Lingkaran dapat didefinisikan dengan persamaan kuadrat yang menggunakan koordinat titik. Persamaan lingkaran dapat ditentukan berdasarkan pusat dan jari-jari, atau melalui titik-titik yang dilewatinya.

1. LINGKARAN
(Rumus)
PERSAMAAN LINGKARAN
Pusat (0,0) Pusat (a,b) Pusat
POSISI TITIK TERHADAP LINGKARAN
Pusat (0,0) Pusat (a,b) Umum
(x1, y1) pada lingkaran x12 + y12 = r2 (x1 - a)2 + (y1 - b)2 = r2
(x1, y1) di luar lingkaran x12 + y12 > r2 (x1 - a)2 + (y1 - b)2 > r2
(x1, y1) dalam lingkaran x12 + y12 < r2 (x1 - a)2 + (y1 - b)2 < r2
Jarak Titik ke Garis
POSISI GARIS TERHADAP LINGKARAN
Langkah:
1. Ubah persamaan garis menjadi y = mx + n
2. Subsitusikan ke persamaan lingkaran
3. Hitung nilai Diskriminan (D)
garis memotong lingkaran (2 titik potong)  D>0
garis menyinggung lingkaran (1 titik potong)  D=0
garis tidak memiliki sekutu dengan lingkaran  D<0
GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN
Pusat (0,0) Pusat (a,b) Umum
Melalui 1 Titik
pada Lingkaran
Melalui 1 Titik Langkah:
di Luar Lingkaran 1. Gradien garis singgung m. Garis melalui (x 1, y1), maka persamaan garis: y = m (x – x1) + y1
2. Subsitusikan y ke persamaan lingkaran hingga didapat persamaan kuadrat gabungan. Lalu hitung nilai D.
3. Garis menyinggung, maka D = 0, nilai m diperoleh. Masukkan nilai m ke y = m (x – x1) + y1.
Gradien Garis
Diketahui
© Aidia Propitious 1

2. (Contoh Soal)
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari 5! Analisalah kedudukan titik: P (1,2),
Q (3,4), dan R (2,5)!
Jawab:
P (1,2) di dalam lingkaran karena:
Q (3,4) pada lingkaran karena:
R (2,5) di luar lingkaran karena:
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan melalui titik A (-3,4)!
Jawab:
3. Diketahui titik A (2,-1) dan titik B (-2,1). Tentukan persamaan lingkaran jika AB merupakan garis
tengah lingkaran itu!
Jawab:
Jari-jari lingkaran:
Persamaan lingkaran:
4. Sebuah lingkaran berpusat di (0,0) dan menyinggung garis g 3x + 4y – 15 = 0. Tentukan
persamaan lingkaran itu!
Jawab:
Jarak titik ke garis:
Persamaan lingkaran:
5. Diketahui titik A (2,0) dan B (8,0). Tentukan tempat kedudukan titik P (x,y) yang memenuhi
hubungan PB = 2 PA!
Jawab:
Jarak titik P (x,y) ke titik A (2,0):
Jarak titik P (x,y) ke titik B (8,0):
© Aidia Propitious 2

3. Sehingga:
6. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (-1,2) dan jari-jari 3! Analisalah kedudukan titik-titik
berikut: P (1,3), Q (-4,2), dan R (2,4)!
Jawab:
P (1,3) di dalam lingkaran karena:
Q (-4,2) pada lingkaran karena:
R(2,4) di luar lingkaran karena:
7. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di A (3,1) dan melalui titik B (6,-3)!
Jawab:
Sehingga:
8. Diketahui titik P (4,-1) dan titik Q (-2,5). Tentukan persamaan lingkaran jika PQ adalah diameter dari
lingkaran itu!
Jawab:
Jari-jari lingkaran:
Persamaan lingkaran:
9. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (1,3) dan menyinggung sumbu X serta menyinggung
sumbu Y!
Jawab:
Lingkaran menyinggung sumbu X  r = 3 satuan:
Lingkaran menyinggung sumbu Y  r = 1 satuan:
10. Lingkaran yang berpusat di A (-1,1) menyinggung garis g 3x + 4y – 11 = 0. Tentukan persamaan
lingkaran!
Jawab:
© Aidia Propitious 3

4. Jarak titik ke garis:
Persamaan lingkaran:
11. Tentukan persamaan umum lingkaran jika diketahui pusat (-3,5) dan jari-jari 6!
Jawab:
12. Diketahui bentuk umum persamaan lingkaran sebagai L x2 + y2 – 8x – 2y + 8 = 0. Tentukan pusat
dan jari-jari lingkaran!
Jawab:
Langkah 1  Kelompokkan suku sejenis:
L (x2 – 8x) + (y2 – 2y) = -8
Langkah 2  Buatlh menjadi kuadrat sempurna:
(x – 4)2 + (y – 1)2 = -8 +16 + 1 L (x – 4)2 + (y – 1)2 = 9
Pusat lingkaran = (4,1) dan jari-jari = 3
13. Diketahui persamaan lingkaran umum sebagai berikut L x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0. Tentukan pusat
dan jari-jari! Analisalah kedudukan titik-titik: A (1,1), B (5,-1), dan C (4,2) terhadap lingkaran!
Jawab:
A = -4, B = 2, C = -4
Pusat lingkaran:
Jari-jari lingkaran:
A (1,1) di dalam lingkaran karena:
B (5,-1) pada lingkaran karena:
C (4,2) di luar lingkaran karena:
14. Diketahui persamaan lingkaran L x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0. Tentukan nilai a di titik P (a,6) jika
titik P terletak pada lingkaran!
Jawab:
A = 2, B = -5, C = -21
© Aidia Propitious 4

5. Kedudukan titik:
Maka:
a = -5 atau a = 3
15. Diketahui garis g x + y = 1 dan lingkaran L x2 + y2 = 4. Tentukan kedudukan garis terhadap
lingkaran!
Jawab:
Langkah 1  ubah persamaan garis menjadi:
Langkah 2  subsitusikan persamaan garis ke persamaan lingkaran:
Langkah 3  uji nilai Diskriminan:
Artinya garis g memotong lingkaran di dua titik berbeda
16. Tentukan koordinat titik potong antara garis g x – y – 4 = 0 dengan lingkaran L x2 + y2 – 8x – 2y
+ 12 = 0!
Jawab:
Langkah 1  ubah persamaan garis:
Langkah 2 subsitusikan ke persamaan lingkaran:
Maka:
Untuk x = 3:
Untuk x = 6:
17. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L x2 + y2 = 5 di titik (-2,1)!
Jawab:
18. Tentukan persaman garis singgung pada lingkaran L (x – 3)2 + (y+1)2 = 25 di titik (7,2)!
Jawab:
19. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L x2 + y2 + 4x – 6y – 27 = 0 di titik (4,1)!
Jawab:
© Aidia Propitious 5

6. Maka:
20. Tentukan persamaan garis singgung yang dapat ditarik melalui titik (-1,7) ke L x2 + y2 = 25!
Tentukan pula koordinat titik-titik singgungnya!
Jawab:
Langkah 1  misal garis singgung mempunyai gradien m:
Langkah 2  subsitusikan persaman garis singgung ke persamaan lingkaran:
Langkah 3  hitunglah nilai Diskriminan:
Syarat garis singgung  D = 0:
Langkah 4  subsitusikan nilai m ke persaman garis:
Untuk m = - ¾:
Untuk m = /3:
Langkah 5  menentukan koordinat titik singgung:
Untuk :
Untuk :
21. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L x2 + y2 = 16 yang:
a. Bergradien 3
b. Membentuk sudut 60° terhadap sumbu X
c. Sejajar garis 3x – 4y + 10 = 0
d. Tegak lurus garis 3x – 4y + 10 = 0
Jawab:
a. m = 3, sehingga:
© Aidia Propitious 6

7. b. m = tan 60° = :
c. Sejajar 3x – 4y + 10 = 0:
d. Tegak lurus 3x – 4y + 10 = 0:
22. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 yang sejajar dengan
garis 5x – 12y + 15 = 0!
Jawab:
Langkah 1  ubah persamaan lingkaran menjadi persamaan kuadrat sempurna:
Langkah 2  ubah persamaan garis:
Langkah 3  subsitusikan ke persamaan:
Sehingga:
5x – 12y + 10 = 0 atau 5x – 12y – 68 = 0
(Soal)
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan memiliki jari-jari:
a. 2
b.
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan melalui titik:
a. ( , 0)
b. (5, 2)
c. (1, -5)
3. Tentukan jari-jari lingkaran berikut:
a. x2 + y2 = 36
b. x2 + y2 = 32
c. 2x2 + 2y2 = 100
© Aidia Propitious 7

8. 4. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari sebagai berikut:
a. Pusat (3,5), r = 2
b. Pusat (-2, 1), r =5
c. Pusat (0, 3), r =
5. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut:
a. (x – 6)2 + (y – 5)2 = 36
b. (x – 1)2 + (y + 3)2 = 20
c. x2 + y2 + x – y = 0
d. 4x2 + 4y2 – 8x + 12y = 3
6. Sebuah lingkaran memiliki persamaan sebagai berikut: (x – 5)2 + (y + 8)2 = 225. Sebuah lingkaran
lain sepusat dan lebih kecil, memiliki jari-jari sepertiga jari-jari lingkaran tersebut. Tentukan
persamaan lingkaran yang lebih kecil!
7. Tentukan persamaan lingkaran dalam bentuk baku jika diketahui:
a. Pusat (-5, 12) melalui (0, 0)
b. Pusat (-3, 5) melalui (-7, -2)
c. Diameter (-3, 1) dan (-5, 3)
d. Pusat (3, -5) menyinggung sumbu x
e. Pusat (3, -5) menyinggung sumbu y
8. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui:
a. (4, 2), (1, 3) dan (-3, -5)
b. (5, 1), (4, 6), dan (2, -2)
c. (5, 0), (0, 5), dan (-1, 0)
9. Tentukan posisi titik berikut terhadap lingkaran x2 + y2 – 2x – 18y – 150 = 0:
a. (-5, -5)
b. (-5, 5)
c. (-8, -4)
10. Jika titik (-5, k) terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0, tentukan dua nilai k yang
mungkin!
11. Jika titik (1, 3) terletak pada lingkaran 3x 2 + 3y2 + ax – 6y – 9 = 0, tentukan pusat dan jari-jari
lingkaran!
12. Carilah titik potong garis dengan lingkaran untuk kasus-kasus berikut:
a. y = 2x dan x2 + y2 = 80
b. y = 3x dan x2 + y2 = 100
c. sumbu x dan x2 + y2 – 8x – 14y + 14 = 0
d. sumbu y dan x2 + y2 – 12x – 16 = 0
e. 4x + 6y = 50 dan x2 + y2 = 25
f. y = x + 1 dan (x + 1)2 + (y – 2)2 = 100
13. Dengan metode determinan, periksalah kedudukan garis terhadap lingkaran:
a. y = 2x + 8 pada x2 + y2 + 4x + 2y – 20 = 0
b. x + y = -2 pada x2 + y2 – 6x – 8y = 0
c. x – 3y – 33 = 0 pada x2 + y2 – 2x + 8y – 23 = 0
14. Tunjukkan bahwa titik (-3, 5) terletak pada lingkaran x2 + y2 = 34, kemudian tentukan persamaan
garis singgung melalui titik (-3, 5) pada lingkaran!
15. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 1)2 + (y + 6)2 = 5 yang melalui titik (2, -4)!
16. Garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (-3, 4) menyinggung lingkaran dengan pusat (10, 5)
dan jari-jari r. Tentukan nilai r!
© Aidia Propitious 8

9. 17. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui:
a. Titik (7, 5) pada x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0
b. Titik (-9, 3) pada x2 + y2 + 6x – 4y – 24 = 0
18. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berikut:
a. x2 + y2 = 25 dengan gradient – 2
b. x2 + y2 = 20 tegak lurus garis 2x + y – 5 = 0
c. (x + 2)2 + (y + 5)2 = 8 sejajar garis – 7x + 2y – 14 = 0
19. Garis 3x + y = p menyinggung lingkaran x 2 + y2 – 6x + 8y + 15 = 0. Tentukan:
a. Dua nilai p yang mungkin
b. Kedua titik singgung, kemudian tentukan persamaan lingkaran dengan titik-titik singgung itu
sebagai diameter.
20. Tentukan persamaan garis singgung yang:
a. Ditarik dari (9,0) pada lingkaran x2 + y2 = 36
b. Ditarik dari (-3, 1) pada lingkaran x2 + y2 = 8
21. Tentukan persamaan garis singgung yang:
a. Ditarik dari (5, -5) pada lingkarn x2 + y2 = 40
b. Ditarik dari (0, 2) pada lingkaran x2 + y2 – 8x – 4y + 16 = 0
22. Lingkaran x2 + y2 – 2px + q = 0 berjari-jari 2 menyinggung garis x – y = 0. Tentukan nilai p!
23. Tentukan persamaan lingkaran yang memiliki jari-jari dan menyinggung garis 2x – 3y + 1 = 0
pada (1, 1)!
24. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 4x – 10y + 20 = 0!
25. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2 + y2 + 6x – 8y – 24 = 0 dengan cara melengkapkan
kuadrat!
26. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (-1, 2), (7, -2) dan (8, 5)!
27. Bagaimana posisi titik-titik berikut terhadap lingkaran x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0?
a. (2, 9)
b. (-2, 5)
c. (3, -1)
28. Nyatakan apakah garis 3x + y = - 10 memotong lingkaran x2 + y2 – 8x + 4y – 20 = 0 di satu titik,
dua titik, atau tidak memiliki titik potong!
29. Dimanakah titik potong garis x – 2y – 8 = 0 dan lingkaran x2 + y2 – 12x + 6y + 29 = 0?
30. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (2, 2) pada lingkaran x2 + y2 = 8!
31. Tentukan persaman garis singgung yang melalui titik (-3, -4) pada lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y – 15 =
0!
32. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 3)2 + (y + 4)2 = 25 yang tegak lurus dengan
garis 3x + 4y – 8 = 0!
33. Tentukan persamaan garis singgung pada x2 + y2 = 36 yang melalui titik (8,0)!
34. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L x2 + y2 = 10 di titik (3,1)! Apabila garis
singgung tersebut juga menyinggung lingkaran L (x – 5) + (y – 11)2 = p2, hitunglah nilai p!
2
© Aidia Propitious 9

10. 35. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L x2 + y2 – 8x – 2y + 12 = 0 yang:
a. Bergradien 5
b. Membentuk sudut 30° terhadap sumbu X
c. Sejajar garis x + y – 8 = 0
d. Tegak lurus garis x + y – 8 = 0
© Aidia Propitious 10