1. Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Гимназия № 1» г. Саратова
Замечательное свойство треугольной пирамиды
Подготовил ученик 7 «Б» класса
МОУ «Гимназия № 1» г. Саратова
Бушкин Максим.
Руководитель: учитель математики
высшей категории МОУ «Гимназия № 1»
г. Саратова Распарин В.Н.
Саратов, 2009
1

2. Введение.
Целью работы является поиск доказательства утверждения-гипотезы: «Если суммы
плоских углов при каждой вершине пирамиды равны 180º, то ее грани равные
треугольники».
Тема работы выбрана не случайно. Ее актуальность вытекает из демонстрации тесной
связи свойств плоской фигуры (треугольника) и пространственного объекта (треугольной
пирамиды).
В процессе проведения исследования кроме известных теорем геометрии 7 класса мне
пришлось познакомиться с определением понятий пирамиды, тетраэдра, правильного
тетраэдра и элементов их образующих, с понятием развертки пирамиды.
Выстроена логическая цепочка взаимосвязанных утверждений, некоторые из которых
доказаны оригинальными способами, не отраженными в известной учебно-методической
литературе (свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе,
свойство средней линии треугольника).
Задача, предложенная учителем («Как из шести спичек сложить четыре равных
треугольника?») подвела меня к созданию объекта исследования. Сформулирована
гипотеза, согласно которой грани пирамиды равны, если суммы плоских углов при
каждой ее вершине равны 180º.
Пошаговое доказательство утверждений – звеньев логической цепочки привело к тому,
что гипотеза стала неоспоримым фактом.
2

3. Глава I.
Как из шести одинаковых спичек сложить четыре равных треугольника? Однажды на
уроке такую задачу нам предложил учитель математики. Решение задачи было найдено.
Но оно оказалось неожиданным для многих одноклассников, так как различные
перекладывания спичек на плоскости стола не давали требуемого результата. Фигура,
составленная из четырех равных треугольников, оказалась пространственной, а название
её – треугольная пирамида (точнее – тетраэдр, еще точнее – правильный тетраэдр).
Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое
геометрическое тело, будем называть многогранником.
Рассмотрим некоторый треугольник ABC и точку D, не лежащую в плоскости этого
треугольника. Соединим эту точку с вершинами треугольника ABC.
Многогранник, составленный из треугольников АВС, АВD, BCD и ACD называется
треугольной пирамидой DABC..При этом треугольник АВС – основание пирамиды, а
остальные треугольники – боковые грани полученной пирамиды.
Точка D – вершина пирамиды, а отрезки DA, DB, DC – её боковые рёбра.
Причем, все грани полученного тетраэдра – равносторонние треугольники, следовательно
суммы плоских углов при каждой вершине тетраэдра равны 180º.
В процессе решения задачи на плоскости нам не хватало трёх спичек. И мы думали что,
задачу нельзя решить.
Теперь представим, что пирамида сделана из плотной бумаги или картона. Тогда её
удобно «развернуть» - то есть сделать развёртку пирамиды.
3

4. Ясно, что развёртка будет состоять из четырех равных равносторонних треугольников, а
точки А, С, и В – будут серединами сторон D1D2, D1D3 и D2D3 соответственно
треугольника D1D2D3.
4) Теперь попробуем ответить на вопрос: «Равны ли все грани любой треугольной
пирамиды, у которой сумма плоских углов при каждой вершине равны 180º»
Если рассмотреть развёртку этой пирамиды то мы получим треугольник D1D2D3, в
котором точки А, В и С будут являться серединами сторон D2D3, D1D3 и D1D2
соответственно.
Встаёт вопрос: «Как доказать равенство четырёх треугольников – граней пирамиды?»
В ходе поиска решения появилось предположение, что АВ=СD1=CD2, AC=D1B=D3B,
BC=AD3=AD2. Ведь при выполнении этих условий все треугольники будут равны по
третьему признаку равенства треугольников! Но как это доказать?
Глава II.
Докажем теорему: «Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к
гипотенузе, равна её половине».
Пусть медиана СМ=m, AB=c, тогда АМ=с/2, ВМ=с/2. Возможны три случая
взаимоотношения m и с:
1) m<c/2; 2) m>c/2; 3) m=c/2.
Допустим, что m›c/2. Тогда в треугольнике АМС из неравенства m›c/2 следует
неравенство ρ>π (*). Аналогично в треугольнике ВМС: m>c/2 => ν>β (**). Из неравенств
4

5. (*) и (**) следует, что ρ+ν >π+β, то есть ρ+β >90º, что противоречит свойству
прямоугольного треугольника.
Предположив, что m<c/2, получим ρ+ν<90º, что также противоречит свойству
прямоугольного треугольника.
Следовательно, утверждение m=c/2 доказано.
Теперь решим следующую задачу.
Пусть точки М и N – середины гипотенузы АВ и катета АС соответственно
прямоугольного треугольника АВС
Доказать: а) МN||BC; б) MN=1/2ВС
Решение
1) Соединим точки С и М. СМ – медиана треугольника АВС проведенная к гипотенузе
АВ и поэтому СМ =1/2 АВ.
5

6. 2) МN – медиана равнобедренного треугольника АМС (АМ=МС) значит, MN
перпендикулярна АС.
3) Так как ВС | AC и МN | АС, то ВС||MN и первое утверждение доказано.
4) Пусть МH перпендикулярна СВ и МН∩СВ=Н.
5) МН ┴ВС, АС┴СВ = >МН||АС= > <1=<2 и треугольник CNM=MHC (по гипотенузе и
острому углу). Следовательно, MN=CH. Но СН=НВ. Поэтому МN=1/2 CB и второе
утверждение доказано.
Заметим, что NH=MB,
если соединить точки N и Н, то NCH = MHB => =>
<NHC=< MBH.
NH=1/2АВ, То есть NH||AB и NH=1/2АВ.
=>
NH||AB.
Представим, что точки М и N – середины сторон произвольного треугольника АВС
(АВ и ВС соответственно).
Докажем: 1) MN||AC; 2) MN=1/2АС.
Решение
1) Пусть ВН ┴АС, ВН∩АС=Н, ВН∩MN=P. Является ли точка Р серединой высоты ВН?
Если да, то учитывая результат предыдущей задачи, легко получить требуемое.
2) Допустим что это не так и какая-то точка Х, отличная от точки Р, есть середина отрезка
ВН. Тогда МХ||АН, а значит, МХ||АС и ХN||AC.То есть через точку Х проходит две
прямые, параллельные прямой АС, что противоречит аксиоме параллельных прямых.
Следовательно, наше предположение о том, что точка Х середина отрезка ВН не верно, а
верно то что точка Р – середина отрезка ВН.
3) Итак, МР||АС, РN||АС, то есть МN||AC.
4) МР=1/2АN (*), PN=1/2НС (**) (из треугольников АВН и НВС соответственно).
Сложив почленно равенства (*) и (**), получим, что МN=1/2 АС.
Таким образом, задача решена.
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией
этого треугольника.
Очевидно, что мы доказали теорему о средней линии треугольника: «Средняя линия
треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны».
Ясно, что в треугольнике можно провести три средних линии.
Глава III.
Теперь вернемся к развертке треугольной пирамиды, у которой суммы плоских
углов при каждой вершине равны 1800.
6

7. Очевидно, что отрезки AC, AB и BC– средние линии треугольника D1D2D3.
По свойству средней линии треугольника AC=D3B=BD1, АВ=D2C=CD1,
BC = D3A=AD2. Таким образом, треугольники, составляющие развертку пирамиды равны!
Итак, мы доказали, что все грани треугольной пирамиды, у которой суммы плоских
углов при каждой вершине равны 1800, равны.
Заключение.
В ходе исследования целенаправленно решены следующие задачи:
1) Из четырех равных отрезков сложены четыре равных треугольника, образующих
правильный тетраэдр.
2) Доказаны взаимосвязанные утверждения о свойстве медианы прямоугольного
треугольника и о свойстве средней линии треугольника.
3) Стереометрическая задача сведена к планиметрической посредством
использования развертки геометрического тела, использование которой позволило
доказать справедливость предположения о том, что если суммы плоских углов при
каждой вершине пирамиды равны 180º, то ее грани – равные треугольники.
Цель работы достигнута. В дальнейшем я хочу попытаться ответить на такие вопросы:
1) Сколько разных тетраэдров можно получить из данной развертки?
2) Равны ли между собой грани тетраэдра, если их периметры равны?
3) Доказать, что у произвольного тетраэдра есть хотя бы одна вершина, все плоские
углы которой острые.
4) Доказать, что всякий остроугольный треугольник с проведенными в нем средними
линиями можно рассматривать как развертку тетраэдра, у которого ребрами служат
средние линии и отрезки сторон треугольника, по которым произведен разрез его
ребер. Почему существенно требование, чтобы треугольник был остроугольным?
7

8. Использованная литература.
1) Геометрия, 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений/ Л.С.
Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2003.
2) Геометрия, 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений/ Л.С.
Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б Кадомцев и др. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2004.
3) Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике: Книга
для учителя/ В.Н. Березин, Л.Ю. Березина, И.Л. Никольская – М.: Просвещение,
1985.
8