A Geometria Escondida       Jos´ Nat´rio          e    a(Instituto Superior T´cnico)                     eLisboa, Fevereir...
Galileu Galilei (1564–1642)“A Filosofia [Ciˆncia] est´ escrita neste grande livro, o Universo,               e         aque...
Manneken Pis (Bruxelas).
Teorema de Kelvin (1824–1907)                α sin α = 1 (portanto α         3               19, 5o).
Leis de Kepler (1571–1630)1. As ´rbitas dos corpos celestes s˜o sec¸oes c´nicas com o Sol      o                          ...
2. O segmento de recta que une o corpo ao Sol varre ´reas                                                    aiguais em te...
Geometria de Euclides (s´c IV–III a.C.)                                  e• Duas rectas distintas intersectam-se no m´ximo...
γ        βα    α + β + γ = 180o
Geometria de Riemann (1826–1866)´E a geometria das superf´                        ıcies (espa¸os) curvos. Em vez de rectas...
P´lo Norte                          o           Paralelo 41           EquadorMeridiano de Nova Iorque                     ...
Geometria da esfera• Duas geod´sicas distintas intersectam-se sempre em dois pon-            etos (n˜o existem paralelas)....
Transporte paraleloUm vector tangente que ´ transportado paralelamente ao longo                         ede uma curva fech...
Einstein (1879–1955)O espa¸o(-tempo) ´ curvo e os raios luminosos seguem geod´sicas.      c          e                    ...
Cruz de Einstein.
Gravity Probe B (lan¸ada em 2004)                    cAs esferas mais esf´ricas do mundo...                   e
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Buracos negrosCygnus X-1 (imagem de raios-X do telesc´pio Chandra).                                       o
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Buraco negro a 600 quil´metros...                       o
...e a 600 metros.
Galileu Galilei (1564–1642)“A Filosofia [Ciˆncia] est´ escrita neste grande livro, o Universo,               e         aque...
À Descoberta das Rotas Matemáticas da UTL - A Geometria Escondida
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Palestra "A Geometria Escondida" apresentada pelo Prof. José Natário, no Instituto Superior Técnico no dia 14 de Fevereiro de 2011 no âmbito da 4ª edição da atividade “À Descoberta das Rotas Matemáticas da UTL”.

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À Descoberta das Rotas Matemáticas da UTL - A Geometria Escondida

  1. 1. A Geometria Escondida Jos´ Nat´rio e a(Instituto Superior T´cnico) eLisboa, Fevereiro de 2011
  2. 2. Galileu Galilei (1564–1642)“A Filosofia [Ciˆncia] est´ escrita neste grande livro, o Universo, e aque est´ permanentemente aberto e ao alcance do nosso olhar. aMas o livro n˜o pode ser compreendido sem antes aprendermos aa linguagem e os caracteres em que est´ escrito. A linguagem ´ a ea Matem´tica, e os caracteres s˜o triˆngulos, c´ a a a ırculos e outrasfiguras geom´tricas, sem as quais ´ humanamente imposs´ e e ıvelcompreender uma ´nica palavra.” u
  3. 3. Manneken Pis (Bruxelas).
  4. 4. Teorema de Kelvin (1824–1907) α sin α = 1 (portanto α 3 19, 5o).
  5. 5. Leis de Kepler (1571–1630)1. As ´rbitas dos corpos celestes s˜o sec¸oes c´nicas com o Sol o a c˜ onum dos focos.
  6. 6. 2. O segmento de recta que une o corpo ao Sol varre ´reas aiguais em tempos iguais.
  7. 7. Geometria de Euclides (s´c IV–III a.C.) e• Duas rectas distintas intersectam-se no m´ximo uma vez. a• Existem rectas que n˜o se intersectam (paralelas). a• Os ˆngulos internos de um triˆngulo somam 180o. a a
  8. 8. γ βα α + β + γ = 180o
  9. 9. Geometria de Riemann (1826–1866)´E a geometria das superf´ ıcies (espa¸os) curvos. Em vez de rectas ctemos geod´sicas (curvas de comprimento m´ e ınimo).Na esfera, por exemplo, as geod´sicas s˜o os c´ e a ırculos m´ximos, a ´como o equador ou os meridianos. E por isso que para ir doPorto para Nova Iorque, o avi˜o n˜o voa para oeste. a a
  10. 10. P´lo Norte o Paralelo 41 EquadorMeridiano de Nova Iorque P´lo Sul o Meridiano do Porto
  11. 11. Geometria da esfera• Duas geod´sicas distintas intersectam-se sempre em dois pon- etos (n˜o existem paralelas). a• Os ˆngulos internos de um triˆngulo somam mais de 180o. a a
  12. 12. Transporte paraleloUm vector tangente que ´ transportado paralelamente ao longo ede uma curva fechada regressa ao ponto inicial rodado de umˆngulo igual ao excesso.a
  13. 13. Einstein (1879–1955)O espa¸o(-tempo) ´ curvo e os raios luminosos seguem geod´sicas. c e eUma consequˆncia ´ o efeito de lente gravitacional, que origina e eimagens m´ltiplas de objectos astron´micos. u o
  14. 14. Cruz de Einstein.
  15. 15. Gravity Probe B (lan¸ada em 2004) cAs esferas mais esf´ricas do mundo... e
  16. 16. ...arrefecidas abaixo de −271oC...
  17. 17. ...foram colocadas a rodar em ´rbita. o
  18. 18. Buracos negrosCygnus X-1 (imagem de raios-X do telesc´pio Chandra). o
  19. 19. Sagittarius A∗ (imagem de raios-X do telesc´pio Chandra). o
  20. 20. horizontegirosc´pio o raio de luz circular
  21. 21. Buraco negro a 600 quil´metros... o
  22. 22. ...e a 600 metros.
  23. 23. Galileu Galilei (1564–1642)“A Filosofia [Ciˆncia] est´ escrita neste grande livro, o Universo, e aque est´ permanentemente aberto e ao alcance do nosso olhar. aMas o livro n˜o pode ser compreendido sem antes aprendermos aa linguagem e os caracteres em que est´ escrito. A linguagem ´ a ea Matem´tica, e os caracteres s˜o triˆngulos, c´ a a a ırculos e outrasfiguras geom´tricas, sem as quais ´ humanamente imposs´ e e ıvelcompreender uma ´nica palavra.” u

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