D’un point de vue général, la méthode statistique de régression consiste à estimer la relation mathématique entre un ensemble de variables, appelées variables explicatives ou descriptives ou indépendantes, et une variable observée ou mesurée. On cherche donc à déterminer, parmi une certaine classe de fonctions, la fonction qui décrive de façon optimale (en un certain sens) cette relation. La régression polynomiale consiste à estimer la relation entre variables explicatives et données observées à l’aide d’une fonction polynomiale de degré fixé k. Le nombre de paramètres inconnus est alors k + 1 et ils sont le plus souvent estimés en minimisant un critère des moindres carrés, qui est le carré de la distance euclidienne entre les valeurs observées et les valeurs prédites par le modèle polynomial. L’un des problèmes à résoudre dans ce contexte est évidemment le choix du degré du polynôme.

1. Polynomial Regression on
Riemannian Manifolds
Albert Thomas, Florent Renucci

2. Sommaire
Introduction
I - Définition d’un polynôme sur une variété riemannienne
II – Intégration - Méthode d’Euler
III – Résultats de l’algorithme sur la sphère
IV – Régression polynomiale
V – Application à l’évolution d’un crâne de rat
Conclusion et discussion

3. Introduction
Objectif : adapter la régression polynomiale
paramétrique aux variétés riemanniennes.
Régression : Etablissement d’un lien entre les variables
explicatives et la variable à estimer.
 déterminer la fonction, parmi une classe de fonctions,
qui décrive ce lien de manière optimale.
Critère : moindres carrés.

4. I - Définition d’un polynôme sur une variété
riemannienne
Un polynôme de degré k est entièrement caractérisé par
la donnée de :
Par analogie, sur une variété riemannienne munie de la
dérivée covariante :

5. II - Intégration
• Pas de formule explicite : calcul numérique
Conditions initiales :

6. II - Intégration
• Schéma d’Euler

7. III - Exemple de la sphère
• Géodésique :

8. IV – Régression polynomiale
• N observations y1, . . . , yN ∈ M aux temps t1,...,tN.
Calcul du polynôme riemannien. γ de degré k.
 Déterminer
qui minimisent le critère
Minimiser
sous contraintes

9. IV – Régression polynomiale
Minimiser
sous contraintes
 Multiplicateurs de Lagrange, minimisation du
lagrangien à l’aide de la méthode des variations.

10. IV – Régression polynomiale
Critère à minimiser :
: écart par rapport à la valeur
prédite par une constante
: somme des carrés des écarts
On peut donc définir par analogie :

11. V - Croissance d’un crâne de rat
• Kendal shape space
R21 = 0.79
R22 = 0.85
R23 = 0.87

12. Conclusion
Point positifs :
• Définition d’une régression polynomiale sur une
variété
• Applications
Critiques :
• Choix du degré du polynôme
• Choix du pas d’intégration