Slides resumo constance kamii

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Slides resumo constance kamii

  1. 1. CRIANÇAS PEQUENAS REINVENTAM A ARITMÉTICA IMPLICAÇÕES DA TEORIA DE PIAGET CONSTANCE KAMII LESLIE BAKER HOUSMAN
  2. 2.  Constance Kamii, nascida em Genebra, Suíça, é uma psicóloga nipo- americana, filha de pai japonês e mãe estadunidense, viveu no Japão até os 18 anos, transferindo-se depois para os Estados Unidos, onde em 1955 bacharelou-se em Sociologia. Mestra em Educação e Doutora em Educação e Psicologia, pela Universidade de Michigan / EUA. Foi aluna e colaboradora de Jean Piaget, tendo feito diversos cursos de Pós-Doutorado nas universidades de Genebra e de Michigan, relacionados com a epistemologia genética e com outras áreas educacionais pertinentes tanto à teoria piagetiana como de outros pesquisadores. Atualmente é professora da Universidade do Alabama. Publicou diversos livros, entre os quais “Aritmética: Novas Perspectivas: Implicações da Teoria de Piaget”, “Conhecimento Físico na Educação O Pré-Escolar”, “A Criança e o Número”, “Crianças Pequenas Reinventando a Aritmética”, “Desvendando a Aritmética: Implicações da Teoria de Piaget”, “Jogos em Grupo na Educação Infantil”, “Piaget para a Educação Pré-Escolar” e “Reinventando a Aritmética: Implicações da Teoria de Piaget” entre diversos outros.
  3. 3. Questionamento - Como as crianças adquirem conceitos numéricos?Teoria de Piaget – Explicação científica Conhecimento lógico matemático, número e aritmética é construído ( criado) por cada criança de dentro para fora, na interação com o ambiente... O conhecimento lógico matemático não é adquirido diretamente por internalização mas pelo contato e o estabelecimento de relações entre os conhecimentos anteriores e os construídos cotidianamente.
  4. 4. É o estudo da natureza e das origens doconhecimento.Empiristas ( Locke, Berkeley e Hume) – oconhecimento tem sua fonte fora do individuo eque ele é internalizado através dos sentidos. Afirmam ainda que o individuo é ao nasceruma tábula rasa, ( uma folha de papel embranco) na qual as experiências são escritas àmedida que ele cresce.Racionalistas (Descartes, Spinoza e kant) -A razão é mais poderosa que a experiênciasensorial ( matemática disciplina puramentededutiva) conceitos são inatos e se desenvolvemem função do amadurecimento.
  5. 5. Piaget via elementos de verdade e inverdade em ambas as teorias. Masreconhece a importância da informação sensorial e do raciocínio. Nas suaspesquisas ele mostra a inadequação do empirismo.Piaget estabeleceu uma distinção fundamental entre três tipos de conhecimentoconsiderando suas fontes básicas e seu modo de estruturação; Físico Social Lógico-Matemático
  6. 6.  Conhecimento Físico - é o conhecimento de objetos na realidade externa ( cor e peso de fichas e objetos); Conhecimento Social - tem origem nas convenções criadas pelas pessoas ( A língua - A palavra um, dois, três , quatro são exemplos de conhecimento social. Cada idioma tem seu conjunto de palavras diferente que serve para o ato de contar. Contudo, a ideia subjacente de número pertence ao conhecimento lógico- matemático, o qual é universal. Portanto, 2+3=5 em qualquer lugar do mundo. Feriados e o ato de dizer bom dia.
  7. 7.  Conhecimento lógico-matemático - consiste de relações mentais, e a fonte final destas relações está em cada indivíduo.Quando notamos a diferença entre duas fichas, uma vermelha e outra azul, esta diferença é outro exemplo de pensamento lógico-matemático. A diferença é uma relação criada mentalmente pelo indivíduo que relaciona os dois objetos. A diferença não está nem em uma ficha nem em outra; se a pessoa não colocasse os objetos dentro desta relação, para ela não existiria a diferença. A relação na qual uma pessoa coloca os objetos é uma decisão sua.Outras relações poderiam criar: são parecidas, mesmo peso e duas.Fichas são observáveis, mas a “dualidade” não. Número é uma relação criada mentalmente por cada indivíduo. Números pequenos até quatro ou cinco são perceptivos.
  8. 8.  Piaget reconhecia fontes externas e internas de conhecimento.O conhecimento físico e social é parcialmente externa para o indivíduo. E a fonte do conhecimento lógico-matemático é interna.TAREFA DE CONSERVAÇÃO-DE-NÚMEROConservação de número refere-se à nossa capacidade de deduzir, por meio de raciocínio lógico-matemático, que a quantidade de uma coleção permanece a mesma quando seu arranjo espacial e sua aparência empírica são alterados.
  9. 9. I - Quando as crianças não construíram a lógicado número elas utilizam o critério de fronteirasespaciais para julgar a igualdade quantitativa.II - As crianças usam a correspondência termo atermo, mas elas não conservam a igualdade.III - Crianças são conservadoras argumentam:Há tantas fichas azuis como vermelhas, poisnão tirou e nem acrescentou nenhuma; Poderíamos colocar todas as azuis no lugarque elas estavam antes e terá o mesmo número. A carreira azul é mais longa porque há maisespaço entre elas.
  10. 10. Nível intermediário (entre dois e três): crianças hesitam ou ficam mudando de ideia. Quando as crianças dão a resposta correta mas não podem justificá-la também estão no nível intermediário. Apenas quando as crianças podem fazer relações numéricas entre as fichas é que elas podem deduzir por força da necessidade lógica que as duas carreiras têm o mesmo número.
  11. 11. A tarefa de conservação é um teste deconhecimento lógico-matemático de crianças.As fichas são objetos culturais (conhecimentosocial) e saber que elas permanecem sobre amesa sem derreter como cubos de gelo éconhecimento físico. Entretanto, oconhecimento físico não é suficiente paradeduzir que a quantidade nas duas carreiraspermanece a mesma quando sua aparênciaempírica muda. As crianças podem fazerrelações numéricas entre as fichas é que elaspodem deduzir, por força da lógica, que asduas carreiras têm o mesmo número.
  12. 12.  Abstração Empírica - Focaliza-se em uma determinada propriedade do objeto e ignora as outras. Exemplo – focalizamos a cor do objeto e ignoramos o peso e do que é feito o objeto. Abstração Construtiva - envolve fazer relações mentais entre um ou mais objetos, como “o mesmo”, “semelhante”, “diferente” e “dois”.A semelhança ou a diferença entre uma ficha e outra é construída, ou feita mentalmente, por cada indivíduo por abstração construtiva, conhecida também como reflexiva.Segundo Piaget, a abstração empírica e construtiva, na realidade psicológica da criança, uma não pode ocorrer sem a outra. Exemplo: Como poderíamos construir relação “diferente” se todos os objetos no mundo fossem idênticos. Similarmente, a relação "dois” seria impossível de construir se as crianças pensassem que os objetos se comportam como gotas de água ( que podem combinar-se para tornarem uma gota).
  13. 13. A abstração construtiva não ocorre independenteda abstração empírica até aproximadamente osseis anos de idade, mas se torna possível maistarde. Uma vez que a criança tenha elaborado onúmero (abstração construtiva), ela pode operarnúmeros e fazer 5+5+5 e 4x5 sem abstraçãoempírica dos objetos. Com números maiores ( 999 e 1000) fica claroque não podem ser aprendidos por abstraçãoempírica de conjuntos de objetos. Os números são aprendidos por abstraçãoconstrutiva à medida que a criança constróirelações. Visto que essas relações são criadas pelamente – é possível entendermos números como1000.001 mesmo que nunca tenhamos visto oucontado 1000.001
  14. 14. Piaget para explicar o desenvolvimento de conceitosnuméricos é necessário dois tipos de relações:Inclusão Hierárquica e OrdemInclusão Hierárquica – se pedirmos para uma criançade quatro anos para contar 8 objetos arranjados emuma carreira , elas frequentemente os contamcorretamente e anunciam que há oito. Se lhes pedimosentão “mostre-me o oito”, elas com frequência, apontampara o oitavo objeto.
  15. 15.  Para a criança as palavras um, dois, três e assim por diante são nomes para elementos individuais em uma série como segunda- feira...Para essa criança, a palavra oito representa o último objeto na série e não o grupo inteiro.Para quantificar um conjunto de objetos numericamente, a criança deve colocá-los em uma relação hierárquica.
  16. 16.  Em crianças pequenas( 4 anos) a tarefa de inclusão hierárquica de classe é difícil de criarem uma estrutura hierárquica. Exemplos: de cachorros e gatos . Pensar no todo e partes ao mesmo tempo, as crianças pequenas não conseguem fazer. Aos oito anos o pensamento da criança torna-se reversível. Reversibilidade refere-se à capacidade de realizar duas ações opostas simultaneamente – dividir o todo em partes e as partes num todo. A tarefa de inclusão de classe ilustra a inadequação do empirismo, pois os animais permanecem na frente dos olhos da criança ( 4 anos) e mesmo assim elas não enxergam os animais.
  17. 17.  A inclusão de classe é semelhante à estrutura hierárquica do número, mas diferente. Cães e gatos são animais, portanto da mesma classe. No número as qualidades são irrelevantes, há apenas um elemento em cada nível hierárquico.Ordem É comum as crianças contarem objetos espalhados, contando duas vezes o mesmo objeto ou deixando de contar algum. A única certeza de não esquecermos nenhum ou de não contarmos o mesmo objeto duas vezes é colocá-los em uma relação de ordem.
  18. 18.  As crianças conservam ou não conservamfazendo seu próprio raciocínio. A inclusãohierárquica e ordem pode ser vista em umaoutra tarefa na qual a correspondênciatermo a termo é feita empiricamente. Osprofessores pode utilizar este tipo de tarefapara identificar a diferença entreconhecimento empírico e conhecimentológico - matemático.
  19. 19.  Uma tarefa envolvendo a queda de fichas.Experiência – que as crianças de cinco e seis anos podem ter construídos números pequenos e não grandes.A universalidade do conhecimento lógico- matemáticoCom base na pesquisa de Piaget conclui por hipótese que se as crianças constroem seus próprios conceitos numéricos, elas deveriam construir relações numéricas como ser capazes de reinventar a aritmética para elas mesmas porque todos os números são criados pela adição repetida de “um”.A ideia de 5 por exemplo é 1+1+1+1+1 e 5+3 é,(1+1+1+1+1) + (1+1+1)
  20. 20. A Importância de uma Teoria Científica ExplanatóriaO associacionismo e o behaviorismo originaram –sedo empirismo- o conhecimento é adquirido porinternalização do ambiente. Ambas provaram que oexercício e o reforço aumentam a internalização deconhecimento.O behaviorismo e o construtivismo são teoriascientíficas comprovadas em todo o mundo. Piagetpode explicar e comprovar a tese do behaviorismo,mas o behaviorismo não pode explicar a aquisiçãode conhecimento em um sentido mais amplo eprofundo. A construção dos conceitos numéricospelas crianças só podem ser explicada peloconstrutivismo.
  21. 21. Livros didáticos – pressuposição de que as crianças pequenas passam do “concreto”( objetos) para o “semiconcreto” (figuras), e então para o “abstrato” ( numerais escritos). De acordo com Piaget, figuras e símbolos matemáticos têm diferentes fontes, e trabalhar com figuras não é necessariamente um passo para a criança tornar-se capaz de lidar com símbolos matemáticos.Na teoria de Piaget símbolos e figuras guardam uma semelhança com os objetos representados e podem ser inventados pelas crianças.
  22. 22. Em outras palavras, a fonte dos símbolos é o pensamento dascrianças.Exemplo: as crianças podem pensar em oito como se fosse 8 maçãs,8 dedos....
  23. 23. Uma vez que as crianças podem inventar seus próprios símbolos, as figuras que aparecem nos livros são desnecessárias.Se elas necessitam de uma figura para resolver um problema, elas desenharão suas próprias figuras.Os símbolos e sinais, portanto, têm origens diferentes, e os sinais (como os numerais escritos) não se desenvolvem a partir de símbolos ( como as figuras).
  24. 24.  Sinais ( + ) as palavras são faladas maçã, oito e o numeral escrito 8. Os sinais não lembram os objetos representados e suas fontes são convenções criadas pelas pessoas.Abstração e Representação Os conservadores conservam, porque eles estão em um nível mais elevado de abstração ( abstração construtiva). Os que não conservam não o fazem porque não têm conceitos numéricos em suas mentes.
  25. 25. Sinclair e Siegrist – entrevista com crianças de quatro e cinco anos– pré-escola sem nenhuma instrução acadêmica.Foram colocados sobre a mesa vários objetos e pedido para queeles desenhassem o que estava sobre mesa( evitando dizer quantose números). Tipos de notação
  26. 26. Tipos de notação Representação Global da Quantidade Representação do tipo de objetoCorrespondência Termo a TermoSomente Valor Cardinal Valor Cardinal e Tipo de Objeto
  27. 27. Quando as crianças representam suas ideiasno papel , elas internalizam suas ideias eseus respectivos níveis de abstração.Aquelas que pensam em “punhado”representam essa ideia; aquelas que podempensar “oito” representam essa ideia,primeiro prestando atenção aos objetosindividuais e posteriormente a totalidade.Nas atividades dadas as crianças como“problemas”, elas apresentaram umavariedade gráfica de desenhos - invocandoimagens mentais ou ideias numéricas semimagem, que externalizam no papel.
  28. 28. Fichas e materiais de contagem têm suas proprias propriedades físicas que interferem nas ideias das crianças e provavelmente é por isto que as crianças pequenas preferem não usar fichas e materiais de contagem para resolver problemas. O uso de fichas, cartas de baralho e blocos de base 10 e os próprios dedinhos são símbolos utilizados a serviço do pensamento e sendo símbolos, a aritmética do jogo acontece na cabeça das crianças, através da abstração construtiva (envolve fazer relações mentais entre um ou mais objetos, como “o mesmo”, “semelhante”, “diferente” e “dois”.
  29. 29. Conclusão do capítuloAs crianças não passam do “concreto” para o“semiconcreto” e, então , para o “abstrato”.As crianças usam objetos ( como fichas oumateriais de contagem) em um nível deabstração alto ou baixo. Quando elasconseguem fazer relações de mais alto nível,desenham figuras em nível mais elevado eatribuem significados de mais alto nível esinais matemáticos como “ = ”. Quando elasconseguem fazer apenas relações de baixonível, usam objetos, bem como figuras,palavras escritas a um nível baixo.
  30. 30. A não conservação é um exemplo deegocentrismo de crianças pequenas bemcomo de seus pensamentos pré-lógicos.Quando elas pensam que há mais fichas nacarreira maior, elas estão centradas noespaço ocupado pelas fichas, porque a lógicaainda não permite pensar numericamente. A conservação de número é geralmentealcançada por volta dos cinco a seis anos deidade entre as crianças de famílias de classemédia. A conservação do líquido entre asidades de sete e oito anos.
  31. 31. Conservação do líquido e conhecimento lógico-matemáticoAcomodação do líquido em um copo éconhecimento físico, empírico. Entretanto, aquantificação de líquido pertence aoconhecimento lógico-matemático (mesmaquantidade, mais, menos) - relaçõescriadas na mente.
  32. 32. Conservador – nada foi acrescentado ouremovido( continua igual).Não conservador – ainda não tem estalógica e estão convencidos que há maissuco naquele que representa o nível desuco do copo mais alto e ou mais largo,dependendo apenas do seu olhar. Tendo como base o nível da água que évisível e empiricamente reconhecível.Piaget explica a lógica dos conservadoresagrupando três operações lógicas: Identidade, Compensação e Reversibilidade
  33. 33. •Identidade: “Tem a mesma quantidadeporque não tirou nem colocou nada.”• Reversibilidade: “Porque se voltar acolocar no mesmo copo , terá a mesmaquantidade de líquido que o outro copo.”• Compensação: “Este vaso é mais alto,mas este é mais fino.” “este é mais alto,porém este é mais baixo.” Ou: “As fichas sóestão mais separadas.”
  34. 34. Quando a criança agrupa três relações aum todo inter relacionado, através daabstração construtiva, esse agrupamentolhe permite deduzir conservação com aforça da necessidade lógica. Interação social e desenvolvimento da lógicaQuando as crianças trocam seus pontos devista com outras, elas não podem continuaregocêntricas e ilógicas, pois são obrigadas acomparar as relações que estão fazendo,aquelas que os outros estão fazendo.
  35. 35. Piaget resumiu a importância da interaçãosocial dizendo:Sem intercâmbio de pensamento ecooperação com outros, o individuo nuncaagruparia suas operações(lógicas) em umtodo coerente. o termo cooperação usado por Piaget –realizar junto- trabalhar junto, trocandoponto de vistas e negociando soluções.Cooperação suprime as convicçõesespontâneas, como não-conservação, quecaracterizam o egocentrismo.A discussão e o pensamento críticoestimulam a construção da lógica.
  36. 36. Piaget salientava a importância da interaçãosocial mas nunca conduziu uma pesquisaempírica para provar sua teoria social.Mas, explicada através dos experimentosrealizados por Perret-clermont e Doise eMugny que estudaram os efeitos do “conflitosociocognitivo”.Conclui-se que o conflito sociocognitivo é útilpara estimular a resolução de umadiscordância através da coordenação derelações feitas egocentricamente.
  37. 37. Em outras palavras o construtivismo de Piagetafirma que a lógica é construída por abstração construtiva dentro dacriança, na interação com outras pessoas, e nãoadquirida de outras pessoas por internalização. Interação Social na Construção da Ciência Os cientistas constroem a ciência através dedebate e conflito sociocognitivo, este é umargumento para dizer que as crianças tambémdeveriam ser capazes de construir a matemáticaatravés de debate e sociocognitivo. Os relatos dePerret – Clermont e Doise e Mugny apoiamamplamente este argumento.
  38. 38. Quando as crianças se tornam conservadorassólidas , elas não voltam para a não-conservação. Concluindo muitos professores acreditam queas crianças deveriam interagir em gruposcooperativos e que estes resultam embeneficio mútuo. No construtivismo as crianças constroem seuconhecimento lógico-matemático em vez derecebê-la.A cooperação não é simplesmente parabeneficio mútuo, mas para a crítica e ocontrole mútuos, porque outras pessoasobrigam a descentração e a construção deuma lógica de mais alto nível, por abstração
  39. 39. De acordo com Piaget, concordar e discordarde outros é indispensável não apenas para odesenvolvimento cognitivo das crianças, mastambém para seu desenvolvimentosociomoral.
  40. 40. Autonomia significa o direito de um individuo ougrupo de governar a si mesmo.Para Piaget autonomia significa não o direito,mas a capacidade de governar a si mesmo, naesfera moral, bem como intelectual.Autonomia Moral Autonomia é o oposto de heterônomas (pessoasgovernadas por outra pessoa, na medida emque são incapazes de fazer julgamentos por sipróprias).Exemplo: uma criança conta uma mentira e éprivada da sobremesa ou fazer 50 vezes “Nãovou mentir”.
  41. 41. A punição leva a três possíveis resultados:Cáculo de risco – podem aprender a calcularsuas chances de serem apanhadas da próxima veze o preço a pagar;Curiosidade- obediência cega. Revolta. Dizer a criança que não podemos acreditar noque ela disse e mandá-la para seu quarto, parapensar sobre isto é uma sanção porreciprocidade. Sanção e reciprociddae estãodiretamente relacionadas à atitude que queremosmudar e ao ponto de vista do adulto. Com efeitode motivar a criança a construir regras deconduta de dentro para fora, através dacoordenação de pontos de vista.
  42. 42. Exemplos de sanção por reciprocidade:Exclusão do grupo.Apelo à consequência direta e material doato;Privar a criança da coisa que ela usou mal.Restituição.Na medida em que se tem a possibilidade decoordenar pontos de vista com outros, tem apossibilidade de tornar mais autonomos eindependentes dos poderes do sistema derecompensa.
  43. 43. Na escola as crianças não são encorajadasa pensar autonomamente. Os professoresusam a recompensa e a punição na esferaintelectual para conseguir a que as criançasdeem respostas corretas. Exemplo da folhasde exercícios quando uma criança escreve4+4=7.
  44. 44. Na intersecção com o círculo autonomia, colocamos coisas que nãoesquecemos após cada prova. Nossa capacidade de ler e escrever, deresolver exercicios de aritmética, de ler mapas e gráficos e de situar eventosna história são exemplos do que aprendemos na escola e não esquecemosapós estudarmos para as provas. Quando a autonomia moral e intelectual éo objetivo, os educadores se esforçam para aumentar a àrea desobreposição entre os dois círculos.
  45. 45. Lista de regras – não é necessário . Deixar acontecer e perguntar ascrianças: “O que podemos fazer pararesolver este problema? Portanto discutir em classe problemascomuns são muito melhores do queimposição de regras prontas. A moraloutônoma pode desenvolver-se apenas dedentro da criança. Isso leva tempo, e podedesenvolver-se apenas através dediscussões e descentralização no contextode respeito mútuo.
  46. 46. Quando ameaçamos crianças com punição,reforçamos sua heteronomia.5- A Adição como um Objetivo A melhor ocasião para que as crianças dehoje reinventarem a aritmética é no trato comsituações da vida cotidiana, aritmetização lógicada realidade. A adição é a ação mental ( abstraçãoconstrutiva) de combinar dois totais para criarum total de ordem superior dos totaisanteriores( duas partes). À inclusão de classe, as relações de parte-todosão muito difíceis para crianças pequenas equando elas contam é possivel observar doisfenômenos:
  47. 47. Contar para frente – usando os dedos na soma 3+5 começam a contar a partir do três;Na contagem do todo- inicia do um.Quando a lógica da criança está avançada, sua resposta pode ser incorreta, mas não será igual, ou menos que, uma das parcelas 3+5=7.A adição origina-se da própria lógica da criança e não é fato que existe no mundo exterior. O objetivo de conhecer fatos de adição, que é frequentemente defendido pelos educadores, não é portanto, um objetivo válido.
  48. 48. O objetivo na adição que envolve um dígitoé que as crianças envolvam-se na açãomental de operar números e lembrá-los dosresultados destas ações. Por isso o objetivomaior é construir uma rede de relaçõesnuméricas.
  49. 49. Memória é uma reconstrução de uma construçãoanterior. As crianças leem diferentes fatos darealidade, porque cada criança interpreta o que éobservável assimilando-o ao conhecimento que elatraz para cada situação. Um fato é sempre umaconstrução de um individuo em seu nível dedesenvolvimento. A implicação educacional da teoria de memória dePiaget é que é importante para as criançasconstruirem somas através de suas próprias açõesmentais. Relações como 3+3=1+2+3=1+5 sãolembradas facilmente através de suas motivaçõesintrínsecas(motivação gerada por necessidades emotivos da pessoa). As crianças constroem uma redede relações numéricas que apoiam suas memórias desomas específicas.
  50. 50. Adição com parcelas acima de 10Livro didático- recomendam que o valorposicional seja ensinado com feixes de 10palitos e/ou blocos de base 10. As criançasensinadas tradicionalmente, raramenteconstroem a ideia de uma dezena. Se ascrianças não construirem a ideia de umadezena ( através de abstração construtiva) ,elas possivelmente não podem representaressa ideia que não têm.
  51. 51. Na pesquisa realizada ficou comprovado que ascrianças que aprendem algoritmo através doagrupamento não conseguem por exemploexplicar o que representa o 1 em 16. ( Professoratrabalhou com agrupamento antes da pesquisa com os alunos da 1ºano).Como as crianças de 1º ano abordam a adiçãode dois dígitos não são ensinadas a usar oalgoritmo convencional.Classes construtivistas as crianças usam oseguinte procedimento 29+1=30 30+15=30+10+5
  52. 52. Porque a subtração é mais difícil que adiçãoA subtração envolve dois níveis hierárquicos e requer “descender”do 9 para uma parte 5 e, simultaneamente asceder de volta para o total 9 e descender para outra parte, o número desconhecido. As relações parte- todo são muito difíceis para as crianças pequenas ( inclusão de classe). Características do pensamento pré- operacional são percepção, ação e cognição.
  53. 53. Se mostrarmos duas pilhas de blococontendo 4 e 10 – onde tem mais blocos acriança responde corretamente, mas seperguntarmos onde tem menos, elas nãorespondem. O “mais” é um termo positivo eo “menos” expressa a relação negativamente.Então a dificuldade da subtração é parte dadificuldade das crianças pequenas em pensarnegativamente sobre objetos e ações. Problemas matemáticos de subtraçãoconsistem em problemas de “separação” ,parte-parte-todo, comparação e equalização.
  54. 54. Você tem 7 doces. Você me dá 3 deles. Com quantos doces você ficou?Há 6 frutas na tigela. Duas são maçãs e o resto são peras. Quantas peras há na tigela?
  55. 55.  Você tem 7 doces. Eu tenho apenas 3 doces. Quantos doces você tem a mais que eu?Eu tenho 3 velinhas. Eu preciso de 7 para um bolo de aniversário. Quantas mais eu preciso?
  56. 56. As implicações educacionais deste estudo,parece bom dar problemas de subtraçãoocasionalmente, mas não esperar ou exigir o usoda subtração. É necessário dar às criançasoportunidades de lógico –matematizar conteúdoscomo flores, velas e frutas. As crianças devemprimeiro entender a lógica da pergunta antes depassarem para a precisão numérica. As criançastem dificuldade em realizar problemasmatemáticos de subtração por não entenderem apergunta. E geralmente quando entendem apergunta elas usam a adição para resolvê-la. O entendedimento de certas palavras e frasesdepende de seu desenvolvimento lógicoabstração construtiva.
  57. 57.  Se a lógica das crianças estiver em alto nível, elas podem entender palavras e frases usadas na pergunta ( representação). Se a lógica tiver em baixo nível elas podem assimilar palavras e frases apenas em sua lógica de baixo nível.A única forma que as crianças podem fazer uma soma que não conhecem por conta própria é através da contagem. A contagem é necessária para aprender a somar, mas não é necessária para aprender subtração. O professor trabalha com jogos de adição e poucos de subtração. É necessários trabalhar com os dois tipos de jogos.
  58. 58. A diferença entre pensamento aditivo emultiplicativo Para a maioria dos professores a multiplicaçãoé apenas uma forma mais rápida de fazeradições repetitivas. Entretanto a multiplicaçãoenvolve o tipo de pensamento hierárquico.Exemplo: 4x5 envolve a estrutura hierárquicacomo “4” em “4x5” refere-se a “4 cinco”.
  59. 59. Na estrutura de um problema de adiçãorepetida como 5+5+5+5 é simples, envolveapenas unidades em um nivel de abstração.Nos testes aplicados com as crianças do 1ºano demostraram que elas nãoconseguem pensar multiplicativamente,mas pensamento aditivo.
  60. 60. Os livros didáticos não incluem problemas demultiplicação e divisão nos níveis de pré-escola e 1º ano por terem uma visãotradicional destas operações.Entretanto aspesquisas realizadas indica que criançaspequenas são capazes de usar adição pararesolver problemas matemáticos demultiplicação e divisão. Elas constroemmultiplicação e divisão a partir de adiçãorepetida e é adequado propor estes tipos deproblemas matemáticos, pois elas resolvemcom facilidade.
  61. 61. Característica de abordagem construtivista aoensino da matemática ( Piaget) é o uso desituações fora do horário de matemático.Situações do dia a dia, relacionadas amatemática. A rotina Matinal- discutir com as crianças efazer juntos uma lista de deveres a seremrealizados .
  62. 62.  Minha carta diária para a classe – Os alunos são responsáveis por ler a carta que escreve para eles todas as manhãs e que é fixada no quadro.O objetivo é que todos leiam. Os que não conseguem perguntam para o colega o conteúdo da carta.A carta serve como meio de ensinar estratégias de leitura, ortografia(omitindo letras em palavras familiares) e ensinar horas.
  63. 63. Comitês, Contagem do almoço e presença –Ajudante do dia ( por ordem alfabética) –questionando com os alunos tipos de trabalhosa serem feitos.Elege comitês como por exemplo: Comitê deLimpeza, de Matemática.Comitê de matemática – responsabilidades:Contagem para almoço;Alunos ausentes;Distribuição de objetos – lanches;Divisão de objetos – quantidade de docesganhos;
  64. 64. Coleta de objetos: quantidade de bilhetes de permissão dos pais para uma excursão;Manutenção de registros. Quantidade de livros lidos na sala de aula;Preenchimento do calendário – acontecimentos do mês;Os comitês ajudam as crianças a criarem umsentimento de comunidade na classe demodo que o desenvolvimento da autonomiade cada criança pode ser estimulada atravésde um sentimento de responsabilidadecompartilhada e,
  65. 65. participar dos comitês da sala de aula, ascrianças tem oportuniddaes de discutirideias, para tomar decisões que façamsentido para elas e de aceitar aresponsabilidade para o bem comum.Votação – decidir por votação quando hádivergência de opiniões( Quantos afavor/quantos contra);Lista de assinaturas; Vocês gostaram mais? Luz Som______________ ______________Questionamentos?
  66. 66. Lidando com dinheiroConhecimento social – lista de palavras de dinheiro;Conhecimento lógico-matemático – quantidades de moedas para pagar balas, livros...Conclusão da LeslieQuando ensinava matemática usava problemas, aritmética mental e jogos. Supunha que meus alunos estavam pensando matematicamente nas situações cotidianas e isso não é algo que precisa despediçar tempo. A medida que comecei procurar matemática durante todo o dia
  67. 67. fiquei impressionada com diversas coisas.Primeiramente eu não podia acreditar emquantas situações levaram naturalmente auma discussão. Segundo, descobri que essasdiscussões tomavam muito pouco tempo efiquei maravilhada ao ver que os alunosfacilmente começaram a reconhecer amatemática em suas vidas cotidianas.O objetivo principal ao dar problemasmatemáticos é a lógico-matematização darealidade pelas crianças, e o calculo origina-sedesta lógico-matematização. Problemasmatemáticos estendem o mundo físico e social
  68. 68. das crianças para além do aqui e agora. A professora apresenta a situação problemano topo de uma folha em branco:Quantos pés há em sua casa? Mostre comovocê sabe. A professora lê o problema em voz alta emseguida elas iniciam o trabalhoindividualmente. Se as crianças discutempossíveis soluções com os colegas eles nãosão interrompidos, pois geralmentenecessitam e aprendem mais através da trocade pontos de vista. Os que terminamprimeiro guardam num arquivo chamadodiário de matemática e escolhem um jogo e
  69. 69. um parceiro até a professora dizer que éhora de discutir sobre o problema. A professora inicia a conversa pedindo paraque as crianças expliquem o que fizeram.Ter que explicar o próprio raciocínio ébenefício até para uma criança que produziuuma resposta correta. Quando damosexplicações sobre nosso própriopensamento, nós estamos não apenasexplicitando o pensamento, mas estamostambém em como o ouvinte estáentendendo o que estamos dizendo. Equanto mais as crianças pensam mais elasdesenvolvem sua lógica.
  70. 70. Ao propor problemas para a classe osprofessores devem propor problemasmatemáticos que estejam estritamenterelacionados às vidas das crianças e queenvolvam uma variedade de operações,conteúdos e situações. É necessário darproblemas que envolvam números grandes, aoqual haja mais de uma resposta correta.Problemas matemáticos são, por definição,dados da linguagem, e as crianças devemrepresentar para si mesmas suasinterpretações da linguagem. Por exemploquando as crianças ouvem ou lêem “Quantospés há em sua casa?” As crianças evocam umaimagem mental das pessoas em suas
  71. 71. casas. As crianças preferem não usarmaterial de contagem, mas sim desenhar nopapel. Elas representam no papel objetoscomo pessoas/pernas/pés.
  72. 72. A medida que o raciocínio numérico torna-se mais forte, as crianças de 1º anocomeçam a usar numerais como sinaisindependentes.As crianças são capazes de escolher por sipróprias as ferramentas que funcionammelhor para elas. Assim como elas deixamde gatinhar quando conseguem caminhar,elas abandonam figuras e marcas decontagem quando decidem quais numeraisfuncionam melhor para elas.
  73. 73. Jogos envolvendo figuras e objetos:Cartas, memória, animais, formar famílias,tabuleiro, jogo da velha, quarteto,pentaminós, Prenda o rei, damas e moinho ojogo da aranha e o tapatan.Jogos envolvendo números e/ou numeraispequenos( sem adição ou subtração)Cartas, Alinhamento(ou dominó de cartas),Batalha, Oito maluco e Uno, Eu duvido, Ojogo do relógio, Antes e depois, Velocidade,Faça o maior número, Olimpíada deanimais, Cinquenta fichas, Pulo do coelho,
  74. 74. Prova de corrida, Bingo e Travessia. Jogos de conhecimento físicoVaretas, Boliche, Bolas de gude, Equilíbrio eAdivinhe meu número. Jogos envolvendo apenas adiçãoMais um, Batalha dupla e Batalha de moedas,Dinossauros e outros jogos de trilha, Cubra osnúmeros, Bingo do mais cinco, Ludo dedobro, Dominó quadrado.
  75. 75. Jogos envolvendo mais de duas parcelas: Faça dez, Ponha e tire, Dom pixote, o Jogo dosanduíche e Dominó dos pares. Jogos envolvendo desmembramento ( partição ) denúmeros:Cofrinho de Poupança, 10 com nove cartas, encontredez, tire 10, dez e dez e vinte, faça 10, bingo dasoma até 10.Desmembramento ( partição) de vários números: Punta, faça o total, nickelodeon, Tic Tac Total Caixasdas raposas.Jogos envolvendo adição e subtração:Cobra, apenas 7, Saudação, jogo do24(some/subtraia).
  76. 76. Outras atividades para toda aa classe:As Caixas Equilibristas e Tic Tac Total.12- Princípios Gerais de Ensino De acordo com Piaget as crianças adquiremconhecimento lógico-matemático, bem como amoralidade autônoma, construindo-os de dentro parafora, na interação com o ambiente, e nãointernalizando-os diretamente de fora para dentro.O desenvolvimento da autonomia não pode serestimulado apenas durante a hora da matemática ouuma hora reservada para desenvolvimento moral.Crianças que são determinadas também podemjogar jogos sem brigar. Aqueles que têmconsideração pelos outros o tempo todo, tambémsão atenciosos quando são discutidos formas deresolver problemas.
  77. 77. Autonomia e relacionamento das criançascom adultos Autonomia como objetivo da educação é queas crianças devem aprender a tomardecisões discutindo fatores relevantes etomando decisões por si mesmas.Devemos reduzir nosso poder de adulto tantoquanto possível e trocar pontos de vista comas crianças. Devemos deixar as criançastomar o máximo de decisões possíveis eevitar usar recompensa e punição par impor aelas as nossas decisões.Quando as regras devem ser criadas
  78. 78. As crianças frequentemente fazem as mesmasregras que o adulto impõem, mas elas têmmuito mais probabilidade de respeitar asregras que elas criaram.Quando um ato de torna excessivo Quando o barulho( crianças jogando)o ruídotorna-se um problema para a professora da salaao lado, a professora incomodada vai até a salado barulho e conversa explicando que o ruído aimpede de ser ouvida por seus alunos. ( Terconsciência de se colocar no lugar do outro). Ascrianças constroem regras morais de dentropara fora, de relacionamentos pessoais,positivos com pessoas específicas.
  79. 79. Quando decisões devem ser tomadas O sentimento de comunidade nasce à medidaque problemas , decisões e sentimentos sãopartilhados pela classe inteira, incluindo oprofessor. As escolas muito frequentemente,reforçam a heteronomia das crianças impondoregras prontas como “ é proibido fazer guerra debolas de neves”.Respeito e consideração pelos outros Um sentimento de comunidade se desenvolvequando as ideias e sentimentos de cadamembro são respeitados, e o grupo se senteresponsável pelo bem estar de seus membros.Crianças que são ratadas com respeitocostumam tratar os outros respeitosamente.
  80. 80. Resolução de conflitosQuando duas crianças brigam é comumprofessores separá-las e dizem “parem comisso”. Esta solução pode resolver o problema nomomento, mas as crianças não aprendem comolidar com um conflito da próxima vez. É melhorpedir-lhes para sair da sala por 5 minutos econversar sobre o problema para chegar a umacordo. O ponto importante que o professordeve manter em mente é trazer à tona ossentimentos das crianças honestamente em vezde tentar varrê-los para debaixo do tapete“habilmente”. Sair da sala não leva a resoluçãodo problema amenos que as crianças tenhamtido alguma educação em resolução deproblemas.
  81. 81. Autonomia e aprendizagem de aritmética Para o desenvolvimento da autonomia naaula de matemática é necessário que oprofessor aumentem a motivação intrínsecadas crianças para aprender. Encorajar ascrianças a terem pensamentos próprios, nãomostrando a elas como resolver problemas enão dizendo que uma resposta está certa ouerrada.Use motivação intrínseca Professores usam nas folhas de exercíciosadesivos como carinhas risonhas. Estedispositivo fazem as crianças se sentirembem, mas são formas brandas de suborno
  82. 82. que reforçam a heteronomia delas.Nenhuma destas recompensas é necessáriaquando situações cotidianas, problemasmatemáticos e jogos são usados. Ascrianças escolhem envolver-se nestasatividades e tentam tornar-se cada vezmelhores nelas. Quando há motivaçãointrínseca as crianças recebem os desafiosdos problemas matemáticos com alegria eficam orgulhosos de mostrar suas formas deresolvê-los.Não mostre como resolver problemas Tradicionalmente os professores mostramas crianças como resolver a adição,
  83. 83. subtração, multiplicação e divisão e entãoproblemas semelhantes para praticar. Aocontrario disto, damos as crianças problemasde modo que elas usem o que sabem parainventar novas formas de resolvê-los. Ficaclaro que as crianças constroemconhecimento lógico-matemático fazendorelações a partir das relações que elascriaram antes. As relações que uma criançacriou de dentro para fora não são esquecidascomo as relações absorvidas do ambiente.Para promover a criação de relações pelascrianças existem três formas específicas:
  84. 84.  Faça perguntas em vez de mostrar o que fazer; Dê problemas no nível apropriado; Peça para cada criança resolver problemas por conta própria;Todas as crianças realmente inventam soluções? As invenções de algumas crianças são verdadeiramente novas , na medida em que elas inventam soluções às quais elas nunca foram expostas. Entretanto, muitas crianças entende que os argumentos de seus colegas mais avançados e começam a imitá-los.
  85. 85. Achamos que mesmo assim o grupo estáinventando aritmética pelas seguintes razões :crianças que não entendem a explicação decrianças mais avançadas são livres pararejeitar ideias mais avançadas. Nós nuncasabemos quando uma crianças inventará umalógica de mais alto nível e ficamos encantadosquando uma criança finalmente inventa acontagem para a frente. Não diga que uma resposta está certa ouerrada No ensino tradicional, quando o professor dizque a resposta está correta, todo opensamento pára porque não há necessidadede pensar mais.
  86. 86. se o professor não expressa nenhumaopinião, as crianças ficam motivadas acontinuar pensando. Deixe o cálculo originar-se de situaçõescotidianas e problemas matemáticos.Reconheça a superioridade dos jogos sobreas folhas de exercícios. A repetição nos jogos é muito melhor quefolhas de exercícios. O feedback é imediatoem jogos, pois as crianças supervisionamumas as outras. As folhas de exercícios sãogeralmente devolvidas no dia seguinte, e ascrianças não podem lembrar e se preocuparcom o que fizeram ontem.
  87. 87. Nas folhas de exercícios, a verdade édecidida pelo professor, e as criançasrecebem a mensagem de que a verdadepode vir apenas do professor. Em um jogo ,os jogadores decidem se a resposta estácorreta. Os jogos podem ser jogados em muitosníveis e de várias formas, enquanto a folhade exercícios encorajam as crianças daremrespostas mecanicamente. Ter que escrever respostas interfere napossibilidade de lembrar somas. Em um jogo as crianças tem maisprobabilidades de construir uma rede de
  88. 88. de relações numéricas. As crianças escolhem os jogos que elasquerem jogar, mas raramente podemescolher a folha de exercícios que recebem. Em último argumento as crianças não sedesenvolvem sociomoralmente sentado-sesozinhas para preencher folhas deexercícios. Nos jogos as crianças tem queinteragir com as outras, tomar decisõesjuntas e resolver conflitos.Ao darmos folhas de exercícios estamosreforçando a heteronomia das crianças eimpedindo o desenvolvimento de suaautonomia.
  89. 89. O papel do professor é crucial para maximizaro valor dos jogos matemáticos. Se oprofessor corrige papeis em sua mesa,enquanto as crianças estão jogando, ficaclaro para as crianças que os jogos não sãoimportantes. Se o professor joga com ascrianças ou corrige constantemente seuserros, as crianças são impedidas dedesenvolver confiança e iniciativa.O que você faz para não perder o controle daclasse? Discutir com as crianças, em reuniões paradecidir formas de resolver os problemas.
  90. 90.  Fazer uma reunião seguinte par rever e avaliar o que aconteceu. O ponto importante é que o professor deve evitar a dar sermões e soluções para as crianças par que elas comecem a tomar iniciativas de aparecer com as suas soluções. Se as reuniões são frequentes sobre todos os tipos de problemas que aparecem no dia a dia, as crianças logo aprendem também a governar-se enquanto jogam. Quando uma decisão não é considerada sensata, é hora de uma nova reunião de
  91. 91. classe e as crianças têm a probabilidade detomar decisão melhor na segunda vezporque elas levarão em consideração oresultado da primeira decisão.Como você escolhe os jogos?O professor deveria sempre adaptar osjogos de acordo com os níveis das criançaspor duas razões: cada classe tem umavariação de níveis de desenvolvimento;alguns jogos que parecem muito fáceispodem servir para encorajar o hábito , e arepetição é necessária para as criançaslembrarem várias combinações como3+3=6.
  92. 92. O professor deveria experimentar e julgarcomo cada grupo de crianças está pensandoe se sentindo.Como você introduz novos jogos? O professor poderá utilizar o retroprojetorpara mostrar como se joga;Mostrar jogando com uma ou duas crianças;Pode também utilizar grupos onde asdemais crianças observam o jogo paraaprender. Mas a melhor forma de introduzir um novojogo é fazendo as crianças jogarem o novojogo.
  93. 93. Você determina jogos e parceiros? Deixar as crianças escolherem os jogos eos parceiros são parte da autonomia e ascrianças precisam aprender a tomardecisões sensatas.Mas as crianças frequentemente nãotomam decisões sensatas e as vezes énecessário determinar parceiros queestejam aproximadamente no mesmonível.Na escolha dos jogos usamos um diárioque é um formulário para cada semanacomo no exemplo:
  94. 94. Você deixa as crianças mudarem as regras dojogo?Algumas modificações dos jogos sãointroduzidos pelo professor, e outras sãoiniciadas pelas crianças.As regras do jogo pertencem ao conhecimentosocial( convencional) e cada convenção podeser mudada por concordância entre osmembros do grupo. O que você faz quando as crianças nãoconseguem lembrar como jogar um jogo? As regras do jogo podem ser escritas e fixadasno quadro negro ou colocadas em caixas.
  95. 95. Como você lida com a competição? A possibilidade de vencer é umcaracterística exclusivamente desejável dosjogos, visto que essa possibilidade servepara organizar a atividade do grupopequeno. Nos jogos, cada grupo podefuncionar sem o professor porque todossabem que há um inicio e um fim, regrassobre como chegar ao fim. Se não existissecompetição, não haveria necessidade deregras, e a atividade não permaneceriaorganizada.
  96. 96. Qual é uma boa forma de guardar jogos?Um bom sistema de armazenagem facilita a escolha e devolução de todas as peças a seus lugares determinados.Quando peças são perdidas é necessário fazer reunião de classe e as crianças pensam juntas para resaolver o problema.Muitos jogos com o passar do tempo ficam fáceis demais e por isto necessitam ser substituídos por outros.
  97. 97. O que você faz com crianças que se tornam“dispersivas”? Mesmo com jogos atrativos às vezescrianças se dispersam e uma das soluções étirar a turma do chão e colocar o jogo nascarteiras.Mas a melhor solução ainda é reunião declasse onde todos podem participar comsuas opiniões para resolver o problema.
  98. 98. Qual a melhor coisa para o professor fazerenquanto as crianças estão jogando? A atividade mais útil é jogar com ascrianças e observar avaliando seus níveisraciocínio numérico: as crianças estãocontanto para frente? Que somas estão nasua memória?Circular pela sala e observar também quejogos são atualmente populares, quem estájogando, qual jogo, qual nível.
  99. 99.  Os resultados das entrevistas realizadas com crianças do 1º ano - Problemas Matemáticos - Livro Didático ( Tradicional ) e o Construtivista.O grupo construtivista saiu melhor em todos os problemas matemáticos.Quando solicitadas a explicar suas resapostas incorretas , as criançs do grupo construtivista frequentemente corrigiam enquanto tentavam justificar seu pensamento.O grupo Livro Didático raramente corrigiam-
  100. 100. A capacidade de gerar uma melhor respostaé uma indicação de lógica mais avançada. Na situação problema: Se você tivesse 4velinhas e quisesse 7 velinhas para um bolode aniversário, quantas mais você precisariaconseguir? Este tipo de questão égeralmente respondida por apenas metadedas crianças de um 2º ano – a razão paraesta dificuldade é que este tipo de lógica derelações parte–todo é difícil para criançasaté sete ou 8 anos de idade. 86% do grupodo construtivismo do 1º ano acertou e ogrupo do Livro 46% de respostas erradas.
  101. 101. Em todas as situações problemas envolvendoas operações( adição, subtração,multiplicação e divisão) o grupo Construtivistaprovaram ser muito superior ao outro grupo odo Livro didático.Concluindo Com 60 anos de pesquisa científica Piaget eoutros demonstraram que as crianças domundo inteiro constroem conhecimento lógico–matemático de dentro para fora, eminteração com o ambiente, e não o adquirempor internalização direta do ambiente. Oconstrutivismo de Piaget nos leva aconceitualizar metas e objetivos educacionais
  102. 102. diferentemente do ensino tradicional. Oobjetivo básico é que as crianças tornem-secapazes de raciocinar logicamente, atravésda troca de pontos de vista com outrascrianças. O ensino tradicional o objetivo éque as crianças tornem–se capazes deproduzir respostas corretas rapidamente. Noentanto, construtivistas desenfatizamrespostas corretas, porque se as criançaspuderem raciocinar, elas obterão a respostacorreta.
  103. 103. Crianças de 1º ano e muitas de pré-escolasão perfeitamente capazes de resolverproblemas de multiplicação e divisão comadição repetida. O número de educadores que são suficientemente autônomos para encorajar as crianças a fazer seu próprio raciocínio tem, no entanto, crescido regularmentedesde a década de 80. Se serão mais de 150 anos para o construtivismo de Piaget ser universalmente aceito depende de quão autônomos os educadores se tornem, moral e intelectualmente. Então quando é que ...
  104. 104. Bom Excelente provaEstudo

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