Paulo wintele

1.141 visualizações

Publicada em

vetores e geometria analítica

Publicada em: Tecnologia
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
1.141
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
9
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
14
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Paulo wintele

  1. 1. VEAJ-_I-V mí À'1I= _I: -_: _-'un_ ; YEIEJÊIÊ l k- ' a
  2. 2. Pearson Education EMPRESA CIDADÃ
  3. 3. PEARSON Makren ' Books São Paulo Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela ; IRIA ANALITICA Paulo Winterle
  4. 4. © 2000 by Pearson Education do Brasil Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro melo, eletrônico ou mecânico, inc| uindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Pearson Education do Brasil. Produtora Editorial: Marileide Gomes Capa: Conjunto Comunicação Editoração Eletrônica: ERJ Composição Editorial e Artes Gráficas Ltda. Dados de catalogação na Publicação Winterle, Paulo Vetores e Geometria Analítica São Paulo : Pearson Makron Books, 2000. ISBN: 85-346-1 109-2 2007 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil, uma empresa do grupo Pearson Education Av. Ermano Marchetti, 1435 CEP: 05038-001 - Lapa - São Paulo - SP Fone (11) 2178-8686 Fax (11) 3611-0444 e-mail: vendas@pearsoned. com
  5. 5. Agradecimentos A Deus pelo dom da eterna vida e pela vocação na apaixonante carreira docente. À Lia, minha esposa, pelo amor, paciência e muito apoio nas centenas de horas durante os meses de preparação deste livro. Aos editores da Makron Books que sempre acreditaram em mim. Aos milhares de ex-alunos, com os quais muito aprendi. Aos colegas pelo incentivo. Ao colega e grande amigo Nivaldo Almeida Fonseca pela força e valiosas sugestões. Ao colega Valmir Balbinot com quem aprendi muito a fazer jiguras e que tem sua con- tribuição neste trabalho. ' Ao colega Airton Cabral de Andrade pelas inserções de aplicações na Física. Aos jovens empreendedores da Empresa Conjunto Comunicação: Andre' Corrêa, Raul Merch e Rodrigo Rey, que souberam "bolar"_uma capa cheia de energia e humanismo que a Matemática contém. E, por fim, dois agradecimentos muito especiais. Em primeiro lugar à colega e querida amiga Vera Regina da Rocha Bauer pelo grande e cuidadoso trabalho de revisão do conteúdo e por suas valiosas contribuições na melhoria deste texto. Um muito obrigado e' pouco, Vera. E à colega Rita Maria Silvia Carnevale pela minuciosa revisão do texto e por ótimas sugestões na apresentação deste trabalho. Um abraço bem forte, Rita.
  6. 6. Parc¡ Início cIe Conversa. .- A experiência adquirida nestes mais de 20 anos de docência da disciplina me motivou a apresentar um trabalho, cuja ênfase é o aspecto didático. Procurei organizar um texto que permita ao estudante “prosseguir sozinho”, se assim o desejar, sem naturalmente prescindir da orientação do professor. E, ara tanto, como este livro foi ensado? O texto está estruturado sobre os P _ P dois randes assuntos, intimamente relacionados, de seu título. Os “ ersona ens” g P g dos uatro rimeiros Ca ítulos são os Vetores, cu'o a el é de fundamental im- q P P J P P ortância, não a enas no ensino da Matemática, como na a lica ão em outras áre- P P P Ç as. No fmal dos Capítulos 2 e 3 encontram-se duas aplicações na Física. No Capítulo l, a noção de Vetor é apresentada de forma intuitiva, e seu estudo é rea- lizado por meio dos Tratamentos Geométrico e Algébrico. Este capítulo mereceu ' uma atenção muito “carinhosa” e por isso mais delongada, porquanto seu conteú- do facilitará sobremaneira a compreensão do que está pela frente. Os últimos cinco capítulos são dedicados à Geometria Analítica. O estudo da Reta, do Plano e das Distâncias (Capítulos 5, 6 e 7), estruturado sobre Vetores, pretende conduzir o estudante a interpretações geométricas de fatos algébricos. No Capítulo 8, curio- sidades em tomo das Cônicas emolduram o assunto, e, finalmente, no Capítulo 9, pretende-se fazer entender a origem das equações das Superfícies Quádricas, a partir das correspondentes Superfícies de Revolução. A par de uma seqüência lógica dos assuntos, são apresentados 111 problemas resol- vidos, que no texto estão identificados como Exemplos. Sua criteriosa seleção objetivou,
  7. 7. VIII Vetores e Geometria Analítica na maioria das vezes, não só complementar a parte teórica, como preparar para o passo seguinte. Como estes apaixonantes segmentos da Matemática, Vetores e Geometria Analítica, permitem a visualização dos conceitos, são apresentadas 214 Figuras, que podem auxiliar em muito sua compreensão. Além de tudo, um número expressivo e variado de Problemas Propostas no final de cada capítulo, ao todo 460, proporcionará uma aprendizagem mais consistente. A elaboração de um livro-texto, com a explícita função didática voltada ao desenvol- vimento de um trabalho acadêmico, tanto dentro quanto fora da sala de aula, propõe-se a atingir dois alvos: o aluno e o professor. Ao aluno, razão primordial do processo de ensino-aprendizagem, gostaria de me diri- gir de um modo todo especial. Às vezes é bom lembrar: Vetores e Geometria Analítica são assuntos de vital importância na compreensão de disciplinas tais como Cálculo, Álgebra Linear, Equações Diferenciais, e outras, uma vez que, além de relacionarem as represen- tações algébricas com entes geométricos, visam a desenvolver habilidades como raciocínio geométrico e visão espacial. Sua aprendizagem, entretanto, será tanto mais segura e con- sistente, quanto maior for o tempo dedicado a atividades extraclasse, principalmente na solução de problemas. Ao tentar resolvê-los, sugere-se não fazê-lo de forma "corrida", e sim saltando de dois em dois, ou de três em três, até o fmal. Assim se terá passado por todo o conteúdo e experimentado os diversos níveis de dificuldade. E, no caso de ainda sobrar tempo, recomenda-se retornar e resolver aqueles que ficaram de fora, para reforçar o conhecimento do conteúdo. Estes problemas são apresentados na ordem de desenvolvi- mento do texto, e os últimos oferecem maiores desafios. Finalmente, para permitir a auto- avaliação do trabalho, Respostas são apresentadas logo a seguir. Ao professor e colega desejo manifestar a satisfação deste lançamento, colocando em suas mãos um texto, assim espero, facilitador de sua tarefa docente. É claro que este tem a “cara" do autor, e meus ex-alunos certamente nele me identificariam. Da mesma forrria, cada professor tem suas “peculiaridades” (ainda beml), razão por que não é possível fazer um livro do agrado de todos. O texto foi planejado para ser desenvolvido num semestre letivo de quatro aulas se- manais. Entretanto, variáveis tais como bagagem do aluno, proposta do curso e objetivos da disciplina podem requerer adaptações. Por esta razão, foi apresentado um número ele- vado de exercícios, para tornar possível ao professor um maior ou menor aprofundamento da matéria, assim como atendimento diferenciado aos alunos frente a seus interesses e potencialidades. Além disso, os tipos variados de exercícios permitem ao professor sugerir aqueles que melhor se adaptem ao seu gosto, estilo e objetivos.
  8. 8. Para Início de Conversa. .. IX Finalizando, ciente de que o sucesso de toda iniciativa de construção e difusão de conhecimentos muito depende das contribuições daqueles a quem se destina, dirijo este apelo a todo usuário -- aluno ou professor - deste texto: se gostou, diga, por gentileza; e da mesma forma, se não gostou dele. Opiniões, críticas e sugestões serão bem-vindas, pois, com toda a certeza, contribuirão para o aperfeiçoamento de futuras edições. Para suas apreciações, dirija-se diretamente para winterle. voy@zaz. com. br, ou es- creva para a Editora, que me repassará as manifestações que receber. Paulo WÃNie/ iíe
  9. 9. Sumário Agradecimentos . . . . . . . . . Para início de Conversa . . . . . l. . ... ... .VII Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l o TRATAMENTO GEOMÉTRICO . . . . .1 Noção Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .l Casos Particulares de Vetores . . . . . . . . . .4 Operações com Vetores . . . . . . . . . . . . . . .7 Ângulo de Dois Vetores . . . . . . . . . . . . . .13 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . .14 3+ v o TRATAMENTO ALGÉBRICO . . . .. 18 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Igualdadede Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Operações com Vetores . . . . . . . . . . . . . 21 Vetor Definido por Dois Pontos - . . . . . . 24 Ponto Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Paralelismo de Dois Vetores . . . . . . . . . . 28 Módulo de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Vetores no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . 32 Igualdade, Operações, Vetor Definido por Dois Pontos, Ponto Médio, Paralelismo, Módulo de um Vetor . . . . 37 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . 40
  10. 10. XII 2. 4. Vetores e Geometria Analítica Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . 49 Definição Algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . .49 Propriedades do Produto Escalar . . . . . . .50 Definição Geométrica de Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 Cálculo do Ângulo de Dois Vetores . ..S6 Angulos Diretores e Co-senos Diretores de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57 Projeção de um Vetor sobre Outro . . . . .60 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 Produto Escalar no Plano . . . . . . . . . . . . .63 Uma Aplicação na Física . . . . . . . . . . . . .64 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . .66 ii x í? M <i >< Cl ProdutoM¡sto Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 Propriedades do Produto Misto . . . . . . .94 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . .96 Volume do Tetraedro . . . . . . . . . . . . . . .98 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . .99 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . 73 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Definição de Produto Vetorial . . . . . . . . 74 Características do Vetor Ii x i7 . . . . . . . . 76 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Uma Aplicação na Física . . . . . . . . . . . . 86 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . 87
  11. 11. Sumário XIII 5. A Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |03 Equação Vetorial da Reta . . . . . . . . . . .103 Equações Paramétricas da Reta . . . . . . .105 Reta Definida por Dois Pontos . . . . . . .107 Equações Paramétricas de um Segmento de Reta . . . . . . . . . . . . . . . .108 Equações Simétricas da Reta . . . . . . . .108 Equações Reduzidas da Reta . . . . . . . .109 Retas Paralelas aos Planos Coordenados 110 Retas Paralelas aos Eixos Coordenados 112 Ângulo de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . .114 Retas Ortogoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115 Reta Ortogonal a Duas Retas . . . . . . . .115 Interseção de Duas Retas . . . . . . . . . . . ,116 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . .118 6. OPlano. ... ... . . . . . . .. ... ... l25 Equação Geral do Plano . . . . . . . . . . . . 125 Equação Vetorial e Equações Paramétricas do Plano . . . . . . . . . . . . 128 Equação Vetorial de um Paralelogramo 132 Casos Particulares da Equação Geral do 7. Distâncias l5| Distância entre Dois Pontos . . . . . . . . . .151 Distância de um Ponto a uma Reta . . . .151 Distância de Ponto a Plano . . . . . . . . . .153 Distância entre Duas Retas . . . . . . . . . .155 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . .157 Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Ângulo de Dois Planos . . . . . . . . . . . . 136 Planos Perpendiculares . . . . . . . . . . . . 137 ' Paralelismo e Perpendicularismo entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Reta Contida em Plano . . . . . . . . . . . . 139 Interseção de Dois Planos . . . . . . . . . . 139 Interseção de Reta com Plano . . . . . . . 140 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . 141
  12. 12. XIV Vetores e Geometria Analítica 8. Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l59 As Seções Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . l59 PARÁBOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162 Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163 Equações Reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . .163 Translação de Eixos . . . . . . . . . . . . . . . .167 Outras Formas da Equação da Parábola .167 Equações Paramétricas . . . . . . . . . . . . . .171 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . .172 O HIPÉRBOLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193 Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194 Equações Reduzidas . . . . . . . . . . . . . . .195 Outras Formas da Equação da Plipérbole .199 Equações Paramétricas . . . . . . . . . . . . . .202 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . .204 Curiosidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209 ELIPSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.78 Equações Reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . 1.79 Outras Formas da Equação da Elipse . . 1.83 Equações Paramétricas . . . . . . . . . . . . . . 1.86 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . 1.89 Superfícies Quádricas . . . . . . . . . 2l3 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Superfícies de Revolução . . . . . . . . . . 214 Elipsóides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Hiperbolóides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.8 Parabolóides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Superfícies Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . 223 Superfícies Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . 224 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . 225 Bibliografia
  13. 13. Vet Com o propósito de garantir uma maior clareza para o leitor, a abordagem do estudo de vetores será feita por meio de dois tratamentos que se completam: geométrico e algébri- co. A grande vantagem da abordagem geométrica é de possibilitar predominantemente a visualização dos conceitos que são apresentados -para estudo, o que favorece seu entendi- mento. Posteriormente, os mesmos assuntos e ainda outros serão abordados sob o ponto de vista algébrico, mais formal e abstrato. o TRATAMENTO GEOMÉTRICO Noção Intuitiva Existem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. As escalares são aquelas que › ficam completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade, são exemplos de grandezas escalares. Assim, quando dizemos que uma mesa tem 3m de comprimento, que o volume de uma caixa é de 10 dm3 ou que a temperatura ambiente é de 30°C, estamos de- terminando perfeitamente estas grandezas. Existem, no entanto, grandezas que não ficam completamente definidas apenas pelo seu módulo, ou seja, pelo número com sua unidade correspondente. Falamos das grandezas vetoriais, que para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Força, velocidade, acelera- ção, são exemplos de grandezas vetoriais. Antes de apresentar um exemplo mais palpável de grandeza vetorial, precisamos ter bem presente as idéias de direção e de sentido. A Figura 1.1(a) apresenta três retas. A reta r¡ determina, ou defme, uma direção. A reta t2 deterrriina outra direção, diferente da dire- ção de r¡. Já a reta t3, por ser paralela a r¡, possui a mesma direção de r¡. Assim a noção de direção é dada por uma reta e por todas as que lhe são paralelas. Quer dizer, retas pa- ralelas têm a mesma direção.
  14. 14. 2 Vetores e Geometria Analítica Na Figura 1.1(b) a direção é definida pela reta que passa pelos pontos A e B. O des- locamento de uma pessoa nessa mestria direção pode ser feito de duas maneiras: no sentido de A para B ou no sentido contrário, de B para A. Portanto, a cada direção podemos asso- ciar dois sentidos. Fica claro então que só podemos falar em “sentidos iguais” ou em “sen- tidos contrários" caso estejamos diante da mesma direção. r* A B r3 (a) (b) Figura I . I Agora vamos a um exemplo. Consideramos um avião com uma velocidade constante de 400 km/ h, deslocando-se para nordeste, sob um ângulo de 40° (na navegação aérea, as direções são dadas pelo ângulo considerado a partir do norte (N), em sentido horário). Esta grandeza (velocidade) sería representada por um segmento orientado (uma flecha - Figura 1.2), sendo o seu módulo dado pelo comprimento do segmento (no caso, 4cm, e cada lcm corresponde a 100 lan/ h), com a direção e o sentido definidos pelo ângulo de 40°. O senti- do será indicado por uma seta na extremidade superior do segmento. Observemos que no caso de o ângulo ser 220° (40° + 180°), a direção continua sendo a mesma, porém, o sentido é o oposto. Este exemplo de grandeza vetorial sugere a noção de vetor. Abstendo-se da idéia de grandezas vetoriais, diríamos que o vetor é representado por um segmento orientado (um segmento está orientado quando nele se escolhe um senti- do de ercurso, considerado ositivo . P
  15. 15. também $ = PQ , o que vem reforçar o fato de que Cap.1 Vetores 3 Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção (são paralelos ou colineares) e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor. Na Figu- ra 1.3 todos os segmentos orientados paralelos, de mesmo sentido e mesmo comprimento de AB, representam o mesmo vetor, que será indicado por e AB ou B-A ondeA é a origem e B a extremidade do segmento. O vetor também costuma ser indicado por uma letra minúscula encimada por uma flecha, tal como V . B Figura I .3 Quando escrevemos Ç = A_B (Figura 1.4), estamos afirmando que o vetor Ç é de- terminado pelo segmento orientado AB. Porém, qualquer outro segmento de mesmo com- primento, mesma direção e mesmo sentido de AB representa também o mesmo vetor v. Assim sendo, cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado que é representante do vetor v. Esta é a razão de o vetor também ser chamado vetor livre, no sentido de que o representante pode ter sua origem colocada em qualquer ponto. B <t Figura l .4 Ainda, dados um vetor Ç = AB e um ponto P, existe um só ponto Q (Figura 1.5) tal que o segmento v orientado PQ tem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB. Portanto, temos um representante de 3 pode ter sua origem em qual- quer ponto P do espaço.
  16. 16. 4 Vetores e Geometria Analítica O módulo, a direção e o sentido de um vetor 3 é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes. Indica-se o módulo de v por Iv | ou | | v II. Casos Particulares de Vetores a) Dois vetores u e v são paralelos, e indica-se por iil/ Ç , se os seus representantes tiverem a mesma dire- °++ ção. Na Figura 1.6, tem-se ã/ /Ç nã , onde ii e Ç têm *m* o mesmo sentido, enquanto ii e v , têm sentido contrá- rio ao de Q . Figura I .6 -› -› b) Dois vetores u e v são iguais, e indica-se por u : v , se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido. C) Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é indicado por Õ ou ÍA (a origem coincide com a extremidade). Pelo fato deste vetor não pos- suir direção e sentido definidos, considera-se o vetor zero paralelo a qualquer vetor. d) A cada vetor não-nulo Ç corresponde um vetor oposto V _, - Ç, de mesmo módulo e mesma direção de v, porém, de _v sentido contrário (Figura 1.7). Se Ç : AB , o vetor B_A› é ooposto de A_B , isto é, E4; = -ÍB. Figura l.7 e) Um vetor E é unitário se Iii I = l. A cada vetor v, Ç ; t Õ, é possível associar dois _, vetores unitários de mesma direção de Ç: ii e -ii _. l -› ' (Figura 1.8). Nesta figura, tem-se Iv | = 3 e @+5 _. _, .. . -› l lu | = l-u | = l. O vetor u que tem o mesmo sentido i, E** I de v é chamado versor de v . Na verdade o vetor u __ z / - _ Figura l.8 nao e versor so dev , mas sim de todos os vetores paralelos e de mesmo sentido de v e medidos com a mesma unidade.
  17. 17. ã' l l -› V v A (a) Figura l.9 x7 P H Figura | .IO “i Cap. 1 Vetores 5 f) Dois vetores ii e Ç (Figura 1.9(a)) são ortogonais, e indica-se por u _L Ç, se al- gum representante de ii formar ângulo reto com algum representante de v . A Figura 1.9(b) apresenta dois repre- sentantes de ii e 3, com origem no ponto A, formando ângulo reto. Considera-se o vetor zero ortogonal a qualquer vetor. g) Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores z estão representados. E importante obser- var que dois vetores u e vquaisquer são sempre coplanares, pois basta consi- derar um ponto P no espaço e, com ori- gem nele, traçar os dois representantes de u e v pertencendo ao plano n (Figura 1.10) que passa por aquele ponto. No caso de u e v serem não paralelos como nesta figura, estes vetores determinam a “direção” do plano n, que é a mesma de todos os planos que lhe são paralelos. Três vetores poderão ser coplanares (Figura 1.l1(a)) ou não (Figura 1.1l(b)). 51 = i <i Figura | .l I
  18. 18. 6 Vetores e Geometria Analítica Exemplos 1) A Figura 1.12 é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). De- cidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: h) Íc/ /ñ o) ? NLM i) To/ /IÍB p) IÀFc1=Iñ>I j) ÃÍ/ /F-Ó q) Iñañ¡ k) ? ELE r) IXÍI= |KÕI 1) ELE. s) | A_Ól=2Iñ5| m)ñ-Í_LãÍ t) mai¡ n) ñLñ ' Figura | .I2 Respostas a) V d) V g) F j) V m) F p) V s) b) V e) V h) V k) V n) V q) t) V c)F DV i)F 1)V o)V r)F 2) A Figura 1.13 representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: Figural. l3 a) nTizãf' e) IÃEI= IÊ= I b) AB= -HTí t) IA_G›| =IDFI c) ABLãÍ g) Ê/ /ÉS d) AF J_ É h) AB, FE e _CI-Ó são coplanares
  19. 19. Cap. 1 Vetores 7 i) ÍB, É e Fê são coplanares m) [TB, É e CF são coplanares j) Fê , CB e ITF são coplanares n) AF é ortogonal ao plano ABC k) A_C, DB e Fê são coplanares o) E é ortogonal ao plano BCG l) ãã e são coplanares p) DC 'éparalelo ao plano HEF Respostas a) V e) V i) V m) V b) F f) V j) V n) V c) V g) F k) V o) V d) V h) F 1) F p) V Operações com Vetores Adição de Vetores Consideremos os vetores u e v , cuja soma u + v pre- tendemos encontrar. Tomemos um ponto A qualquer (Fi- É + v gura 1.14) e, com origem nele, tracemos um segmento . ~ . . A V orientado AB representante do vetor u. Utilizemos a ex- tremidade B para traçar o segmento orientado BC repre- É B sentante de v . O vetor representado pelo segmento orientado de origem A e extremidade C é, por definição, o Figura I. I4' vetor soma de u e V , isto é, E + V = _Á-á ou E + íãõ = R: Sendo ii / / V , a maneira de se obter o vetor ii + V é a mesma e está ilustrada na Figura 1.15(a) (ii e V de mesmo sentido) e na Figura 1.15(b) (ii e V de sentidos contrários). 1D : D 1. u V u u : ¡ -+ : : -› -› 1 i _› _› : u+v : : u+v :
  20. 20. 8 Vetores e Geometria Analítica No caso de os vetores u e v não serem paralelos, há uma outra maneira de se encontrar o vetor soma u +v. Repre- sentam-se ii = AB e V= Ã_D por segmentos orientados de mesma origem A. Completa-se o paralelogramo ABCD (Fi- gura 1.16) e o segmento orientado de origem A, que corres- ponde à diagonal do paralelogramo, é o vetor u + v , isto é, ii + Ç = AT: Figura | .l6 ou FB + Í) = ;é Para o caso de se determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é análo- go (Figura 1.l7(a)) e, em particular, se a extremidade do representante do último vetor coincidir com a origem do representante do primeiro (Figura l.17(b)), a soma deles será o vetorzero(u + V + É + t = Õ). -› -› V V c; ? l : l 21 A (a) * (b) Figura I . |7 Sendo u , v e w vetores quaisquer, a adição admite as seguintes propriedades: -› _o I) Comutativa: u + V = v + u l J l II) Associativa: (E + V. ) + w IH) Elemento neutro: u + O IV) Elemento oposto: ii + (-ii ) = Õ O vetor u + (-v ), escreve-se u - v, é chamado diferença entre u ev . u Observemos que no paralelogramo determinado _ç pelos vetores ii e V (Figura 1.18), verifica-se que V _Ç a soma E + i; é representada por uma das diago- A nais, enquanto a diferença ii - j; pela outra dia- ; gonal. Figura I . I8
  21. 21. Cap. 1 Vetores 9 Exemplos 1) Com base na Figura 1.12, página 6, determinar os Vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: a) XÕ+CTV e)Ê+ã5 DITÓ-IÍIF b) AB+BD t)AM+BL pÉ-ã c) A_C›+Í› g)í(+A_lÍ k)I: F+P_IÍ+lI_F d) _ÃC+AK mlñ-â 1) BL+_B_N›+PB Solução . a) AN c) AB e) AM g) AH i) AC k) AE b) AD d) AO t) AK h) AI j) AC l) 0 2) Com base na Figura 1.13, página 6, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: a) E + É e) C_Ó + EI b) É: + E f) É? - ã c) BF + EI g) ? B + : D + . TE d) ETs-EE mÊ+DA+FH Solução a) ; F c) TH e) E g) ; Ci b) AE d) AB f) 7.413 h) AD 3) Dados dois Vetores u e V não-paralelos, construir no mesmo gráfico os Vetores u + V , -›-› -› u - V , V - u e - u - V , todos com origem em um mesmo ponto. Solução Para os Vetores u e V da figura, tem-se:
  22. 22. 10 Vetores e Geometria Analítica 4) Provar que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio. Solução Consideremos o paralelogramo ABCD de dia- D C gonais AC e BD e seja M o ponto médio de AC (Figura 1.19), equivale dizer que ATI = Vamos provar que M é também ponto médio de BD. Pela figura, tem-se B BM = B_C + ã (definição de soma) = TD + MA (igualdade de vetores) = m + ? D (propriedade comutativa) = MD (definição de soma) Ora, como ü = WD , conclui-se que M é ponto médio de E3.. Figura l. l9 Multiplicação de Número Real por Vetor Dado um vetor V ; t Õ e um número real ot ; t O, chama-se produto do número real apelo vetor V , o vetor oLV tal que a) módulo: loLVI = Iotl | V l, isto é, o comprimento de otV é igual ao comprimento de V multiplicado por I oi l ; b) direção: oLV é paralelo a V ; c) sentido: ocV e V têm o mesmo sentido se Ot. > O, e contrário se ot < 0. Seoc= Oou V= Õ,entãootV= Õ A Figura 1.20 apresenta o vetor V e alguns de seus múltiplos. L7 2 M. Figura l .20
  23. 23. Cap. 1 Vetores 11 Observações a) Considerando o porito O como origem de V , V ; t O , e de todos os Vetores oLV que lhe são paralelos (Figural.21), se fizermos OL assumir todos os valores reais, teremos repre- sentados em uma só reta todos os vetores paralelos a V . Figura l .2l Por outro lado, supondo ii / / V , V ; t Õ, sempre existe um número real ot tal que u = ocv. Por exemplo, na Figura l.22, onde DC está dividido em cinco segmentos É ¡ _ , ,, , congruentes (de mesmo comprimento), em relação ao Vetor E (I A-B | = 2), tem-se rc = Em 2 Êíz-ZÍB __. 5_. CD= --AB 2 b) Vimos em Casos Particulares de Vetores, Figura 1.8, página 4, que a cada Vetor -° -° , , . . . , . - . , . 1 - V ; t 0, e possivel associar dois vetores umtarios paralelos a v. O vetor umtario Tv lvl Figura l .22 -› v . -° , ~ ou T de mesmo sentido de V e o versor de V . IVI Por exemplo, seIV| =5,oVersorde V é 9 Lhl<l 1 _. selvl: -, oversorde v é 3V; _o -s . .V V selvl=10,oVersor de-v e-_ 10'
  24. 24. 12 Vetores e Geometria Analítica Exemplo Seja o Vetor V ; t Õ. Determinar o Vetor paralelo a V tal que a) tenha o mesmo sentido de V e módulo 5; b) tenha sentido contrário ao de V e módulo 10. Solução ç; A partir de um Vetor arbitrário V : é O (Figura 1.23) é sempre -V , . . . . V ç possivel assoc1ar os dois Vetores paralelos e unitários: : . ___; .. T IVI IVI . . 4m* -Ê (mesmo sentido de V) e -é (sentido contrário ao de V). V IV | Lo , t - 1 " : Figura m3 go em se as so uçoes à _› 5V 10V a) í e --T | V| IVI Se u e V são Vetores quaisquer e ot e B números reais, a multiplicação de número real por Vetor admite as propriedades: l mam? =oc(BV) II) (a+[5)$ = ocV +55 26+? ) 111)a(ã+$): aE+a$ 1V) 1$: v 2V 11 + V A Figura 1.24 ilustra a propriedade HI para oc = 2, isto é, __ _, 2(u+v)=2u+2v. u 211 Figura l.24 -3* Exemplos , ü v 1 1) Representados os Vetores u , V e V EW _› l' '19 í w como na Figura 1.25(a), obter graficamente o vetor ; i tal que 74x í :213 - 3? + lã. 2 (a) (b) Solução: Figura 125(b) - 'agua l 25
  25. 25. Cap.1 Vetores 13 2) Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade. Solução Seja o triângulo ABC e M e N os pontos médios dos lados CA e CB, respectivamente (Fi- gura 1.26). Pela figura, tem-se _ííí MN= MC+CN C 1__. _. = É(AC+CB) 1 __ A B = -AB 2 Figura l.26 Portanto, ñ / / ; B e lã | = Ângulo de Dois Vetores O ângulo entre os vetores não-nulos ii e V é o ângulo 9 for- mado por duas semi-retas OA e OB de mesma origem O (Figu- ra 1.27), onde ii = ã, V = 0T; e0SOS1t(9 emradianos) ou 0° S 6 $180? Se u / /V e u e V têm o mesmo sentido, então 6 = 0. É o B <l u A que ocorre, por exemplo, com os Vetores u e 2 u que têm o mesmo sentido (Figura 1.28(a)). Figura 1.27 n Se 5x/ V e ii e V têm sentidos contrários, então 9 = n. É o caso de ii e -3 ii (Figu- ra 1.28(b)). 2K -33 (a) (b) Figura l .28
  26. 26. 14 Vetores e Geometria Analítica Problemas Propostos 1) A Figura 1.29 apresenta o losango EFGH ins- crito no retângulo ABCD, sendo O o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é Verdadeira ou falsa cada uma das seguintes aflfmaçõesí Figura 1.29 a)E§O›= O;G. DH-E= O-C @Fu/ ã wíuã g)| A_C›| =lBD| 1) ÂÊioTi c) Ê: Ê hníamàuíai ¡mãiiõiã d) IC-OI= lO-BI i) KIM/ í) n) ÍoiíF e) IH-OI= lH-Dl j) &nã; o) @pia 2) Decidir se é Verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: a) seã : V, entãoliil= lVl. b) Se| ii| =|VLentão ã : 5. c) Se ü / / V, entãou = d) Seii = V, então E / / e) Se ã : E + V, então| Vv›| =|1-i| +IVl. f) I; /.| =|ii| + IVI, então E, V e VV sãoparalelos. g) Se A_›B = DC , então ABCD (vértices nesta ordem) é paralelogramo. h) l5VI= I-5V| =5|Vl. i) Os Vetores 3 V e -4V são paralelos e de mesmo sentido. j) Se E / / Ç, IEI:2e¡ÇI:4, então Ç :25 ou Ç : -2E. k) Se| V|=3,oVersorde-10V é -X. 3 3) Com base na Figura 1.29, determinar os Vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: a)õC+Cñ e)Ê+B_Ó DãÊ-H-Ó b)ETI›+ITG'› ozñníc jpTMÊMÉ) c)2ð'E+2Í«' g)àíc. +ãñ d)Êñ+íi5 mFÊHFÊ
  27. 27. Cap. 1 Vetores 15 4) O paralelogramo ABCD (Figura 1.30) é determinado D M C pelos Vetores A-B e A-D , sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Determinar: a) ÀBMÃÊ aux-mí' b) í§+í§ e)I#VI_D›+l_/ IB A N B c) 'A73' _ íó Í) É¡ _lã F¡guraI.30 2 5) Apresentar, graficamente, um representante do Vetor u - V nos casos: -› V -› ll '› _› V. -› _D ll V u v -› U (a) (b) (c) (d) 6) Determinar o Vetor ii nas figuras: -F -› V 'P _. ;E u E X -› " u X u -› '› . . V -› X . V V (a) (b) (c) (d) 7) Dados três pontos A, B e C não-colineares, como na Figura 1.31, representar o vetor ; E DOS casos: a) SE : BA + 2BC c) b)2:2ã+2í37à d) Figura I.3l
  28. 28. 16 Vetores e Geometria Analítica 8) 9) 10) 11) 12) Dados os vetores E e v da Figura 1.32, mostrar, em um gráñco, um representante do vetor 3 a) u - v b) Ç - E Á_ c) _Ç - 25 E d) 2G - 3 Ç Figura l.32 No triângulo ABC (Figura 1.33), seja T3 = ã e É: = B. C Construir um representante de cada um dos vetores a) a +1” d) 5+5; B' 2 2 b) a ' b e) 25 - 113 ç 2 a 2 A * B c) b a f) à? ) - 2B a Figura | .33 Dados os vetores ã, I; e É (Figura 1.34), apresentar, graficamente, um representante do vetor ; É tal que É _ a)§=4ã-2í›-E É bj b)(ã+B+E)+Z. -.õ 3 c) ;4- E + ; E :28 Figural.34 Na Figura 1.35 estão representados os vetores coplanares W E, v e ã . Indicar, na própria ñgura, os vetores a) avebx-v. ta1queÍr= av+bvv V b) otu e |3w talque v : au +Bw ' Teria sido possível realizar este exercício no caso de os vetores E, Ç e ã serem não-coplanares? E Figura l.35 Sabendo que o ângulo entre os vetores E e Ç é de 60°, determinar o ângulo formado pelos vetores @Ee-Ç w-Eezõ c) _Ge-
  29. 29. Cap. 1 Vetores 17 13) Dados os vetores coplanares E, Ç e ã representados na w Figura 1.36, determinar a) um representante do vetor ; É + v, sendo §= ã+2Çe§= $-2ã; u b) o ângulo entre os vetores -33 e ; v ; 6° c) o ângulo entre os vetores -zã e _W . 45° 14) Demonstrar que os pontos médios dos lados de um quadülátero Ç qualquer são vértices de um paralelogramo. 15) Demonstrar que o segmento de extremos nos pontos médios dos Figura "36 lados não-paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual à sua seIni-soma. A 16) No triângulo ABC (Fig11ra 1.37), tem-se ã = âí: e -› 1 -+ - -› B C BN: E BC. Expressar os vetores AM e AN em fun- N M ção de ; B e HW” "37 Respostas de Problemas Propostos 1) a) V e) F i) V m) V b) F t) F j) F n) F c) V g) V k) V o) V d) V h) V 1) V 2) a) V d) V g) F j) V b) F e) F h) V k) V c) F f) F i) F 3) a) AT_ d) AB g) AH; j) AC b) Xô e) É) h) AD c) AE f) AT) i) E 4) a) R: c) KB e) Mx? b) a d) w m f) BD 6) a) E-? b)-u-v c) v-u d)u›+v 11) Não 12) a) 120° b) 120° c) 60° d) 60° 13) b) 75° c) 60° 16) W= Ê(A_B+K: ) e E=3ÍB+1R
  30. 30. 18 Vetores e Geometria Analítica o TRATAMENTO ALGÉBRICO Vetores no Plano Consideremos dois vetores v¡ e v2 não- aralelos, re resentados com a ori em no mesmo P P onto O, sendo r e r retas contendo estes re resentantes, res activamente, i a 1.38). P 1 2 P rz I l l l I l l Figura I.38 _. Os vetores u , v , w , t , x e y, representados na figura, são expressos em função de v¡ e v2 por
  31. 31. Cap.1 Vetores 19 u=5v1+4v2 t=3v1-2v2 V= '2V1+3V2 X=4V1+0V2 W = -4V1-V2 y = Ov1+2v2 De modo geral, dados dois vetores quaisquer v1 e v2 não-paralelos, para cada vetor . o v representado no mesmo plano de v1 e v2 , existe uma só dupla de números reais a¡ e a2 tal que A Figura 1.39 ilustra esta situação, -› onde v1 e v2 são vetores não-paralelos quaisquer e v é um vetor arbitrário do plano determinado por v1 e v2 Quando o vetor v é expresso como em (1), diz-se que Ç é combinação linear de v1 ek. O conjunto B = 151, $216 V¡ 31V* chamado base no plano. Aliás, qual-quer conjunto de dois vetores não-paralelos constitui uma base no plano. Embora estejamos simbolizando a base como um conjunto, nós a pensamos como um conjunto ordenado. Então, dada uma base qualquer no plano, todo vetor desse plano é combinação linear dos vetores dessa base, de modo único. Os números a¡ e a2 da igualdade (1) são chamados componentes ou coordenadas Figura | .39 de v na base B (a1 é a primeira componente e a2 a segunda componente). O vetor v da igualdade ( 1) pode ser representado também por v = (a1, a2)B ou v1; = (a1 , a2 ). Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonormais. Uma base [e1, ez] é dita ortonormal se os seus vetores forem Ortcgonais e unitários, istoé, se e1J_ C2 e| e1l= Iezl: l. Dentre as infinitas bases ortonormais no plano, uma delas é particularmente impor- tante. Trata-se da base que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal xOy. Os
  32. 32. 20 Vetores e Geometria Analítica vetores ortogonais eunitários, neste caso, são sirnbolizados por i e j , ambos com origem em O e extremidades em (1, O) e (0, 1), respectivamente, (Figura 1.40), sendo a base C = [ i , j ) chamada canônica. Fortanto, i = (1, O) e i = (0. 1). Daqui por diante, trataremos somente da base canônica. Figura l .40 Dado um vetor Ç qualquer do plano (Figura 1.41), existe uma só dupla de números x e y tal que $= xT+yÍ ' (2) Os números x e y são as componentes de V na base canônica. A primeira componente é chamada abscissa de v e a segunda componente y é a ordenada de v . ' O vetor Ç em (2) será também representa- do por $= mw m dispensando-se a referência à base canônica C. Figura | .4| A igualdade (3) sugere a definição: Vetor no plano é um par ordenado (x, y) de números reais. Lou___u___ O par (x, y) é charriado expressão analítica de v . Para exemplificar, veja a seguir alguns vetores e suas correspondentes expressões analíticas: 3T _sí = (3,-5) -41 = (-4,o) 3í= w3) õ= @m
  33. 33. Cap.1 Vetores 21 Observação A escolha proposital da base (i, ) deve-se exclu- sivamente à simplificação. A cada ponto P(x, y) do y ____________ __ p plano xOy corresponde o vetor v = D? = x i + y j (Figura 1.42). Quer dizer, as coordenadas do ponto p( _______ extremo P são as próprias componentes do vetor OP na base canônica. Em geral, deixa-se de indicar nos _. › eixos os vetores i e j como se vê nessa figura. ¡qgura ¡ 4¡ De acordo com as considerações feitas, o plano pode ser encarado como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. Igualdade de Vetores Dois vetores ii = (x1, yl) e V = (x2,y2) são iguais se, e somente se, x1: x2 e y1=y2, escrevendo-se u = v. Exemplo Ovetoru= (x+1,4)éigualaovet0r vil= (5,2y-6)sex+1=5e2y-6=4oux=4e y=5.Assim, se u = v,entãox=4,y=5e u = v = (5,4). Operações com Vetores Sejamos vetores u = (x¡, y1)e Ç = (x2,y2)eote R. Deñne-se: 1) E4' V = (X1+X2,yl+y2) 2) otu = (0tX1, otyl) Portanto, para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e para multiplicar um número real por um vetor, multiplica-se cada componente do vetor por este número. As Figuras 1.43(a) e l.43(b) ilustram as definições das operações dadas acima.
  34. 34. 22 Vetores e Geometria Analítica Figura I .43 Considerando estes mesmos vetores, tem-se ainda: -u = (-1)u = (-x1,-y1) u ' V = u + ('V)= (X1ay1)* ('X2› 'Y2)= (X1'X2›y1'y2) As definições anteriores e as operações algébricas dos números reais permitem de- monstrar as propriedades: -› a) para quaisquer vetores u , v e w , tem-se u+v= v+b (ã+Ç)+$= ã+($+$) ii+Õ= ii b+(-ii)= Õ b) para quaisquer vetores ii e V eos números reais oce B, tem-se oc(t3$)= (ott3)C (a+¡3)ã : a5 +135 ot(E+$)= aã+otÍ› 13:? Sugerimos como exercício ao leitor, demonstrar estas propriedades. Exemplos 1) Dados os vetores B = " (2, -3) e Ç = (-1, 4), determinar 3ii + 2; e 3ii - 2;. Solução 3ii + 2V = 3(2 , -3) + 2(-l, 4) = (6, ~9) + (-2, 8) = (6 - 2, -9 + 8): (4, -l) 35 - 23 = 3(2, -3) - 2(-1, 4) = (6, -9) + (2, -s) = (6 + 2, -9 - s) = (s, -17) ÊÇ + x, sendodados Ii = (3,-1)e 2) Determinar o vetor 2 na igualdade 32 + 2B Ç = (-2, 4).
  35. 35. Cap. 1 Vetores 23 Solução Esta equação, em vista das propriedades das operações com vetores expostas anterior- mente, pode ser resolvida como uma equação numérica: 6G+4G= G+2G i 6G-2G= G-4G 4G= G-4G -o 1» _. x= ~v-u 4 Substituindo ii e G nesta equação, vem i -r 1 = - -2, 4 - 3,-1 x 4( ) ( ) 1 = (__2_9 : GÊ- - 3, 1+1) 7 -(-5,2) 3) Encontrar os números a¡ e a2 tais que G = a¡ G1 + a2 v2,sendo G = (1o, 2), G1= (3, 5): : G2 = (-1, 2). Solução Substituindo os vetores na igualdade acima, temos (10, 2) = a¡(3, 5) + a2(-1, 2) (10, 2)= (3a¡, 5a¡)+ (-a2, 2a2) (10, 2)= (3a¡ -a2, 5a¡ + 2a2) Da condição de igualdade de dois vetores, conclui-se que 3 a1 ' a2 = 5 a¡ 'l' 2 a2 = 2 sistema cuja solução é dada por a¡ = 2 e a2 = -4. Logo, v = 2 v1 - 4 v2. É conveniente observar que este sistema sempre terá solução única no caso de v1 e V2 formarem base do plano, o que realmente acontece.
  36. 36. 24 Vetores e Geometria Analítica Vetor Definido por Dois Pontos Consideremos o vetor AB de origem no ponto A(x¡, y¡) e extremidade em B(x2 , y2) (Figural.44). De acordo com o que foi visto em (3), os vetores OA e OB têm expressões analíticas: z. .. O75; = (x¡, y¡) e OB = (x2,y2). Por outro lado, do triângulo OAB da figura, vem y A OA + AB = OB donde AB = 6B - ã B ou AB= (x2,y2)-(x1,y1) o x e AB = (X2"X1aY2 -y1) F¡gural.44 isto é, as componentes de AB são obtidas subtraindo-se das coordenadas da extremidade B as coordenadas da origem A, razão pela qual também se escreve AB = B - A. É importante lembrar que um vetor tem inñnitos representantes que são os segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma dire- ção e mesmo sentido. E, dentre os iníinitos repre- sentantes do vetor AB , o que “melhor o caracteriza" é aquele que tem origem em O(0, O) e extremidade em P(x2 - x¡ , y2 - y¡ ) (Figura 1.45). O vetor G= ã é também chamado vetor osi ão ou re resentante natural de p ç p P(x2'X1›y2'y¡) Figura | .45 Na Figura 1.46, os segmentos orientados OP, AB e CD representam o mesmo vetor G= P-o= B-A= D-C= (3,1). , Esta figura deixa claro que o fato de os segmentos orientados ocuparem posições diferentes, é irrelevante. O que importa, é que eles tenham o mesmo comprimento, a mes- ma direção e o mesmo sentido para representarem o mesmo vetor.
  37. 37. - Cap.1 Vetores 25 A(-2,3) ------- -- l ----------------- -- D(4,3) à ------ Por outro lado, sempre que tivermos G = A_›B ou ii = B - A podemos também concluir que B= A+G m¡B= A+ÃB isto é, o vetor G “transporta” o ponto inicial A para o ponto extremo B. Retomando à Figura 1.46, onde G = (3, l), tem-se B= A+G= çzD+oJpqL@ D= C+G= uap4an= m3) 1>= o+ G = (o,0)+(3, 1)= (3, 1) Ainda uma ilustração: na Figura l.47, os vértices do triângulo são os pontos A(4, 1), B(5, 3) e C(3, 5) e os vetores ii, v e G indi- cados são B= ÃB= B-A=0J) G= BC= C-B= (zm G= CÃ= A-C= a,® Observamos ainda que ii+ v + W = Õ = (0,0). Y Figura l.47 Exemplos _ 1) Dados os pontos A(-l, 2), B(3, -1) e C(-2, 4), determinar o ponto D de modo que õ= lÃB. 2
  38. 38. 26 Vetores e Geometria Analítica Solução Seja D(x, y). Então, CD = D-C= (x, y)-(-2,4)= (x+2,y-4) AB : B-A= (3,-1)-(-1,2)= (4,-3) Logo, <x+2.y-4›= §<4.-3> <x+2,y-4›= (2,-§) Pela condição de igualdade de dois vetores, tem-se jx+2=2 3 y-4=-- 2 . . - , 5 sistema cuja soluçao e x = 0 e y =5. Portanto, D(0, É). Observação Este problema poderia, também, ter sido resolvido da seguinte maneira: 1_. dacondiçãoõ : :AB ouD-C= ãÍBmem D= C+ÊXB e D= <-2,4›+ gm, -3> = <-2,4)+ (2, -â›= <0, à). 2) Sendo A(-2,4) e B(4 , l) extremidades de um segmento, determinar os pontos F e G que dividem AB em três segmentos de mesmo comprimento. Solução Pela Figura 1.48 tem-se --› íu AF= F_G. =GB= -â-A: ›B Mas A F G B ? B = B-A= <4›1>-<-2›4›= <6›-3> l--r l -AB= - 6,-3:2,-1 3 3( )( )
  39. 39. Cap. 1 Vetores 27 Portanto, F= A+ à A-B = (-2,4)+(2,_1)= (0, 3) G= F+ÊÍB = (0, 3)+(2,-1)= (2, 2) 3) Sendo A(2, l) e B(5, 2) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4, 3) o ponto de interseção das diagonais, determinar os vértices C e D. Solução _ Em Adição de Vetores, Exemplo 4, página 10, demonstrou-se que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio, isto é, m = ITC e ü = m5 . Então, pela Figura 1.49 tem-se C= M+ lÍ/ I_C= M+m e D= M+m= M+m(ou: A+B_C) D C Mas, m = M-A= (2, 2) e BÍ/ Í=M-B= (-1,1) A B Pmanm* Figura 1.49 C : (4, 3) + (2, 2) = (6, 5) D = (4, 3) + (-1, l) = (3, 4) Ponto Médio Seja o segmento de extremos A(x¡, y1) e B(x2 , y2) (Figura 1.50). Sendo M(x, y) o ponto médio de AB, podemos expressar de forma vetorial como m = m ou (X'X1› Y“Y1)= (X2'X› Yz' Y) e daí _ , X ”X1=X2' X e Y-Y1=Y2'Y Resolvendo em relação a x e y, temos 2x= xl+ x2 e 2y= y¡+ y2 Figura l .50 01.1
  40. 40. 28 Vetores e Geometria Analítica x= xl+x2 e y: y¡+y2 2 2 Portanto, Mai# x2 , y¡+y2) 2 2 Exemplo O ponto médio do segmento de extremos A(-2, 3) e B(6, 2) é -2+6 3+2 5 M , :- M 2, - ( 2 2 )0u ( 2) Paralelismo de dois Vetores Vimos que, se dois vetores u = (x1, yl) e v = (x2 , y2) são paralelos, existe um número real Ot. tal que ii: ocv , ou seja, (X1›y1)= a«(X2›y2) ou (x1,y1)= (ax2, ocyz) que pela condição de igualdade resulta em X1: “X2 e Yi = “Yz donde Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais. Exemplo Os vetores u = (-2, 3) e B = (-4, 6) são paralelos pois ' í _ â - 4 6 Observações a) Considera-se o vetor Õ = (0,0) paralelo a qualquer vetor.
  41. 41. Cap. 1 Vetores 29 b) Se uma das componentes de um vetor for nula, a componente correspondente de um vetor paralelo também é nula. Módulo de um vetor Y Seja o vetor v: (x, y) (Figura 1.51). Pelo teorema de Pitágoras, vem __ é y ' lvlzwixz +y2 O X <l X Exemp| o Figura l.5l Se G: (2, -3), então IVI = ¡l(2)2 + (-3)2 = x/4+ 9 = E u. c. (unidades de comprimento) Observações a) Distância entre dois pontos A distância entre dois pontos A(x1,y¡) e B( x2 , y2) (Figural.52) é o comprimento (módulo) do vetor AB , isto é, d(A, B)= IABI. Como AB = B -A= (x2-x¡, y2-y¡), temos (19433): V(X2'X1)2+(Y2'Y1)2 Figura 1.52 b) Vetor Unitário Vimos em Multiplicação de Número Real por Vetor, Figura 1.23, página 12, que a " " " , , . . . , . " V , cada vetorv , v ; t 0, e possivel associar dois vetores umtarios paralelos a v : T (e o | v| -› versor de v ) e seu oposto --_-. - . |v|
  42. 42. 30 Vetores e Geometria Analítica Exemplo o versor de Ç: (3, -4) é V (3›-4) Sêgüzâi) uzà-e: 3 4 I; |_, /32+(-4)2 JES- 5 _(5a 5) O versor é, na verdade, um vetor unitário, pois â_í= /â2 124216432: (5' 5) (s) H5) 25+25 J; 1 É importante observar que este versor u é também versor de todos os vetores múlti- plos de v que tiverem o mesmo sentido dele. Para exemplificar, o versor de 2; = 2(3, -4) = (6, -8) é ainda 2_v_ (6, ~8) _ (6, -s) 6 s E: _ _í_: =(-, --)= (Ê, -Í) |2V| /62 +(_8)2 10 10 10 5 5 Exemplos 1) Dados os pontos A(2, -1) e B(-1, 4) e os vetores E: (-1, 3) e Ç = (-2, -1), determinar a)IEI c)I2ã-3ÇI b) Iii + ; I d) a distância entre os pontos AeB Solução a) I ; I = ,/(-1)2 +32 = ,/1+9=x% b) Por ser 1: + Ç: (-1, 3) + (-2, -1) = (-3, 2), temos 6+3] = I(-3, 2)¡ = ,/(_3)2 +22 = ,/9+4=, /1_3 c) Por ser 2B -33 =2(-1, 3)-3(-2, -1)= (-2, 6)+ (6, 3)= (4, 9), temos Izã - 35'¡ = :(4, 9)¡ = «/16+8 = JE e d) Por ser AB = B - A = (-1, 4) - (2, -1) = (-3, 5), temos d(A, B) : IEI = I(-3, 5)¡ = «/9+25 = «lã 2) Determinar, no eixo Ox, um ponto P que seja eqüidistante dos pontos A(-1, -2) eB(5,-4). Solução O ponto procurado é do tipo P(x, O). Deve-se ter d(P, A) = d(P, B) ou Iíuaã¡
  43. 43. Cap. 1 Vetores 31 Mas, ñ = A-P= (-1-x, -2) e É = B-P= (5-x, -4), logo | (-1-x, -2)| =|(5 -x, -4)¡ ou t/ (-1- x>2 + (-2)2 = t/ (s - x>2 +<-4›2 ou 1+2x+ x2 +4=25-10x+ x2+16 e x = 3 Portanto o ponto é P(3, 0). 3) Dado o vetor v = (-2, 1), achar o vetor paralelo a Ç que tenha a) o mesmo sentido de 3 e três vezes o módulo dev ; b) sentido contrário ao de Ç e a metade do módulo dev ; c) o mesmo sentido de C e módulo 4; d) sentido contrário ao de Ç e módulo 2. Solução a) Basta multiplicar o vetor por 3: 3 Ç = 3(-2, 1) = (-6, 3) - 1 1 ~ 1 1 b B t lt' li t --: -- = -- -2,1=.1,-- ) asamu 1p caroveorpor 2 2V 2( ) ( 2) c) Um vetor unitário obtido a partir de 3 é -› l = ('21) = oi i) (é o versor de Ç). IÇ¡ JÉ «EN/ Ê Uma vez que o vetor procurado deve ter módulo 4 e mesmo sentido dev , basta multi- plicar o versor por 4: 4(_Â. : @í . à 8 4 ) JE ' «E t5 i JE d) Uma vez que o vetor procurado deve ter módulo 2 e sentido contrário ao de Ç , basta multiplicar o versor por -2: 2 l i _ 2 '2°É'T')= (6 75'”
  44. 44. 32 Vetores e Geometria Analítica Vetores no Espaço Vimos em Vetores no Plano que a base canônica i i , j ] no plano determina o sistema _o cartesiano ortogonal xOy e que a um ponto P(x, y) qualquer desse plano corresponde o vetor OP = x i + y j , isto é, as próprias coordenadas x e y do ponto P são as componen- tes do vetor 6P na base canônica (Figura 1.42), página 21. z No espaço, de forma análoga, considerare- mos a base canônica ( i , j , k) como aquela que irá determinar o sistema cartesiano ortogo- nal Oxyz (Figura 1.53), onde estes três vetores unitários e dois a dois ortogonais estão represen- tados com origem no ponto O. Este ponto e a direção de cada um dos vetores da base determinam os três eixos cartesianos: o eixo Ox ou eixo dos x (das abscissas) corresponde ao vetor i , o eixo Oy ou eixo dos y (das ordenadas) Figura ! .53 corresponde ao vetor j e o eixo Oz ou eixo dos z (das cotas) corresponde ao vetork. As setas nessa figura indicam o sentido positivo de cada eixo, chamado também de eixo coordenado. Cada dupla de vetores da base, e, conseqüentemente, cada dupla de eixos, determina um plano coordenado. Portanto, temos três planos coordenados: o plano xOy ou xy, o plano xOz ou xz e o plano yOz ou yz. As Figuras 1.54(a) e 1.54(b) dão uma idéia dos planos xy e xz, respectivamente. Z Z (a) (b) Figura I .54
  45. 45. Cap. 1 Vetores 33 Assim como no plano, a cada ponto P (x, y, z) do espaço irá corresponder o vetor õ = x + y; + zlc. , isto é, as próprias coordenadas x, y e z do ponto P são as compo- nentes do vetor ã' na base canônica. As coordenadas x, y e z são denominadas abscissa, ordenada e cota, respectivamente. A Figura 1.55(a) apresenta um ponto P(x, y, z) no espa- ço e a Figura l.55(b) o correspondente vetor Lã, que representa a diagonal do para- _. lelepípedo cujas arestas são definidas pelos vetores xi. , y j e zlc . (a) (b) Figura ¡.55 O vetor v : x i + y j + z k também será expresso por v: (x, y, z) que é a expressão analítica de v. Para exemplificar 2Í3Í+E= (z-ai) Í-Í= @,iw Q-k= @Z4) &= mao aempummmjÍ= a4im, í=«rLmeÉ=4aoJ)
  46. 46. 34 Vetores e Geometria Analítica Para algumas observações, tomemos o paralelepípedo da Figura 1.56 onde P(2, 4, 3). Faremos considerações a pontos como também poderíamos referi-las aos correspondentes vetores. Figura l.56 Com base nesta figura, e levando em›conta que um ponto (x, y,z) está no a) eixo dos x quando y = 0 e z : 0, tem-se A (2, O, O); b) eixo dos y quando x : O e z : O, tem-se C (0, 4, 0); c) eixo dos z quando x : O e y : O, tem-se E (O, 0, 3); d) plano xy quando z : 0, tem-se B(2, 4, O); e) plano xz quando y : O, tem-se F(2, O, 3); f) plano yz quando x = O, tem-se D (O, 4, 3). O ponto B é a projeção de P no plano xy, assim como D e F são as projeções de P nos planos yz e xz, respectivamente. O ponto A(2, O, O) é a projeção de P(2, 4, 3) no eixo dos x, assim como C(0, 4, O) e E(0, 0, 3) são as projeções de P nos eixos dos y e dos z, respectivamente. Como todos os pontos da face a) PDEF distam 3 unidades do plano xy e estão acima dele, são pontos de cota z : 3, isto é, são pontos do tipo (x, y, 3); b) PBCD distam 4 unidades do plano xz e estão à direita dele, são pontos de ordenada y = 4, isto é, são pontos do tipo (x, 4, z);
  47. 47. Cap. 1 Vetores 35 c) PFAB distam 2 unidades do plano yz e estão à frente dele, são pontos de abscissa x : 2, isto é, são pontos do tipo (2, y, z). z E muito importante que o leitor tenha presente os casos especiais dos pontos pertencentes aos eixos e aos planos coordenados, ilustrados na Fi- gura 1.57. Esta figura mostra que o eixo dos x pode ser descrito como o conjunto dos pontos do tipo (x, 0, O), ou seja, daqueles que têm y : 0 e z : O, enquanto que o plano xy como o con- junto dos pontos do tipo (x, y, 0), ou seja, daqueles que têm z : 0. Comentários análogos faríamos para os outros eixos e planos coorde- ngm-a ¡_57 nados indicados nessa figura. Ao desejarmos marcar um ponto no espaço, digamos A(3, -2, 4), procedemos assim (Figura 1.58): 19) marca-se o ponto A'(3, -2, 0) no plano xy; 29)desloca-se A' paralelamente , ao eixo dos z, 4 unidades para cima (se fosse -4 seriam 4 uni- , x dades para baixo) para obter o ponto A. ,x Os três planos coordenados se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões denominadas octantes (Figura 1.59). A cada octante correspondem pontos cujas coordena- das têm sinais de acordo com o sentido positivo AM1""- adotado para os eixos. O primeiro octante é cons- tituído dos pontos de coordenadas todas positivas. x Os demais octantes acima do plano xy se sucedem ngm-a Lsa em ordem numérica, a partir do primeiro, no senti- do positivo. Os octantes abaixo do plano xy se sucedem na mesma ordem a partir do quinto que, por convenção, se situa sob o primeiro. -2 -_ --| ___ z)- a"
  48. 48. 36 Vetores e Geometria Analítica Figura l .59 A Figura 1.60 apresenta os pontos A, B, C e D situados acima do plano xy e todos de cota igual a 2, enquanto os pontos A', B', C' e D' estão abaixo desse plano e têm cota -2: ponto A(6, 4, 2), situado no 19 octante ponto B(-5, 3, 2), situado no 29 octante ponto C(-6, -5, 2), situado no 39 octante ponto D(5, -3, 2), situado no 49 octante ponto A'(6, 4, -2), situado no 59 octante ponto B'(-5, 3, -2), situado no 69 octante ponto C'(-6, -5, -2), situado no 79 octante ponto D'(5, -3, -2), situado no 89 octante
  49. 49. Cap'. 1 vetores 37 Figura I .60 Igualdade - Operações -- Vetor Definido por Dois Pontos - Ponto Médio - Paralelismo - Módulo de um Vetor As definições e conclusões no espaço, relativas aos títulos acima, são análogas às do plano: I) Dois vetores ii: (xl, yl, z1)e v: (x2 , yz , 22) são iguais se, e somente se, Xl: Xza Yi: Yz e Z1=Z2~ H) Dados os vetores ii = (x¡, y¡, z¡)e $ = (x2,y2, z2)eote lR, defme-se: E», Ç : (x¡q+x2,y1+y2,z¡+z2) ond : (0cx¡, ayl, (1.21) HI) Se A (x1, yl, z1)e B (x2 , y2 , 22) são dois pontos quaisquer no espaço, então T3 = B'A= (X2'X1›Y2'Y¡›Z2'Z1) Já vimos que: se Ç = B - A, então B= A+;
  50. 50. 38 Vetores e Geometria Analítica A Figura 1.61 indica que para encontrar as coor- denadas do ponto extremo B, somam-se ordenadamente as coordenadas do ponto inicial A com as componentes B(x, +a, y¡+b, z¡+c) do vetor v. A(x! y›z) -›= , , m' 91mm) IV) SeA(x1,y¡, z¡)eB(x2,y2,z3)sãopontos ex- y tremos de um segmento, o ponto médio M de AB é X¡+X2 Y1+Y2 Z1+Z2 M , ,. X (2 2 2) ; agua L5¡ V) Se os vetores u: (x1,y¡, z1) e v: (x2,y3, 22) são paralelos, então * X¡ Yi Z¡ u: otv ou -= _:_. X2 Yz Zz VI) o módulo do vetor Ç = (x, y, z) é dado por | v| : qlxz +y2 +22. Fica a cargo do leitor a dedução desta fórmula. Exemplos 1) Dados os pontos A(O, 1, -1) e B(1, 2, -l) e os vetores ii = (-2, -1, 1), v: (3, 0, -1) e ã : (-2, 2, 2), verificar se existem os números a1, a2 e a3 tais que w= a¡AB+a2u+a3v. Solução A_›B: B-A= (1,2,-1)-(0,1,-1)= (1,1,0) Substituindo os vetores na igualdade dada, resulta (-2, 2, 2) = a¡ (1,1, O) + a2 (-2, -1,1)+ a3 (3, 0, -1) ou (-2, 2, 2) = (a1,a¡, O) + (-2a2, -a»_, _,a2) + (3a3, 0, -a3) Somando os três vetores do segundo membro da igualdade, vem (-2, 2, 2) : (a1-2a2+3 a3, al-az, a2-a3) Pela condição de igualdade de vetores, obteremos o sistema al-2 a2 +3a3 : -2 (4) a1' a2 = 2 a2 ' a3: 2 que tem por solução a1: 3, a2: 1 e a3 : -1.
  51. 51. Cap. 1 Vetores 39 Logo w = 3AB + u - v Observação No plano, todo conjunto (v1, v2 ) de dois vetores não-paralelos constitui uma de suas bases, - isto é, todo vetor desse plano é combinação linear de 3, e G2 . No espaço, todo conjunto de três vetores não-coplanares constitui uma de suas ba- ses, isto é, todo vetor do espaço pode ser escrito de modo único como combinação linear dos vetores desta base. Como no exercício anterior o sistema (4) tem solução única ( a1: 3, a2 = 1 e a3 = -_1), podemos “intuif” que o conjunto [E , E, Ç ) é uma base deste espaço e, portanto, estes três vetores são não-coplanares. 2) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo dados A(3, -2, 4), B(5, 1, -3) e C(0, 1, 2). Solução O ponto D (Figura 1.62) é dado por D C D= A+ B_C ou D: C+ Et Como EE = c - B = (-5, o, 5), pela 1= igualdade obtemos A 13 D = (3 'Zi 4) + ("i 9= 5) Figura 1.62 D : (-2, -2, 9) 3) Sabendo que o ponto P(-3, m, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(l, -2, 4) e B(-1, -3, 1), determinar m e n. - Solução Como os pontos A, B e P pertencem à mesma reta (Figura 1.63), qualquer dupla de veto- res formados utilizando estes três pontos são paralelos. Tomemos a condição KB / / : P , ou seja (-2, -1, -3) / / (-4, m + 2, n - 4) e, portanto, A B P -2 _ -1 _ -3 ou -2(m + 2) : 4 -2(n - 4) : 12 sistema de solução m = -4 e n = -2.
  52. 52. 40 Vetores e Geometria Analítica 4) Seja o triângmlo de vértices A(4, -1, -2), B(2, 5, -6) e C(1, -1, -2). Calcular o compri- mento da mediana do triângulo relativa ao lado AB. Solução A mediana em questão, de acordo com a Figura 1.64, é o segmento que tem como extremi- dades o ponto médio M de AB e o vértice oposto C. Então, o connprirrtento da mediana é o módulo do vetor ITÕ. C '2 ' 6) ou Mo, 2, 4) 2 2 2 e à* A M B MC = C _ M = (1a '19 '2) ' (39 2› _4) = ('29 '37 Portanto Figura | .64 IM_cI= ,/(-2)2 +(-3)2 +22 = x/4+9+4 : JH Problemas Propostos _. 1) Dados os vetores u =2_i. - 3j , ;= í _. _. 1.. _. _. a)2u-v c) ãu-Zv-w _. _. _. _. 1.. 1_. b)v-u+2w d) 3u--v--w 2 2 2) Dados os vetores u = (3, -1) e v = (-1, 2), determinar ovetor x tal que a) 4(ã-$)+ à; :213 _í b) 32 -aC - E)=2(4§ -3ã) 3) Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5), C(3, -1) e O(0, 0), calcular a)õÃ-AB MO-Ó-ÊÕ c)3BA-4CB 4) Dados os vetores E: (2, -4), ir. : (-5, 1) e : a: = (-12, 6), determinar a¡ e a2 tais que _. W= a1u +a2V 5) Dados os pontos A(3, -4) e B(-1, 1) e o vetor Ç = (-2, 3), calcular a)(B-A)+2; c)B+2(B-A) b)(A-B)-Ç d) 3$-2(A-B) 6) Sejam os pontos A(-5, 1) e B(1, 3). Determinar o vetor ir. : (a, b) tal que a)B= A+2$ b)A= B+3$ Construir o gráfico correspondente a cada situação.
  53. 53. Cap. 1 Vetores 41 7) Representar no gráfico o vetor ; B e o correspondente vetor posição, nos casos: a) A(-1, 3) e B(3, 5) c) A(4, O) e B(0, -2) b) A(-1, 4) e B(4, 1) d) A(3, 1) e B(3, 4) 8) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor v: (-1, 3), saben- do que sua extremidade está em (3, 1)? Representar graficamente este segmento. 9) No mesmo sistema cartesiano xOy, representar a) os vetores u = (2, -1) e v: (-2, 3), com origem nos pontos A(l, 4) e B(1, -4), res- pectivamente; b) os vetores posição de ii e 10) Sejam os pontos P(2, 3), Q(4, 2) e R(3, 5). a) Representar em um mesmo gráfico os vetores posição de u, v e w de modo que Q= P+u, R=Q+ 3 eP= R+ívÍ b) Determinar ii + Ç + ív'. 11) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para a) A(-3, -1), B(4, 2) e C(5, 5) b) A(5, 1), B(7, 3) e C(3, 4) 12) Sabendo que A(l, -l), B(5, 1) e C(6, 4) são vértices de um paralelogramo, determinar o quarto vértice de cada um dos três paralelograrnos possíveis de serem formados. 13) Dados os pontos A(-3, 2) e B(5, -2), determinar os pontos M e N pertencentes ao 1-»-2_ segmento AB tais que m = E AB e AN = ¡3- AB. Construir o gráfico, marcando os pontos A, B, M, N e P, devendo P ser tal que ? P = à ÃB . 14) Sendo A(-2, 3) e B(6, -3) extremidades de um segmento, determinar a) os pontos C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo com- primento; b) os pontos F e G que dividem o segmento de AB em três partes de mesmo comprimento. 15) O ponto P pertence ao segmento de extremos A(x¡, yl) e B(x2 , y2) e a distância dele ao ponto A é a terça parte da distância dele ao ponto B. Expressar as coordena- das de P em função das coordenadas de A e B. 16) Dados os vetores u = (l, -1), v: (-3, 4) e Q = (8, -6), calcular a)| ii| cms/ W enzã-ÇI g); |v| by? ! d)lu›+vl ' mãaã¡ m3 I
  54. 54. 42 Vetores e Geometria Analítica 17) Calcular os valores de a para que o vetor ii = (a, -2) tenha módulo 4. 18) Calcular os valores de a para que o vetor E = (a, à) seja unitário. 19) Provar que os pontos A(-2, -1), B(2, 2), C(-1, 6) e D(-5, 3), nesta ordem, são vértices de um quadrado. 20) Encontrar um ponto P de eixo Ox de modo que a sua distância ao ponto A(2, -3) seja igual a 5. 21) Dados os pontos A(-4, 3) e B(2, 1), encontrar o ponto P nos casos a) P pertence ao eixo Oy e é eqüidistante de A e B; b) P é eqüidistante de A e B e sua ordenada é o dobro da abscissa; c) P pertence à mediatriz do segmento de extremos A e B. 22) Encontrar o vetor unitário que tenha (I) o mesmo sentido de Ç e (II) sentido contrário a v , nos casos: a)C= _í+í b) $=3í-j c) ; =(1./ §) d) $= (o,4) 23) Dado o vetor v = (l, -3), determinar o vetor paralelo a Ç que tenha: a) sentido contrário ao de v e duas vezes o módulo dev ; b) o mesmo sentido de v e módulo 2; c) sentido contrário ao de Ç e módulo 4. 24) Traçar no mesmo sistema de eixos os retângulos de vértices a) A(O, O, 1), B(0, 0, 2), C(4, O, 2) e D(4, O, 1) b) A(2, l, 0), B(2, 2, 0), C(0, 2, 2) e D(0, 1, 2) 25) Traçar o retângulo formado pelos pontos (x, y, z) tal que a) x=0,1S y S4 e OS zS4 b)-1Sx S 2, OS y S3 e z=3 26) Construir o cubo constituído dos pontos (x, y, z), de modo que a)-4S x S-2,1S y S3 eOS z S2 b) -2S x SO, 2S y S4 e -4Sz S-2 27) Construir o paralelepípedo retângulo formado pelos pontos (x, y,z), de modo que 1 S x S 3, 3 S y S 5 e 0 S z S 4. Quais as coordenadas dos oito vértices do paralelepípedo? 28) Calcular a distância do ponto A(3, 4, -2) a) ao plano xy; d) ao eixo dos x; b) ao plano xz; e) ao eixo dos y; c) ao plano yz; f) ao eixo dos z.
  55. 55. 30) 31) 32) 33) Cap. _1 Vetores 43 29) A Figura 1.65 apresenta um paralelepí- pedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2, 1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que A(2,-12). O paralelepípedo retângulo de dimensões 3, 4 e 5 está referido ao sistema Oxyz con- 'forme a Figura 1.66. Considerando um segimdo sistema chamado de O'x'y'z', onde Ox/ /O'x', Oyl/ 'y' e Oz/ l 'z', e sendo O' um dos vértices do paralelepípedo de acordo com a figura, determinar as coor- denadas dos pontos O, A, B, C, D e O' em relação aos sistemas dados. Figura l.66 Dados os pontos A(2, -2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor Ç = (l, 3, -4), calcular: a)A+3v c) B+2(B-A) b) (A-B)-v d) 25 -3(B-A) Dados os pontos A(3, -4, -2) e B(-2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao seg- í. 2:. mento AB tal que AN = -S-AB . Dados os pontos A(l, -2, 3), B(2, l, -4) e C(-1, -3, 1), determinar o ponto D tal que É; + CT): õ.
  56. 56. 44 Vetores e Geometria Analítica 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) 45) 46) Sabendo que3ã - 45 = N , determinar a, b, ec, sendo E: (2, -1, c), Ç: (a, b - 2, 3) e Cv' = (4, -1, 0). Dados os vetores ii: (2, 3, -l), Ç = (1, -1,1)evv = (-3, 4, O), a) determinaro vetor í de modoque3u - Ç + 2:42 + 25v. ; b) encontrar os números a1, a2 e a3 tais que a¡u + a2?) + a3 ã = (-2, 13, -5). Representar no mesmo sistema Oxyz o vetor Ç = (1, -1, 3) com origem nos pontos O(0, 0, 0), A(-3, -4, O), B(-2, 4, 2), C(3, O, -4) e D(3, 4, -2). Sendo A(2, -5, 3) e B(7, 3, -l) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4, -3, 3) o ponto de interseção das diagonais, determinar os vértices C e D. Determinar os três vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios de seus lados são M(5, 0, -2), N(3, 1, -3) e P(4, 2, 1). Dados os pontos A(l, -1, 3) e B(3, 1, 5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor? Sendo A(-2, l, 3) e B(6, -7, 1) extremidades de um segmento, determinar a) os pontos C, D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento; b) os pontos F e G, nesta ordem, que dividem o segmento AB em três partes de mes- mo comprimento. O ponto A é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são B, C e D. Sendo AA' uma diagonal do paralelepípedo, determinar o ponto A' nos se- guintes casos: a) A(3, 5, O), B(1, 5, 0), C(3, 5, 4) e D(3, 2,0) b) A(-l, 2, l), B(3, -1, 2), C(4, 1, -3) e D(0, -3, -l) c) A(-1, 2, 3), B(2, -l, O), C(3, 1, 4) e D(-2, O, 5) Apresentar o vetor genérico que satisfaz a condição: a) paralelo ao eixo dos x; e) ortogonal ao eixo dos y; b) representado no eixo dos z; f) ortogonal ao eixo dos z; c) paralelo ao plano xy; g) ortogonal ao plano xy; d) paralelo ao plano yz; h) ortogonalao plano xz. Quais dos seguintes vetores E: (4, 45, 2), Ç: (45, 9, _3), É = (14, .21, 9) e í = (1o, -15, 5) são paralelos? Dado o vetor w = (3, 2, 5), determinar a e b de modo que os vetores u = (3, 2, -l) e Ç = (a, 6, b) + 2 Q sejam paralelos. A reta que passa pelos pontos A(-2, 5, 1) e B(1, 3, O) é paralela à reta determinada por C(3, -l, -1) e D(0, m, n). Determinar o ponto D. Verificar se são colineares os pontos: a) A(-l, -5, O), B(2, 1, 3) e C(-2, -7, -l)
  57. 57. Cap. 1 Vetores 45 b) A(2, 1, -1), B(3, -l, O) e C(1, O, 4) c) A(-l, 4, -3)', B(2, 1, 3) e C(4, -1, 7) 47) Sabendo que o ponto P(m, 4, n) pertence à reta que passa pelos pontos A(-1, -2, 3) e B(2, 1, -5), calcular m e n. 48) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para a) A(-1, O, 3), B(1, 1, 2) e C(3, -2, 5) b) A(4, 0, 1), B(5, 1, 3) e C(3, 2, 5) 49) Verificar se são unitários os seguintes vetores: - ~ 1 2 l u= (1› 1a e V = (í"›'í› í) Já x/ ã JE 50) Determinar o valor de n para que o vetor v: (n, -í, â) seja unitário. 24 51) Determinar o valor de a para que E : (a, -2a, 2a) seja um versor. 52) Dados os pontos A(l, O, -l), B(4, 2, l) e C( 1, 2, O), determinar o valor de m para que | v|: 7, sendo v: mñ + BC. 53) Determinar o valor de y para que seja eqüilátero o triângilo de vértices A(4, y, 4), B(l0, y, -2) e C(2, O, -4). _ 54) Obter o ponto P do eixo das abscissas eqüidistante dos pontos A(3, -l,4)eB(l, -2, -3). 55) Obter um ponto P do eixo das cotas cuja distância ao ponto A(-1, 2, -2) seja igual a 3. 56) Dado o vetor v : (2, -l, -3), determinar o vetor paralelo a v que tenha a) sentido contrário ao de v e três vezes o módulo de 3; b) o mesmo sentido de Ç e módulo 4; c) sentido contrário ao de v e módulo 5. Respostas de Problemas Propostos 1) a) (3, -s) b) (-5, 4) c) (1, à) d) (É, -9) 15 15 23 ll 2) a) (7,3) b) (3,3) 3) a) (-4, 1) b) (2, s) c) (s, -30) 4) a1=-1 e 32:2 5) a) (-8, ll) b) (6, -8) C) (-9, ll) d) (-14, 19) 6) a); =(3, 1) b) 54-2"? ) s) (4,-2) 1o) b)õ 11) a) D(-2, 2) b) D(l, 2)
  58. 58. 46 Vetores e Geometria Analítica 12) (2, 2), (O, -4) e (10, 6) 13) M(1,0), N(§, -§), P(9, -4) 3 3 14) a) C(0, É), D(2, O), E(4, -5) b) nã, 1), G(§, -1) 3 3 15) P(zx¡ + 142-, Zy¡ + i7?) 16) a) JE c) 1o e) 2JE g) (É, É) b) 5 d) JE t) J3_4 h) 1 17) :2J3 18) t? 20) (6, O) ou (-2, O) 21) a) P(0, 5) b) P(-5, -10) c) P(x, 3x + 5), x e R 22) a) (__1._, _1__)e(_1_, __1_) b) L, _L) e (_L, L) JE JE JE JE JE JE JE JE c) (àênx-à-É) d) (o, 1)e(0,-1) 2 6 4 12 _ ,5 __, _à -à, _. _ 23)a)(2 ) bMJñ JE) @(35336) 27) Vértices da base inferior: (l, 3, 0), (l, 5, 0), (3, 3, O) e (3, 5, O) Vértices da base superior: (l, 3, 4), (l, 5, 4), (3, 3, 4) e (3, 5, 4) 28) a) 2 c) 3 e) JE b) 4 d) 2,6 t) «5 29) B(2, -3, 2), C(3, -3, 2), D(3, -1, 2), E(3, -1, 5), F(2, -l, 5), G(2, -3, 5), H(3, -3, 5) 30) em relação a Oxyz: O(0, 0, O), A(3, 0, 0), B(3, 4, O), C(0, 4, 5), D(3, 0,5) e O'(3, 4,5) em relação a O'x'y'z': O(-3, -4, -5), A(O, -4, -5), B(0, 0, -5), C(-3, 0, O), D(0, -4, 0) e O'(0, O, 0) 31) a) (5, 7, -9) b) (0, -6, 2) c) (-1, 7, 9) d) (5, -3, -14) 32) N(1, -2, -§) 33) D(-2, -6, 8)
  59. 59. Cap. 1 Vetores 47 34) a= -l, b:-7-, c=4 2 4 " 11 2 4 35 = E9 -7-1 )a)x (3 3 3 b) a¡=2, a2 : -3, a3=1 37) C(6, -1, 3) e D(l, -9, 7) 38) (4, -1, -6), (6, 1, 2) e (2, 3, 0) 39) (9, 7, 11) 4o) a) (o, -1, â), (2, -3, 2), (4, -s, à) 2 5 7 10 13 5 'M3' 3° 3)'(3' 3” 3) 41) a) (1, 2, 4) b) (9, -7, -4) c) (5, -4, 3) 42) a) (x, O, O) c) (x, y, O) e) (x, O, z) g) (O, 0, z) b) (0, 0, z) d) (g y, Z) f) (X, yr 0) h) (0, y, 0) »a 43) são paralelos: u, v e t 44) a = 9.eb = -15 45) D(0, 1, 0) 46) a) sim b) não c) sim 47) m:5 e n= -13 48) a) D(l, -3, 6) b) D(2, l, 3) 49) v é unitário 50) tê 4 1 51 i'- ) 3 52) 3 ou -E 5 53) i2 54) P(3, 0,0) 55) P(0, 0,0) ou P(0, 0, -4) 56) a) 063,9) b)(_§_ -j. __12_) c) “E, i, li) JITJÍTJE
  60. 60. Produto Escalar Definição Algébrica Chama-se produto escalar de dois vetores u = x1 i + yl j + zl k e v: x2 i+y2 j +22 k, ese representa por u . V, ao número real u. v=x1x2+y¡y2+z¡z2 (1) Oproduto escalar de u por v tambéméindicado por <u , v>ese lê “u escalar v ”. Exemplos 1) Dados os vetores l-í :3: -Sí +81: e Ç :4-1. -Zí - l-(xtem-se E. Ç=3(4)_5(-2)+ 8(-1)=12+10-8=14 2) Sejam os vetores E = (3, 2, 1) e Ç = (-1, -4, -l). Calcular: a)(ü+$). (2E-$), b)E. u c)õ. E. Solução a) Como E + = (2, -2, 0) e 2G - = (6, 4, 2) - (-1, -4, -1) = (7, s, 3), tem-se (E+Ç). (2E - ; )=2(7)-2(8)+0(3)=414-16+O= -2 =3(3)+2(2)+1(1)=32+22+12=9+4+1=14 = (0, 0, o) . (3, 2, 1) = o(3) + 0(2) + ou) = o <$<1 u. u 0.u b) c)
  61. 61. 50 Vetores e Geometria Analítica 3) Dados os vetores ii = (4, a, -1) e Ç = (oc, 2, 3) e os pontos A (4, -1, 2) e B (3,2, -1), determinar o valor de ot tal que u . (v + BA) = 5. Solução ÉÃ = A-B= (1,-3,3) 3+ BA = (oc, 2, 3)+(1,-3, 3)= (a+ 1,-1,6) Substituindo e resolvendo a equação dada, vem (4, OL, -1) . (0c+ 1, -1, 6): 5 4(0L + 1) + a(-1)-1(6)= 5 4a + 4 - oL - 6 = 5 3a O( 7 Z 3 Propriedades do Produto Escalar Para quaisquer vetores u , v e w e o número real oc, é fácil verificar que: -o I) u. v=v. u II) u. (v+; )=u. v+u. w e (u+v). w=u. w+v. w IH) oc(u. v)= (ocu). vzu. (av) e IV) u. u>Oseu; tÕ ã. ã=o, seu= Õ=(0,0,0). V) E. E=IEIZ De fato, vimos que o módulo do vetor E = (x, y, z) é dado por | u|= ylX2+y2+Z2 . Tendo em vista que _. .., u. u : (x, y,z) . (x, y,z): x2+ y2+z2, conclui-se que | u|= /u. u ou de modo equivalente = uã Iz. Demonstraremos a propriedade II, deixando a cargo do leitor as demais. Se . ., _. u = (x¡, y¡, z¡), v z(x2,y2,z2)e w = (x3,y3,z3), então
  62. 62. . Cap.2 Produto Escalar 51 E. (v+; )=(x¡, yl, 21) . (x2 +x3, y2 +y3, 22 +23) = x¡(x2 +x3)+ y¡(y2 +y3)+2¡(22 +23) = xlx2 +x1x3 + y¡y2 + y¡y3 +2¡22 +zlz3 = (xlx2 +yly2 + 2122)+(x¡x3 + yly3 +2¡23) . .._. »à = U.V+II. W Exemplos l) Sendo| u|=4,| v|=2eu . v=3,calcu1ar(3u -2v). (-u+4v) Solução (3u- 2V) . (-u+4v)=3u . (-u+4v)-2v. (-u+4v) = -3E. E+12H. $+2$. E- 8?. ? = -mã2+uü.3 -m3# --3(4)2 +14(3) - 8(2)2 = -48+42 - 32 = -38 2) Mostrarquelu + v|2=| u|2+2u. v +| v|2 Solução : GJP = (u+v). (u+v) : E . (ã+$)+$ . 6+3) = ll. l1+ll. V+V. U+V. V = |ul2+2u . v+| vl2 Observação De forma análoga' demonstra-se que Iu - v|2=| u|2-2u. v +| vl2 3) Provarque(u›+v). (u-v)= |ul2-| v|2 Solução (u+v). (u-v)= u.(u - v)+v. (u-v) = u.u-u. v+v. u -v. v : Iulz-Ivlz .
  63. 63. 52 Vetores e Geometria Analítica Definição Geométrica de Produto Escalar Se ii e Ç são vetores não-nulos e 6 o ângulo entre eles, então u. v= |u| |vlcos9 Aplicando a lei dos co-senos ao triângulo ABC da Figura 2.1, temos - ~ ~ ~ ~ ~ c lu-v|2=| u|2+Ivlz-Zlullvlcosô (3) Por outro lado, de acordo com o exemplo 2 (item anterior): _, _. _. _. _. _. _. v "_" | u-v|2=| u|2+| v|2-2u. v (4) uv Comparando as igualdades (3) e (4): A A | u|2+| v|2-2u. v=| u|2+| v|2-2|u| |v| cos9 E B e, daí Figura 2.l E5 zlullvlcosô, 0°ses1805 Conclusão: O produto escalar de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos ' pelo co-seno do ângulo por eles formado. J m_ _-. ._. ... . _manu-mm Exemplo Sendo lu I = 2, Iv l = 3 e 120° o ângulo entre ã ev , calcular a) u. v b)| u+v| _ c)| u-v| Solução a) Pela relação (2), tem-se -o-o u. v : l5| | v|cos120°= (2)(3)(-à)= -3 b) Vimosque IE + ÇIZ= IEIZ+2EQ +I$I2 Então, IE + v|2=22+2(-3)+32=7 e, portanto, IG + ÇI: Ji c) De forma análoga tem-se nã _ ÇI2=¡EIQ-2E. Ç +IÇP = 22 - 2(-3)+32 : 19. e, portanto ll-i-; Izx/ ñ
  64. 64. Cap.2 Produto Escalar 53 (bservações a) Vamos exemplificar com um caso particular a equiva- lência das expressões do produto escalar apresentadas em (1) e (2). Pela Figura 2.2 vemos que o ângulo forma- do pelos vetores u = (1, l, 0) e V = (O, 1, O) é 45°. Então, por (1), temos u. v =1(0)+1(1)+ 0(O) =1 e, por (2) «E E. ? = |u| |v| cos45°= (Ji) (1)(7)=1 Figura 2.2 _› b) Deixaremos de demonstrar dois resultados válidos para todos os vetores ii e v : 1) | S Iul lv l (Desigualdade de Schwarz) 2) Id + Ç | S ld I + Iv | (Desigualdade Triangular) E4-V A segunda desigualdade confirma a propriedade geométrica segundo a v' qual, em um triângulo (Figura 2.3), a soma dos comprimentos de dois la- dos (I u I + lv I) é maior do que o comprimento do terceiro lado (l u + v I). Í¡ Figura 2.3 A igualdade somente ocorre quando E e Ç forem paralelos e de mesmo sentido. c) Como em (2) o sinal deu . Ç é o mesmo de cos 9, conclui-se que: 1°) E. ? > o <= › cos e > o <: > 0° s e < 90° (Figura 24m) 2°) u . v < O <= > cos 6< O <= > 90° < 6 S 180° (Figura 2.4 (b)) 3°) u. v = O<: ›cos6=0<= > 6=90°(Figura2.4(c)) . , c V 6 V e e a 3 3 (3) (b) ' (0) Figura 2.4
  65. 65. 54 Vetores e Geometria Analítica Esta última afirmação estabelece a condição de ortogonalidade de dois vetores: í? i Dois vetores u e v são ortogonais se, e somente se, u . v = O. 1 Exemplos 1) Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais: a) u= (1,-2,3)e v : (4, 5, 2) b) ? e j . 1(4)-2(5)+3(2)=4-10+6=0 b) '. j (1,0,0). (O,1,0)=1(O)+0(1)+0(0)=0 1 < | | Il Observação O vetor 0 é ortogonal a todo vetor, isto é, Õ. v = O para todov . 2) Provar que o triângulo de vértices A(2, 3, 1), B(2, l, -l) e C(2, 2, -2) é um triângulo retângulo. Solução A forma mais simples de provar a existência de um ângulo reto é mostrar que existem dois vetores que determinam os_ lados do triângulo cujo produto escalar é zero. Consideremos os vetores _ AB = (O, -2, -2) AC = (0, -1, -3) Fc = (o, 1, -1) (poderíamos também considerar os vetores opostos deles). Calculemos: EÀÉ = (0,-2,-2). (0,-1,-3)=0+2+6=8;t0 ímã: =(0,-2,-2). (0,1,-1)=0~2+2=0 Tendo em vista que AB = O, o triângulo é retângulo em B. 3) Determinar um vetor ortogonal aos vetores v1 = (1, -1, O) e v; = (1, O, 1). Solução Seja u = (x, y, 2) o vetor procurado. Como ii é ortogonal a v¡ evg, devemos ter u. v¡ = (x, y,2). (l, -1,O)= x-y=0 6.32 = (x, y,2). (1,0,1)= x+2=0
  66. 66. Cap.2 Produto Escalar 55 O sistema x-y=0 (LL-l) íx+2=O 3 tem infinitas soluções do tipo 2 y = x e z = -x à Logo, os vetores ortogonais a v1 e 32 são da forma E = (x, x, -x) VI ou E = x(1, el, -1), x e R, isto é, são todos múltiplos de (1, l, -1), con- Figura 2.5 forme sugere a Figura 2.5. 4) Demonstrar que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si. Solução C Lembremos que todo losango é um paralelogramo cujos lados têm o ¡1- + ç mesmo comprimento. Consideremos o losango ABCD (Figura 2.6). ' ü'- v' Devemos mostrar que - D B A-ciíià = 0 Fazendo AB = ii e AD = v, pela figura vemos que ;7 u -ÃC= u›+velí3›= u-v. Logo, A @BB= (ã+$). (E-Ç)= nEn2-n$n2=0 (5) F_ 26 . :gura . pois| ul= lvl. i5) Provar, utilizando o produto escalar, que o ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto. Solução Observemos que, considerados os vetores u e v como na Figura 2.7, os vetores u+ve u-vdeterminam o ângulo inscrito na semicircunferência. Portanto, de maneira análoga ao exemplo anterior, visto em (5), temos (E+$). (ã-$)= nHP-n§n2=0 pois nã n = n17 n (medida do raio).
  67. 67. 56 Vetores e Geometria Analítica Cálculo do Ângulo de Dois Vetores Da igualdade u. v = |u| |v| cos6,vem cos6 = _<__l Cl “"'“""" 'm1 Sil <l fórmula a partir da qual se calcula o ângulo 6 entre os vetores ã e Ç não-nulos. Exemplos 1) Calcular o ângulo entre os vetores E = (l, 1, 4) e Í; = (-1, 2, 2). Soluçao C039: E. ? = (1,1,4). (-1,2,2) = -1+2+s= 9 = L:Q nãnn3n +/ i+1+16 +/1+4+4 Fx/ ã 3+5 3 +5 2 JE 6 = arc cow? ) = 45° 2) Sabendo que o vetor 3 = (2, 1, -1) forma ângulo de 60° com o vetor _AB determinado pelos pontos A(3, 1, -2) e B(4, O, m), calcular m. Solução De acordo com a igualdade (6), tem-se cos 60° = A_B. |v| IABI Com0cos60°= à e AB = B-A= (1,-1,m+ 2), vem l_ (2, 1, .1). (1,-1,m +2) 2 +/4+1+1 V1+1+m2+4m+4 _1__ 2 - 1 - m - 2 2 Jg Vm2+4m+6 l -1- (-›2=( m ›2 2 x/6m2 +24m+36 l_ 1+2m+m2 4 6m2+24m+36
  68. 68. Cap.2 Produto Escalar 57 6m2+24m+36=4+8m+4m2 2m2+16m+32=0 m2 + 8m +16 = o Portanto, m = -4 (raiz dupla) 3) Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A(3, -3, 3), B(2, -1, 2) e C(1, 0, 2). Solução Observemos que no triângulo da Figura 2.8, o ângulo A é determinado pelos vetores ? B eñ. Logo, coSÂ= E1A_C= = 2+5+1=iE0932 IÍHEI J1+4+iJ4+9+1 JÊJIÍ Jã ” A A= arccos(É) E1053, B Analogamente, 'agua 2.a COSÊ : BÃÉ: :(1,-2,1). (-1,1,0)= -1-2 z -3 : É nüllíin J1+4+1J1+1+0 JÉJÉ 2J5 2 A B = arc cos(-? )=150° A ã. (í3_(2,-3,1). (1,-1,o)_ 2+3 5 cos C = ms---Ê--í- : :- E 0,9449 ICAIICBI J4+9+1J1+1+0 JMJ? JE A 5 a ' A A A C = arc cos (--) E 197'. Notemos que A+B+C=180° Jíã Ângulos Diretores e Co-senos Diretores de um Vetor Seja o vetor Ç = x + yj + 2P não-nulo. Ângulos diretores de 3 são os ângulos a, B e y que g-o Ç forma com os vetores i , j e respectivamente (Fi- gura 2.9). Co-senos diretores de v são os co-senos de seus ângulos diretores, isto é, cos oc, cos B e cos 7.
  69. 69. 58 Vetores e Geometria Analítica Para o cálculo destes valores utilizaremos a fórmula (6): cosa: : (x, y,2). (1,0,0): x lvllil nÇn(1) nÇn 00,11: j-ismag-&Líàs; (7) lvlljl | vl(1) | v| m: iéseLg-(pspgsg lvllkl | vl(1) lvl Observação Notemos que os co-senos diretores de v são precisamente as componentes do versor dev : V (xyz) x y 2 r-r: ,_. , = (-: :", f,__: -)= (COSQ, COSB, COS'Y) | v| lvl lvl | v| | v| Como o versor é um vetor unitário, decorre imediatamente C052 oc + cosz B + C052 'yz 1 (8) Exemplos 1) Calcular os ângulos diretores de v = (1, -1, O). Solução n? n = J1+1+0 : JE Utilizando (7), temos cos ot = i= g ot :45° JE 2 B É ' fz' 2 0 o cosy: :O 'y=90 É B =135° 2) Os ângulos diretores de um vetor são a, 45° e 60°. Determinar OL. Solução Substituindo em (8), B por 45° e 'y por 60°, vem
  70. 70. Cap.2 Produto Escalar 59 cosz OL+COS2 45°+cos2 60° =1 cos2a+(§)2+(à)2=1 2 1 4_2-1_1 cos20c=1----= 4 4 4 4 cosa = i/ :=il 4 2 Logo, oc = 60° ou oc = 120° _. . 3) Um vetor v do espaço forma com os vetores e j ângulos de 60° e 120°, respecti- ' vamente. Determinar o vetor v, sabendo que lv l = 2. Solução Seja v = (x, y, 2) o vetor procurado. No caso presente: oc = 60° e B = 120°. Então, utili- zando (7), temos x cos60°= T ou l= §, A dondex=1 | v| 2 2 n cosl20°= é ou -l= '-y-, donde y= -1 | v| 2 2 Como Iv | = 2, isto é, jjx2+yz+zz =2 vem (1)2 + (-1)2 + 22 = 4 22 = 2 2 = :1/2 Portanto, : :(1-145) ou 3414,51 4) Obter o vetor v, sabendo que l; l = 4, v é ortogonal ao eixo O2, forma ângulo de 60° _s com o vetor i e ângilo obtuso com j . Solução Sendo v ortogonal ao eixo O2, ele é do tipo Ç = (x, y, O). Por (7), tem-se
  71. 71. 60 Vetores e Geometria Analítica x cos 60° = __. - ou l | v| 2 É, donde x =2 4 Como Iv | = 4, isto é, ¡jxz +y2 =4 (2)2 + v2 = 16 yz = 12 y = i 2x5 Tendo em vista que B (ângulo de v com j. ) é obtuso (90° < B S 180°), na igualdade vem cos B = 'É' o valor de y é negativo. v Portanto, v = (2, -2J3, o) Projeção de um Vetor sobre Outro Sejam os vetores ii e v não-nulos e 6 o ângulo entre eles. Pretendemos decompor um dos vetores, digamosv , tal que v: v1 + v2 sendo vj/ /v e ; ,111 A Figura 2.10 ilustra as duas situações possíveis, podendo ser 6 um ângulo agudo (Figura 2.10 (a)) ou obtuso (Figura 2.10 (b)). Figura 2. l 0
  72. 72. Cap. 2 Produto Escalar 61 O vetor v1 é chamado projeção ortogonal de v sobre ii e indicado por -› -› V1 = PTOJIHV (9) Ora, sendo v1// u, temos v1 = ocu ecomo v2 = v - v1 v - au é ortogonal a d, vem (v-ocu). u=0 ou u. u : O S2 V. l.l - Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Escalar Se em (10) o vetor ii é unitário (Iii | = l), tem-se . e . -* -* *2 projãv = (v. u)u pois u. u = |u| =l e, portanto, . ..pa lprojãvl: |(v. u)u| =|v. u|| ul ou | proj-v| =lv. u| ll Logo, o comprimento do vetor projeção de V sobre u , sendo u unitário, e' igual ao módulo do produto escalar de V por d .
  73. 73. 62 Vetores e Geometria Analítica Exemplos 1) Determinar o vetor projeção de 3 = (2, 3, 4) sobre ii = (1, a1, O). Solução Temos v . u = 2(1) + 3(-1) + 4(0) = -1 5.5 = IÊI2=(1)2+(-1)2+02“=2 Logo . ._. . -° v. u -› -1 1 1 Pf0J¡V-( a; >u -(3›<1,-1,o›-<-5, 5,0) 2) Dados os vetores Ç = (1, 3, -5) e ii = (4, -2, 8), decompor Ç como Ç = v¡ +32, sendo vl/ /u e v2J_u. Solução a) Pela Figura 2.10 e por ( 10), temos v¡ = projav= ( )E ll . 11 Como v. u =1(4)+3(-2)- 5(s) = -42 e 5.5 :42 + (-2)2+ 32:34, vem » - 2 1 = _ 4,-2,8 = -- 4,-2,8 = -2,1,-4 v¡ 84 ( ) 2( ) ( ) b) Sendo Ç = 31 +32, tem-se ? z=3 - c, =(1, 3, -5)- (-2, 1, -4)= (3, 2,-1) Observamos que C2 _L u pois v2.u = 3(4) + 2(-2) -1(8) = O 3) Sejam os pontos A(-1, -1, 2), B(2, 1, 1) e C(m, -5, 3). a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A? b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A. Solução a) Sendo  ângulo reto, os vetores ; B e _ÃE (Figura 2.11) são ortogonais, isto é, Í. .É = 0.
  74. 74. Cap.2 Produto escalar 63 Como X3 = (3, 2, -1)e E = (m+1, -4, 1), vem 3(m+1)+2(-4)-1(1)=0 3m+3-8-1:0 l 3m=6 H m = 2 Figura 2.l l b) O ponto H é dado por H= B+ B_Il sendo íl= projüí§= --Ê'B_c. ü BC. BC Mas B-AÇÊ-C= (-3,-2,1). (0,-6,2)=0+12+2=14 C ÍÍÊ-Õ= (O, -6,2). (0,-6,2)=0+36+4=40 Logo, _ 14 7 21 7 BH= - 0,-6,2 = _ 0,-6,2 = o, -+, _ 40( ) 2o( ) ( 1010) QPOIÍZIIIÍO, 21 7 H= 2,1,1 0,--, _ ( M( 1o 1o) 011 149,217_ 10 1o Produto Escalar no Plano' Todo o estudo feito neste capítulo em relação a vetores do espaço é válido também a veto- res no plano. Considerando os vetores u = (x1,y1) e v = (x2 , yz ), temos a) u. v = X1X2 + y¡_y2; b) validade das mesmas propriedades do produto escalar; c) seôéoângulo entre u : t O e v i0, então _ea u. v 0059:. . _; Iullvl d) uJ_ v se, esomente se, u. v =0; e) se ot e [3 são os ângulos diretores de u , u ; t 0, então
  75. 75. 64 Vetores e Geometria Analítica x Y cosa : :l e cosB : TH Iul IuI t) cos2a+cos2|3=1 . - v. u - - - _ g) proj; v=( - . . )u, com u ev nao-nulos. u. u Uma Aplicação na Física O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física, uma vez que inúmeras grandezas físicas são definidas com seu emprego, como por exemplo, o trabalho. O trabalho realizado por uma força constante B ao longo de um determinado deslo- camento d é definido como o produto es- calar desta força pelo deslocamento efetua- do pelo corpo no qual a força está aplicada. Pode-se observar que a componente da força lí' que realiza o trabalho é B¡ -› paralela ao deslocamentoü = d, confor- me mostra a Figura 2.12. Então, Figura 2. l 2 IB¡ | = IB! cos 6 onde 9 é o ângulo entre a força e o deslocamento. A grandeza física trabalho, notada por W, é uma grandeza escalar e tem como uni- dade no Sistema Internacional o joule, notado por J. A expressão para o cálculo do trabalho W é w=1"= .ã ou w= IFiIãicose e 1J = lN . 1m (1 Newton vezes um metro) Exemplos 1) Calcular o trabalho realizado pelas forças constantes, B , Ê, , BN e B (Figura 2.13) e pela força resultante, para deslocar o bloco de A até B, sabendo que IB | = 10N, iííai= sN, IPl=3N, IBNI=3N, ã: AB eiãi: 10m.
  76. 76. Cap. 2 Produto escalar 65 Solução 'a) WF: |15| Iãicos e Como 9 = 0° (ângulo entre B e d), vem -› WP = (10N)(10m)(1) = 100 J F” b) WFa= |Ba| Id| cos9 , à Como 9 = 180° (ângulo entre É, e d), vem Fa F WFa = (8N)(10m)(-1) = -80 J B c) WP: |13| Idlcos 9 Como 9 = 90° (ângulo entre B e d), vem F¡3“"° “3 WP = (3N)(10m)(0) = O J d) WFN = |i5N| |ã| cos e Como 9 = 90° (ângulo entre BN e d), vem WFN = (3N)(10m)(0) = O J Neste exemplo, o trabalho resultante WR das quatro forças pode ser calculado de duas maneiras: a) pela soma algébrica dos trabalhos realizados pelas forças: WR = WF+ WFa 'l' WP . + WFN ou WR= l00J-8OJ+OJ+OJ=20J b) pelo trabalho realizado pela força resultante BR : BR: B + É, + B + BN (soma de vetores) Como 13 + BN = Õ, conclui-se que IBR I = 2N Logo, wR= |Í= R|| ã|cose (e= o°) 01.1 WR = (3N)(10m)(1)= 20 J _ F 2) Calcular o trabalho realizado pela força F para des- e locar o corpo de A até B (Figura 2.14), sabendo que """" " A B |13|:10N, |ÍB| =|ã| =2omees36,9°. Figura 2. l4
  77. 77. 66 Vetores e Geometria Analítica Solução ICN F A Força F (Figura 2.15) édecomposta em F : Si + 6j , ' onde8=| FIcos9,6:| Flsen9ed:20i+0j. . . . SN , O trabalho realizado pela força F pode ser calcu- A É B lado por ' _ W : F . d (produto escalar) Figura 2. l 5 _. _. .. _. W. -.(8i +6j ). (20i +0j) W = 160 J ou por 'W: |F| |d| cos9 W = (10N)(20m)(Cos 36,9°) W = 160 J Problemas Propostos 1) Dados os vetores ii : (2, -3, ~1) e 3 : (1, -1, 4), calcular a)2E. (-3) e)(3+3). (ã_3) b)(3+33). (3_2ã) d)(3+3). (3-E) 2) Sejam os vetores ii : (2, a, -1), 3: (3, 1, -2) e (v. = (2a - 1, -2, 4). Determinar a de modoqueii . 3:(ã+3). (3,3). 3) Dados os pontos A (4, O, -1), B (2, -2, 1) e C (1, 3, 2) e os vetores ii: (2, 1, 1) e 3 = (-1, -2, 3), obter o vetor SE tal que a)33+23:3+(ÍB.3)3 b)(i3?: .3)3:(3.3)3-33. 4) Determinar ovetor 3, paralelo ao vetor ii : (2, -1, 3), tal que 3 . ii: -42. 5) Determinarovetor 3, sabendo que 13 | = 5, 3e ortogonal ao eixo Ox, 3. 3: 6 e W = + 2;. 6) Determinarovetor 3, ortogonal ao eixo Oy, 3¡ = 8 e 3 . 32: -3, sendo 31 = (3, 1, -2)e 32 : (-1,1,1). 7) Dados os vetores E : (1, 2, -3), 3:(2,0,-1)e 3 = (3, 1, o), determínaro vetor 3 talque; . E: -15,3:o e 3. W:3. 8) Sabendoque| iil=2, |3|:3 e ii. v= -1,calcular a)(E-33).3 c)(3+3). (3-43) b)(23-3). (23) d)_(33+43). (-23-53)
  78. 78. 9) Cap.2 Produto escalar 67 Calcular u. v+u. w+v. w,sabendoque u+v+w = 0,| u|=2,| v|=3e| w|=5. 10) Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 20 cm. .11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) «19) 20) 21) Calcularñ . Ã-C e Ã-B . . O quadrilátero ABCD (Figura 2.16) é um losango de lado 2. Calcular: a) X6513 d) EÍÉE @FL/ TD @EDC c) EÃÂE t) BC. DA Calcularlu + vl, Iu - vl e(u+v). (u-V), sabendo que Iu| =4,| vl=3eoânguloentreu ev éde60°. Sabendo que nã¡ = Õ, I; l = 3 e que E e j; formam ângulo 3 . de -n- rad, determinar 4 a)I(2ã-$). (ã-2Ç)| bnE-zõl Verificar para os vetores E = (4, -1, 2) e Ç = (-3, 2, -2) as desigualdades a) nã. ? I s IE¡ u? I (Desigualdade de Schwarz) b) IE + Ç I s l5|», IG I (Desigualdade Triangular) Qual o valor de ocpara que os vetores ã = oci+ 2;- 41: e É = 2i+ (1 - 2o0j+ 312 sejam ortogonais? Dados os vetores a = (2, 1, oc), b: (oc + 2, -5, 2) e c = (2a, 8, oc), determinar o valor de a para que o vetor ã + É seja ortogonal ao vetor E - ã. Dados os pontos A(-1, O, 5), B(2, -1, 4) e C(1, 1, 1), determinar x tal que Ã-C e É sejam ortogonais, sendo P (x, 0, x - 3). Provar que os pontos A(-1, 2, 3), B(-3, 6, 0) e C(-4, 7, 2) são vértices de um triângulo retângulo. Dados os pontos A(m, 1, O), B(m - 1, 2m, 2) e C( 1, 3, -l), determinar m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A. Calcular a área do triângulo. Encontrar os vetores unitários paralelos ao plano yOz e que são ortogonais ao vetor Ç : (4, 1 _2). Determinar o vetor E tal que Iul = 2, o ângulo entre E e v = (1,-1, O) é 45° e ii é ortogonal a í? = (1, l, O).
  79. 79. 68 Vetores e Geometria Analítica 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) Seja o vetor v = (2, -l, l). Obter a) um vetor ortogonal av ; b) um vetor unitário ortogonal av ; c) um vetor de módulo 4 ortogonal a v . Sendo ã lb, Ia| =6eIb| =8,calcular| a + Blelã - bl. Demonstrar que sendo ii , v e ã vetores dois a dois ortogonais, então a) IE + 3P: IE 12+ u; P. b) lã + z + 312: 1312+ um nã? , Determinar o ângulo entre os vetores a) E: (2, -1, -1)ev = (-1, -1, 2). b) E: (1, -2, 1) e v = (-1, 1, o). Seja o triângulo de vértices A(3, 4, 4), B(2, -3, 4) e C(6, 0, 4). Determinar o ângulo interno ao vértice B. Qual o ângulo externo ao vértice B? Calcular os ângulos internos do triângulo de vértices A(2, l, 3), B(1, O, -1) e C(-1, 2, l). Calcular o valor de m de modo que seja 120° o ângulo entre os vetores E = (1, -2, 1) e z = (-2,1,m+ 1). Calcular n para que seja de 30° o ângulo entre os vetores v = (-3, 1, n) e l( . Se ! ii | = 4, Iv I = 2 e 120° o ângulo entre os vetores ii e v, determinar o ângulo entre ii + v e ii - v e construir uma figura correspondente a estes dados. Seja o cubo de aresta a representado na Figura 2.17. z Determinar: a) OA. OC dnãàlelãrl b) 07. . õõ e) É . EE e)ã. ã t)(ED. E)ãr g) o ângulo agudo entre a diagonal do cubo e uma aresta; h) o ângulo agudo formado por duas diagonais do cubo. Calcular os ângulos diretores do vetor v = (6, -2, 3). Os ângulos diretores de um vetor ã são 45°, 60° e 120° X Figura 2. I 7 e la I = 2. Determinar ã. Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45°, 60° e 90°? J ustiñcar. Mostrar que existe um vetor cujos ângulos diretores são 30°, 90° e 60°, respectiva- mente, e determinar aquele que tem módulo 10.
  80. 80. Cap.2 Produto escalar 69 36) 37) 38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) 45) Determinar um vetor unitário ortogonal ao eixo Oz e que forme 60° com o vetor i . Determinar o vetor a de módulo 5, sabendo que é ortogonal ao eixo Oy e ao vetor v = i - 2 k , e forma ângulo obtuso com o vetor i . Determinar O VCÍOI' V [IOS casos a) vé ortogonal ao eixo Oz, |v| = 8, forma ângulo de 30° com o vetor e ângulo obtuso com jv; b) v é ortogonal ao eixo Ox, Iv | = 2, forma ângulo de 60° com o vetor j e ângulo agudo com k . O vetor v é ortogonal aos vetores u = (1, 2, O) e w = (2, O, 1) e forma ângulo agu- do com o vetor; . Determinarv , sabendo que Iv | = «[21 . Dados os vetores ii = (3, O, l) e v = (-2, l, 2), determinar projçii e proj _¡v. Determinar os vetores projeção de v = 4 i - 3 j + 2k sobre os eixos cartesianos x, y e z. Para cada um dos pares de vetores E e v , encontrar a projeção ortogonal de v sobre ii edecompor v como soma de v1 comvg, sendo v1 / / ii e v2.1.5. a) v: (1, 2, -2) e v: (3, -2, 1) b) E: (1,1,1) e v: (3, 1, -1) c) v: (2,0, 0) e v = (3, 5,4) d) E: (3, 1, -3) e v : (2, -3, 1) Sejam A(2, 1, 3), B(m, 3, 5) e C(0, 4, 1) vértices de um triângulo (Figura 2.18). a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A? b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a B hipotenusa BC. c) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vér- tice A. d) Mostrar que TH . L Determinar o valor de k para que os vetores u = (-2, 3) e v = (k, -4) sejam a) paralelos; b) ortogonais. A B. H C Figura 2. I 8 . Obter os dois vetores unitários ortogonais a cada um dos vetores a)4í + sí' b) (-2, 3) c) (-1, -1)
  81. 81. 70 Vetores e Geometria Analítica 46) 47) 48) 49) 50) Determinar um par de vetores unitários e ortogonais entre si, em que um deles seja paraleloa j; = Gi + Sj. . Determinar, aproximadamente, o ângulo entre os pares de vetores a) E= (2, 1) e 5 : (4, -2) b) ã= (1,-1)e Ç = (4,-2) c) E = (1, 1) e? =(-1, 1) Dados os vetores ii = - e Ç = 2 +j›, determinar o módulo e o ângulo que os seguintes vetores formam com o vetor i : a) É c) 5+ Ç e) v - u b) Ç d) E- 3 Determinar o valor de a para que seja 45 ° o ângulo entre os vetores E = (2, 1) e Ç = (1, a). Para cada um dos pares de vetores E e Ç , encontrar o vetor projeção ortogonal de i; sobre E edecompor ; I como soma de ; l com 32, sendo Ç¡ / / ii e ELE. a)E= (1,0)eC= (4,3) c)ã= (4,3)e§= (1,2) b)E= (1,1)e$= (2,5) Respostas de Problemas Propostos 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 1o) 11) 12) 13) 15) a) -2 b) 21 c) -4 d)4 5 a = - s 1 2 a)(3,6› 9) b)(3, 3,1) (-6, 3, -9) (o, 3,4) ou (o, 3, -4) (2,0, -1) x= (2, -3, 4) a) 7 b) 38 c) 4 d) -181 -19 200e-200 a)0 b)2 c) _2 d)2 e)4 r)-4 JE, w/ ñe7 a) 37 b) E -5
  82. 82. Cap.2 Produto escalar 71 21) (1-1, Ji) ou (1, -1, 45) 22) a) Dentre os infinitos possíveis: (1, 1, -1) 1 1 1 b) Um deles: (_, -, ---) 6 Ja" ã 4 4 4 c) Umdeles: (--, -, --) 6 JE JE 23) 10e10 25) a) 120° b)150° 26) 45°e135° 27) Â 550°57', Ê : -: 57°1', ô 57232' 28) Oou-18 29) da? 3 30) arc cos à s 49°6' Ji 31) a) o c) o e)a2 g) arc cos l? s 54°44' b)0 d) aJí e M3' r)(a3, a3,a3) h)arc cos (à) z70°3l' 6 2 . . 32) a : arc cos (7)s31° Bzarc cos (-; ]-) E 107 y = arc cos (à) s 65° 33) ã: (JE, 1, -1). 34) Não, cos2 45°+cos2 6O°+cos2 90° ; e 1 35) (Sã, 0, 5) f I 1 3 1 3 36 : aí-HO : ›_í90 ) (2 2 ) 011 (2 2 )
  83. 83. 72 Vetores e Geometria Analítica 37) 38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) 45) 46) 47) 48) 49) 50) ã: <-2JE, o, sã) a) <4JE, -4 o) b) (o, 1, JE) (-2, 1,4) s 4 s 6 2 à) _19 -_- _19 09 _E_ (9 9 9) e ( 5 5) 41-3?, 212 '- 1 2 2 ~ 1o 4 1 a) V1=("§a *'33 É), V2=('í, 'í. ã b) çl: (17 1a e ; Í = (27 0› '2) c) $1=(3,0,o)e 52 = (o, 5, 4) d) E1: (O, 0, 0) (E e v são ortogonais) e ; g = E/ a)m=3 b) zíõJz-ó omã, a) É b)-6 3 4 3 4 3 2 3 2 a) ('5_›'§) e ("5_› e 'E 'N/ ñ) c)(:1_. , _L) e(-_1._, L. JE 2 JE JE 3 4 4 3 3 4 4 3 (g, §)e ('§› E) 011 (§› §)3 (É, -§) a) arc cos (É) s53° b) arc cos 9%) s 10s° a) JE, 45° d)JE, arc cos çÉ) s 117” b) arc cos (É)s26° e) arc cos (%)s63° c) 3, 0° 3ou -l 3 ~ » ' ~ 86 ~ 3 4 a) v1=(4, 0), v2=(0. 3) c) V145?) v2=(-§. E) ~ 7 7 ~ 3 3 b = :a-'s = '_›_ )V1 (2 2)): (2 2 C) 90°
  84. 84. Prod ulo Vetorial Preliminares Antes de deñnirmos produto vetorial de dois vetores ã e Ç , faremos algumas considera- ções importantes: a) O produto vetorial é um vetor, ao contrário do produto escalar Ç que é um escalar (número real). b) Para simplicidade de cálculo do produto vetorial, faremos uso de determinantes. Um determinante de ordem 2 é definido como X Y 1 l = X1Y2 ' X2Y| X2 V2 Porexemplo, 3 2 _4 5 = (3)(5) - (-4)(2) = l5+8 = 23 c) Algumas propriedades dos determinantes serão utilizadas nesta seção: c¡) a permutação de duas linhas inverte o sinal do determinante. Em relação ao exemplo anterior, temos ,4 5 3 2 = (-4)(2) - (3)(5) = -8 -15 = -23 C2) se duas linhas forem constituídas de elementos proporcionais, o determinante é' zero (duas linhas iguais é um caso particular).

×