQQ. . . GABARITO 43 O diâmetro de um círculo é dividido em n partes iguais. 01. B 11. C 21. B 31. 41. C Em cada parte é construído um semicírculo. À medida que n D cresce, as somas dos comprimentos dos arcos dos 02. B 12. E 22. B 32. 42. D semicírculos se aproximam do comprimento: D a) igual à semicircunferência do círculo original 03. 13. E 23. 33. B 43. A b) igual ao diâmetro do círculo original A A c)maior que o diâmetro mas menor que a semicircunferência 04. C 14. B 24. B 34. E 44. C do círculo original 05. 15. C 25. 35. 45. E d) infinito e) maior que a semicircunferência mas infinito. A D A 06. E 16, E 26. C 36. E 46. C 44 Se um número inteiro de dois dígitos é k vezes a soma de 07. B 17. C 27. E 37. B 47. D seus dígitos, então o número formado pela troca dos dígitos é 08. 18. 28. C 38. 48. A a soma dos dígitos multiplicada por: a) (9 – k) b) (10 – k) c) (11 – k) A D D d) (k – 1) e) (K + 1) 09. 19. 29. 39. 49. C D D A A 45 Se a e b são dois números positivos distintos então: 10. B 20. E 30. 40. E 50. D A a) 2 ab > √ ab > a + b b) √ ab > 2 ab > a + b a+b 2 a+b 2 c) 2 ab > a + b > √ ab d) a + b > 2 ab > √ ab SOLUÇÕES a+b 2 2 a+b e) a + b > √ ab > 2 ab 2 a+b 01(B) Como a área do círculo = A = πr²; π é irracional e r, racional, temos que A é irracional.(O produto de um nº. 46 A base de um novo retângulo é igual à soma da diagonal e racional por um nº. irracional é irracional). o lado maior de um retângulo dado, enquanto que a altura do novo retângulo é igual à diferença entre a diagonal e o lado 02(B) Devemos usar a Média Arit. Ponderada: maior do retângulo dado. A área do novo retângulo é: A média das duas classes = 20. 80 + 30. 70 = 74 a) maior que a área do retângulo dado 20 + 30 b) igual à área do retângulo dado c) igual à área de um quadrado cujo lado é igual ao lado 03 (A)Prepara-se e usa-se Produtos Notáveis: menor do retângulo dado a³ - a-3 = a³ - 1/a³ = (a – 1/a)(a² + 1 + 1/a²). d) igual à área de um retângulo cujo lado é igual ao lado maior do retângulo dado 04 (C) O custo de P – 1 quilos é 3 centavos por quilo. O custo e) igual à área de um retângulo cujas dimensões são a do primeiro quilo é 10 centavos. Portanto o custo (C) é dado diagonal e o lado menor do retângulo dado. pela equação: C = 10 + (P – 1). 3. 47 No conjunto de equações: z x = y 2x, 2 z = 2.4x, 05 (A) Determinando a equação da reta que passa por dois x + y + z = 16, as raízes inteiras x, y, z nesta ordem, são: pontos A(0,6),B(6,12): m = yB – yA = y – yA a) 3, 4, 9 b) 9, -5, 12 c) 12, -5, 9 xB – xA x – xA d) 4, 3, 9 d) 4, 9, 3. ∴ 12 + 6 = y + 6 ∴ y = 3x – 6 . (É um modo rápido 48 Dois ciclistas, distantes entre si k quilômetros, se 6–0 x–0 para cálculo reta por 2 pontos). cruzariam em r horas se viajassem na mesma direção, mas se Verificando os pontos das alternativas, o que pertence a reta é cruzariam em t horas se viajassem em direções opostas. A (3,3), pois é o único que satisfaz a igualdade: 3 = 3.3 – 6. proporção entre a velocidade do ciclista mais rápido e o 06 (E) As raízes são (7 ∓ √ 49 + 36 ) / 2 e a diferença entre ciclista mais lento é: elas é: a) r + t b) r__ c) r + t d) r / t e) r +k 7 + √ 85 - 7 - √ 85 = √ 85 ou 7 -√ 85 - 7 + √ 85 = r–t r–t r t–k 2 2 2 2 = - √ 85. Portanto (E) é a alternativa correta. 49 Na figura ao A lado, os segmentos CD, E AE e 07 (B) Usaremos propriedade potência expoente negativo (a–n BF são 1/3 dos F N2 seus = 1 / an) e operações c/ fração. respectivos lados. N3 N1 1 (x-1 + y-1) -1 = = xy__ Portanto AN2 :N2N1 1/x + 1/y x+y : N1D = 3:3:1, o B D C 3
  4. 4. 08 (D) Dois círculos iguais em um mesmo plano nunca têm (Pr. Venda) → V = C + 20%V=C + 1/5V ∴V =5/4C. apenas um tangente comum. Vejamos: Mas V = 80%M = 4/5 M ∴ 4/5.4/5 M = 4/5 V ∴ M = 5/4 L. 18(D) Pela propriedade de logaritmos, temos: log p + log q = log (p.q). Como log (p.q) = log (p+q), temos: p + q = p.q ∴ p = 1__ (q – 1) 19 Como BD divide ao meio o ângulo ABE, temos: AD = AB e como BE divide ao meio o ângulo DE BE DBC, então temos: DE = AB 09 (D) Aplicando a propriedade das proporções e “isolando” EC BC. Logo AD = DE (AB/BE) = (AB) (BD) b temos: ma – mb = cab ∴ ma = mb + cab = b( m + ca) ∴ b EC DE (BC/BD) (BE) (BC) = ma__ m + ca A 10 (B) Temos um problema para cálculo de uma velocidade média de um mov. retilíneo uniforme: V m = D total = 2d = 2d = D ∆t total td + tsub. d /Vd + d / Vsub = 2d = 40 / 3 = 13 1/3 km/h. E d / 10 + d / 20 Nota: Considere os símbolos: D total = d(subida) + d(descida); V = d / ∆t ∴ ∆t = t = d / V. Veja se você consegue demonstrar a fórmula abaixo, que é B C uma “roubada” para esse tipo de problema: 1 = 1 ( 1 + 1 ) ∴ 1 = 1 ( 1 + 1 )∴ 20 (E) Usando uma das propriedades das proporções,: x – y Vm 2 Vs Vd Vm 2 10 20 = 3 – 4 ∴ x – y = - 1_∴(E) é incorreta. ∴ Vm = 40 / 3 = 13 1/3 Km/h. y 4 y 4 11(C) A função f(x) possui uma condição de existência, já 21 (B) Procure esboçar um desses polígonos. Cada um desses que a mesma é definida com lei fracionária, e assim sendo ângulos (Â) pedidos é ângulo do vértice de um ∆ isósceles seu denominador deve ser diferente de zero, ou seja: x – 1 em que cada ângulos da base mede, em graus: 180 - (n – 2) 0 ∴ x 1. Logo f(1) não é definido, e a resposta certa é a 180 / n = 360 / n ∴Usando a soma dos ângulos internos de (C ). um ∆ temos: S(int) = 2. 360/n + Â ∴ Â = 180 – 720/n = 12(E) Fazendo os dois primeiros a e a.q, com -1< q < 1. = (180n-720)/n ∴ Â = 180(n – 4) / n. Temos que: a + a.q = a(1 + q) = 4,5 (i) , e que: S = a / (1 – q) = 6 ∴ a = 6(1 – q) (ii). 22(B) Usando o teorema de A Substituindo (ii) em (i): 6(1 –q) (1 + q) = 4,5 ∴ Pitágoras nos dois triângulos, já 2 D b ∴ 1 – q² = 4,5 / 6 ∴ q = ∓ 0,5 e a = 3 ou a = 9. que eles possuem a mesma x hipotenusa, temos: x² + 2² = b² + 1 ∴ 13(E) O mínimo da função quadrática (a > 0) é dado para x, x = √ b² - 3 . B 1 C pela abscissa do vértice da função, ou seja: x v = x = -b / 2 a = - p / 2.1 = -p / 2. 23(A) Usando a propriedade fundamental das proporções 14(B) Chamando de C o custo da casa e de M o custo da (produto dos meios = produto dos extremos) e operando os mercearia, temos: termos semelhantes, obtemos a equação equivalente: C – 0,2C = 12.000 ∴ C = 15.000. x² - ( b + m – 1 .a ) x + c ( m – 1 ) = 0. M + 0,2M = 12.000 ∴ M = 10.000. m+1 m+1 ∴(CUSTO) → C + M = 25.000. Como a soma das raízes é nula e igual ao coeficiente de x, ∴ A VENDA foi feita com prejuízo de R$ 1.000,00. temos: b + m – 1 a = 0 ∴ bm + b + ma – a = 0 m+1 15( C) Resolvemos a questão com o uso de que , um triângulo de lados a, b e c, onde a é o maior lado, temos:i) Se ∴m= a–b. b² + c° > a² (∆ acutângulo); ii) Se b² + c² = a² (∆ retângulo) e a+b iii) Se b² + c² < a² (∆ obtusângulo). Na questão: 6² + 8² = 100 > 9² e podemos concluir que o ∆ é acutângulo. 24(B) Temos que: AB = 20; AC = 12 e BC = 16. Como ∆BDE ∆BCA → área ∆BDE = 10² 16(E) Usando a fórmula da área do retângulo, temos: área ∆ BCA 16² AR = b.h = (b + 0,1b) (h – i.h) = (1 + 0,1)b (1 – i).h ∴ 1,1.(1 Mas a área ∆BCA = ½. 12.16 = 96 ∴ – i) = 1 ∴ i = 1 / 11 = 9 1/ 11% área ∆BDE=37,5 .Daí, a área do quadrilátero = = 96 – 37,5 = 58,5. 17(C) Sendo C o preço de custo do produto; V o preço de venda; T o preço de tabela e M o preço marcado, temos: 25(D) Temos que: d = Vs.ts = Vh.th(i), pois a os dois (Pr.Compra)→C = (100-20)%T= 80%T= 0,8T=4/5T movimentos são uniformes, onde Vh = 8m/s e V s = 1200km/ 4
  5. 5. h = 1000/3 m/s.Temos também que Tt = 30s∴ ts + th = 30 ∴ Como 4π < 16 ∴ P² / 4π > P² / 16 → A1 > A2. ts = 30 – th (ii). Substituído Vh, Vs e ts em (i), teremos: 34(E) Seja P o preço inicial. 1000/3. (30 – th) = 8. th ∴ th 30s. Preço com aumento= P1 = P. ( 1 + p / 100). Então, a distância percorrida d 8.30 240 m. Portanto a Preço com desconto = P2 = P1 (1 – p/100)= alternativa correta é (D). =P. (1 + p/100) (1 – p/100)= P.(1 – p² / 100²). Cálculo do preço inicial: 26 (C) Usaremos uma das propriedades dos produtos Novo preço com desconto = 1,00 ∴ notáveis: r³ + 1/r³ = ( r + 1/r) (r² - 1 + 1/r²). P.( 1 – p² / 100²) = 1 ∴ P = 1 / (1 – p²/100²) ∴ Mas ( r + 1/r)² = r² + 2 + 1/r² = 3 ∴ r² + 1/r² = 1. P = 10.000 / (10.000 – p²). Daí: r³ + 1/r³ = (r + 1/r)(1 – 1) = 0. 35(A) Usando a propriedade dos produtos notáveis 27(E) Sejam P1 e B P2 (a – b) (a + b) = a² - b² no denominador associado, que se tem os perímetros do ∆ como fator racionalizante (√2 + √3) +√5, temos: √2 . menor e do ∆ (√2 + √3) + √5 = 2 + √6 + √10 ; maior, respectivamente. (√2+√3)-√5 (√2 + √3) + √5) 2√6 Então: A 60° Vamos usar como fator racionalizante √6, ou seja: No ∆ ABO: r/√3 o C 2 + √6 + √10 . √6 = 2√6 + 6 + 2√15 = 3 + √6 + √15 30 tg60°=AO/BO D E 2√6 √6 2.6 6 ∴√3=r/ BO∴ F BO=r /√ 3. 36(E) Inicialmente vamos fatorar a fração dada: Logo: P1=3. BC=3.2r/√3 x³ + 1 = (x + 1) (x² - x + 1) = x² - x +1 para x 1. ∴ P1 = 6r / √3. x² - 1 (x + 1) ( x – 1) x -1 No ∆ FOE: Ê = 30° e então: cos30°= FE/OE = (s/2)/r ∴ (s/2)/ Então lim x³ + 1 = lim x² - x + 1 = 3 = - 3 . r = √3/2 ∴s = r√3. Como P2 = 3s ∴ x→-1 x² - 1 x →-1 x – 1 -2 2 P2 = 3r √3. Para que x³ + 1 seja contínua em x = -1, precisamos Então a razão P1: P2 = (6r/√3)/ (3r√3) = 2 : 3. x² - 1 28(C ) É o tipo de questão que se faz fazendo a verificação definir o valor de x³ + 1 = -3 /2 para x = - 1. alternativa por alternativa, caso que se obtém (C). x² - 1 Nota: O fato de que a diferença das abscissas é 2, 4, 6 e 8 Obs.: O problema está fora do escopo pretendido. serve para eliminar (A) e (B) como respostas. 37(B) Seja S a área do 29(A) Consideramos as duas setor circular BOF e G Ta C cordas concorrentes em k: AB área do ∆ OGB. A B área e CD. AK = 10-x; KB = x; CK T entre as cordas AB e S CD E F = y e KH= 8-y. mede por simetrias O A= 10-X Então: CK. KH = KB. A x B KA 4 (T + S).(Veja C D K 0 →y.(8-y) = x.(10-x) (i) figura). H Y-8 No ∆COK (retângulo), temos: No ∆ OGB, temos: OG KC² = OK² + OC² → y² H = (x - = 8/2=4; OB = raio= 8. Aplicando Pitágoras, temos que GB = 5)² + 5² (ii). D 4√3.Daí então: De (i) e (ii), temos: y = 25/4 T = ½.4.4√3 = 8√3. ∴ x = KB = 5/4 e No setor BOF, temos seu ângulo = 30° (pode-se calcula-lo KA = 10 – x = 35/4 usando os ângulos internos do ∆OGB).Daí: S = 30 / 360. (π8²) = 16/3 π. 30(A) Sendo S a soma dos n primeiros termos da PA de razão Logo A = 4 (8√3 + 16/3 π ) = 32√3 + 21 1/3 π. r, temos: S = n/2 [ 2 al + (n-1) r]. Pelo enunciado do problema, temos: 38(D) Denominando as bases de a e b, tEemos: 10/2 (2 a l + 9r) = 4[ 5/2 (2 a l + 4r)] ∴ r = 2 a l ∴ A = 1400 = ½.50(8 a + 8 b) ∴ a l : r = 1 : 2. a + b = 7. Trata-se de uma equação indeterminada, pois é N.T.: A fórmula S acima é obtida facilmente com a satisfeita para 3 soluções no conjunto dos inteiros: (1,6), (2,5) substituição de termo geral a n = a l + (n-1)r na formula da e (3,4). Logo a resposta correta é (D). soma S n = n(a l + a n)/2 da PA. 39(A) Sejam c = comprimento; L = largura do retângulo; d = 31(D) Escolhendo um ponto qualquer dentre os 12, ele pode diagonal e p / 2 = c + L (semi-perímetro), temos então: ser ligado aos 11 restantes , formando 11 retas. Como cada (i) c² + L² = d² ; reta apenas encontra 2 pontos, o número de retas é: ½(12 x (ii) (c + L)² = c² + 2 cL + L² = p²/4 ∴ 2cL= p²/4 – 11) = 66 retas distintas. (c² + L²) = p²/4 – d². Outra maneira é usando-se Análise Combinatória a parte das Combinações Simples, ou seja: (iii) (c – L)² = c² - 2cL +L²= (c²+L²) – 2cL = d² - C 12, 2 = 12!/ 2!(12-2)! = 66. (p²/4 – d²) = 2d² - p²/4 ∴ c – L = (√8d² - p²) / 2 . 32(D) Pela definição da velocidade, temos: Tempo(t) = Distância(d) / Velocidade(v) ∴t = 30/x. 40(E) Os valores de f(x) listados correspondem a: f(x), f(x+h), f(x+2h), . . . , f(x+7h). Pode-se observar que a 33(B) Seja P o perímetro comum, A1 e A2 as áreas do círculo diferença entre dois valores sucessivos é dada por: f(x+h) – e do quadrado, respectivamente. Então: f(x) = a(x+h)² + b(x+h) +c – (ax²+bx+c) = 2ahx + ah² + bh P = 2πr ∴ r = P / 2π ∴ A1 = πr² = P² / 4π. que é uma função linear em x. A seguir listamos dados e as P = 4L ∴ L = P / 4 ∴ A2 = L² = P² / 16. respectivas diferenças: 3844 3969 4096 4227 4356 4489 4624 4761 5
  6. 6. são: 125 127 131 129 133 135 137 49(C) Subtraindo da área do ∆ ABC a soma das áreas dos ∆ o que nos leva a dizer que o valor errado é 4227, baseado no CBF + ∆ BAE + ∆ ACD e a este resultado somarmos as áreas fato de que há um único valor errado. ∆ CDN1 + ∆ BFN3 + ∆ AEN2 temos a área do ∆ N1N2N3. Temos que: ∆ CBF = ∆ BAE = ∆ ACD = 1/3 ∆ABC. 41(C) Vcil= πr².h ∴ V + y = π(r + 6)².h = πr²(h +6)∴ A partir da afirmação feita no enunciado do problema, temos com h = 2 → (r + 6)².2 = r²(2+6) ∴3r² - 12r -36 = 0 ∴ r = 6. que: ∆CDN1 = ∆BFN3 = ∆AEN2 = 1/7.1/3. ∆ABC = 42(D) Temos uma dízima periódica composta denominada = 1/21 ∆ABC ∴ por D = 0,PQQQ... = ∆ N1N2N3 = ∆ABC – 3.1/3∆ABC + 3. 1/21 ∆ABC = = 0, a 1 . . . a r b 1 . . .b s.. . . = 1/7 ∆ABC. Portanto as alternativas (A), (B), (C) e (E) são corretas. Para verificarmos que (D) é incorreta, temos: 10 r + s.D – 10 r D = 50(D) Rearranjando os termos podemos escrever duas PG PQ – P infinitas de somas: ∴ 10 r ( 10 s – 1) D = P ( Q – 1). S 1 = 1 + 1/4 + 1/16 + . . . = 4 / 3 S 2 = √2 / 4 + √2 / 16 + √2 / 64 + . . . = √2 / 3 43(A) Para cada semicírculo, o diâmetro é ( 2 r / n ) e o ∴ S = S 1 + S 2 = 1/3 ( 4 + √2 ). comprimento do arco é (π r / n) . A soma dos n arcos = n.(π r / n ) = π r = metade do perímetro da circunferência. 44(C) Seja Nº. = ut = 10u + t = k (u + t) (i). Temos que: tu = 10 t + u = m (u + t) (ii). Fazendo (i) + (ii), temos: 11 (t + u) = (k + m)(u + t)∴ k + m = 11 ∴ m = 11 – k. 45(E) Sejam os números positivos a e b temos que a sua : Média Aritmética = M.A. = (a + b)/ 2; Média Geométrica = M.G. = √a.b e sua Média Harmônica = M.H. = 2ab / (a + b). Vamos provar que a ordem decrescente das três médias é: M.A > M.G. > M.H., ou seja, alternativa (E). (I) Como (a – b)² > 0 temos que a² - 2ab + b² > 0 ∴ a² + b² > 2ab, ∴ a² + 2ab + b² > 2ab+ 2ab ou seja: (a + b)² > 4ab ∴ a + b > 2√ab ∴ (a + b) / 2 > √ab, ou seja: M.A. > M.G. (I) (II) Como sabe-se que (a + b)² > 4ab, temos então que: 1 > 4ab / (a + b)² ∴ ab > 4ab.ab / (a + b)² ou seja: √ab > 2ab / (a + b) ∴ M.G. > M.H. (II) De (I) e (II), temos: M.A. > M.G. > M.H. 46(C) Considerando o retângulo dado de lados L(base); h (altura) e diagonal d. Temos então que: Área do novo retângulo = (Base). (altura) = = (d + L). (d – L) = d² - L² = h² = Área de um quadrado de lado h. 47(D) Na equação (1) temos: z = y². Na equação (2) temos: 2 z = 2 2x+1 ∴z = 2x+1 ∴ x = (z – 1) / 2 = (y² - 1) / 2. Da equação (3) tiramos: (y² - 1) / 2 + y + y² =16 de onde resulta uma raíz inteira y = 3. ∴ x = 4; y = 3 e z = 9. 48(A) Temos um problema de Mov. Uniforme (V→constante ∴ s = so + vt) com tempo de encontro (te). Sejam R e L as velocidades dos ciclistas rápido e lento, respectivamente. As distâncias (medidas a partir do ponto de partida, so = 0, do ciclista rápido) até o ponto de encontro são: (1) s R = R.t e s L = k + L.t (no mesmo sentido). No local do encontro s R = s L com te = r∴ R.r = k + L.r ∴ R – L = k / r. (2) s R = R.t e s L = k – L.t (em sentido contrário). No local do encontro s R = s L com te = t ∴ R.t = k – L.t ∴ R + L = k / t. Fazendo (I) + (II), temos: 2.R = K/r + k/t = k(r + t)/r.t Fazendo (II) – (I), temos: 2.L = k/t – k/r = k(r – t)/r.t. Daí então tem que: R / L = (r + t) / (r – t). 6

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