Como organizar o encarceramento de animais no Zoo

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Como organizar o encarceramento de animais no Zoo

  1. 1. Centro de Competência de Ciências Exactas e da Engenharia Disciplina: Combinatória – Fundamentos e Aplicações Docente: Teresa Gouveia Discente: Raquel Camacho; Número: 2030305 Resolução do problema “Como organizar oencarceramento dos animais no zoo?” Funchal 2011
  2. 2. Índice1. Resumo ........................................................................................................................ 22. Problema: Como organizar o encarceramento dos animais no zoo? ........................... 33. Resolução do problema ................................................................................................ 4 3.1. Simplificação da informação dada no enunciado do problema ............................ 4 3.2. Resolução do problema por tentativa e erro ......................................................... 5 3.3. Resolução do problema utilizando o algoritmo de Welsh-Powell........................ 74. Considerações Finais ................................................................................................. 105. Bibliografia ................................................................................................................ 11 1
  3. 3. 1. Resumo Neste trabalho procuramos resolver um determinado problema a partir de doismétodos. O problema tem como objectivo descobrir qual o menor número de ambientesque um determinado zoo deve criar, de modo a encarcerar os seus animais sem que estesse ataquem mutuamente ou transmitam doenças uns aos outros. Para resolver este problema, apresentamos dois métodos. O primeiro baseia-sena tentativa e erro e o segundo método baseia-se na Teoria dos Grafos, utilizando oAlgoritmo de Welsh-Powell para encontrar a solução do problema. 2
  4. 4. 2. Problema: Como organizar o encarceramento dos animais no zoo? Os gestores de um moderno e pequeno zoo gostariam de organizar oencarceramento de animais que parecesse o mais natural possível. Em cada ambiente deveria conviver uma variedade de animais compatíveis, istoé, que não se atacassem mutuamente ou espalhassem doenças prejudiciais uns aosoutros. A administração do zoo pretende começar por exibir 12 espécies e tem na suaposse um documento que especifica quais são os animais que não podem se cruzar numdeterminado ambiente. Assim, para organizar o encarceramento dos animais, aadministração tem de ter em conta que: - as girafas não podem estar no mesmo ambiente que ursos, cobras, leões etigres; - as zebras não podem estar no mesmo ambiente que ursos, cobras, leões, tigres echimpanzés; - os ursos não podem estar no mesmo ambiente que girafas, zebras, camaleões,elefantes, tigres e chimpanzés; - os camaleões não podem estar no mesmo ambiente que ursos, cobras, leões,elefantes e tigres; - as cobras não podem estar no mesmo ambiente que girafas, zebras, camaleões,pandas, gazelas, cangurus e chimpanzés; - os leões não podem estar no mesmo ambiente que girafas, zebras, camaleões,pandas, gazelas, cangurus e chimpanzés; - os pandas não podem estar no mesmo ambiente que cobras, leões, tigres egazelas; - os elefantes não podem estar no mesmo ambiente que ursos e camaleões; - os tigres não podem estar no mesmo ambiente que girafas, zebras, ursos,camaleões, pandas, gazelas, cangurus e chimpanzés. Qual será o número mínimo de ambientes que a administração deve criar paraencarcerar os animais, de modo a rentabilizar o espaço disponível e de acordo com ascondições enunciadas? 3
  5. 5. 3. Resolução do problema 3.1. Simplificação da informação dada no enunciado do problema Como pudemos reparar, é difícil responder ao problema com a informaçãodisposta em texto. Assim, podemos criar uma tabela de dupla entrada que represente asituação descrita. Para isso e para facilitar na resolução do problema, atribuiremos a cada espécieanimal um número. Podemos ver quais são os animais do zoo a partir do enunciado doproblema. Assim, temos: 1- Girafas 7- Pandas 2- Zebras 8- Elefantes 3- Ursos 9- Tigres 4- Camaleões 10- Gazelas 5- Cobras 11- Cangurus 6- Leões 12- Chimpanzés A tabela de dupla entrada poderá, então, ser organizada da seguinte forma: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 - X X X X 2 - X X X X X 3 X X - X X X X 4 X - X X X X 5 X X X - X X X X 6 X X X - X X X X 7 X X - X X 8 X X - 9 X X X X X - X X X 10 X X X X - 11 X X X - 12 X X X X X - Nota: O símbolo X significa que o par de espécies respectivo não pode partilharum cárcere em comum. Por exemplo, a espécie 1 não se pode cruzar com a espécie 3, ouseja, as girafas não podem estar no mesmo ambiente que os ursos. 4
  6. 6. 3.2. Resolução do problema por tentativa e erro Para resolver este problema por tentativa e erro, começaremos por tentar colocartodas as espécies animais do zoo num só ambiente. Se não for possível, tentaremos amesma estratégia com dois ambientes. Continuaremos a proceder dessa forma atéconseguirmos distribuir todos os animais pelos diferentes ambientes. Portanto, se o zoo tiver apenas um ambiente e analisando a tabela de duplaentrada, podemos tentar distribuir os animais da seguinte forma: 1, 2, 3, … No entanto, reparamos que este ambiente não está nas condições que o problemanos coloca, já que as espécies 1 e 2 não podem se cruzar com a espécie 3. Assim, não épossível organizar o encarceramento dos animais num só ambiente. Verifiquemos agora a hipótese de o zoo ter apenas dois ambientes: 1, 2, 4, 7, 11, 3, 12, … … Reparemos que esta situação em que temos dois ambientes também não está nascondições do problema, já que a espécie 3 não é compatível com a espécie 12.Podíamos tentar colocar a espécie 12 no primeiro ambiente, de modo a afastá-la daespécie 3, mas no ambiente 1 encontra-se a espécie 2 que também não é compatível coma espécie 12. Assim, necessitamos de, pelo menos, três ambientes no referido zoo. 5
  7. 7. Analisemos, então, a hipótese de o zoo ter três ambientes: 1, 2, 4, 7, 11, 12, 8, 10, 9, 3, 5, 6, … … … Reparemos que também esta situação em que temos três ambientes não está nascondições do problema, já que a espécie 12 não é compatível com a espécie 9.Podíamos tentar colocar a espécie 9 no primeiro ambiente, de modo a afastá-la daespécie 12, mas no ambiente 1 encontra-se a espécie 1 que também não é compatívelcom a espécie 9. Podíamos tentar colocar a espécie 9 no ambiente 3, mas nesseambiente encontra-se a espécie 3 que não é compatível com a espécie 9. Assim, não podemos organizar os animais em apenas três ambientes. Vão sernecessários, pelo menos, quatro ambientes no zoo. Analisemos, então, a hipótese de o zoo ter quatro ambientes: 1, 2, 4, 7, 11 12, 8, 10 3, 5, 6 9 Como podemos ver, se o zoo tiver quatro ambientes, as diferentes espéciespodem ser distribuídas sem qualquer problema. Uma vez que excluímos as hipóteses deo zoo poder ter um, dois ou três ambientes, concluímos que quatro é o número mínimode ambientes que o zoo deverá ter de modo a que o encarceramento dos animais se façade acordo com as condições dadas inicialmente. A distribuição dos animais poderá, então, ser feita da seguinte forma: - No ambiente 1 vão ser colocados girafas, zebras, camaleões, pandas ecangurus; - No ambiente 2 vão ser colocados chimpanzés, elefantes e gazelas; - No ambiente 3 vão ser colocados ursos, cobras e leões; - No ambiente 4 vão ser colocados os tigres. 6
  8. 8. 3.3. Resolução do problema utilizando o algoritmo de Welsh-Powell Para utilizar o algoritmo de Welsh-Powell podemos desenhar um grafo querepresente a situação descrita no problema e que já foi simplificada através da tabela dedupla entrada. Assim, o grafo seguinte representa a referida situação. Cada vértice do graforepresenta uma espécie diferente, identificada pelo número que lhe foi atribuídoanteriormente. Enquanto cada aresta indica quais são os animais que são incompatíveis,ou seja, que não são susceptíveis de estarem num mesmo ambiente. A partir do grafo podemos, então, recorrer ao algoritmo de Welsh-Powell. Dereferir ainda que este algoritmo poderia ser utilizado sem o recurso ao grafo, podendonos basear apenas na informação disponível na tabela de dupla entrada. No entanto, a análise do grafo dá uma melhor percepção dos ambientes quedeverão ser criados, de forma a que o problema seja solucionado. 7
  9. 9. Aplicando o algoritmo de Welsh-Powell, temos: Ordenação Vértices não Vértices VérticesVértice Grau Cor Vértice Grau adjacentes Seleccionados Rejeitados 1 4 9 8 5, 6, 8 5, 6, 8 - 2 5 6 7 - - - - 3 6 5 7 - - - - 5, 6, 7, 10, 4 5 3 6 7, 11 5, 6, 10 11 1, 4, 7, 8, 5 7 2 5 4, 1, 10 7, 11, 8 10, 11 6 7 4 5 - - - - 1, 4, 7, 8, 1, 4, 7, 8, 10, 7 4 12 5 - 10, 11 11 8 2 1 4 - - - - 9 8 7 4 - - - - 10 4 10 4 - - - - 11 3 11 3 - - - - 12 5 8 2 - - - - À medida que vamos aplicando o algoritmo, vamos pintando os vértices do grafo, de modo a ir excluindo as hipóteses e a ir tendo uma ideia de como vão se dividir os animais pelos diferentes ambientes. 8
  10. 10. Aplicando este algoritmo conseguimos chegar à conclusão de que seránecessário criar, no mínimo, quatro ambientes no zoo, de modo a que as diferentesespécies de animais não se ataquem nem transmitam doenças umas às outras. A distribuição dos animais poderá, então, ser feita da seguinte forma: - No ambiente 1 vão ser colocados tigres, cobras, leões e elefantes; - No ambiente 2 vão ser colocados ursos, pandas e cangurus; - No ambiente 3 vão ser colocados zebras, camaleões, girafas e gazelas; - No ambiente 4 vão ser colocados os chimpanzés. 9
  11. 11. 4. Considerações Finais Através deste problema, pudemos explorar dois métodos diferentes de resolução.No primeiro método, que é bastante utilizado neste tipo de problemas, procuramosencontrar a solução por tentativa e erro. Reparámos que se o zoo tivesse um, dois ou trêsambientes, haveria sempre animais que se atacariam mutuamente ou transmitiriamdoenças uns aos outros. Repetimos o processo para o caso de o zoo ter quatro ambientes e reparámos queneste caso não havia nenhum animal que ficasse numa situação em que se cruzasse comanimais incompatíveis. Portanto, por tentativa e erro descobrimos que o número mínimo de ambientesque a administração do zoo deve criar era quatro. O segundo método consistiu na aplicação do algoritmo de Welsh-Powell, tendopara isso representado a informação do problema num grafo. Através deste método,facilmente chegámos à mesma conclusão que tínhamos chegado através do métodoanterior. É de salientar que em ambos os métodos obtivemos a mesma solução, ou seja,que a administração do zoo deverá criar quatros ambientes distintos, mas obtivemosuma distribuição diferente de animais em cada método. Este facto não é relevante, pois existem diferentes distribuições que podem serfeitas pelos quatro ambientes. Provavelmente se resolvêssemos o problema através deum terceiro método, obtínhamos uma distribuição dos animais diferente das queobtivemos neste trabalho. 10
  12. 12. 5. Bibliografia  Malkevitch, J. (1995). Modelos de Grafos. Lexington: COMAP 11

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