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Números de Euler

  1. 1. Centro de Competência de Ciências Exactas e da Engenharia Disciplina: Combinatória – Fundamentos e Aplicações Docente: Teresa Gouveia Discente: Raquel Camacho; Número: 2030305Os Números de Euler (ou números Eulerianos) Funchal 2011
  2. 2. Números de Euler ou Números Eulerianos Os números de Euler (ou Eulerianos) permitem contar o número de permutações de nelementos com k ascendentes.Nota 1: Uma permutação é um rearranjo de uma lista ordenada de elementos. Ao olharmos atentamente para a descrição feita anteriormente, pode surgir a dúvidasobre o termo “ascendente”. Para melhor compreendermos este conceito, suponhamosque π = ( π1 , π 2 , π3 ,..., π n ) é uma permutação de {1, 2,3,..., n} . Dizemos que o índice i,com 1 ≤ i < n , é um ascendente da permutação π se πi < πi+1 .Exemplo1:Consideremos o conjunto {1, 2,3} . a) Determine as permutações de {1, 2,3} . Facilmente conseguimos descobrir as diferentes permutações deste conjunto, combinando todos os elementos em todas as posições possíveis: (1, 2,3) ( 2,3,1) (1,3, 2 ) ( 3,1, 2 ) ( 2,1,3) ( 3, 2,1) b) Das permutações encontradas, indique quantas têm apenas um ascendente. Para determinarmos o número de ascendentes de cada uma das permutações, temos de comparar os elementos dois a dois, tendo o cuidado de comparar um elemento sempre com o seu sucessor. Para descobrir o número de ascendentes deveremos sempre fazer a questão “Será que este elemento é menor do que este elemento?”. Se a resposta for positiva, então estamos perante um ascendente. Analisemos, pois, cada uma das permutações, assumindo cada uma das permutações como π = ( π1 , π 2 , π3 ) : Para π = (1, 2,3) π1 π2 π3 1
  3. 3. Vamos, então, comparar o 1 com o 2, fazendo a questão “Será que 1 é menor do que2?” A resposta é obviamente positiva. Logo, temos que π1 < π2 ⇔ 1 < 2 →Verdadeiro.Vamos agora comparar o 2 com o 3, questionando “Será que 2 é menor do que 3?”.A resposta é positiva, logo temos que π2 < π3 ⇔ 2 < 3 → Verdadeiro.Logo, esta permutação tem dois ascendentes, pois obtivemos duas respostasverdadeiras. Estes ascendentes são i = 1 e i = 2 . Para π = (1, 3, 2 )Repetiremos o processo elaborado anteriormente, comparando os elementos dois adois: π1 < π2 ⇔ 1 < 3 → Verdadeiro π2 < π3 ⇔ 3 < 2 → FalsoLogo, esta permutação tem apenas um ascendente, pois só obtivemos uma condiçãoverdadeira. Este ascendente é i = 1 . Para π = ( 2,1, 3) : π1 < π2 ⇔ 2 < 1 → Falso π2 < π3 ⇔ 1 < 3 → VerdadeiroLogo, esta permutação tem um ascendente, pois só obtivemos uma condiçãoverdadeira. Este ascendente é i = 2 . Para π = ( 2,3,1) : π1 < π2 ⇔ 2 < 3 → Verdadeiro π2 < π3 ⇔ 3 < 1 → FalsoLogo, esta permutação tem um ascendente, pois só obtivemos uma condiçãoverdadeira. Este ascendente é i = 1 . Para π = ( 3,1, 2 ) : π1 < π2 ⇔ 3 < 1 → Falso π2 < π3 ⇔ 1 < 2 → VerdadeiroLogo, esta permutação tem um ascendente, pois só obtivemos uma condiçãoverdadeira. Este ascendente é i = 2 . 2
  4. 4. Para π = ( 3, 2,1) : π1 < π2 ⇔ 3 < 2 → Falso π2 < π3 ⇔ 2 < 1 → Falso Logo, esta permutação não tem ascendentes, pois não obtivemos condições verdadeiras. Respondendo à questão, podemos concluir que quatro permutações de {1, 2,3} têm apenas um ascendente. No entanto, quando trabalhamos com permutações surge um outro termo quandocomparamos os elementos da permutação dois a dois. Já vimos o que é e comoidentificar um ascendente, mas também podemos pensar no caso contrário. Se em vezde perguntarmos “Será que este elemento é menor do que este?”, perguntarmos “Seráque este elemento é maior do que este?” estamos a falar de descendentes. Ainda nesta linha das permutações surgem outros termos relacionados com a posiçãoque cada elemento da permutação ocupa: os excedentes e os excedentes fracos. Podemos, portanto, definir cada um destes termos para o caso geral: Suponhamos que π = ( π1 , π 2 , π3 ,..., π n ) é uma permutação de {1, 2,3,..., n} . Dizemos que o índice i, com 1 ≤ i < n , é um ascendente da permutação π seπi < πi+1. Um descendente da permutação π é o índice i com 1 ≤ i < n , tal que πi > πi+1 . O índice i, com 1 ≤ i ≤ n , é um excedente da permutação π se πi > i . Enquanto oíndice i, com 1 ≤ i ≤ n , diz-se um excedente fraco da permutação π se πi ≥ i . Agora que sabemos como definir cada um destes conceitos, podemos completar umatabela com esses dados, referentes ao Exemplo 1: 3
  5. 5. Nº de Nº de Nº de Nº de Permutação excedentes ascendentes descendentes excedentes fracos (1, 2,3) 2 0 0 3 (1,3, 2 ) 1 1 1 2 ( 2,1,3) 1 1 1 2 ( 2,3,1) 1 1 2 2 ( 3,1, 2 ) 1 1 1 1 ( 3, 2,1) 0 2 1 2Nota 2: No caso dos excedentes, pode surgir alguma dúvida sobre como foram obtidosestes valores. Por isso, mostraremos como foi obtido o valor para a permutaçãoπ = (1, 3, 2 ) , já que para as outras permutações o processo é o mesmo. Para ser excedente da permutação tem de verificar πi > i , com 1 ≤ i ≤ 3 (porquen = 3 ), portanto: π1 > 1 ⇔ 1 > 1 → Falso π2 > 2 ⇔ 3 > 2 → Verdadeiro π3 > 3 ⇔ 2 > 3 → Falso Então, esta permutação de {1, 2,3} tem apenas um excedente. Este excedente é i = 2 .Nota 3: No caso dos excedentes fracos, procedemos da mesma forma que no caso dosexcedentes, tendo apenas em atenção que para ser excedente fraco de uma permutaçãotem de verificar πi ≥ i , com 1 ≤ i ≤ 3 (já que, no exemplo dado, n = 3 ). A partir da tabela podemos responder a perguntas simples como: Quantaspermutações de {1, 2,3} têm apenas um ascendente? Quantas permutações de {1, 2,3}têm um descendente? Quantas permutações de {1, 2,3} têm apenas um excedente? E, porfim, quantas permutações de {1, 2,3} têm apenas dois excedente fracos? A resposta a estas questões é quatro permutações. A partir da análise da tabela, podemos facilmente chegar a uma conclusão: sedeterminarmos o número de permutações com k ascendentes, saberemosautomaticamente o número de permutações com k descendentes, com k excedentes ecom k + 1 excedentes fracos. 4
  6. 6. Por exemplo, analisando a tabela, podemos responder às questões: Quantas permutações têm exactamente dois ascendentes? Uma. Quantas permutações têm exactamente dois descendentes? Uma. Quantas permutações têm exactamente dois excedentes? Uma. Quantas permutações têm exactamente três excedentes fracos? Uma. ( k + 1 = 2 + 1) Nº de ascendentes Assim, se tivermos um conjunto com n permutações com k ascendentes, sabemosque esse conjunto terá n permutações com k descendentes, n permutações com kexcedentes e n permutações com k + 1 excedentes fracos. O exemplo que trabalhámos anteriormente é bastante simples e perfeitamenteexequível aplicando este método de análise directa de cada uma das permutações,verificando o número de ascendentes, descendentes, excedentes e excedentes fracos decada uma delas. No entanto, existem casos em que se torna moroso determinar todas aspermutações do conjunto e, consequentemente, determinar os ascendentes,descendentes, excedentes e excedentes fracos torna-se numa tarefa extremamenteingrata. Nestes casos (como veremos de seguida), será útil utilizarmos os Números de Eulerneste processo de encontrar o número de permutações com um determinado número deascendentes. E, como vimos anteriormente, a partir do cálculo do número depermutações com k ascendentes, poderemos saber o número de permutações com kdescendentes, com k excedentes e com k + 1 excedentes fracos. Como já vimos anteriormente, o número de Euler é o número de permutações de{1, 2,3,..., n} com exactamente k ascendentes. O número de Euler pode ser representado npor E ( n, k ) ou , kComo determinar os números de Euler?Podemos determinar os números de Euler, recorrendo à seguinte fórmula: n i  n + 1 k E ( n, k ) = = ∑ ( −1)  (k +1− i) , n ≥ 1 n k i =0  i  5
  7. 7. Existem, ainda, algumas propriedades relativas aos números de Euler, que facilitam o seu cálculo: n n i) = =1 , n ≥1 0 n −1 n n ii) = , n ≥1 k n −1− k n n −1 n −1 iii) = ( k + 1) + (n − k ) , n ≥1 k k k −1 Veremos, agora, um exemplo em que a utilização dos números de Euler é bastante útil. Exemplo 2: Determine o número de permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} com: a) um único ascendente; Se utilizássemos o método utilizado no Exemplo 1, teríamos de determinar todas as permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} , o que é bastante moroso. Utilizando os números de Euler, temos apenas de recorrer, por exemplo, à fórmula da propriedade iii). Neste caso, sabemos que n = 6 (número de elementos do conjunto) e k = 1 (número de ascendentes): n 6 6 −1 6 −1 = = (1 + 1) + ( 6 − 1) k 1 1 1−1 5 5 =2 +5 1 0 =1, pela propriedade i)  5 −1 5 −1  = 2 (1 + 1) + ( 5 − 1)Voltamos a utilizar a +5propriedade iii)  1 1−1   4 4  4 4 = 2 2 +4 +5= 4 +8+5 = 4 + 13  1 0  1 1 =1, pela propriedade i) 6
  8. 8.  4 −1 4 −1  = 4 (1 + 1) + ( 4 − 1)Voltamos a utilizar a  + 13propriedade iii)  1 1−1   3 3  3 3 = 4 2 +3  + 13 = 8 + 12 + 13 = 8 + 25  1 0  1 1 =1, pela propriedade i)  3 −1 3 −1  = 8 (1 + 1) + ( 3 − 1)Voltamos a utilizar a  + 25propriedade iii)  1 1−1   2 2  = 8 2 +2  + 25 = 16 + 16 + 25 = 57  1 0  =1, pela propriedade i) Existem 57 permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} com apenas um ascendente. b) exactamente quatro ascendentes; Pela propriedade ii) temos que: n n = , n ≥1 k n −1− k Então, 6 6 6 = = . 4 6 −1− 4 1 Quer isto dizer que o número de permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} com um ascendente é igual ao número de permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} com quatro ascendentes. 6 6 6 6 Como calculámos na alínea anterior = 57 e como = , então = 57 . 1 1 4 4 Logo, existem 57 permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} com, exactamente, quatro ascendentes. c) exactamente dois excedentes; 7
  9. 9. Como já vimos, os números de Euler também podem ser utilizados para calcular onúmero de permutações com k excedentes.Para resolver esta alínea vamos utilizar a fórmula n i  n + 1 k E ( n, k ) = = ∑ ( −1)  (k +1− i) , n ≥ 1 n k i =0  i Nota 4: Poderíamos continuar a utilizar a fórmula da propriedade iii). 6 i  6 + 1 2 E ( 6, 2 ) = = ∑ ( −1)  (2 +1− i) = 6 2 i =0  i  0 7 1 7 2 7 = ( −1)   ( 3 − 0 ) + ( −1)   ( 3 − 1) + ( −1)   ( 3 − 2 ) = 6 6 6 0 1   2 7! 6 7! 6 7! 6 = 3 − 2 + 1 = 0!7! 1!6! 2!5! = 729 − 448 + 21 = 302Portanto, existem 302 permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} com, exactamente, doisexcedentes.d) exactamente dois descendentes; nReparemos que E ( n, k ) = é o número de permutações com k ascendentes ou o knúmero de permutações com k descendentes ou o número de permutações com kexcedentes ou, ainda, o número de permutações com k + 1 excedentes fracos. Assim,para calcular o número de permutações com exactamente dois descendentes, 6podemos calcular . 2 6Na alínea anterior, vimos que = 302. Logo, existem 302 permutações de 2{1, 2, 3, 4,5, 6} com, exactamente, dois descendentes.e) seis excedentes fracos. 8
  10. 10. n Como já vimos, E ( n, k ) = é o número de permutações com k + 1 excedentes k fracos. Portanto, para determinar o número de permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} com seis excedentes fracos, temos de pensar qual será o valor de k. Para isso basta reparar que k + 1 terá de ser, necessariamente, igual a 6, já que este é o número de excedentes fracos. Portanto, k + 1 = 6 ⇔ k = 5 . Assim, para determinarmos o número de permutações de {1, 2, 3, 4,5, 6} com seis excedentes fracos, basta calcularmos n 6 6 = = =1 k 5 0 pela propriedade i) Portanto, existe apenas uma permutação de {1, 2, 3, 4,5, 6} com seis excedentes fracos. Também podemos reparar que só existe uma permutação de {1, 2, 3, 4,5, 6} 6 com apenas um excedente fraco, já que = 1 . Verificamos que neste caso k 0 (número de ascendentes) é 0, logo o número de excedentes fracos será k + 1 = 0 + 1 = 1 . Assim, existe apenas uma permutação de {1, 2, 3, 4,5, 6} que não tem ascendentes e uma permutação de {1, 2, 3, 4,5, 6} que tem apenas um excedente fraco.Deste modo, verificámos a importância da utilização dos números de Euler. Sem estemétodo, seria quase impossível determinar o número de permutações de umdeterminado conjunto com um certo número de ascendentes, descendentes, excedentes eexcedentes fracos.O método utilizado no Exemplo 1 é prático apenas para conjuntos pequenos, ondepodemos facilmente determinar todas as suas permutações. Quando passamos paraconjuntos maiores, este método torna-se quase impraticável, o que nos leva aosNúmeros de Euler, já que é um método muito mais prático e de fácil utilização. 9

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