K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 1
Análise de Sinais
e Sistemas
Prof. Dr. K. Z. Nóbrega
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 2
Programa Resumido
• Definição de Sinais e Sistemas
• Tipos e Operações sobr...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 3
Bibliografia
3
• B. P. Lathi. "Sinais e Sistemas Lineares“. 2ª edição, Edit...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 4
Informações Adicionais
4
• Falta de base matemática
Procurar as inúmeras ap...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 5
Introdução
• Definir sinais e sistemas, no contexto da engenharia;
•Apresen...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 6
Sinais
Os sinais são componentes básicos em nossas vidas.
Ex: sinais de áud...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 7
Definições
• Sinal – Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula-se
inf...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 8
Definições
• Sinal Determinístico– Sinal que não possui incerteza acerca do...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 9
Definições
•Sinal Discreto– Sinal na qual se pode medir seu valor apenas em...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 10
Definições
•Sinal Digital– Sinal cujos possíveis valores assumidos são
con...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 11
Definições
•Sinal Periódico– Sinal cujo seu comportamento se repete
indefi...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 12
Definições
Uma pergunta comum que surge ao se trabalhar com sinais
periódi...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 13
Definições
Ex: Prove as relações encontradas no slide anterior.
Ex: Indiqu...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 14
Operações sobre sinais
Conforme visto anteriormente, sinais são nada mais ...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 15
Operações sobre sinais
Matemática Português
t instante de tempo qualquer o...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 16
Operações sobre sinais
Deslocamento temporal– Dado um sinal qualquer, x(t)...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 17
Operações sobre sinais
x(t) y(t)=x(t-2)
Entrada, x, em
um instante
qualque...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 18
Operações sobre sinais
Vejamos, agora, como se dá o comportamento desse si...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 19
Operações sobre sinais
Com base no gráfico anterior, observa-se que a saíd...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 20
Operações sobre sinais
x(t) y(t)=x(t+2)
Entrada, x, em
um instante
qualque...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 21
Operações sobre sinais
Vejamos, agora, como se dá o comportamento desse si...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 22
Operações sobre sinais
Com base no gráfico anterior, observa-se que a saíd...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 23
Operações sobre sinais
Em resumo, a operação do deslocamento pode ser colo...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 24
Operações sobre sinais
Escalonamento temporal– Dado um sinal qualquer, x(t...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 25
Operações sobre sinais
x(t) y(t)=x(2t)
Entrada, x, em
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Operações sobre sinais
Vejamos, agora, como se dá o comportamento desse si...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 27
Operações sobre sinais
Com base no gráfico anterior, observa-se que a saíd...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 28
Operações sobre sinais
x(t) y(t)=x(t/2)
Entrada, x, em
um instante
qualque...
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Operações sobre sinais
Vejamos, agora, como se dá o comportamento desse si...
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Operações sobre sinais
Com base no gráfico anterior, observa-se que a saíd...
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Operações sobre sinais
Em resumo, a operação do deslocamento pode ser colo...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 32
Operações sobre sinais
Reflexão temporal– Dado um sinal qualquer, x(t), a ...
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Operações sobre sinais
x(t) y(t)=x(-t)
Entrada, x, em
um instante
qualquer...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 34
Operações sobre sinais
Vejamos, agora, como se dá o comportamento desse si...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 35
Operações sobre sinais
Embora existam as três operações básicas vistas
ant...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 36
Operações sobre sinais
Ex: Dado o sinal abaixo, efetue as seguintes operaç...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 37
Alguns sinais úteis
No estudo de sinais é fundamental o conhecimento de al...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 38
Alguns sinais úteis
• Impulso unitário, δ(t)– É uma das mais importantes f...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 39
Alguns sinais úteis
Na prática, a função impulso pode ser definida de dive...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 40
Alguns sinais úteis
Sinais reais denominados senoidais podem ser escritos ...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 41
Alguns sinais úteis
4. Senóides variando exponencialmente, eσt.
cos(ωt)
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 42
Alguns sinais úteis
• Degrau unitário discreto, u[n]– Seu uso e aplicações...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 43
Alguns sinais úteis
)cos(][ 0 θ+Ω⋅= nAnx
onde A é a amplitude (real), Ω0 é...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 44
Alguns sinais úteis
Ex: Dê exemplos de C e α que possam representar os grá...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 45
Alguns sinais úteis
Ex: Plote os sinais x(t) e x[n] abaixo.
)4()( −= tutx
...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 46
Descrição analítica de sinais gráficos
Nos exemplos anteriores foram dados...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 47
Descrição analítica de sinais gráficos
que também pode ser escrita como:
c...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 48
Descrição analítica de sinais gráficos
Para não haver dúvidas, é possível ...
K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 49
Descrição analítica de sinais gráficos
Do mesmo, também é possível para o ...
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Descrição analítica de sinais gráficos
Ex: Dado o gráfico em seguida, enco...
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  1. 1. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 1 Análise de Sinais e Sistemas Prof. Dr. K. Z. Nóbrega
  2. 2. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 2 Programa Resumido • Definição de Sinais e Sistemas • Tipos e Operações sobre Sinais • Tipos e Propriedades dos Sistemas • Definição de um SLIT • Representação de um sistema por EDO e ED • Convolução e suas aplicações • Análise de Fourier: Série e Transformada • Análise de Transformada de Laplace • Análise de Transformada Z
  3. 3. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 3 Bibliografia 3 • B. P. Lathi. "Sinais e Sistemas Lineares“. 2ª edição, Editora Bookman, 2004. • Simon Haykin, Barry V. Veen, "Sinais e Sistemas“. Editora Bookman, 2002. •Hsu, Hwei, "Sinais e Sistemas – Coleção Schaum“. 2ª Edição, Editora Bookman, 2000. •Kamen, Edward W., Heck, Bonnie S. Fundamentals of Signals and Systems. Prentice_Hall.
  4. 4. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 4 Informações Adicionais 4 • Falta de base matemática Procurar as inúmeras apostilas disponíveis na rede; Procurar o professor • Pouco a vontade com Matlab Fazer “revisões” de: polinômios, números complexos, EDO, etc.
  5. 5. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 5 Introdução • Definir sinais e sistemas, no contexto da engenharia; •Apresentar noções básicas de análise de sistemas, especialmente os lineares e invariantes no tempo; • Apresentar ao aluno ferramentas matemáticas básicas, que servem de análise para projetos, de modelagem a prototipagem; • Estimular o aprender, especialmente nas relações tempo e freqüência .
  6. 6. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 6 Sinais Os sinais são componentes básicos em nossas vidas. Ex: sinais de áudio ou voz (analógicos ou digitais) ; tensões e correntes em um circuito eletrônico; sinais de vídeo; temperatura; pressão arterial, flutuação diária das cotações em bolsas, etc. Conforme notado, a natureza física, inerente a cada sinal, pode ser diversa, i.e., elétrica, mecânica, virtual, etc. Desta forma, trabalhar com os sinais, muitas vezes, envolve conversão de sistemas (eletromecânicos, opto eletrônicos, mecânico-óptico, digital-óptico), daí cabe uma importante observação: A teoria de estudo de sinais é única, e a linguagem matemática é a utilizada para uniformizar o estudo, independente da área de aplicação.
  7. 7. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 7 Definições • Sinal – Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula-se informações sobre a natureza de fenômenos físicos. ATENÇÃO: Definido como uma função matemática, o tratamento e a manipulação de sinais seguem as mesmas regras da matemática de funções. Na Engenharia Elétrica, os sinais podem ser classificados sob diferentes aspectos. Dentre eles, podem-se destacar: Determinísticos x Aleatórios Contínuos x Discretos Analógicos x Digitais Periódicos x Aperiódicos Potência x Energia
  8. 8. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 8 Definições • Sinal Determinístico– Sinal que não possui incerteza acerca do seu valor em qualquer instante. • Sinal Aleatório– Sinal que existe incerteza acerca de seu valor em algum instante. Nessa classe de sinais, é importante destacar o tipo de incerteza: probabilística ou nebulosa (fuzzy) • Sinal Contínuo– Sinal na qual se pode medir seu valor em qualquer instante de tempo. Em outra linguagem: o sinal contínuo é aquele na qual sua variável independente é contínua, i.e., t ∈ ℜ. Ex: temperatura ambiente.
  9. 9. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 9 Definições •Sinal Discreto– Sinal na qual se pode medir seu valor apenas em alguns instantes de tempo. Em outra linguagem: o sinal discreto é aquele na qual sua variável independente é discreta, e é representado como x[n]. Ex: temperatura ambiente medida de hora em hora Em ambos os casos, sinal discreto e contínuo, os valores do sinal, x(), podem ser contínuos ou discretos, que seriam, respectivamente, sinais analógicos e digitais. •Sinal Analógico– Sinal cujos possíveis valores assumidos são um subconjunto de ℜ (se real) ou de ℭ (se complexo), i.e., x(t)∈ ℜ ou x(t) ∈ ℭ. Ex: temperatura ambiente medida de hora em hora
  10. 10. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 10 Definições •Sinal Digital– Sinal cujos possíveis valores assumidos são contáveis, ou finitos valores. Ex: uma sequencia de bits. A diferença entre contínuo x discreto diz respeito a valores reais ou discretos da variável independente, t, respectivamente. t ou n. Por outro lado, a diferença entre analógico x digital diz respeito a infinitos ou finitos valores assumidos pela função, x(t), respectivamente. x(t) ou x[n].
  11. 11. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 11 Definições •Sinal Periódico– Sinal cujo seu comportamento se repete indefinidamente após um determinado período. A definição de sinais periódicos é válida independente do sinal ser contínuo ou discreto, bem como dele ser analógico ou digital. Matematicamente, um sinal é contínuo(discreto) se: x(t+T)=x(t) (x[n+N]=x[n]), (1) onde T (N) é o período do sinal, e sendo o menor número real (inteiro) positivo que satisfaça Eq. (1). O recíproco do período fundamental é chamado de frequencia fundamental f=1/T
  12. 12. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 12 Definições Uma pergunta comum que surge ao se trabalhar com sinais periódicos é a seguinte: A soma de dois sinais periódicos é um novo sinal periódico? De fato, isto somente acontecerá se r m T T = 2 1 para o caso contínuo ou para o caso discreto r m N N = 2 1 onde T1 e T2 são os períodos dos sinais x1(t) e x2(t), respectivamente, N1 e N2 os períodos dos sinais x1[n] e x2[n], respectivamente, e m e r números inteiros. Caso as equações acima sejam satisfeitas, o período do novo sinal será dado por: 1rTT = ou 1rNN =
  13. 13. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 13 Definições Ex: Prove as relações encontradas no slide anterior. Ex: Indique se o sinal x(t) é periódico ou não. Em caso afirmativo, calcule o período. )2cos()()( ttsintx ⋅+⋅= ππ )2cos(2)()( ttsintx −⋅= π tj etx 2 5,0)( −= )cos()( 1 0tnAtx n n∑ ∞ = = ω
  14. 14. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 14 Operações sobre sinais Conforme visto anteriormente, sinais são nada mais que funções e, como tal, podem ser manipulados seguindo três tipos principais de operações, e suas combinações: • deslocamento temporal; • escalonamento temporal; • reflexão temporal. Antes de estudar as operações acima citadas, cabe resgatar o significado em português de alguns termos matemáticos, que serão utilizados até o fim deste curso, devendo ficar claro desde já o significado dos mesmos. Vejamos a tabela contendo alguns:
  15. 15. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 15 Operações sobre sinais Matemática Português t instante de tempo qualquer ou instante atual * t –2 dois segundos antes do instante atual t +2 dois segundos depois do instante atual -t Instante de tempo reverso t ∈ ℜ para todo instante de tempo (t) calculado em um instante de tempo qualquer s(t) sinal s calculado em um instante qualquer de tempo s() o valor do meu sinal s calculado em um instante .... ou o sinal s em ... s(t)=5 sinal s vale 5 ou sinal s para todo instante de tempo é 5 ou sinal é calculado como 5 x(t) entrada de um sistema em um instante qualquer de tempo ou valor do sinal de entrada em um instante de tempo qualquer. y(t) saída de um sistema em um instante qualquer de tempo valor do sinal de saída em um instante de tempo qualquer.
  16. 16. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 16 Operações sobre sinais Deslocamento temporal– Dado um sinal qualquer, x(t), a operação de deslocamento temporal está associada a adiantar ou atrasar tal sinal, sendo representada por x(t-a). a>0 → deslocamento à direita, ou atraso, do sinal. a<0 → deslocamento à esquerda, ou adiantamento, do sinal. Sob o ponto de vista físico, observa-se que x(t) e x(t-a) possuem as mesmas características, entretanto os dois apresentam-se em instantes de tempo diferentes, um com relação ao outro.
  17. 17. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 17 Operações sobre sinais x(t) y(t)=x(t-2) Entrada, x, em um instante qualquer,(t) Saída, y, em um instante qualquer, (t) Para entender melhor o que acontece, assumamos um sistema cuja entrada vale x(t) e a saída y(t). Com y(t)=x(t-2). A saída do sistema, y, em um instante qualquer, (t), vale, =, a entrada, x, dois segundos antes, (t-2).
  18. 18. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 18 Operações sobre sinais Vejamos, agora, como se dá o comportamento desse sistema, dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(t-2). A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, dois segundos antes, (t— 2). t O que se deseja construir? A saída, y(t)! Ou seja, para cada instante de tempo, (t), deve- se achar quanto vale a saída, y t=-3 t=-2 t=-1 t=0 t=2 t=3 t=4t=1t=1,5t=2,5
  19. 19. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 19 Operações sobre sinais Com base no gráfico anterior, observa-se que a saída y(t) está atrasada com relação à entrada, ou foi deslocada para a direita do sinal original, x(t). Lembrando que y(t)=x(t-2). Uma outra forma de visualizar o que aconteceu é entender o que está escrito em y(t)=x(t-2), ou seja: A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, dois segundos antes, (t-2). A entrada do sistema, x, em um instante qualquer, (t), corresponde à saída, y, calculada dois segundos depois (t+2). , ou em outras palavras x(t)=y(t+2)
  20. 20. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 20 Operações sobre sinais x(t) y(t)=x(t+2) Entrada, x, em um instante qualquer,(t) Saída, y, em um instante qualquer, (t) Vejamos, agora, o que acontece com um sistema do tipo: y(t)=x(t+2). A saída do sistema, y, em um instante qualquer, (t), vale, =, a entrada, x, dois segundos depois, (t+2).
  21. 21. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 21 Operações sobre sinais Vejamos, agora, como se dá o comportamento desse sistema, dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(t+2). A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, dois segundos depois, (t+2). t O que se deseja construir? A saída, y(t)! Ou seja, para cada instante de tempo, (t), deve- se achar quanto vale a saída, y t=-3t=-2,5t=-2t=-1,5t=-1 t=0 t=1 t=2 t=3
  22. 22. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 22 Operações sobre sinais Com base no gráfico anterior, observa-se que a saída y(t) está adiantada com relação à entrada, ou foi deslocada para a esquerda do sinal original, x(t). Lembrando que y(t)=x(t+2). Uma outra forma de visualizar o que aconteceu é entender o que está escrito em y(t)=x(t+2), ou seja: A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, dois segundos depois, t+2. A entrada do sistema, x, em um instante qualquer, (t), corresponde à saída, y, dois segundos antes (t-2). , ou em outras palavras x(t)=y(t-2)
  23. 23. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 23 Operações sobre sinais Em resumo, a operação do deslocamento pode ser colocada como: AtrasaAdianta
  24. 24. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 24 Operações sobre sinais Escalonamento temporal– Dado um sinal qualquer, x(t), a operação de escalonamento temporal está associada a compressão ou expansão de tal sinal, sendo representada por x(at), sendo a>0. a < 1 → expansão do sinal. a > 1 → compactação do sinal. Para um sinal temporal, tal propriedade tem sua importância associada à velocidade com a qual o sinal se repete. Por exemplo, se considerar x(t) como a reprodução de uma fita cassete, x(2t) irá reproduzir o mesmo sinal na metade do tempo. Por modificar a escala do tempo, t, o escalonamento temporal modifica também a distribuição do espectro de frequencia, f, deste mesmo sinal, podendo suprimir ou adicionar freqüências.
  25. 25. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 25 Operações sobre sinais x(t) y(t)=x(2t) Entrada, x, em um instante qualquer,(t) Saída, y, em um instante qualquer, (t) Para entender melhor o que acontece, assumamos um sistema cuja entrada vale x(t) e a saída y(t). Com y(t)=x(2t). A saída do sistema, y, em um instante qualquer, (t), vale, =, a entrada, x, no dobro daquele instante, (2t).
  26. 26. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 26 Operações sobre sinais Vejamos, agora, como se dá o comportamento desse sistema, dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(2t). A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, no dobro daquele instante, (2t). O que se deseja construir? A saída, y(t)! Ou seja, para cada instante de tempo, (t), deve- se achar quanto vale a saída, y t=-3 t=-2 t=-1t=-0,5 t=2t=0t=0,5t=1 t
  27. 27. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 27 Operações sobre sinais Com base no gráfico anterior, observa-se que a saída y(t) está compactada de um fator de 2 com relação à entrada, x(t). Lembrando que y(t)=x(2t). Uma outra forma de visualizar o que aconteceu é entender o que está escrito em y(t)=x(2t), ou seja: A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, no dobro deste instante, (2t). A entrada do sistema, x, em um instante qualquer, (t), corresponde à saída, y, na metade desse tempo (t/2). , ou em outras palavras x(t)=y(t/2)
  28. 28. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 28 Operações sobre sinais x(t) y(t)=x(t/2) Entrada, x, em um instante qualquer,(t) Saída, y, em um instante qualquer, (t) Vejamos, agora, o que acontece com um sistema do tipo: y(t)=x(t/2). A saída do sistema, y, em um instante qualquer, (t), vale, =, a entrada, x, na metade daquele instante, (t/2).
  29. 29. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 29 Operações sobre sinais Vejamos, agora, como se dá o comportamento desse sistema, dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(t/2). A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, na metade daquele instante, (t/2). O que se deseja construir? A saída, y(t)! Ou seja, para cada instante de tempo, (t), deve- se achar quanto vale a saída, y t=-3t=-2 t=-1 t=2 t=0 t=1 t
  30. 30. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 30 Operações sobre sinais Com base no gráfico anterior, observa-se que a saída y(t) está expandido de um fator de 2, com relação ao sinal original, x(t). Lembrando que y(t)=x(t/2). Uma outra forma de visualizar o que aconteceu é entender o que está escrito em y(t)=x(t/2), ou seja: A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, na metade deste tempo, t/2. A entrada do sistema, x, em um instante qualquer, (t), corresponde à saída, y, no dobro deste tempo (2t). , ou em outras palavras x(t)=y(2t),
  31. 31. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 31 Operações sobre sinais Em resumo, a operação do deslocamento pode ser colocada como:
  32. 32. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 32 Operações sobre sinais Reflexão temporal– Dado um sinal qualquer, x(t), a operação de reflexão temporal está associada ao reflexo do sinal com relação ao eixo da ordenada, gerando x(-t). x(-t) → reflexão do sinal x(t).
  33. 33. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 33 Operações sobre sinais x(t) y(t)=x(-t) Entrada, x, em um instante qualquer,(t) Saída, y, em um instante qualquer, (t) Para entender melhor o que acontece, assumamos um sistema cuja entrada vale x(t) e a saída y(t). Com y(t)=x(-t). A saída do sistema, y, em um instante qualquer, (t), vale, =, a entrada, x, no oposto daquele instante, (-t).
  34. 34. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 34 Operações sobre sinais Vejamos, agora, como se dá o comportamento desse sistema, dada a entrada x(t). Lembrando que y(t)=x(-t). A saída do sistema em um instante qualquer, y(t), vale, =, a entrada, x, no oposto daquele instante, (-t). y(t)
  35. 35. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 35 Operações sobre sinais Embora existam as três operações básicas vistas anteriormente, na prática, entretanto, é mais comum escrever combinações destas. Para isso, pode-se seguir o seguinte esquema, para o caso genérico x(at – b): 1. Deslocar x(t) por b para obter x(t-b)= m(t); 2. Efetuar o escalonamento de a sobre m(at). Ex: Mostre porque pode-se efetuar os passos 1 e 2 acima para generalizar o comportamento de um novo sinal, y(t)=x(at-b).
  36. 36. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 36 Operações sobre sinais Ex: Dado o sinal abaixo, efetue as seguintes operações: x(-t-2), x(-2t), x(-t+2), x(t/3 -2), x(-2t +3), x(2(t +1)), x(-2(t+1)).
  37. 37. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 37 Alguns sinais úteis No estudo de sinais é fundamental o conhecimento de alguns sinais básicos, como degrau, impulso unitário e exponenciais. Em seguida, vejamos as definições matemáticas e suas representações gráficas. • Degrau unitário, u(t)– Especialmente útil para descrever sinais com diferentes descrições matemáticas em diferentes segmentos de tempo. Além disso, uma outra aplicação está relacionada a situações em que um sistema, ou mesmo um sinal, muda de comportamento instantaneamente.    < ≥ = 0t,0 0t,1 )(tu
  38. 38. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 38 Alguns sinais úteis • Impulso unitário, δ(t)– É uma das mais importantes funções no estudo de sinais e sistemas. Existem diversas formas de definí-lo, pois o importante não é a sua forma, mas a sua propriedade de que sua duração efetiva tende a zero enquanto que a sua área permanece unitária. Deste modo, o sinal impulso pode ser denominado como uma função generalizada, ou seja, o seu efeito é mais importante que os seus valores.     = ≠= ∫ ∞+ ∞− 1)( 0t,0)( dtt t δ δ
  39. 39. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 39 Alguns sinais úteis Na prática, a função impulso pode ser definida de diversas maneiras. Abaixo, estão algumas ilustradas. • Função exponencial, est Considerando s= σ + jω, pode-se utilizar tal forma para descrever uma série de outros sinais especialmente úteis. São eles: 1. Constante (s=0) 2. Uma exponencial monotônica eσt (ω=0) 3. Senóides (σ=0, s=±jω)
  40. 40. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 40 Alguns sinais úteis Sinais reais denominados senoidais podem ser escritos da seguinte maneira: e o recíproco do período fundamental T0 é chamado frequencia fundamental f0: )cos()( 0 θω +⋅= tAtx onde A é a amplitude (real), ω0 é a frequencia angular expressa em radianos por segundo, e θ é a fase expressa em radianos ou graus. O sinal senoidal é periódico, com período fundamental: 0 0 2 ω π =T (Hz)Hertzemmedido, 1 0 0 T f =
  41. 41. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 41 Alguns sinais úteis 4. Senóides variando exponencialmente, eσt. cos(ωt)
  42. 42. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 42 Alguns sinais úteis • Degrau unitário discreto, u[n]– Seu uso e aplicações são semelhantes ao degrau unitário contínuo.    < ≥ = 0n,0 0n,1 ][nu • Impulso unitário discreto, δ[n]– Seu uso e aplicações são semelhantes ao impulso unitário contínuo.    ≠ = = 0n,0 0n,1 ][nδ
  43. 43. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 43 Alguns sinais úteis )cos(][ 0 θ+Ω⋅= nAnx onde A é a amplitude (real), Ω0 é a frequencia angular e θ é a fase. O sinal senoidal é periódico, com período fundamental: inteiroumsendo, 2 0 0 kkN Ω = π • Senóides discretas– Seu uso e aplicações são semelhantes à senóide contínua. • Exponenciais complexas discretas– Seu uso e aplicações são semelhantes às exponenciais vistas anteriormente. n Cnx α⋅=][ Baseado na afirmativa anterior, cabe ressaltar que é possível definir sequencias discretas semelhantes às da figura seguinte.
  44. 44. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 44 Alguns sinais úteis Ex: Dê exemplos de C e α que possam representar os gráficos acima.
  45. 45. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 45 Alguns sinais úteis Ex: Plote os sinais x(t) e x[n] abaixo. )4()( −= tutx 0com),()( >⋅= ktksintx tjtj eetx 22 .5,0.5,0)( − += )42()( −= tutx )4()( −−= ttx δ tjttjt eeeetx ππ 22 .2.2)( −−− += t etx − =)( t etx 5,0 )( − = 2 )( − = t etx |22| )( − = t etx )4(][ −−= nunx 0com),(][ >⋅= knksinnx njnj eenx 22 .5,0.5,0][ − += )42/(][ −= nunx )4(][ −= nnx δ n nx − = 2][ n nx − = 5,0][ n nx 2][ = n nx 2][ −= n nx )2(][ −= n nx )5,0(][ −=Ex: Quanto vale c + c*, onde c ∈ ℭ Ex: Quanto vale x(t) + x(t) *, onde x(t) ∈ ℭ
  46. 46. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 46 Descrição analítica de sinais gráficos Nos exemplos anteriores foram dados vários sinais e pedido para expressá-los graficamente. Em outras ocasiões, na análise de sinais em geral, também é interessante o procedimento contrário, i.e., uma vez informada a apresentação gráfica conhecer a expressão analítica que o gerou. Vejamos em seguida como fazer isso. Suponha        ≥ <≤ <≤ = c.c.,0 ),( ),( ),( )( 33 322 211 tttx ttttx ttttx tx Logo: [ ] [ ] )()( )()()()()()()( 33 322211 ttutx ttuttutxttuttutxtx −⋅ +−−−⋅+−−−⋅=
  47. 47. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 47 Descrição analítica de sinais gráficos que também pode ser escrita como: com )()()()()()()( 332211 ttutfttutfttutftx −⋅+−⋅+−⋅= [ ] [ ] [ ] [ ] [ ])()()()( ...)()()()( ...)()()()( 3321 3221 211 ttutftftf ttuttutftf ttuttutftx −⋅++ +−−−⋅+ +−−−⋅=      −= −= = )()()( )()()( )()( 232 122 11 txtxtf txtxtf txtf Por último, caso o sinal seja expresso desta última forma, pode-se reconstruí-lo como: Agora eu já sei!! Dado o gráfico de x(t), basta usar estas duas fórmulas para escrevê-lo analiticamente! E essa para gerar o gráfico em seu respectivo intervalo!
  48. 48. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 48 Descrição analítica de sinais gráficos Para não haver dúvidas, é possível facilmente definir um procedimento para o caso gráfico → expressão analítica. 1. Determine os pontos críticos, onde há mudança de função; 2. Escreva os pontos em ordem crescente; 3. Escreva os respectivos degraus para cada ponto (já ordenados); 4. Escreva, de preferência no gráfico, quanto vale x(t) em cada intervalo acima; 5. Multiplique cada degrau pela diferença entre a função posterior e a anterior ao respectivo ponto crítico.
  49. 49. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 49 Descrição analítica de sinais gráficos Do mesmo, também é possível para o caso expressão analítica → gráfico. 1. Determine os pontos críticos, a partir das funções degrau, e marque- os no gráfico; 2. Reescreva o sinal x(t) ordenando os degraus de forma crescente; 3. Escreva a expressão que multiplica cada função degrau; 4. Antes do primeiro ponto crítico, o gráfico é nulo; 5. No 1° intervalo, o gráfico será a 1ª expressão citada anteriormente; 6. No 2° intervalo, o gráfico será a soma da 1ª e 2ª expressões citadas anteriormente; 7. No 3° intervalo, o gráfico será a soma da 1ª, 2ª e 3ª expressões citadas anteriormente; 8. Continuar até acabarem todas as expressões.
  50. 50. K. Z. Nóbrega – Análise de Sinais e Sistemas 50 Descrição analítica de sinais gráficos Ex: Dado o gráfico em seguida, encontre o sinal analítico x(t). Determine os pontos críticos onde há mudança de função 1 0 -1 Escreva os pontos em ordem crescente -1 0 1 Escreva os respectivos degraus já ordenados u(t+1) u(t) u(t-1) Escreva, de preferência no gráfico, quanto vale x(t) em cada intervalo acima; 0 1 t 0 Multiplique cada degrau pela diferença entre a função posterior e a anterior ao respectivo ponto crítico.u(t+1).(1 - 0) u(t) .(t - 1) u(t-1) .(0 – t)

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