1. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
Chapitre I
Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
I. Introduction
La physique de base nous enseigne que les états de la matière sont l’état gazeux, liquide
et solide. Mais de nombreuses substances organiques ne présentent pas une transition unique
entre l’état liquide et solide mais plusieurs transitions faisant apparaître des états
intermédiaires. Les mésophases ou plus communément cristaux liquides, qui présentent un
état de la matière qui combine des propriétés d’un liquide conventionnel et celles d’un solide
cristatallisé. Il ce caractérise par un empilement régulier de molécule atomes ou ions sur un
réseau périodique dans les trois directions de l’espace.
Il y a deux grandes classes de cristaux liquides : thermotrope et lyotrope, les
thermotropes changent de phase en fonction de la température. Tandis que les lyotropes sont
sensibles à la concentration et à la température [8,22].
Les différentes phases des cristaux liquides se distinguent
optiques
par leurs propriétés
différentes comme la biréfringence, qu’on peut observer
facilement entre
polariseurs croisés par les textures qui se forment et par les défauts caractéristiques de ces
matériaux. Lorsque l’architecture des entités moléculaires considérées est plane, on observe
des phases colonnaires ou les molécules plates sont schématisées par des disques.
II. Les cristaux liquides colonnaires
II.1.a. Structure d’une mésophase discotique
Notre intérêt l’intérêt porte sur les recherches dans le domaine des mésophases
colonnaires, découverte en 1977 par Chandrasekhar [1,23], de cristaux liquides obtenus à
partir de molécules organiques en forme de disque. Ces molécules discotiques s’empilent les
unes sur les autres pour former des colonnes de longueur indéfinie, ces colonnes s’organisent
2

2. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
selon
divers réseaux cristallins bidimensionnels, et le désordre positionnel dans chaque
colonne est plus ou moins prononcé. Les colonnes sont donc en général formées par
l’association d’un grand nombre de molécule avec des types variés de leur arrangement
géométrique; la dimension latérale des colonnes est de l’ordre de quelque nanomètre et elle
est comparable aux dimensions moléculaires. La diffraction des rayons X aux petits et aux
grands angles (de Bragg) permet de décrire précisément l’arrangement moléculaire au sein
des édifices lamellaires ou colonnaires de ces phases fluides [2]. Les mésophases colonnaires
sont stables thermodynamiquement sur un très grand intervalle de température. Elles adoptent
une structure correspondant à l’empilement des cœurs aromatiques en colonnes latéralement
arrangées selon un réseau hexagonal. Leur cœur aromatique est plat et rigide. Il est entouré
par plusieurs chaînes flexibles aliphatiques de longueurs variables et des groupes dipolaires
qui lient les chaînes au cœur et qui renforcent les interactions attractives entre les molécules
voisines (figure I.1).
Dans cette mésophase, les disques s’empilent les uns sur les autres en colonnes
formant un réseau régulier (Figure .I.2). A l’intérieur de la colonne, les disques gardent une
certaine liberté de mouvement qui varie selon le type de phase et perdent cette liberté pendant
la cristallisation. Les distances entre les molécules présentent des variations importantes avec
la température et les colonnes peuvent se déplacer les unes par rapport aux autres.

n
Noyau rigide
Chaînes flexibles
aliphatiques
Figure .I.1 : La molécule mésogène discotique
3

3. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
Figure. I.2 : Aspect général des molécules discotiques formant
un réseau hexagonal
II.1.b Nomenclature
Toute molécule discotique qui donne un empilement de disques moléculaires dans sa
phase colonnaire sera notée D. Le réseau des colonnes sera décrit par un indice en bas et à
droite.
On note par exemple :
h = hexagonal
r = rectangulaire
(Figure.I.3)
Un deuxième indice indique, pour une même colonne, l’ordre (o = ordonné) ou le désordre (d
= désordonné) des molécules dans leur empilement (Figure.I.4) [16, 18,17].
(b)
(a)
Figure. I.3 : (a) Réseau hexagonal
(b) Réseau rectangulaire
4

4. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
(a)
(b)
Figure. I.4 :
(a) Mésophase colonnaire ordonnée
(b) Mésophase colonnaire désordonnée
La connaissance de la structure des matériaux dans leurs différentes phases est une étape
essentielle pour l’analyse de leurs propriétés. Sous microscope polarisant, l’état cristal liquide
colonnaire se laisse identifier par ses textures caractéristiques et ses défauts typiques.
II.2.a Structure d’une mésophase phasmidique
La corrélation entre la forme des molécules et la symétrie des mésophases n’a pas été
démentie jusqu’à la découverte de Malthête et al. en 1985, d’une nouvelle classe de
mésogènes thermotropes, les phasmides [3,18,24] (nom donné à l’époque pour la
ressemblance existant entre ces molécules et les phasmes, insectes sans ailes dont le corps
allongé ressemble à des brindilles) qui correspondent à des mésogènes hybrides, entre
discotiques et calamitiques (Figure I.5). En effet, ces molécules comportent une partie
allongée et trois chaînes paraffiniques sur chaque cycle terminal rigide.
5

5. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
II.2.b. Nomenclature
Le nombre des mésogènes po1ycaténaires synthétisés est tellement important, que le
problème de leurs nomenclatures a été posé. On a résolu ce problème en se basant sur le
nombre (six, cinq, quatre, trois ou deux) et sur les positions possibles des branchements (ortho
"o", méta "m "ou para "p") des chaînes paraffiniques. Ces mésogènes ont été appelées
respectivement hexa-, penta-, tétra-, tri- et bicaténaires. En particulier, les bicaténaires sont
les mésogènes classiques qu'on appelle nématiques. Pour distinguer les différents isomères,
on marque à chaque extrémité le numéro et les positions des chaînes paraffiniques [4].
II.3 Défauts dans une mésophase colonnaire
a. Domaines développables
Un des types de défauts, observés dans les cristaux liquides colonnaires hexagonaux
discotiques au phasmidiques, sont les domaines développables. Dans ces configurations, M.
Kléman considère que le réseau hexagonal est localement conservé [20,21].
Ces domaines sont obtenus en considérant une surface Σ et la famille des demi-plans
tangents à cette surface, les colonnes décrivent des lignes
perpendiculaires à cette famille.
a. Exemples de domaines développables
Le plus simple est celui que l’on obtient en prenant pour surface développable Σ un
cylindre de révolution de rayon ro, les colonnes moléculaires décrivent alors les
développantes d’un cercle de rayon ro. Une telle configuration équivaut à une ligne dièdre de
rang S=1/2.
Nous appellerons les lignes S1d celles pour lesquelles r0 # 0. Si r0 =o (c.à.d si la surface
développable est dégénérée en une droite) nous les appellerons des lignes S 1c. Dans ces
6

6. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
conditions les colonnes moléculaires ont la forme de cercles concentriques. Lorsque la
surface développables est un demi-cylindre de rayon r0, on obtient une ligne de rang S=1/2.
Nous appellerons lignes S1/2d celles pour lesquelles r0 # 0 et S1/2c celles avec r0 = 0 (Figure.
I.6) [19].
r0
rc
rc
c
(b)
(a)
r0
rc
rc
(c)
(d)
Figure .I.6
: Schéma de quelques types de domaines développables
(a) ligne S1d ; (b) ligne S1c ; (c) ligne S1/2d ; (d) ligne S1/2 c
III. Milieux optiquement anisotropes
III.1. Définition
Dans un milieu anisotrope, les propriétés optiques et l’indice de réfraction, vus par

l’onde électromagnétique, dépendent de la direction de propagation du vecteur d’onde K . A
partir des équations de Maxwell, on peut montrer que pour une direction de propagation
7

7. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire

donnée K , il existe dans ce cas deux indices de réfraction possible. Ces indices de réfraction
sont associés à deux ondes électromagnétiques ayant des états de polarisation.
III.2. Propagation d’une onde électromagnétique polarisée rectilignement dan un milieu
anisotrope.
a. Rappels sur les propriétés de la lumière
La lumière est une forme d’énergie, tout comme l’électricité ou la chaleur. Elle est
composée de minuscules particules que l’on appelle photons et se déplace sous forme d’onde.
La lumière est en fait générée par les vibrations des électrons dans les atomes. Il s’agit d’un
mélange d’ondes électriques et magnétiques : on dit que la lumière est une onde
électromagnétique [9].

Ses ondes électromagnétiques sont définies par son vecteur d’onde K , par son champ


électrique E qui génère son vecteur déplacement électrique D et par son champ magnétique


B qui génère son vecteur déplacement H qui correspond à l’excitation magnétique. Les
 

 
vecteurs D , H et K sont associés à la propagation de l’onde avec ( D , H ) est le plan d’onde
 
et ( D , K ) est le plan de polarisation. Ils forment ensembles un trièdre directe intrinsèque à
 


l’onde. Par contre, les vecteurs E , H et R sont associés au rayon lumineux, où R est le
  
vecteur de Poyting défini par la relation R E H , il nous renseigne sur la propagation
de l’énergie et son module mesure, à une constante près, l’énergie du flux électromagnétique
par unité de surface (Figure.I.7).
8

8. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
D
E

K

H
R
B



D et H = plan d’onde






- E et B = plan de vibration - D et K = plan de polarisation
Plan de polarisation
(O, x, z)
E (t = 0, z)
D
x
yO
B
H
z
E direction de la vitesse de phase
normale
R rayon lumineux
direction de la vitesse radiale
Plan d’onde (O, x, y)
Figure. I.7
9
P

9. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
α. Polarisation de la lumière
La lumière naturelle est un mélange aléatoire et très rapidement variable d’onde
linéairement polarisée dans toutes les directions. Polariser une onde électromagnétique

correspond à donner une trajectoire bien définie du champ électrique E . Cette trajectoire est
elliptique dans le cas de la lumière naturelle.
Une onde électromagnétique est dite polarisée rectilignement si son vecteur champ électrique

E est constamment parallèle à une même direction de polarisation Dp.
β. Méthodes de production d’une lumière polarisée
Il y a plusieurs façons d’obtenir une source de lumière polarisée, le plus simple consiste à
utiliser une feuille polarisante. Cette feuille polarisante constituée de longues molécules toutes
orientées dans la même direction et figées dans une matrice plastique. Ces molécules
absorbent efficacement une onde lumineuse dont le champ électrique oscille parallèlement à
la direction des molécules et ainsi la lumière est polarisée rectilignement.
Nous allons nous intéresser à la propagation de la lumière polarisée à travers la matière.
a. Interaction entre la lumière et la matière
Quand un champ électromagnétique oscillant traverse un milieu matériel et excite de
façon non uniforme le milieu, il crée une polarisation P non uniforme oscillant qui fait
apparaître une densité de charge et une densité de courant de polarisation qui traduisent la



réponse du milieu. Cette polarisation P1 s’ajoute à la polarisation du vide Po = o E pour

donner le champ D au matériau tel que :



D = P1 + Po
Dans un milieu linéaire et anisotrope, la relation entre D et E est tensorielle.
On écrit :
Di =
ijEj
10
avec i,j = x,y,z

10. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
Avec
ij
est la tenseur permittivité diélectrique
On définit également le tenseur des susceptibilités
tel que la densité de polarisation
s’écrive :
Pi =
Tel que :
ij
= 1+
ij Ej
ij
α. Symétrie des propriétés optique : Tenseur des indices
L’optique des milieux matériels continus repose sur les équations de Maxwell
macroscopiques pour décrire la propagation d’une onde électromagnétique :
 
rotE

B
t
 
rotH

D
t
;

divB
0

divD
;
0

A l’interieur de tel matérériau, la relation constitutive entre le vecteur induction électrique D

et le vecteur champ électrique E s’écrit :

Comme D =
Avec
r:
o(

1 + )E
alors

D =

o

E
=
rE
permittivité diélectrique relative du matériau et
o : permittivité
de vide
Parmi ces équations, l’anisotropie du milieu supposé linéaire se traduit uniquement par la
relation suivante :

D =
Où

E
est le tenseur de permittivité diélectrique ; c’est un tenseur de rang 2, matrice 3*3.


Dans une base quelconque, E et D ne sont pas colinéaires on aura alors :

D
12
13
21
22
23
31
11
11
32
33

E

11. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
 
Comme le travail élémentaire dW = E d D est une différentielle totale, le tenseur
symétrique ce qui donne
ij
=
ji,

la relation D =
est

E fait intervenir en fait 6 constantes.
Par des considérations mathématiques, il est possible de choisir un système d’axes particulier
dans lequel, on peut exprimer
sous la forme :
0
0
0
= 0
0
0
y
x
z
Et par suite :
x
0
0
0
y
0
0

D =
0
z

E
Dans ce système les axes x, y, et z sont appelés les axes principaux ou axes de symétrie
électrique du milieu et les constantes
x,
y
et
z
sont les constants diélectriques principales.
Comme l’indice de réfraction est donné par la relation suivante :
n =
r
=
o
On peut définir également les indices principaux du milieu par :
nx =
x
; ny =
y
; nz =
o
o
o
Et par suite, on peut réécrire :
2
nx

D = 0
0
12
0
2
ny
0
0
0
n z2
z
o

E

12. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
2
nx
0
0
0
0
Avec :
0
2
ny
0
n z2
= n 2 : Tenseur des indices
β. Equation aux indices et directions privilégiées
L’équation aux indices dérive des équations de Maxwell, elle permet de calculer
l’indice n dans une direction repérée par les cosinus directeurs Nx, Ny, Nz de la normale au


plan d’onde. En posant k = k N , connaissant les indices n1, n2, n3 qui caractérisent le milieu
anisotrope, L’équation aux indices est donné par :
n12
n
2
2
1
n
N x2 +
2
n2
n
2
n
2
2
2
Ny +
2
n3
n
2
2
3
n
N z2 = 0
C’est une équation bicarrée en n ; elle peut donc avoir quatre racines réelles, dont seules les
deux racines positives possibles nous intéressent ; ces deux racines sont en général distinctes,
l’une n ' est comprise entre n1 et n2 et l’autre n '' est comprise entre n2 et n3.
Pour une orientation donnée du plan d’onde, il existe deux vibrations rectilignes D’, D’’de
directions rectangulaires qui peuvent se propager sans altération dans le milieu anisotrope. A
ces deux vibrations correspondent deux indices n ' et n '' différents et par conséquent deux
vitesse de propagation v ' =
c
c
et v '' = '' différentes.
'
n
n
Les deux vibrations D ' , D '' se propagent suivant des plans d’onde parallèles et elles
présentent une certaine différence de phase. La vibration résultante de la composition des
vibrations rectilignes D ' et D '' est en général une vibration elliptique (Figure. I.8).
13

13. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
D1
D1'
D1
P1
D
D
D'
P
Figure I.8
III.3 Représentation du tenseur des indices
a. Surface des indices et axes optiques
Pour représenter géométriquement les variations de l’indice en fonction de
l’orientation du plan d’onde, nous porterons à partir d’une origine O et dans une direction
parallèle à celle de la normale à l’onde, deux longueurs ON ' et ON " égales aux deux indices
n ' et n " . En répétant cette opération pour toutes les directions du plan d’onde, l’ensemble des
points N ' et N " décrit une surface à deux nappes appelée surface des indices.
L’intersection de la surface des indices avec un des plans de symétrie optique se compose
d’un cercle dont le rayon est égal à l’indice principal de l’axe normal au plan principal
considéré et d’une ellipse dont chaque demi-axe est égal à l’indice principal correspondant à
l’autre demi axe.
Comme la surface des indices possède deux nappes, il en résulte que leur intersection
se produit en des points I, I’, J et J’ isolés de telle sorte que les directions OI et OI’ définissent
les axes optiques du milieu anisotrope (Figure. I.9).
14

14. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
Z
n1
n2
I’
O
I
n3
J’
X
J
Figure. I.9
Lorsque la normale N au plan d’onde coïncide avec un axe optique, les indices n ' et n " sont
égaux ; les deux vibrations privilégiées D ' et D " se propagent alors à la même vitesse. Il en
résulte que l’onde se conserve au cours de sa propagation.
Si l’un des indices principaux est dégénéré (c.à.d. deux valeurs identiques dans le tenseur des
indices), le milieu a un seul axe optique, est dit un milieu uniaxe.
b. Ellipsoïde des indices et milieux uniaxes
α. Ellipsoïdes des indices
On peut représenter géométriquement les variations de l’indice du milieu en fonction
de la direction de vibration. Pour cela on introduit l’ellipsoïde des indices : C’est la surface
obtenue en partant d’une origine donnée o, dans la direction correspondant à la direction de
vibration.
L’équation d’ellipsoïde d’indice s’écrit sous cette forme :
x2
n12
15
+
y2
2
n2
+
z2
=1
2
n3

15. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
Où
n1, n2, n3 sont les indices principaux.

ex
n1
O
n3

ez
n2

ey
Figure. I.10: Ellipsoïde des indices
β. Milieux uniaxes
Dans les milieux uniaxes, deux des trois indices principaux sont égaux. Les cristaux
trigonaux, tétragonaux, et hexagonaux (qui ont un axe de symétrie d’ordre
Dans le cas où l’axe oz est l’axe optique, on note alors :
no = nx=ny et ne = nz
no : est appelé l’indice ordinaire
ne : est appelé l’indice extraordinaire
Le tenseur diélectrique s’écrit alors :
=
16
3) sont uniaxes.

16. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
Suivant les valeurs relatives de l’indice ordinaire no et extraordinaire ne, on distingue deux
cas :
 Le milieu uniaxe est dit positif si ne no (exemple : le quartez)
 Le milieu uniaxe est dit négatif si no ne (exemple : la calcite)
La différence
est appelé la biréfringence.
IV. Ellipsoïde des indices dans un milieu uniaxe
Dans les milieux uniaxes, deux des indices principaux sont égaux. L’équation de
l’ellipsoïde des indices s’écrit :
x2
y2
2
n0
+
z2
n e2
= 1
Où l’axe oz est l’axe optique :
no= nx= ny et ne= nz
On désigne par l’indice ordinaire no la valeur commune de deux premiers indices et par
l’indice extraordinaire ne la valeur du troisième indice.
a. Ellipsoïde des indices, onde ordinaire et extraordinaire
Une onde incidente se propageant dans un milieu anisotrope, dans une direction définie



par le vecteur d’onde K , donne lieu à deux ondes de vecteurs d’onde K et K . Ces deux
ondes planes polarisées rectilignement, qui se propagent dans le milieu, se comportent
différemment.
On obtient une onde dite ordinaire pour laquelle l’indice de réfraction est no et les vecteurs



Do et E sont colinéaires ( Do est perpendiculaire au plan formé par la direction de
propagation et l’axe optique du cristal) [5].
17

17. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
On obtient également une autre onde dite extraordinaire pour laquelle l’indice de réfraction
ne(θ) dépend de la direction de propagation, θ étant l’angle entre K et l’axe optique. Pour cet



angle, les vecteurs E et De ne sont pas colinéaire ( De est perpendiculaire au plan formée par

Do et la direction de propagation) [5].
Les directions de vibration qui peuvent se propager sans altération (pour une direction du plan
d’onde) sont les directions qui correspondent aux axes de l’ellipse d’intersection du plan
d’onde avec l’ellipsoïde des indices (figure. I.11). Les indices correspondants sont égaux aux
demi-longueurs des axes de l’ellipse
Figure .I.11 : Ellipse d’intersection entre l’ellipsoïde et le plan d’onde


Les vecteurs Do et De , sont orthogonaux, les deux vibrations se propagent à des vitesses
différentes vo et ve et mettent des temps différents pour passer d’un plan d’onde à l’autre. Si
ces plans sont distants de d, la différence de chemin optique est : = (ne – no) d.
18

18. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
Pour une lumière incidente de longueur d’onde
o
, on peut conclure que la lumière émergente
d’un milieu anisotrope est polarisée elliptiquement, elle se compose de deux vibrations
orthogonales Do et De déphasées, entre deux plans d’onde de :
= ko = ko (ne – no) d ;
où ko =
2
o
a. Surface des indices dans un milieu uniaxe
Tandis que la surface d’indice d’un milieu isotrope est constitue d’une sphère dont le
rayon est donné par l’indice de réfraction du matériau, la surface des indices d’un milieu
uniaxe se compose de deux nappes : une sphère et un ellipsoïde de révolution autour de l’axe
optique.
V. Construction des vecteurs d’onde et des rayons lumineux
V.1. Construction relative aux vecteurs d’onde
La surface des indices permet la construction des vecteurs d’ondes associés aux ondes
qui se propagent dans le milieu uniaxe de la manière suivante:
On trace tout d’abord au point d’incidence I le cercle de rayon n o et l’ellipse de demi- axes
no et ne, puis on prolonge le vecteur d’onde incident jusqu’à l’intersection avec la surface d’air
d’indice n = 1. A partir de ce point on trace une droite perpendiculaire au dioptre de
séparation entre les deux milieux. Les intersections de cette perpendiculaire avec les nappes
ordinaire et extraordinaire de la surface des indices donnent les deux vecteurs d’onde [5]
(figure .I.12).
19

19. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
Z
no
ne
n1
I
X
H
H
N1
Ne
a.o

Ke
No
Figure .I.12

Ko
V.2. Construction relative aux rayons lumineux
La surface d’onde permet la construction des rayons lumineux comme suit :
On trace tout d’abord, le cercle de rayon 1 correspondant au rayon incident provenant d’un
milieu isotrope (l’air d’indice n = 1), puis on trace le cercle ordinaire de rayon
d’axe
1
et l’ellipse
no
1
1
et
. Ensuite, on prolonge le rayon incident jusqu’à l’intersection avec le cercle
no
ne
de rayon 1. A partir de ce point, on trace la droite perpendiculaire à ce rayon qui représente le
plan d’onde incident, l’intersection de ce plan d’onde avec le dioptre de séparation détermine
un point A. A partir de ce point, on trace une droite tangente à la surface des vitesses en deux
points A et A ; les deux rayons ordinaire et extraordinaire issus du point A passent par ces
deux points A et A [5] (figure. I.13).
20

20. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
i1
ne-1
air n1 = 1
I
n1-
A
1
n0-
A
’
i1
1
a.0
A’
i’
e
i0
Re
R0
milieu
uniaxe
Figure.I.13
VI. Phénomène d’interférences lumineuses
VI.1
Principe des interférences
Le phénomène d’interférence est un phénomène ondulatoire dû à la composition de
vibrations cohérentes (c'est-à-dire présentant une différence de phase constante) et de même
longueur d'onde. Les interférences s'expliquent en terme de déphasage ou de différence de
marche entre deux rayons cohérents arrivant au même point ; les interférences
destructives (les amplitudes des deux ondes qui s’interférent se retranchent) se produisent
lorsque la différence de marche est égale à une demi-longueur d'onde (à un nombre entier de
longueur d'onde près) ; les interférences sont constructives(les amplitudes des deux ondes qui
s’interférent s’ajoutent au point considéré) lorsque la différence de marche est égale à la
longueur d'onde (à un nombre entier de longueur d’onde près) [10].
La lumière est composée de plusieurs radiations de fréquences différentes, chacune de
ces radiations donne un système de franges. Pour observer ces franges avec un bon contraste
sur une surface de localisation déterminée, nous utilisons en général une lumière cohérente
laser.
21

21. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
VI.2 Les lames cristallines
Pour produire une lumière de polarisation bien déterminée, nous utiliserons des lames
découpées dans des feuilles plastiques transparentes qui tout en étant moins fragiles et moins
coûteuses se comportent comme des lames cristallines à faces parallèles taillées parallèlement
à l'axe optique d'un cristal uniaxe.
a. Les lignes neutres d’une lame cristalline
Le faisceau incident se propage dans l’air donne naissance, en pénétrant dans la lame,
à deux faisceaux qui se propagent aux vitesses de phase vo et ve. Ces faisceaux sont polarisés
linéairement selon des directions de vibration Do et De orthogonales.Ces deux directions des
vibrations sont appelées lignes neutres de la lame
b. Repérage des lignes neutres de la lame
Pour déterminer les lignes neutres de la lame, on introduit entre polariseur et analyseur
croisés d’axes connus la lame et on la fait tourner dans son plan jusqu’à l’extinction. On
déduit que les directions du polariseur et de l’analyseur sont précisément les directions des
lignes neutres.
c. Axe rapide et axe lent
Un matériau biréfringent présente un axe privilégié appelé axe optique (c'est un
matériau anisotrope). Or la polarisation de la lumière peut être décomposée en deux
composantes : chaque composante ne se propage pas à la même vitesse selon qu'elle est
parallèle ou perpendiculaire à l'axe optique. Ceci permet de définir deux axes particuliers de
la lame : l'axe lent et l'axe rapide. Pour un milieu uniaxe positif l’onde ordinaire se propage
plus rapidement que l’onde extraordinaire puisque ne
no ce qui donne vo
ve. On en déduit
alors que l’axe rapide correspond à l’axe de la vibration ordinaire et l’axe lent correspond à
l’axe de la vibration extraordinaire. Au contraire, pour un milieu uniaxe négatif les axes sont
inversés.
VII.2. Lame taillée parallèlement à son axe optique
Le plus souvent, la lumière incidente tombe sous incidence normale et l’axe optique de
la lame est perpendiculaire à la direction incidente.
Considérons une onde polarisée rectilignement qui tombe sous incidence normale sur une
lame cristalline taillée parallèlement à son axe optique (figure .I.14).
22

22. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
P
Axe optique
De
Eo
Ee
Ro
Ro Re
Do
EO
P
A
e
Milieu uniaxe négatif
Figure .I.14: Lame taillée parallèlement à son axe optique
Pour caractériser la polarisation des vibrations qui émergent de la lame, on utilise comme
système d’axes les deux lignes neutres.


Notons par OX la direction extraordinaire pour laquelle l’indice est ne et OY la direction
ordinaire pour laquelle l’indice est no (figure. I.15).
23

23. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
Y (no)
P
P
X(ne)
Figure. I.15
l’angle entre la direction de la vibration rectiligne incidente avec l’une de lignes
Soit
neutres.

A l’entrée de la lame, le vecteur D de la vibration a pour composantes :
X = Dm cos cos t
Y = Dm sin cos t
A la sortie de la lame, on a :
X = Dm cos cos ( t Y = Dm sin cos ( t La différence de phase
e)
o)
entre les deux vibrations est:
=
o
-
e
=
2 e(no
ne )
Si on change l’origine du temps, on obtient :
X = Dm cos cos t
Y = Dm sin cos ( t - )
24

24. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire

L’extrémité du vecteur D décrit une ellipse d’équation :
X2
cos2
2
Dm
Y2
sin 2
2
Dm
2 XY cos
2
Dm cos sin
1
Caractéristique de la polarisation elliptique de l’onde émergente.
VII.3. Interférences des vibrations issues d’une lame cristalline
Dans cette étude, nous considérons le cas d’une lame biréfringente à faces parallèles
taillée parallèlement à l’axe optique de la lame. Pour mettre en évidence le phénomène
d’interférence entre les deux vibrations qui émergent, on place à la sortie de la lame un
analyseur qui permet la projection de deux composantes parallèles.


On définit par OX et OY les directions de polarisation des vibrations transmises et par
et
les angles formés par la vibration polarisée rectilignement avec l’une des lignes neutres
de la lame (figure .I.16).
Y
A
P
X
Figure .I.16
L’étude de la composition des vibrations orthogonales permet de décomposer la vibration
incidente en deux vibrations de composantes :
X = Dm cos t
Y = Dm cos ( t - (t))
Où (t) n’est définie que pendant le temps de cohérence .
25

25. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
Après la traversée de lame :
X = Dm cos t
Y = Dm cos ( t - (t) - )
L’intensité observée est donc :
I=
OR2
=
X2
+
Y2 =
1 2
( Dm
2
2
Dm )
2
Dm indépendant de
Deux vibrations perpendiculaires ne peuvent donc pas interférer. Pour observer des
interférences, il est nécessaire de les recombiner avec un analyseur A (figure II.6).
Après l’analyseur l’amplitude devient :
A = Dm cos cos t + Dmsin cos ( t - (t) - )
Et l’intensité :
I=
1 2
Dm cos2
2
1 2
Dm sin 2
2
2
Dm sin cos
 cos( (t )
(t ) varie de façon aléatoire pendant la durée d’une observation : < cos( (t )

) > = 0, il n’y
a pas donc interférence. Il est nécessaire de placer devant la lame un polariseur P. Après ce
polariseur on obtient une vibration rectiligne d’amplitude :
'
Ap = Dm cos t
(t ) où
(t ) n’est définie que pendant le temps de cohérence .
En décomposant la vibration P suivant X et Y on obtient après la lame une vibration de
composantes X et Y égales respectivement à :
'
X = Dm cos cos( t
(t ))
'
Y = Dm sin cos( t
(t )
)
Après l’analyseur l’amplitude de la vibration est :
'
A = Dm cos cos cos( t
26
(t ))
sin sin
cos( t
(t )
)

26. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
Et l’intensité observée I est donnée par :
I = <A2>
Dm2
cos 2
2
cos 2
sin 2
sin 2
2 sin sin
cos cos cos
Comme l’intensité I dépend de , on peut la mettre sous la forme :
I=
Dm2
(cos2
2
cos2
sin 2
= I0 1 + C cos
sin 2 ) 1
2 sin cos sin cos
sin 2 sin 2
cos2 cos2
cos
Dm2
2
avec I0 =
On définit le contraste C par l’expression suivante:
2 sin cos sin cos
sin 2 sin 2
cos 2 cos 2
C =
VII.4 Interprétation
On peut distinguer deux cas extrêmes suivant la valeur du contraste C.
a. Contraste C= 1
Si cos(
0 , soit
)
2
et l’on a alors :
I =
I est maximum si sin 2 2
1, soit 2
Dm2
sin 2 2 (1 cos )
2
2
donc
4
et
4
Le contraste est égal à 1 si le polariseur et l’analyseur sont parallèles et à 45o des vibrations
transmises.
b. Contraste C= -1
Si cos (
)
0 , soit
2
et on a alors :
I =
27
Dm2
sin 2 2 (1 cos )
2

27. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
I est maximum si sin 2 2
1 , soit 2
2
donc
4
et
4
Le contraste est égal à -1 si le polariseur et l’analyseur sont perpendiculaires et à 45o des
vibrations transmises qui donnent des intensités complémentaires I1 et I2 dont la somme
permet de restituer l’intensité incidente I = I1+I2
c. Conclusion
Quelque soit la position des nicols, croisés ou parallèles, on a toujours un phénomène
d’interférence.
VIII. Orientation de l’échantillon
VIII.1 Orientation hométropes
a. Définition
Orienter un cristal liquide colonnaire hexagonale revient à imposer une direction
donnée à son axe cristallographique principale [25,26].
On désigne par orientation homéotrope, le cas ou l’axe des colonnes est perpendiculaire au
plan des lames (figure I.17). En faisant tourner l’échantillon dans son plan entre analyseur et
polariseur croisés. L’observation de la lumière transmise donne toujours extinction.
Figure I.17: Orientation homéotrope
b. Etude optique
Considérons une onde plane de polarisation rectiligne qui tombe normalement aux
faces d’une lame cristalline anisotropes dont l’axe optique est perpendiculaire à ses faces. La
28

28. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
construction utilisent les vecteurs d’onde (appelée aussi construction d’Huygens), appliquée
aux deux nappes de la surface d’onde, permet de trouver un seul rayon réfracté (figure I.17).
a.o
1
P
1
ne
Eo
1
no
Ro
Eo
Eo
Ro
Ro
P
Figure I.18
A
: Construction du rayon réfracté dans le cas d’une orientation homéotrope
Ce rayon est qualifié d’ordinaire et sa polarisation est celle de l’onde incidente.
D’après la construction, on a toujours extinction total lorsqu’on interpose un nicol analyseur
croisé avec un nicol polariseur, quelle que soit l’orientation de la lame autour de son axe
optique, la lame se comporte comme un milieu isotrope.
c.Réalisation expérimentale
L’orientation homéotrope est réalisée par une technique basée sur la descente lente de
la température à partir de la phase isotrope. On diminue la température à raison de 0.01°C/min
jusqu'à l’apparition du premier germe. On continue à abaisser la température très lentement
jusqu'à l’orientation homéotrope complète. Lorsque l’abaissement de la température se fait de
manière rapide on remarque l’apparition de plusieurs grains désorientés pour les fortes
épaisseurs
. Si l’épaisseur est faible
on remarque que
l’orientation est systématique même si la transition liquide isotrope C.L se fait d’une à un fort
gradient thermique.
29

29. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
VIII.2 Orientation planaire
a. Définition
L’orientation est dite planaire dans Le cas ou l’axe des colonnes est parallèle aux plans
des lames. Le cristal liquide donne une extinction pour 4 positions de l’échantillon, obtenues
par rotations successives de 90° à partir d’une première position d’extinction (figure .I.19)
[27].
Figure. I.19 : Orientation planaire
b. Etude optique
Considérons une lame cristalline anisotrope dont l’axe optique est parallèle à ces faces,
soit une onde plane polarisée rectilignement qui tombe normalement aux faces de la lame.
D’après la construction d’Huygens, l’onde transmise est formée par deux rayons confondus,
l’un ordinaire et l’autre extraordinaire. Chacun des deux rayons transporte une vibration de
polarisation rectiligne (figure. I.20).
30

30. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
P
a.o
De
Eo
Ee
Ro Re
Ro
Do
E
o
P
A
Figure. I.20 : Construction des rayons réfractés dans le cas d’une orientation planaire
c. Réalisation expérimentale
L’orientation planaire d’un cristal liquide colonnaire hexagonale est obtenue par
cisaillement d’un échantillon orienté homéotrope. Pour cela on utilise une cellule adaptée.
L’amplitude des cisaillements successifs séparés par des périodes de recuit d’une dizaine de
minutes, en moyenne, montre que l’axe des colonnes est parallèle à l’axe de cisaillement.
31

31. Chapitre I : Les propriétés optiques et les défauts d’un cristal liquide
colonnaire
32