Aljabar

www.aidianet.blogspot.com

ALJABAR

(Teori)

Pengertian Bentuk Aljabar dan Suku

Bentuk Aljabar : 4a, – 5a2b, 2p + 5 , dll.
Suku satu : 2p
Suku dua : 2p + 5
Suku tiga : 2p + 5 – 7y2

Bentuk Aljabar : – 7xy  Koefisien: – 7  Variabel: xy

Bentuk Aljabar : 12x2 – 9x + 7xy – 8y – 4x2 + 5y
Suku sejenis : 12x2 dengan – 4x2 ; – 8y dengan 5y

(Contoh Soal)

1. Tentukan banyak suku pada bentuk aljabar berikut ini!
a. 7a + 8 : 2 suku (7a dan 8)
b. 4a – 5a + 2ab : 2 suku (–a dan 2ab)
c. 3x + 7y + 4 : 3 suku (3x, 7y, dan 4)
d. 2x4 – 5x3 – 4x2 + 7x : 4 suku (2x4, 5x3, 4x2, dan 7x)
e. 4x – 6x + 2y – 5y : 2 suku (–2x dan –3y)
f. 9x3 – 4y2 – 6x3 + 2y2 – 8y : 3 suku (3x3, –2y2, dan 8y)
g. x2 – 5x + 4xy + 8y – 7y2 : 5 suku (x2, 5x, 4xy, 8y, dan 7y2)
h. 6x3 + 2y2 – 5x3 – 3y2 – 4y : 3 suku (x3, –y2, –4y)

2. Tentukan suku–suku sejenis pada bentuk aljabar berikut ini!
a. 6a – 5ab + 12a – 10 : 6a dan 12a
b. 9k + 8m – 4km – 15k + 7km : 9k dan -15k ; –4km dan 7km
c. 7p2 – 8p2q – 11p2 + p2q + 12pq2 : 7p2 dan -11p2 ; –p2q dan p2q
d. 10x3 – 5x3y2 – 4x3 + 15y2 + 8x2y3 – 17y2 : 10x3 dan -4x3 ; 15y2 dan –17y2

Operasi Hitung Aljabar

Penjumlahan dan Pengurangan
 Hanya dapat dilakukan pada suku–suku yang sejenis
 Hasil penjumlahan dan pengurangan dapat disederhanakan dengan cara mengelompokkan dan
menyederhanakan suku–suku sejenis

(Contoh Soal)

1. Sederhanakan bentuk–bentuk aljabar berikut ini!
a. 7a + 2a – 4a = 5a

© Aidia Propitious 1


b. 7a – 10a = –3a
c. – 4p + 12p = 8p
d. 8a – 10a + 14a = 12a
e. – 15p + 9p – 18p = –24p
f. 9x + 6y – 10y – 8x = (9x – 8x) + (6y – 10y) = x – 4y
2 2
g. – 6y – 8y – 14y – 9y = (–6y2 – 14y2) + (-8y – 9y) = –20y2 – 17y
h. x2 + 8y2 – 16 + 10x2 – 7y2 + 11 = (x2 + 10x2) + (8y2 – 7y2) + (-16 + 11) = 11x2 + y2 – 5
i. 10x2 – 3xy – 5y2 – 18x2 + 5xy + y2 = (10x2 – 18x2) + (–5y2 + y2) + (–3xy + 5xy) = –8x2 – 4y2 +2xy

2. Tentukan jumlah dari:
a. 5a + 8 dan 8a + 3 = (8a + 5a) + (8 + 3)
= 13a + 11
b. 4p – 9q dan 7p + 16q = (4p + 7p) + (–9q + 16q)
= 11p + 7p
c. 2a + 8b – 9 dan 9a – 10b + 12 = (2a + 9a) + (8b – 10b) + (–9 + 12)
= 11a – 2b + 3
d. 6p – 5q – 2r dan – 8p + 6q + 9r = (6p – 8p) + (–5q + 6q) + (–2r + 9r)
= –2p + q + 7r
e. 8x2 + 10x – 21 dan 6x2 – 14x + 18 = (8x2 + 6x2) + (10x – 14x) + (–21 + 18)
= 14x2 – 4x - 3
f. 3x2 – 7xy – 2y2 dan – x2 + 6xy + 3y2 = (3x2 – x2) + (–7xy + 6xy) + (–2y2 + 3y2)
= 2x2 – xy + y2
g. 2(3x + 5y + 3) dan 4(2y – 3x + 6) = (6x + 10y + 6) + (8y – 6x + 24)
= (6x – 6x) + (10y + 8y) + (6 + 24)
= 18y + 30
h. 4(2x2 – 3x + 5) dan 3(4x2 + 2x – 7) = (8x2 – 6x + 20) + (12x2 + 6x - 21)
= (8x2 + 12x2) + (-6x + 6x) + (20 – 21)
= 20x2 – 1

3. Kurangkanlah:
a. 7a + 14 dari 9a + 12 = (9a + 12) – (7a + 14)
= (9a – 7a) + (12 – 14)
= 2a – 2
b. 9a – 10b dari 6a + 15b = (6a + 15b) – (9a – 10b)
= (6a – 9a) + (15b + 10b)
= –3a + 25b
c. 12p – 7q + 6 dari 15p + 18q – 17 = (15p + 18q – 17) – (12p – 7q + 6)
= (15p – 12p) + (18q + 7q) + (–17 – 6)
= 3p + 25q – 23
d. – 8p + 10q – 9r dari 4p – 11q – 9r = (4p – 11q – 9r) – (– 8p + 10q – 9r)
= (4p + 8p) + (–11q – 10q) + (–9r + 9r)
= 12p – 21q
e. 2x2 + 15x – 18 dari 11x2 – 17x + 9xy + 8y2 = (11x2 – 17x + 9xy + 8y2) – (2x2 + 15x – 18)
= (11x2 – 2x2) + (–17x – 15x) + 9xy + 8y2 + 18
= 9x2 – 32x + 9xy + 8y2 + 18
f. 4(3x + 5y – 7) dari 3(5x + 4y – 8) = (15x + 12y – 24) – (12x + 20y – 28)
= (15x – 12x) + (12y – 20y) + (–24 + 28)
= 3x – 8y + 4



g. – 5(4y2 – 2y + 8) dari 4(7y2 + 6y – 5) = (28y2 + 24y – 20) – (–20y2 + 10y – 40)
= (28y2 + 20y2) + (24y – 10y) + (–20 + 40)
= 48y2 + 14y + 20

Perkalian
1. x(x + k) = x . x + x . k = x2 + kx
2. x(x + y + k) = x . x + x . y + x . k = x2 + xy + kx
3. (x + p) (x + q) = x . x + x . q + p . x + p . q = x2 + (p + q) x + pq
4. (x + p) (x + q + r) = x . x + x . q + x . r + p . x + p. q + p . r = x2 + (p + q + r) x + p (q + r)

(Contoh Soal)

1. a (5a + 2) = 5a2 + 2a
2. 6a (3a2 – 7b) = 18a3 – 42b
3. 2a (5a – 4b + 7ab) = 10a2 – 8ab + 14a2b
4. – 3b (6a2 + 5ab – 4b2) = –18a2b – 15ab2 + 12b3
5. – 2pq (3p2 – 4pq – 7q2) = –6p3q + 12p2q2 + 14pq3
6. (x + 4) (x + 5) = x(x + 5) + 4(x + 5)
= x2 + 5x + 4x + 20
= x2 + 9x + 20
7. (x + 8) (x – 7) = x(x – 7) + 8(x – 7)
= x2 – 7x + 8x – 56
= x2 +x - 56
8. (3y – 4) (3y – 8) = 3y(3y – 8) – 4(3y – 8)
= 9y2 – 24y – 12y + 32
= 9y2 – 36y + 32
9. (6xy – 5) (4xy + 9) = 6xy(4xy + 9) – 5(4xy + 9)
= 24x2y2 + 54xy – 20xy – 45
= 24x2y2 + 34xy - 45
10. (10 – 3y) (7 + 3y) = 10(7 + 3y) – 3y(7 + 3y)
= 70 + 30y – 21y – 9y2
= 70 + 9y – 9y2
11. (3y2 + 5y) (3y2 – 7y) = 3y2(3y2 – 7y) + 5y(3y2 – 7y)
= 9y4 – 21y3 + 15y3 – 35y2
= 9y4 – 6y3 – 35y2
12. (x – 3) (x2 – 2x + 5) = x(x2 – 2x + 5) – 3(x2 – 2x + 5)
= x3 – 2x2 + 5x – 3x2 + 6x – 15
= x3 – 5x2 + 11x - 15
13. (3x – y) (x2 – xy + y2) = 3x(x2 – xy + y2) – y(x2 – xy + y2)
= 3x3 – 3x2y + 3xy2 – x2y + xy2 – y3
= 3x3 – 4x2y + 4xy2 – y3
14. (5x – y) (25x2 – 5xy + y2) = 5x(25x2 – 5xy + y2) – y(25x2 – 5xy + y2)
= 125x3 – 25x2y + 5xy2 – 25x2y + 5xy2 – y3
= 125x3 – 50x2y + 10xy2 – y3
15. (4x – 3y) (16x2 – 12xy + 9y2) = 4x(16x2 – 12xy + 9y2) – 3y(16x2 – 12xy + 9y2)
= 64x3 – 48x2y + 36xy2 – 48x2y + 36xy2 – 27y3
= 64x3 – 96x2y + 72xy2 – 27y3



Pembagian
 Hanya dapat dilakukan pada suku–suku yang sejenis
 Berlaku :
am an a m n dan a m : a n am n

(Contoh Soal)

1. 12ab : 3a = 4b
5 2
2. 12p : 3p = 4p3
3. a5b4 : a4b = ab3
4. 8a4b6 : 2a2b2 = 4a2b4
5. (a7 : a4) : a2 = a7 – 4 – 2 = a
7 6 2 7–4
6. a : (a : a ) = a = a3
7. 8x6 : (12x4 : 3x3) = 8x6 : 4x = 2x5
8. (3p3 . 4p4) : 6p5 = 12p7 : 6p5 = 2p2
9. p5q6 : (p4q5 : p2q4) = p5q6 : p2q = p3q5
10. 15p3q5r7 : (pr2 . 5q2r) = 15p3q5r7 : 5pq2r3 = 3p2q3r4
11. (4a2b3 . 5a3b4) : 10a4b4 = 20a5b7 : 10a4b4 = 2ab3
12. 12p6q9r4 : (8p4q2r5 : 2p2q4r4) = 12p6q9r4 : 4p2q-2r = 3p4q7r3
13. 8p3q2r . (15p5q7r4 : 5p2q4r3) = 8p3q2r . 3p3q3r = 24q-1
14. 32x5y8z4 : (2x3y2z . 8xy4z3) = 32x5y8z4 : 16x4y6z4 = 2xy2
15. 27x6y7z4 : (3x2yz3 . 3x2y3z2) = 27x6y7z4 : 9x4y4z5 = 3x2y3z-1

Pemangkatan
Perhatikan bentuk berikut ini:
3a2 = 3.a.a
(3a)2 = (3a) . (3a)
– (3a)2 = – (3a . 3a)
(– 3a)2 = (– 3a) . (– 3a)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

(a + b+ c)2 = a2 + b2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(Contoh Soal)

1. (4a)2 = 16a2
2. (– 5ab)2 = 25a2b2
3. – (5x2)3 = – (125x6)
= – 125x6
4. (– 5p2)3 = – 125p6
5. (5x2y3)4 = 625x8y12


6. (– 3x2)4 = 81x8
7. (10x3y2z)5 = 100000x15y10z5
8. (– x2y4z3)5 = –x10y20z15
9. (3x + y)2 = 9x2 + 6xy + y2
10. (8a – 3b)2 = 64a2 – 48ab + 9b2
11. (3a + b)3 = 27a3 + 3(9a2.b) + 3(3a.b2) + b3
= 27a3 +27a2b +9ab2 + b3
12. (2a – b)3 = 8a3 – 3(4a2.b) + 3(2a.b2) – b3
= 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3
13. (x + y – z)2 = x2 + y2 + z2 + 2xy – 2xz – 2yz
14. (4p – 3q + 8)2 = 16p2 + 9q2 + 64 – 2(4p.3q) + 2(4p.8) – 2(3q.8)
= 16p2 + 9q2 + 64 – 24pq + 64p – 48q
15. (5a2 – 4b2 – 7c2)2 = 25a4 + 16b4 + 49c4 – 2(5a2.4b2) – 2(5a2.7c2) + 2(4b2.7c2)
= 25a4 + 16b4 + 49c4 – 40a2b2 – 70a2c2 + 56b2c2

MENYEDERHANAKAN PECAHAN ALJABAR
Pecahan aljabar dapat disederhanakan bila:
Memiliki faktor yang sama
Bentuk aljabarnya dapat difaktorkan
Penyebut pecahan tidak boleh nol
Kadang-kadang harus digunakan lawan dari bentuk aljabar

(Contoh Soal)

Sederhanakan pecahan berikut!

- - -
1.

2.
– - –

– – –
3.

– – –
4.
– –

– - –
5.
- –



PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
Syarat pecahan aljabar dapat ditambah / dikurang adalah penyebutnya harus sama.

(Contoh Soal)

a 5 a 5
1.
2a 2a 2a

a 2a a 2a 3a
2.
a 3 a 3 a 3 a 3

3 4 3(x 3) 4 (x 10) 3x 9 4x 40 7x 49
3.
x 10 x 3 (x 10) (x 3) (x 10) (x 3) (x 10) (x 3)

3 2 3 2 3 2 (a 2) 3 2a 4 2a 7
4. 2
a 4 a 2 (a 4) (a 4) a 2 (a 4) (a 4) (a 4) (a 4) (a 4) (a 4)

x y x y
5.
3x 3x 3x

4 1 4 1 3
6.
x 3 x 3 x 3 x 3

2x 1 2(2x 1) 3(2x 1) 8(2x 1) 6x 3 16x 8 10x 11
7.
4 3 12 12 12

1 1 (a2 a) a2 a 1 1
8. 2 2 2 2 2 2
a a a a (a a) a (a a) a (a 2
a) 2
a (a 1)

PERKALIAN DAN PEMBAGIAN
Perkalian adalah mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut
Pembagian sama dengan mengalikan pecahan dengan kebalikannya

(Contoh Soal)

2a 6b 12ab 4
1. 2
3b a 3a2b a

a 3b 3ab 3a
2.
b b 2 b (b 2) b 2

a2 9 a a (a 3) (a 3)
3. a 3
a a 3 a (a 3)

a 2b2 8b 2ab (b 4) 1
4.
b2 16 4ab 4ab(b 4) (b 4) 2 (b 4)



2a 4a2 2a 6 12a 1
5. :
3 6 3 4a2 12a2 a

a 2a a a 3 a (a 3) a (a 3) a 3
6. :
a 2 a 3 a 2 2a 2a (a 2) 2a (a 2) 2a 4

a4a a 3a 3 a (3a 3) 3a (a 1) 3
7. :
a 1 3a 3 a 1 4a 4a (a 1) 4a (a 1) 4

2b 8b 8ab 2b b 3 2b (b 3) 1
8. :
b2 9 b 3 b2 9 8b 8ab 8b (1 a) (b 3) (b 3) 4 (1 a) (b 3)

FAKTORISASI
menyatakan bentuk penjumlahan suku–suku menjadi bentuk perkalian faktor–faktor.

Hukum Distributif

a (b c) a.b a.c

(Contoh Soal)

1. 4a + 8 = 4 (a) + 4 (2) = 4 (a + 2)

2. 9p3 + 18p5 = 9p3 (1) + 9p3 (2p2) = 9p3 (1 + 2p2)

3. 4x2y + 6xy2 – 8x2y2 = 2xy (2x) + 2xy (3y) + 2xy (– 4xy) = 2xy (2x + 3y – 4xy)

4. p (p + q) – 2q (p + q) = (p + q) (p) + (p + q) (– 2q) = (p + q) (p – 2q)

5. 2a – 2b + ac – bc = 2 (a – b) + c (a – b) = (a – b) (2 + c)

Bentuk x2 + 2y + y2 dan x2 – 2xy + y2

 Suku pertama & suku ketiga bentuk kuadrat
 Suku tengah hasil kali 2 terhadap akar kuadrat suku pertama & akar kuadrat suku ketiga

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
x2 – 2xy + y2 = (x – y)2

(Contoh Soal)

1. a2 + 10a + 25 = (a)2 + 2 (a) (5) + (5)2 = (a + 5)2

2. x2 – 18x + 81 = (x)2 – 2 (9) (x) + (9)2 = (x – 9)2

3. 4a2 + 12ab + 9b2 = (2a)2 + 2 (2a) (3b) + (3b)2 = (2a + 3b)2



4. 16x2 – 56xy + 49y2 = (4x)2 – 2 (4x) (7y) + (7y)2 = (4x – 7y)2

Selisih Kuadrat

x2 y2 (x y) (x - y)

(Contoh Soal)

1. a2 – 9 = a2 – 32 = (a + 3) (a – 3)

2. 25x2 – 36y2 = (5x)2 – (6y)2 = (5x – 6y) (5x + 6y)

3. 25x2 – 9(x–y)2 = (5x)2 – [3(x – y)]2 = (5x – 3[x – y]) (5x + 3[x – y])
= (5x – 3x + 3y) (5x + 3x – 3y)
= (2x + 3y) (8x – 3y)

4. x4 – 16y4 = (x2)2 – (4y2)2 = (x2 – 4y2) (x2 + 4y2)

5. 3x4 – 243 = 3 (x4 – 81) = 3 [(x2)2 – (9)2] = 3 (x2 – 9) (x2 + 9)

Bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1

x2 + bx + c = (x + p) (x + q)
dengan c = p . q dan b = p + q

(Contoh Soal)

1. x2 + 10x + 16  16 = 2 x 8 dan 10 = 2 + 8  (x + 2) (x + 8)

2. x2 – 9x + 18  18 = – 3 x – 6 dan –9= –3+–6  (x – 3) (x – 6)

3. p2 – 9pq – 10q2  – 10q2 = – 10q x 1q dan – 9q = – 10q + 1q  (p – 10q) (p + q)

Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1

ax2 + bx + c = ax2 + (p + q)x + c
dengan p . q = a . c dan b = p + q

(Contoh Soal)

1. 6x2 – 11x + 3  6 . 3 = 18 = – 2 x – 9 dan – 11 = – 2 + – 9  (3x – 1) (2x – 3)

2. 12x2 – 17xy – 5y2  12 . 5y2 = 60y2 = – 12y x – 5y dan – 17y = – 12y + – 5y
 (12x – 5y) (x – y)

3. 9x2 + 14xy – 8y2  9 . 8y2 = – 72y2 = 18y x – 4y dan 14y = 18y + – 4y
 (9x – 4y) (x + 2y)


Aljabar

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Mais de Aidia Propitious

Mais de Aidia Propitious (20)

Último

Último (8)

Aljabar