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Exercícios resolvidos matematica 01

  1. 1. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL Exercícios resolvidos. Funções trigonométricas e as suas inversas. Definição. A função f (x) de domínio D f diz-se periódica com o valor do período mínimo positivo T se: a) ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f ; b) f ( x ± T ) = f ( x) . Nota. O domínio de uma função periódica é um conjunto ilimitado à esquerda e à direita. 1) Determinar, caso existem, os valores dos períodos mínimos positivos das funções. 1.1) f ( x) = sen(4 x − 1) . A função f ( x) = sen(4 x − 1) é f (u ) = senu de domínio R composta com a função u = 4 x − 1 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R . Seja T > 0 . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f . f ( x ± T ) = sen(4 ⋅ ( x ± T ) − 1) = sen(4 ⋅ x ± 4 ⋅ T − 1) = sen((4 ⋅ x − 1) ± 4 ⋅ T ) = (∗) Substituindo 4 ⋅ x − 1 = α na continuação temos : (∗) = sen(α ± 4 ⋅ T ) = (∗ ∗) Porque o valor do período mínimo positivo da função seno é 2π e ∀α ∈ R tem-se 2π π π sen(α ± 2π ) = senα fazendo ± 4T = ±2π obtemos T = = . Portanto T = éo 4 2 2 valor mínimo positivo que verifica a relação ± 4T = ±2π é portanto é o período π mínimo positivo da função. Substituindo T = na continuação temos: 2 (∗ ∗) = sen  α ± 4 ⋅ π  = sen(α ± 2π ) = senα = sen(4 x − 1) .    2 Portanto foi provado que para a função f ( x) = sen(4 x − 1) de domínio R tem-se: π a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± ∈ Df = R ; 2  π b) f  x ±  = f ( x) ,  2 π isto é, T = é o período mínimo positivo da função. 2 1
  2. 2. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 1.2) f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) . A função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) é f (u ) = cos u de domínio R composta com a função u = π ⋅ x − 1 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R . Seja T > 0 . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f . f ( x ± T ) = cos (π ⋅ ( x ± T ) − 1) = cos (π ⋅ x ± π ⋅ T − 1) = cos ((π ⋅ x − 1) ± π ⋅ T ) = (∗) Substituindo π ⋅ x − 1 = α na continuação temos : (∗) = cos (α ± π ⋅ T ) = (∗ ∗) Porque o valor do período mínimo positivo da função cosseno é 2π e ∀α ∈ R tem-se cos (α ± 2π ) = cos α fazendo ± π ⋅ T = ±2π obtemos T = 2 . Portanto T = 2 é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± π ⋅ T = ±2π é portanto é o período mínimo positivo da função. Substituindo T = 2 na continuação temos: (∗ ∗) = cos (α ± π ⋅ 2) = cos α = cos (π ⋅ x − 1) . Portanto foi provado que para a função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) de domínio R tem-se: a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± 2 ∈ D f = R ; b) f ( x ± 2) = f ( x) , isto é, T = 2 é o período mínimo positivo da função. 1.3) f ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) . A função f ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) é f (u ) = cos u de domínio R composta com a função u = 2 ⋅ x − 1 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R . Seja T > 0 . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f . f ( x ± T ) = cos ( 2 ⋅ ( x ± T ) − 1) = cos ( 2 ⋅ x ± 2 ⋅ T − 1) = c os (( 2 ⋅ x − 1) ± 2 ⋅ T ) = (∗) Substituindo 2 ⋅ x − 1 = α na continuação temos : (∗) = cos (α ± 2 ⋅ T ) = (∗ ∗) Porque o valor do período mínimo positivo da função cosseno é 2π e ∀α ∈ R tem-se 2π cos (α ± 2π ) = cos α fazendo ± 2 ⋅ T = ±2π obtemos T = = 2π . Portanto 2 2
  3. 3. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL T = 2π é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± 2 ⋅ T = ±2π é portanto é o período mínimo positivo da função. Substituindo T = 2π na continuação temos: (∗ ∗) = cos (α ± 2 ⋅ 2 ⋅ π ) = cos (α ± 2 ⋅ π ) = cos α = cos ( 2 ⋅ x − 1) . Portanto foi provado que para a função f ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) de domínio R tem-se: a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± 2 ⋅ π ∈ D f ; b) ( ) f x ± 2 ⋅ π = f ( x) , isto é, T = 2 ⋅ π é o período mínimo positivo da função. 1.4) f ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) . O domínio da função f ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) é  π  D f = R { x ∈ R : cos (5 x + 4) = 0 } = R  x ∈ R : 5 x + 4 = + k ⋅ π , k ∈ Z  =  2   π 4 π  π 4 π π 4 π  = R  x∈R: x = − + k ⋅ , k ∈ Z  = U  − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅  .  10 5 5  k∈Z  10 5 5 10 5 5 Seja T > 0 . f ( x ± T ) = tg (5 ⋅ ( x ± T ) + 4) = tg (5 ⋅ x ± 5 ⋅ T + 4) = tg ((5 ⋅ x + 4) ± 5 ⋅ T ) = (∗) Substituindo 5 ⋅ x + 4 = α na continuação temos : (∗) = tg (α ± 5 ⋅ T ) . Porque o valor do período mínimo positivo da função tangente é π e para qualquer α do domínio da função tangente tem-se tg (α ± π ) = tg α fazendo ± 5 ⋅ T = ±π obtemos π π T= . Portanto T = é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± 5 ⋅ T = ± π . 5 5 π Com T = tem-se: 5  π 4 π  π x ∈ Df = R  x ∈ R : x = − +k⋅ , k∈N  ⇒ x± ∈ Df .  10 5 5  5 π 4 π π 4 π  Se x ∈  − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅  então  10 5 5 10 5 5 3
  4. 4. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL π π 4 π π 4 π  x− ∈  − + (k − 1) ⋅ , − +k⋅  5  10 5 5 10 5 5 e π π 4 π π 4 π  x+ ∈  − + (k + 1) ⋅ , − + ( k + 2) ⋅  . 5  10 5 5 10 5 5 Portanto foi provado que para a função f ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) de domínio  π 4 π  π 4 π π 4 π  Df = R  x ∈ R : x = − + k ⋅ , k ∈ Z  = U  − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅   10 5 5  k∈Z  10 5 5 10 5 5 tem-se: π a) ∀x ∈ D f tem-se x ± ∈ Df ; 5  π b) f  x ±  = f ( x) ,  5 π isto é, T = é o período mínimo positivo da função. 5 1.5) f ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) . A função f ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) é f (u ) = sen u de domínio R composta com a função u = 3 2 ⋅ x + 4 de domínio R e contradomínio R . Portanto D f = R . Seja T > 0 . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f . f ( x ± T ) = sen (3 2 ⋅ ( x ± T ) + 4) = sen (3 2 ⋅ x ± 3 2 ⋅ T + 4) = sen ((3 2 ⋅ x + 4) ± 3 2 ⋅ T ) = (∗) Substituindo 3 2 ⋅ x + 4 = α na continuação temos : 4
  5. 5. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL (∗) = sen (α ± 3 2 ⋅ T ) = (∗ ∗) Porque o valor do período mínimo positivo da função seno é 2π e ∀α ∈ R tem-se 2π 2π sen (α ± 2π ) = sen α fazendo ± 3 2 ⋅ T = ±2π obtemos T = = . Portanto 3 2 3 2π T= é o valor mínimo positivo que verifica a relação ± 3 2 ⋅ T = ±2π é portanto 3 2π é o período mínimo positivo da função. Substituindo T = na continuação temos: 3 ( ) (∗ ∗) = sen (α ± 3 2 ⋅ T ) = sen (α ± 3 2 ⋅ 2π ) = sen (α ± 2π ) = senα = sen 3 2 ⋅ x + 4 . 3 Portanto foi provado que para a função f ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) de domínio R tem-se: 2π a) ∀x ∈ D f = R tem-se x ± = Df ; 3  2π  b) f x±   = f ( x) ,  3  2π isto é, T = é o período mínimo positivo da função. 3 1.6) f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) . D f = Dsen I Dtg . Dsen = R (exemplo 1.1) e  π 4 π  Dtg = R  x ∈ R : x = − + k ⋅ , k ∈ Z  (exemplo 1.4).  10 5 5  Portanto o domínio da função f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) é   π 4 π  Df = R I  R  x ∈ R : x =  − +k⋅ , k ∈Z  =    10 5 5  5
  6. 6. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL  π 4 π  π 4 π π 4 π  = R  x∈R: x = − + k ⋅ , k ∈ Z  = U  − + k ⋅ , − + (k + 1) ⋅  .  10 5 5  k∈Z  10 5 5 10 5 5 A função f 1 ( x) = sen(4 x − 1) é periódica e o valor do período mínimo positivo π é Tsen = (exemplo 1.1). 2 A função f 2 ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo positivo π é Ttg = (exemplo 1.4). 5 Levando em conta que para a função periódica f 1 ( x) = sen(4 x − 1) com o π π valor do período mínimo positivo Tsen = tem-se que n ⋅ Tsen = n ⋅ , n ∈ N , também 2 2 é período da função e para a função periódica f 2 ( x) = tg (5 ⋅ x + 4) com o valor do π π período mínimo positivo Ttg = tem-se que m ⋅ Tsen = m ⋅ , m ∈ N , também é 5 5 período da função concluímos que o período da função f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) , caso existe, Portanto o período mínimo positivo T f da função f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) , caso existe, verifica a relação π π T f = n ⋅ Tsen = n ⋅ = m ⋅ Ttg = m ⋅ . 2 5 Porque com n, m ∈ N a relação π 2π n⋅ = m⋅ ⇔ n = m⋅ 2 5 5 se verifica para n = 2, m = 5 concluímos que a função f ( x) = sen(4 x − 1) − tg (5 ⋅ x + 4) π π é periódica e o valor do período mínimo positivo é T f = n ⋅ =m⋅ =π . 2 5 6
  7. 7. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 1.7) f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) . D f = Dc os I Dsen . Dc os = R (exemplo 1.3) e Dsen = R (exemplo 1.5). Portanto o domínio da função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) é D f = R . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f , ∀T > 0 . A função f 1 ( x) = c os ( 2 ⋅ x − 1) é periódica e o valor do período mínimo positivo é Tc os = 2π (exemplo 1.3). A função f 2 ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo 2π positivo é Tsen = (exemplo 1.5). 3 Portanto o período mínimo positivo Tf da função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) , caso existe, verifica a relação 2π T f = n ⋅ Tc os = n ⋅ 2π = m ⋅ Tsen = m ⋅ . 3 Porque com n, m ∈ N a relação 2π m n ⋅ 2π = m ⋅ ⇔ n= 3 3 se verifica para n = 1, m = 3 concluímos que a função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo 2π positivo é T f = n ⋅ 2π = m ⋅ = 2π . 3 7
  8. 8. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 1.8) f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) . D f = Dc os I Dsen . Dc os = R (exemplo 1.2) e Dsen = R (exemplo 1.5). Portanto o domínio da função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) é D f = R . Porque D f = R resulta que ∀x ∈ D f tem-se x ± T ∈ D f , ∀T > 0 . A função f 1 ( x) = c os (π ⋅ x − 1) é periódica e o valor do período mínimo positivo é Tc os = 2 (exemplo 1.2). A função f 2 ( x) = sen (3 2 ⋅ x + 4) é periódica e o valor do período mínimo 2π positivo é Tsen = (exemplo 1.5). 3 Portanto o período mínimo positivo Tf da função f ( x) = cos ( 2 ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) , caso existe, verifica a relação 2π T f = n ⋅ Tc os = n ⋅ 2 = m ⋅ Tsen = m ⋅ . 3 Porque 2π 2π π n⋅2 = m⋅ ⇔ n = m⋅ = m⋅ 3 6 3 2 e não existem n, m ∈ N que verificam a relação concluímos que a função f ( x) = cos (π ⋅ x − 1) + sen (3 2 ⋅ x + 4) não é periódica. 1.9) f ( x) = cos x 2 . ( ) ( ) A função f ( x) = cos x 2 é f (u ) = cos u de domínio R composta com a função u = x 2 de domínio R e contradomínio R0+ . Portanto D f = R . Com T > 0 tem-se: 2 ( cos (x ) = cos ( x ± T ) 2 ) ⇔ cos (x 2 ) = c os (x 2 ± 2 xT + T 2 ) ⇔ ( ) ( ( cos x 2 = cos x 2 ± 2 xT m T 2 )) ⇔ (∗) 8
  9. 9. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL Levando em conta que o período mínimo positivo da função cosseno é 2π tem-se: − 2 x ± 4 x 2 ± 8π 2 xT m T 2 = 2π ⇔ m T 2 + 2 xT − 2π = 0 ⇔ T = . m2 Obtemos que T depende de x e portanto não existe T > 0 tal que ∀x ∈ R se verifica ( ) cos (x 2 ) = c os ( x ± T ) , isto é, a função f ( x) = cos (x 2 ) não é periódica. 2 2) Calcular os valores das seguintes expressões que envolvem as funções trigonométricas e as funções trigonométricas inversas:  37π  2.1) arcsen  sen .  6  Levando em conta que a função y = sen x tem o domínio Dsen = R e o contradomínio CDsen = [ −1, 1 ] , e a função y = arcsen x tem o domínio  π π  Darcsen = CDsen = [ −1, 1 ] e o contradomínio CDarcsen =  − ,  (a restrição principal  2 2 da função y = sen x ) resulta que  π π  arcsen  sen x  = x , se e só se x ∈  − ,  .      2 2 Na base da periodicidade da função y = sen x tem-se sen(α + 2kπ ) = senα , ∀ α ∈ R e ∀k ∈ Z . Então temos:  37π    36π π     π  arcsen  sen  = arcsen  sen   +   = arcsen  sen  6π +   =    6    6 6    6    π π = arcsen  sen  = .  6 6 9
  10. 10. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL   45π   2.2) arcsen  sen  −   .   4   Analogamente tem-se:   45π     40π 5π     5π   arcsen  sen  −    = arcsen  sen  −   −   = arcsen  sen  − 10π −    =   4    4 4    4    5π     π   π π = arcsen  sen  −    = arcsen  sen  − π −   = arcsen  sen  = .      4    4   4 4  43π  2.3) arc cos  c os .  6  Levando em conta que a função y = c os x tem o domínio Dc os = R e o contradomínio CDc os = [ −1, 1 ] , e a função y = arccos x tem o domínio   Darcc os = CDc os = [ −1, 1 ] e o contradomínio CDarcc os =  0 , π  (a restrição principal da   função y = c os x ) resulta que   arccos  cos x  = x , se e só se x ∈  0 , π  .       Na base da periodicidade da função y = c os x tem-se cos (α + 2kπ ) = c osα , ∀ α ∈ R e ∀k ∈ Z . Então temos:  43π    36π 7π     7π   arc cos  cos  = arc cos  c os   +   = arcc os  cos  6π +    =  6    6 6    6   7π    5π     5π   = arc cos  c os  = arc cos  cos  2π −    = arc cos  c os −    =   6    6    6    5π   5π = arc cos  c os   =  .   6  6   28π  2.4) arc cos  cos  −   .    3  Analogamente tem-se:   28π     28π     24π 4π   arc cos  cos  −    = arcc os  cos      = arc cos  cos    +  =   3    3    3 3     4π     4π     2π   = arc cos  c os  8π +    = arcc os  cos      = arcc os  cos  2π −    =   3    3    3    2π     2π   2π = arc cos  c os  −    = arc cos  c os     =  .   3    3  3 10
  11. 11. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL   11π   2.5) arc sen  cos    .    3    11π     12π π     π  arc sen  cos     = arc sen  c os    −   = arc sen  cos  4π −   =     3    3 3    3     π    π    π π  = arc sen  c os  −   = arc sen  cos    = arc sen  sen  −   =         3    3    2 3    π  π = arc sen  sen    = .     6  6   29π   2.6) arc cos  sen  −   .   9    29π     36π 7π     7π  arc cos  sen  −    = arc cos  sen  −   +   = arc cos  sen  − 4π +    =    9    9 9    9    7π     π 5π     5π   5π = arc cos  sen     = arc cos  sen  +     = arccos  c os    =    .   9    2 18     18   18   1  2.7) tg  arc cos     .    3  senα Levando em conta que tgα = e que com − 1 ≤ c ≤ 1 tem-se c osα cos (arcc os (c )) = c obtemos   1    1  sen  arcc os      sen  arcc os         1    3    3   arc cos  tg     = = = (∗)   3    1  1 cos  arcc os        3  3  1  Seja arc cos    = α com α ∈ [ 0 , π ] (na base da definição da função y = arcc os x ).   3 Levando em conta que sen 2α + cos 2α = 1 ⇔ senα = ± 1 − c os 2α e com α ∈ [ 0, π ] tem-se 2   1     1  senα = 1 − cos α = 1 − cos  arc cos  2  2    = 1 −  cos arcc os      =   3    3      2  1  1 2 2 = 1−   = 1− =  = .  3 3 3 3 na continuação temos   1  2 sen  arcc os       3   sen (α ) (∗) =  = = 3 = 2. 1 1 1 3 3 3 11
  12. 12. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL   41π    25π  2.8) arctg  tg     + tg  arctg     .    6    6  Na base da definição da função y = arctg x tem-se:  π π  arctg (tg x ) = x, ∀x ∈  − ,  e tg (arctg x ) = x, ∀x ∈ R .  2 2 Portanto temos:   41π     25π    42π π   25π arctg  tg     + tg  arctg      = arctg  tg    −  + =   6    6    6 6   6   π   25π   π   25π π 25π = arctg  tg  7π −   +   = arctg  tg  −   +   =− + = 4π .   6  6   6  6 6 6   41π    25π  2.9) arcctg  ctg     + ctg  arcctg     .    6    6  Na base da definição da função y = arcctg x tem-se: arcctg (ctg x ) = x, ∀x ∈ ] 0 , π [ e ctg (arcctg x ) = x, ∀x ∈ R . Portanto temos:   41π    25π     36π 5π   25π arcctg  ctg     + ctg  arcctg      = arcctg  ctg    +  + =   6    6    6 6  6   5π   25π   5π   25π 5π 25π 30π = arcctg  ctg  6π +   +  = arcctg  ctg    +   = + = = 5π .   6  6   6  6 6 6 6   41π    25π  2.10) arctg  ctg     + ctg  arctg     .    6    6    41π     42π π     π    π  arctg  ctg     = arctg  ctg    −   = arctg  ctg  7π −   = arctg  ctg  −   =        6    6 6    6    6    π  π = arctg  tg  −   = − .     3  3   25π  1 1 6 ctg  arctg    =  = = .   6    25π  25π 25π tg  arctg       6  6 Portanto   41π    25π  π 6 − 25π 2 + 18 arctg  ctg     + ctg  arctg     = − +  = .   6    6  3 25π 75π 12
  13. 13. Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL   41π    25π  2.11) arcctg  tg     + tg  arcctg     .    6    6    41π     42π π     π    π  arcctg  tg     = arcctg  tg    −   = arcctg  tg  −   = arcctg  − tg    =        6    6 6    6    6    π π    π    π  = arcctg  − ctg  −   = arcctg  − ctg    = arcctg  ctg  −   =         2 6    3    3    π    2π   2π = arcctg  ctg  − + π   = arcctg  ctg      =  .   3    3  3   25π  1 1 6 tg  arcctg    =  = = .   6    25π  25π 25π ctg  arcctg       6  6 Portanto   41π    25π   2π 6 50π 2 + 18 arcctg  tg     + tg  arcctg    = + = .   6    6   3 25π 75π 13

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