Atraso temporal em Sistemas Biológicos

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Trabalho dos estudantes do Curso de Verão em Métodos Matemáticos em Biologia de Populações, Fev de 2008.

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Atraso temporal em Sistemas Biológicos

  1. 1. . . Sistemas com atraso temporal Grupo 06 . Disrael Camargo Jefferson Stafusa E. Portela Joaquim Manoel da Silva Jo˜o Bosco de Siqueira a Robison Albano Sim˜oa . Instituto de F´ ısica Te´rica - UNESP o . M´todos Matem´ticos em Biologia de Popula¸˜es e a co 24 de fevereiro de 2008
  2. 2. Sum´rio a Sum´rio a 1 O que ´ atraso e Equa¸˜es co 2 Efeitos 3 Motiva¸˜o biol´gica ca o 4 Aplica¸˜o ca 5 Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso Comportamento assint´tico o S´ries temporais e 6 Uma aplica¸˜o adicional ca 7 Presa-Predador com atraso Modelos S´ries temporais - modelo 1 e S´ries temporais - modelo 2 e 8 Alguns artigo n˜o utilizados a G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29
  3. 3. Sum´rio a Sum´rio a 1 O que ´ atraso e Equa¸˜es co 2 Efeitos 3 Motiva¸˜o biol´gica ca o 4 Aplica¸˜o ca 5 Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso Comportamento assint´tico o S´ries temporais e 6 Uma aplica¸˜o adicional ca 7 Presa-Predador com atraso Modelos S´ries temporais - modelo 1 e S´ries temporais - modelo 2 e 8 Alguns artigo n˜o utilizados a G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29
  4. 4. Sum´rio a Sum´rio a 1 O que ´ atraso e Equa¸˜es co 2 Efeitos 3 Motiva¸˜o biol´gica ca o 4 Aplica¸˜o ca 5 Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso Comportamento assint´tico o S´ries temporais e 6 Uma aplica¸˜o adicional ca 7 Presa-Predador com atraso Modelos S´ries temporais - modelo 1 e S´ries temporais - modelo 2 e 8 Alguns artigo n˜o utilizados a G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29
  5. 5. Sum´rio a Sum´rio a 1 O que ´ atraso e Equa¸˜es co 2 Efeitos 3 Motiva¸˜o biol´gica ca o 4 Aplica¸˜o ca 5 Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso Comportamento assint´tico o S´ries temporais e 6 Uma aplica¸˜o adicional ca 7 Presa-Predador com atraso Modelos S´ries temporais - modelo 1 e S´ries temporais - modelo 2 e 8 Alguns artigo n˜o utilizados a G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29
  6. 6. Sum´rio a Sum´rio a 1 O que ´ atraso e Equa¸˜es co 2 Efeitos 3 Motiva¸˜o biol´gica ca o 4 Aplica¸˜o ca 5 Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso Comportamento assint´tico o S´ries temporais e 6 Uma aplica¸˜o adicional ca 7 Presa-Predador com atraso Modelos S´ries temporais - modelo 1 e S´ries temporais - modelo 2 e 8 Alguns artigo n˜o utilizados a G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29
  7. 7. Sum´rio a Sum´rio a 1 O que ´ atraso e Equa¸˜es co 2 Efeitos 3 Motiva¸˜o biol´gica ca o 4 Aplica¸˜o ca 5 Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso Comportamento assint´tico o S´ries temporais e 6 Uma aplica¸˜o adicional ca 7 Presa-Predador com atraso Modelos S´ries temporais - modelo 1 e S´ries temporais - modelo 2 e 8 Alguns artigo n˜o utilizados a G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29
  8. 8. Sum´rio a Sum´rio a 1 O que ´ atraso e Equa¸˜es co 2 Efeitos 3 Motiva¸˜o biol´gica ca o 4 Aplica¸˜o ca 5 Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso Comportamento assint´tico o S´ries temporais e 6 Uma aplica¸˜o adicional ca 7 Presa-Predador com atraso Modelos S´ries temporais - modelo 1 e S´ries temporais - modelo 2 e 8 Alguns artigo n˜o utilizados a G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29
  9. 9. Sum´rio a Sum´rio a 1 O que ´ atraso e Equa¸˜es co 2 Efeitos 3 Motiva¸˜o biol´gica ca o 4 Aplica¸˜o ca 5 Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso Comportamento assint´tico o S´ries temporais e 6 Uma aplica¸˜o adicional ca 7 Presa-Predador com atraso Modelos S´ries temporais - modelo 1 e S´ries temporais - modelo 2 e 8 Alguns artigo n˜o utilizados a G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 2 / 29
  10. 10. O que ´ atraso e Equa¸˜es co O que ´? e Equa¸˜o diferencial ca sem atraso: dx = f (x) dt . G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29
  11. 11. O que ´ atraso e Equa¸˜es co O que ´? e Equa¸˜o diferencial ca sem atraso: dx = f (x) dt . G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29
  12. 12. O que ´ atraso e Equa¸˜es co O que ´? e Equa¸˜o diferencial ca sem atraso: dx(t) = f (x(t)) dt . G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29
  13. 13. O que ´ atraso e Equa¸˜es co O que ´? e Equa¸˜o diferencial ca sem atraso: dN(t) = f (N(t)) dt . G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29
  14. 14. O que ´ atraso e Equa¸˜es co O que ´? e Equa¸˜o diferencial ca sem atraso: dN(t) = f (N(t)) dt com atraso: dN(t) = f (N(t − T )) dt . G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29
  15. 15. O que ´ atraso e Equa¸˜es co O que ´? e Equa¸˜o diferencial ca sem atraso: dN(t) = f (N(t)) dt com atraso: dN(t) = f (N(t), N(t − T )) dt . G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29
  16. 16. O que ´ atraso e Equa¸˜es co O que ´? e Equa¸˜o diferencial ca sem atraso: dN(t) = f (N(t)) dt com atraso: dN(t) = f (N(t), N(t − T )) dt . Mapa: xn+1 = f (xn ) x 1 = f (x 0) ... ... x0 x 2 = f (x1) x n = f (x n−1) M . G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29
  17. 17. O que ´ atraso e Equa¸˜es co O que ´? e Equa¸˜o diferencial ca sem atraso: dN(t) = f (N(t)) dt com atraso: dN(t) = f (N(t), N(t − T )) dt . Mapa sem atraso: un+1 = f (un ) com atraso: un+1 = f (un , un−T ) . G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 3 / 29
  18. 18. Efeitos Conseq¨ˆncia da introdu¸˜o do atraso ue ca Oscila¸˜es co Solu¸˜es de uma eq. dif. 1-D (homogˆnea) nunca oscilam, co e demonstra¸˜o: Murray I, pg. 17; ca a introdu¸˜o de atraso possibilita solu¸˜es oscilat´rias. ca co o . Exemplo Equa¸˜o com atraso: ca dN π =− N(t − T ), dt 2T solu¸˜o: ca πt N = A cos . 2T G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 4 / 29
  19. 19. Efeitos Conseq¨ˆncia da introdu¸˜o do atraso ue ca Oscila¸˜es co Solu¸˜es de uma eq. dif. 1-D (homogˆnea) nunca oscilam, co e demonstra¸˜o: Murray I, pg. 17; ca a introdu¸˜o de atraso possibilita solu¸˜es oscilat´rias. ca co o . Exemplo Equa¸˜o com atraso: ca dN π =− N(t − T ), dt 2T solu¸˜o: ca πt N = A cos . 2T G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 4 / 29
  20. 20. Efeitos Conseq¨ˆncia da introdu¸˜o do atraso ue ca Oscila¸˜es co Solu¸˜es de uma eq. dif. 1-D (homogˆnea) nunca oscilam, co e demonstra¸˜o: Murray I, pg. 17; ca a introdu¸˜o de atraso possibilita solu¸˜es oscilat´rias. ca co o . Exemplo Equa¸˜o com atraso: ca dN π =− N(t − T ), dt 2T solu¸˜o: ca πt N = A cos . 2T G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 4 / 29
  21. 21. Motiva¸˜o biol´gica ca o Raz˜es para incluir atrasos o Motiva¸˜o biol´gica ca o competi¸˜o intra-espec´ ca ıfica dependente da idade; dN(t) N(t)2 dN(t) N(t − T )2 = rN(t) − =⇒ = rN(t) − dt K dt K per´ ıodos de matura¸˜o/gesta¸˜o; ca ca dN(t) N(t)2 dN(t) N(t)2 = rN(t) − =⇒ = rN(t − T ) − dt K dt K migra¸˜o e difus˜o de popula¸˜es; ca a co atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente. G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29
  22. 22. Motiva¸˜o biol´gica ca o Raz˜es para incluir atrasos o Motiva¸˜o biol´gica ca o competi¸˜o intra-espec´ ca ıfica dependente da idade; dN(t) N(t)2 dN(t) N(t − T )2 = rN(t) − =⇒ = rN(t) − dt K dt K per´ ıodos de matura¸˜o/gesta¸˜o; ca ca dN(t) N(t)2 dN(t) N(t)2 = rN(t) − =⇒ = rN(t − T ) − dt K dt K migra¸˜o e difus˜o de popula¸˜es; ca a co atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente. G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29
  23. 23. Motiva¸˜o biol´gica ca o Raz˜es para incluir atrasos o Motiva¸˜o biol´gica ca o competi¸˜o intra-espec´ ca ıfica dependente da idade; dN(t) N(t)2 dN(t) N(t − T )2 = rN(t) − =⇒ = rN(t) − dt K dt K per´ ıodos de matura¸˜o/gesta¸˜o; ca ca dN(t) N(t)2 dN(t) N(t)2 = rN(t) − =⇒ = rN(t − T ) − dt K dt K migra¸˜o e difus˜o de popula¸˜es; ca a co atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente. G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29
  24. 24. Motiva¸˜o biol´gica ca o Raz˜es para incluir atrasos o Motiva¸˜o biol´gica ca o competi¸˜o intra-espec´ ca ıfica dependente da idade; dN(t) N(t)2 dN(t) N(t − T )2 = rN(t) − =⇒ = rN(t) − dt K dt K per´ ıodos de matura¸˜o/gesta¸˜o; ca ca dN(t) N(t)2 dN(t) N(t)2 = rN(t) − =⇒ = rN(t − T ) − dt K dt K migra¸˜o e difus˜o de popula¸˜es; ca a co atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente. G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29
  25. 25. Motiva¸˜o biol´gica ca o Raz˜es para incluir atrasos o Motiva¸˜o biol´gica ca o competi¸˜o intra-espec´ ca ıfica dependente da idade; dN(t) N(t)2 dN(t) N(t − T )2 = rN(t) − =⇒ = rN(t) − dt K dt K per´ ıodos de matura¸˜o/gesta¸˜o; ca ca dN(t) N(t)2 dN(t) N(t)2 = rN(t) − =⇒ = rN(t − T ) − dt K dt K migra¸˜o e difus˜o de popula¸˜es; ca a co atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente. G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29
  26. 26. Motiva¸˜o biol´gica ca o Raz˜es para incluir atrasos o Motiva¸˜o biol´gica ca o competi¸˜o intra-espec´ ca ıfica dependente da idade; dN(t) N(t)2 dN(t) N(t − T )2 = rN(t) − =⇒ = rN(t) − dt K dt K per´ ıodos de matura¸˜o/gesta¸˜o; ca ca dN(t) N(t)2 dN(t) N(t)2 = rN(t) − =⇒ = rN(t − T ) − dt K dt K migra¸˜o e difus˜o de popula¸˜es; ca a co atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente. G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29
  27. 27. Motiva¸˜o biol´gica ca o Raz˜es para incluir atrasos o Motiva¸˜o biol´gica ca o competi¸˜o intra-espec´ ca ıfica dependente da idade; dN(t) N(t)2 dN(t) N(t − T )2 = rN(t) − =⇒ = rN(t) − dt K dt K per´ ıodos de matura¸˜o/gesta¸˜o; ca ca dN(t) N(t)2 dN(t) N(t)2 = rN(t) − =⇒ = rN(t − T ) − dt K dt K migra¸˜o e difus˜o de popula¸˜es; ca a co atrasos em geral, na resposta ao/do ambiente. G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 5 / 29
  28. 28. Aplica¸˜o ca Aplica¸˜o ca Equa¸˜o de Hutchinson (equa¸˜o log´ ca ca ıstica com atraso): dN(t) N(t − T ) = rN(t) 1 − . dt K G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 6 / 29
  29. 29. Aplica¸˜o ca Aplica¸˜o ca Equa¸˜o de Hutchinson (equa¸˜o log´ ca ca ıstica com atraso) normalizada: dN(t) = rT N(t)(1 − N(t − 1)). dt G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 6 / 29
  30. 30. Aplica¸˜o ca Aplica¸˜o ca Equa¸˜o de Hutchinson (equa¸˜o log´ ca ca ıstica com atraso) normalizada: dN(t) = rT N(t)(1 − N(t − 1)). dt Modelo usado (May, 1975) na descri¸˜o da popula¸˜o de “varejeiras das ca ca ovelhas” (Lucillia cuprina). (rT = 2,1, atraso de 9 dias (11)) G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 6 / 29
  31. 31. Aplica¸˜o ca Aplica¸˜o ca Equa¸˜o de Hutchinson (equa¸˜o log´ ca ca ıstica com atraso) normalizada: dN(t) = rT N(t)(1 − N(t − 1)). dt Modelo usado (May, 1975) na descri¸˜o da popula¸˜o de “varejeiras das ca ca ovelhas” (Lucillia cuprina). (rT = 2,1, atraso de 9 dias (11)) G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 6 / 29
  32. 32. Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso Comportamento assint´tico o Equa¸˜o equa¸˜o log´ ca ca ıstica com atraso Estabilidade de N(t) = 1 Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso (Hutchinson) dN(t) = rTN(t)(1 − N(t − 1)). dt . t Sendo R ≡ lim r (s)ds: t→∞ t−1 Estabilidade da solu¸˜o N = 1, com r = r (t) ca RT ≤ 1,5 −→ N = 1 est´vel – provado a 1,5 < RT ≤ π/2 −→ N = 1 est´vel – conjectura a π/2 < RT −→ N = 1 inst´vel – ? a G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 7 / 29
  33. 33. Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso S´ries temporais e Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso (rT < 1,5) dN(t) = rTN(t)(1 − N(t − 1)). dt G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 8 / 29
  34. 34. Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso S´ries temporais e Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso (rT = 1,5) dN(t) = rTN(t)(1 − N(t − 1)). dt G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 9 / 29
  35. 35. Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso S´ries temporais e Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso (rT > π/2) dN(t) = rTN(t)(1 − N(t − 1)). dt G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 10 / 29
  36. 36. Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso S´ries temporais e Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso (rT > π/2) dN(t) = rTN(t)(1 − N(t − 1)). dt G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 11 / 29
  37. 37. Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso S´ries temporais e Equa¸˜o log´ ca ıstica com atraso (rT > π/2) dN(t) = rTN(t)(1 − N(t − 1)). dt G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 12 / 29
  38. 38. Uma aplica¸˜o adicional ca Uma aplica¸˜o adicional ca Artigo: W.W. Murdoch et al. (2002) “Single-species models for many-species food webs” Nature 417: 541–543. G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 13 / 29
  39. 39. Uma aplica¸˜o adicional ca Uma aplica¸˜o adicional ca Artigo: W.W. Murdoch et al. (2002) “Single-species models for many-species food webs” Nature 417: 541–543. Resultados: Te´rico: por meio do per´ o ıodo de oscila¸˜es em popula¸˜es (c´ co co ıclicas), ´ poss´ distinguir o mecanismo que as causam: se intra-espec´ e ıvel ıfico ou inter-espec´ ıfico; Observacional: dado isto, mostra-se estatisticamente que esp´cies e generalistas tˆm dinˆmica essencialmente intra-espec´ e a ıfica. O tempo de matura¸˜o (atraso τ ) e per´ ca ıodo de oscila¸˜o (T ) da esp´cie ca e devem ser conhecidos. G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 13 / 29
  40. 40. Uma aplica¸˜o adicional ca Uma aplica¸˜o adicional ca Resultado te´rico: o Por meio do per´ ıodo T de oscila¸˜o em popula¸˜es e seu tempo de ca co matura¸˜o τ , ´ poss´ distinguir o mecanismo que as causam: ca e ıvel se intra-espec´ ıfico ou inter-espec´ ıfico. “Lemas”: ind´ ıcios matem´ticos e num´ricos a e para dinˆmica c´ a ıclica tipo presa- =⇒ T ≥ 4τP + 2τV ; predador, i. e., inter-espec´ıfica dinˆmica intra-espec´ a ıfica, como de gera¸˜o-´nica ou com retorno atra- ca u =⇒ T 4τ . sado (delayed feedback) G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29
  41. 41. Uma aplica¸˜o adicional ca Uma aplica¸˜o adicional ca Resultado te´rico: o Por meio do per´ ıodo T de oscila¸˜o em popula¸˜es e seu tempo de ca co matura¸˜o τ , ´ poss´ distinguir o mecanismo que as causam: ca e ıvel se intra-espec´ ıfico ou inter-espec´ ıfico. “Lemas”: ind´ ıcios matem´ticos e num´ricos a e para dinˆmica c´ a ıclica tipo presa- =⇒ T ≥ 4τP + 2τV ; predador, i. e., inter-espec´ıfica dinˆmica intra-espec´ a ıfica, como de gera¸˜o-´nica ou com retorno atra- ca u =⇒ T 4τ . sado (delayed feedback) G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29
  42. 42. Uma aplica¸˜o adicional ca Uma aplica¸˜o adicional ca Resultado te´rico: o dinˆmica inter-espec´ a ıfica =⇒ T ≥ 4τP + 2τV dinˆmica intra-espec´ a ıfica =⇒ T 4τP G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29
  43. 43. Uma aplica¸˜o adicional ca Uma aplica¸˜o adicional ca Resultado te´rico: o dinˆmica inter-espec´ a ıfica =⇒ T ≥ 4τP + 2τV dinˆmica intra-espec´ a ıfica =⇒ T 4τP Resultados observacional: Esp´cies generalistas tˆm dinˆmica essencialmente intra-espec´ e e a ıfica. Dados: mais de 100 popula¸˜es claramente c´ co ıclicas (de 40 esp´cies); e s´ries temporais de ao menos 25 anos, com per´ e ıodos bem definidos; papel tr´fico bem conhecido: especialistas × (predadores) o generalistas; G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29
  44. 44. Uma aplica¸˜o adicional ca Uma aplica¸˜o adicional ca Resultado te´rico: o dinˆmica inter-espec´ a ıfica =⇒ T ≥ 4τP + 2τV dinˆmica intra-espec´ a ıfica =⇒ T 4τP Resultados observacional: Esp´cies generalistas tˆm dinˆmica essencialmente intra-espec´ e e a ıfica. Dados: mais de 100 popula¸˜es claramente c´ co ıclicas (de 40 esp´cies); e s´ries temporais de ao menos 25 anos, com per´ e ıodos bem definidos; papel tr´fico bem conhecido: especialistas × (predadores) o generalistas; G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29
  45. 45. Uma aplica¸˜o adicional ca Uma aplica¸˜o adicional ca Resultado te´rico: o dinˆmica inter-espec´ a ıfica =⇒ T ≥ 4τP + 2τV dinˆmica intra-espec´ a ıfica =⇒ T 4τP Resultados observacional: Esp´cies generalistas tˆm dinˆmica essencialmente intra-espec´ e e a ıfica. Tratamento: per´ ıodos normalizados pelos respectivos atrasos: T /τ ; dados divididos em dois grupos: T 4τ ou n˜o; a G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29
  46. 46. Uma aplica¸˜o adicional ca Uma aplica¸˜o adicional ca Resultado te´rico: o dinˆmica inter-espec´ a ıfica =⇒ T ≥ 4τP + 2τV dinˆmica intra-espec´ a ıfica =⇒ T 4τP Resultados observacional: Esp´cies generalistas tˆm dinˆmica essencialmente intra-espec´ e e a ıfica. Resultado: 95% das popula¸˜es tiveram seu papel tr´fico corretamente co o identificado pelo crit´rio te´rico. e o G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 14 / 29
  47. 47. Presa-Predador com atraso Modelos Presa-Predador com atraso Modelos Para nossas simula¸˜es num´ricas adotamos: co e Modelo 1 dV (t)/dt = αV (t) − βV (t)P(t − τ ), dP(t)/dt = r P(t − τ )V (t − τ ) − r /K P(t − τ )2 , Modelo 2 dV (t)/dt = αV (t) − βV (t)P(t − τ ), dP(t)/dt = r P(t − τ )V (t − τ ) − λP(t − τ ), sendo α = 1/2, β = 1/4 e r = 1/5 (ambos os modelos), e K = 1/2 (modelo 1) e λ = 1/4 (modelo 2). G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 15 / 29
  48. 48. Presa-Predador com atraso Modelos Presa-Predador com atraso Modelos Para nossas simula¸˜es num´ricas adotamos: co e Modelo 1 dV (t)/dt = αV (t) − βV (t)P(t − τ ), dP(t)/dt = r P(t − τ )V (t − τ ) − r /K P(t − τ )2 , Modelo 2 dV (t)/dt = αV (t) − βV (t)P(t − τ ), dP(t)/dt = r P(t − τ )V (t − τ ) − λP(t − τ ), sendo α = 1/2, β = 1/4 e r = 1/5 (ambos os modelos), e K = 1/2 (modelo 1) e λ = 1/4 (modelo 2). G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 15 / 29
  49. 49. Presa-Predador com atraso Modelos Presa-Predador com atraso Modelos Para nossas simula¸˜es num´ricas adotamos: co e Modelo 1 dV (t)/dt = αV (t) − βV (t)P(t − τ ), dP(t)/dt = r P(t − τ )V (t − τ ) − r /K P(t − τ )2 , Modelo 2 dV (t)/dt = αV (t) − βV (t)P(t − τ ), dP(t)/dt = r P(t − τ )V (t − τ ) − λP(t − τ ), sendo α = 1/2, β = 1/4 e r = 1/5 (ambos os modelos), e K = 1/2 (modelo 1) e λ = 1/4 (modelo 2). G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 15 / 29
  50. 50. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 1 e S´ries temporais - modelo 1 (τ = 0,0) e G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 16 / 29
  51. 51. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 1 e S´ries temporais - modelo 1 (τ = 0,2) e G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 17 / 29
  52. 52. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 1 e S´ries temporais - modelo 1 (τ = 0,4) e G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 18 / 29
  53. 53. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 1 e S´ries temporais - modelo 1 (τ = 0,6) e G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 19 / 29
  54. 54. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 1 e S´ries temporais - modelo 1 (τ = 0,7) e G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 20 / 29
  55. 55. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 2 e S´ries temporais - modelo 2 (τ = 0,0) e G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 21 / 29
  56. 56. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 2 e S´ries temporais - modelo 2 (τ = 0,1) e G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 22 / 29
  57. 57. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 2 e S´ries temporais - modelo 2 (τ = 0,2) e G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 23 / 29
  58. 58. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 2 e S´ries temporais - modelo 2 (τ = 0,3) e G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 24 / 29
  59. 59. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 2 e S´ries temporais - modelo 2 (τ = 0,4) e G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 25 / 29
  60. 60. Presa-Predador com atraso S´ries temporais - modelo 2 e S´ries temporais - modelo 2 (τ = 0,5) e G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 26 / 29
  61. 61. Alguns artigo n˜o utilizados a Alguns artigo n˜o utilizados a G.E. Hutchinson (1948) “Circular Causal Systems in Ecology” Annals of the New York Academy of Sciences 50: 221–246. • http://www.wku.edu/∼smithch/biogeog/HUTC1948.htm R.M. May (1973) “Time-Delay Versus Stability in Population Models with Two and Three Trophic Levels” Ecology 54(2): 315–325 • Carn´ ıvoros estabilizando sistema herb´ ıvoro-vegeta¸˜o com atraso. ca R.M. May (1973) “Time delays are not necessarily destabilizing” Mathematical Biosciences 27(1-2): 109–117. • Atraso estabilizando equil´ ıbrio inst´vel. a L.R. Nie et al. (2007) “Noise and time delay: Suppressed population explosion of the mutualism system” EuroPhysicsLetters 79: 20005. • Mais estabiliza¸˜o – modelo tipo Lotka-Volterra para mutualismo. ca G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 27 / 29
  62. 62. Alguns artigo n˜o utilizados a Alguns artigo n˜o utilizados a S. Chatterjeea, K. Dasb, J. Chattopadhyay (2007) “Time delay factor can be used as a key factor for preventing the outbreak of a disease – Results drawn from a mathematical study of a one season eco-epidemiological model” Nonlinear Analysis: Real World Applications 8(5): 1472–1493. • Atraso (por matura¸˜o) em presas suscept´ ca ıveis evita epidemia. W.-T. Li, S. Ruan, Z.-C. Wang (2007) “On the Diffusive Nicholson’s Blowflies Equation with Nonlocal Delay” Journal of Nonlinear Science 17(6): 505–525. • Atraso espa¸o-temporal (n˜o-local) no sistema das varejeiras. c a M. M¨nster-Swendsen, A. Berryman (2005) “Detecting the causes of u population cycles by analysis of R-functions: the spruce needle-miner, Epinotia tedella, and its parasitoids in Danish spruce plantations” Oikos 108(3): 495–502. • Separando oscila¸˜es for¸adas pelo ambiente das dinˆmicas. co c a G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 28 / 29
  63. 63. Alguns artigo n˜o utilizados a J.W.-H. So, J.S. Yu (1995) “Global Attractivity for a Population Model with Time Delay” Proceedings of the American Mathematical Society, 123(9): 2687–2694. (estabilidade do pto fixo de Hutchinson) G 6 – DC, JSEP, JMS, JBS, RAS (IFT) Atraso temporal 24 fev 2008 29 / 29

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