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Cap23

  1. 1. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` Exerc´cios Resolvidos de Teoria Eletromagn´ tica ı e Jason Alfredo Carlson Gallas Professor Titular de F´sica Te´ rica ı o Doutor em F´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha ı Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´sica ı Mat´ ria para a PRIMEIRA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro e ¸˜ ¸˜ “Fundamentos de F´sica”, Halliday, Resnick e Walker. ı   Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas clicando-se em ‘ENSINO’ Conte´ udo 23 Carga El´ trica e 23.1 Quest˜ es . . . . . . . . . . . . . . . . . o 23.2 Problemas e Exerc´cios . . . . . . . . . ı 2 2 3 23.2.1 23.2.2 23.2.3 23.2.4 Lei de Coulomb . . . . . A Carga e Quantizada . . ´ A Carga e Conservada . . ´ As Constantes da F´sica: ı Aparte . . . . . . . . . . . Coment´ rios/Sugest˜ es e Erros: favor enviar para a o   http://www.if.ufrgs.br/ jgallas . . . . . . . . . Um . . . 3 8 10 10 jgallas @ if.ufrgs.br (lista1.tex) P´ gina 1 de 11 a
  2. 2. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` 23 Carga El´ trica e Q 23-3 Uma barra carregada atrai fragmentos de cortica que, as¸ sim que a tocam, s˜ o violentamente repelidos. Explique a a causa disto. 23.1 Quest˜ es o ¡ Como os dois corpos atraem-se inicialmente, deduzimos que eles possuem quantidades de cargas com sinais diferentes. Ao tocarem-se a quantidade de cargas menor e equilibrada pelas cargas de sinal oposto. Como a carga ´ que sobra reparte-se entre os dois corpos, estes passam a repelir-se por possuirem, ent˜ o, cargas de mesmo sinal. a Q 23-1 Sendo dadas duas esferas de metal montadas em suporte port´ til de material isolante, invente um modo de cara reg´ -las com quantidades de cargas iguais e de sinais a opostos. Vocˆ pode usar uma barra de vidro ativada com e ´ seda, mas ela n˜ o pode tocar as esferas. E necess´ rio a a Note que afirmar existir repuls˜ o ap´ s os corpos a o que as esferas sejam do mesmo tamanho, para o m´ todo tocarem-se equivale a afirmar ser diferente a quantidae funcionar? de de cargas existente inicialmente em cada corpo. Um m´ todo simples e usar inducao el´ trost´ tica: ao e ´ ¸˜ e a aproximarmos a barra de vidro de qualquer uma das es- Q 23-4 feras quando ambas estiverem em contato iremos indue ¸˜ zir (i) na esfera mais pr´ xima, uma mesma carga igual As experiˆ ncias descritas na Seccao 23-2 poderiam ser o explicadas postulando-se quatro tipos de carga, a saber, e oposta a carga da barra e, (ii) na esfera mais afastada, ` a uma carga igual e de mesmo sinal que a da barra. Se a do vidro, a da seda, a do pl´ stico e a da pele do animal. Qual e o argumento contra isto? ´ separarmos ent˜ o as duas esferas, cada uma delas ir´ fia a car com cargas de mesma magnitude por´ m com sinais e ´ a E f´ cil verificar experimentalmente que os quatro tiopostos. Este processo n˜ o depende do raio das esfe- pos ‘novos’ de carga n˜ o poderiam ser diferentes umas a a ras. Note, entretanto, que a densidade de cargas sobre das outras. Isto porque e poss´vel separar-se os quatro ´ ı a superf´cie de cada esfera ap´ s a separacao obviamente tipos de carga em dois pares de duas cargas que s˜ o inı o ¸˜ a depende do raio das esferas. distingu´veis um do outro, experimentalmente. ı ¢ ¡ ¡ Q 23-2 Na quest˜ o anterior, descubra um modo de carregar as Q 23-6 a esferas com quantidades de carga iguais e de mesmo si- Um isolante carregado pode ser descarregado passandonal. Novamente, e necess´ rio que as esferas tenham o o logo acima de uma chama. Explique por quˆ ? ´ a e mesmo tamanho para o m´ todo a ser usado? e ´ E que a alta temperatura acima da chama ioniza o ar, O enunciado do problema anterior n˜ o permite que tornando-o condutor, permitindo o fluxo de cargas. a toquemos com o bast˜ o nas esferas. Portanto, repetia mos a inducao eletrost´ tica descrita no exerc´cio ante¸˜ a ı rior. Por´ m, mantendo sempre a barra pr´ xima de uma Q 23-9 e o das esferas, removemos a outra, tratando de neutralizar Por que as experiˆ ncias em eletrost´ tica n˜ o funcionam e a a a carga sobre ela (por exemplo, aterrando-a). Se afas- bem em dias umidos? ´ tarmos o bast˜ o da esfera e a colocarmos novamente em a Em dias umidos existe um excesso de vapor de ´ contato com a esfera cuja carga foi neutralizada, iremos ´ a ı permitir que a carga possa redistribuir-se homogenea- agua no ar. Conforme ser´ estudado no Cap´tulo 24, a mente sobre ambas as esferas. Deste modo garantimos mol´ cula de agua, e ´ , pertence a classe de mol´ culas ` e que o sinal das cargas em ambas esferas e o mesmo. Pa- que possui o que se chama de ‘momento de dipolo ´ ra que a magnitude das cargas seja tamb´ m idˆ ntica e el´ trico’, isto e, nestas mol´ culas o centro das cargas e e ´ e ´ e ´ necess´ rio que as esferas tenham o mesmo raio. E que a positivas n˜ o coincide com o centro das cargas negaa a densidade superficial comum as duas esferas quando em tivas. Este desequil´brio faz com que tais mol´ culas ` ı e contato ir´ sofrer alteracoes diferentes em cada esfera, sejam el´ tricamente ativas, podendo ser atraidas por a ¸˜ e ap´ s elas serem separadas, caso os raios sejam diferen- superf´cies carregadas, tanto positiva quanto negativao ı tes. mente. Ao colidirem com superf´cies carregadas, as ı ¡ ¡ ¡ ¦¤ §¥£   http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 2 de 11 a
  3. 3. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` e mol´ culas agem no sentido de neutralizar parte da car- das duas cargas. Como vocˆ poderia testar este fato no e o ga na superf´cie, provocando deste modo efeitos inde- laborat´ rio? ı sej´ veis para os experimentos de eletrost´ tica. Isto pora a Estudando de que modo varia a forca necess´ ria para ¸ a que n˜ o se tem mais certeza sobre qual a quantidade de a levar-se cargas de distintos valores at´ uma distˆ ncia , e a carga que realmente se encontra sobre a superf´cie. ı constante, de uma outra carga fixa no espaco. ¸ ¡ ¨ Q 23-13 Q 23-18 Uma pessoa em p´ sobre um banco isolado toca um cone e ) gira ao redor de um n´ cleo u dutor tamb´ m isolado, mas carregado. Haver´ descarga Um el´ tron (carga e a (carga ) de um atomo de h´ lio. Qual das ´ e completa do condutor? part´culas exerce maior forca sobre a outra? ı ¸ N˜ o. Haver´ apenas uma redistribuicao da carga entre a a ¸˜ o condutor e a pessoa. Se realmente vocˆ n˜ o souber a resposta correta, ou e a faz e entende o Exerc´cio E 23-2 ou tranca o curso bem ı Q 23-14 r´ pido! a © © ¡ ¡ (a) Uma barra de vidro positivamente carregada atrai um ¸ e objeto suspenso. Podemos concluir que o objeto est´ Q 23-15 extra A forca el´ trica que uma carga exerce a carregado negativamente? (b) A mesma barra carregada sobre outra se altera ao aproximarmos delas outras carpositivamente repele o objeto suspenso. Podemos con- gas? cluir que o objeto est´ positivamente carregado? a A forca entre duas cargas quaisquer depende unica ¸ ´ e exclusivamente das grandezas que aparecem na ex(a) N˜ o. Poder´amos estar lidando com um objeto a ı a a ´ a neutro por´ m met´ lico, sobre o qual seria poss´vel in- press˜ o matem´ tica da lei de Coulomb. Portanto, e f´ cil e a ı concluir-se que a forca pre-existente entre um par de car¸ duzir uma carga, que passaria ent˜ o a ser atraido pela a a ¸˜ barra. (b) Sim, pois n˜ o se pode induzir carga de mes- gas jamais poder´ depender da aproximacao de uma ou a mais cargas. Observe, entretanto, que a ‘novidade’ que mo sinal. resulta da aproximacao de cargas extras e que a forca ¸˜ ´ ¸ Q 23-16 resultante sobre cada carga pre-existente poder´ alterara Teria feito alguma diferenca significativa se Benjamin se, podendo tal resultante ser facilmente determinada ¸ ı ¸˜ Franklin tivesse chamado os el´ trons de positivos e os com o princ´pio de superposicao. e ¡ ¡ pr´ tons de negativos? o ¡ 23.2 Problemas e Exerc´cios ı 23.2.1 Lei de Coulomb E 23-1 Qual seria a forca eletrost´ tica entre duas cargas de ¸ a Coulomb separadas por uma distˆ ncia de (a) a m e (b) km se tal configuracao pudesse ser estabelecida? ¸˜ ! X! 0 ED¥) ) WB© 4! 0 ) EDC) (B© ! U7 S 9 Q 77 5 ! 0 ) % © @ VITERH64 32¥) ('GF# P 7 @ 97 7 5 ! 0 ) % © (A3864 321) ('$$# ¡ (a) (b) N˜ o. Tais nomes s˜ o apenas uma quest˜ o de a a a convencao. ¸˜ Na terceira edicao do livro, afirmava-se que Fran¸˜ klin, al´ m de ‘positivo’ e ‘negativo’, haveria introdue zido tamb´ m as denominacoes ‘bateria’ e ‘carga’. Na e ¸˜ quarta edicao a coisa j´ mudou de figura... Eu tenho a ¸˜ a impress˜ o que ‘positivo’ e ‘negativo’ devem ser antea riores a Franklin mas n˜ o consegui localizar referˆ ncias a e adequadas. O qu´mico francˆ s Charles Francois de Cisı e ¸ ternay Du Fay (1698-1739), descobriu a existˆ ncia de e dois “tipos de eletricidade”: vitrea (do vidro) e resinosa (da resina). Por´ m, a quem ser´ que devemos os nomes de cargas e a “positivas” e “negativas”? Ofereco uma garrafa de boa ¸ champanha a quem por primeiro me mostrar a solucao ¸˜ deste puzzle! N. N. E 23-2 ¢ Uma carga puntiforme de C dista cm de uma segunda carga puntiforme de C. A Lei de Coulomb prevˆ que a forca exercida por uma Calcular o m´ dulo da forca eletrost´ tica que atua sobre e ¸ o ¸ a carga puntiforme sobre outra e proporcional ao produto cada carga. ´ d c! 0 rqEpihg f 3 dc! 0 Y eWEba! W` Q 23-17   http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 3 de 11 a
  4. 4. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` o7 c 32n … 7 ! 0 4 ED1) ! 0 X ! 0 5 … %ˆ5 frc ED1Y W'% 0 ec 32ChWY ! 0 ‡ 7h7 gQ ju m rt fx 7 h 7 pk5 Q % ™$# g © ¤ x ru t 3¤ s © j i f ! 0 rc ED¥ ) t © ¤ 6s ¤ 6s ¡ 7s 7s © ls ( W ! 0 ¤ 5 ¤ c ED¥3V% ! 0 5 ! 6drcqED0¥hg A66deWED01'Y% 5 4 ED¥) ) Wy% %5 c ! Q ¤x vu ¤ s 7 s w t © © N kg De acordo com a terceira Lei de Newton, a forca que ¸ uma carga exerce sobre outra carga e igual em ´ m´ dulo e de sentido contr´ rio a forca que a carga o a ` ¸ (b) Como temos exerce sobre a carga . O valor desta forca e dado pela ¸ ´ Eq. 23-4. Conforme a convencao do livro, usamos aqui ¸˜ os m´ dulos das cargas. Portanto o segue que C E 23-7 © © # © Duas esferas condutoras idˆ nticas e isoladas, e , pose suem quantidades iguais de carga e est˜ o separadas por a Qual deve ser a distˆ ncia entre duas cargas puntiformes uma distˆ ncia grande comparada com seus diˆ metros a a a Ce C para que o m´ dulo da forca (Fig. 23-13a). A forca eletrost´ tica que atua sobre a eso ¸ ¸ a eletrost´ tica entre elas seja de a N? fera devida a esfera e . Suponha agora que uma ´ terceira esfera idˆ ntica , dotada de um suporte isolane te e inicialmente descarregada, toque primeiro a esfera (Fig. 23-13b), depois a esfera (Fig.. 23-13c) e, em seguida, seja afastada (Fig. 23-13d). Em termos de , qual e a forca ´ ¸ que atua agora sobre a esfera ? metros Chamemos de a carga inicial sobre as esferas e . Ap´ s ser tocada pela esfera , a esfera ret´ m uma o e E 23-4 carga igual a . Ap´ s ser tocada pela esfera , a esfera o Na descarga de um relˆ mpago t´pico, uma corrente de a ı ir´ ficar com uma carga igual a a . Amp` res flui durante e s. Que quantidade Portanto, teremos em m´ dulo o de carga e transferida pelo relˆ mpago? [Note: Amp` re e ´ a e ´ a unidade de corrente no SI; est´ definida na Seccao 28a ¸˜ 2 do livro; mas o cap´tulo 23 fornece meios de resolver ı o problema proposto.] onde e uma constante (que envolve ´ bem como a Usamos a Eq. (23-3): distˆ ncia fixa entre as esferas e , mas que n˜ o vem ao a a caso aqui) e representa o m´ dulo de . o C E 23-3 Y p … qg t qg d ! … % d ! … 0  % ! 0 ) 5 rc 320 qt ˆ5 ec ED1y65 4 32¥) ('% ‡ p s t i s Y$©1Y i 5 i sƒ's% s Y q rp ¡ is ‚ †t „ƒ6s … © ¤ ¡ ‚  €© 7 s © ¨ ‰ ‚ `! p s t z ¤ 1{F# Q t j ru t w u t y v# Y © ¤ xt Y © w s t Y u ws v™© q # s ‘! 0 31hgq ¡ hgW™˜5 ec ED1—ˆ5 ‘ ED¥g Wy„–”€’¨ ! © d ! 0 ! % ! 0 % © • ¨ “ © s ¢ Tal carga e grande ou pequena? Compare com as car- P 23-8 ´ gas dadas nos Exemplos resolvidos do livro. Trˆ s part´culas carregadas, localizadas sobre uma linha e ı reta, est˜ o separadas pela distˆ ncia (como mostra a a a E 23-5 Fig. 23-14). As cargas e s˜ o mantidas fixas. A a Duas part´culas igualmente carregadas, mantidas a uma carga , que est´ livre para mover-se, encontra-se em ı a distˆ ncia a m uma da outra, s˜ o largadas a equil´brio (nenhuma forca eletrost´ tica l´quida atua soa ı ¸ a ı partir do repouso. O m´ dulo da aceleracao inicial da bre ela). Determine em termos de . o ¸˜ m/s e o da segunda e de ´ primeira part´cula e de ı ´ Chame de a forca sobre devida a carga . Ob¸ m/s . Sabendo-se que a massa da primeira part´cula vaı est´ em a le Kg, quais s˜ o: (a) a massa da segunda servando a figura, podemos ver que como a equil´brio devemos ter ı . As forcas ¸ e tˆ m e part´cula? (b) o m´ dulo da carga comum? ı o m´ dulos iguais mas sentidos opostos, logo, e tem o (a) Usando a terceira lei de Newton temos sinais opostos. Abreviando-se , temos , de modo que ent˜ o a ¨ ¤s ¤# | 6s ¤s ¤ 6s 7 s ¤ ™© 7 # # Xs 5 ¤ X †7¨ y% ~ s s 5Q © 7 wsv u t % i €~ 7 Xs# 7s © 7 # Xs | }# ¤ ¡ ! W) 7h © W67 g ! … Xc! 0 eq3€d (Y fecWEB0eY W ! ¤ … ¡ ) 0 rc 321Y W f ! 0   h © qh 7 €ƒeg 7¤ g © ¤ ¤h¤ g http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 4 de 11 a
  5. 5. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 `  t ! W ! w m ¤ h Qv r u ¤ s w u t ¨ X ¤s ¤ s ~ © © ¤ }# Substituindo estes valores na equacao ¸˜ , obteN mos . Como as cargas devem ter sinais opostos, podemos escrever , que e a resposta ´ procurada. P 23-12 Observe que o sinal da carga permanece totalmente Duas esferas condutoras idˆ nticas, mantidas fixas, e arbitr´ rio. a atraem-se com uma forca eletrost´ tica de m´ dulo igual ¸ a o a N quando separadas por uma distˆ ncia de a P 23-10 cm. As esferas s˜ o ent˜ o ligadas por um fio condutor a a Na Fig. 23-15, quais s˜ o as componentes horizontal e a fino. Quando o fio e removido, as esferas se repelem ´ vertical da forca eletrost´ tica resultante que atua sobre ¸ a N. com uma forca eletrost´ tica de m´ dulo igual a ¸ a o a carga do v´ rtice esquerdo inferior do quadrado, sendo e Quais eram as cargas iniciais das esferas? Ce cm? Sejam e as cargas originais que desejamos calPrimeiro, escolhemos um sistema de coordenadas cular, separadas duma distˆ ncia . Escolhamos um sisa com a origem coincidente com a carga no canto esquertema de coordenadas de modo que a forca sobre ¸ e ´ do, com o eixo horizontal e eixo vertical, como de positiva se ela for repelida por . Neste caso a magnina carga costume. A forca exercida pela carga ¸ tude da forca ‘inicial’ sobre e ¸ ´ e ´ ¤# }H© 7 # © ! W! g ‚¤ 6 ‚s t ƒ‚ 7 ‚s © ¤ Es ¤ 6s t $© 7 s EnW! !  Y ! W! Q y ¤ s¤ 7 x s w u t F© | # v ¤ 7 s 6s s s ` onde o sinal negativo indica que as esferas se atraem. Em outras palavras, o sinal negativo indica que o produto e negativo, pois a forca , ´ ¸ , e forca de atracao. ´ ¸ ¸˜ Como as esferas s˜ o idˆ nticas, ap´ s o fio haver sido coa e o nectado ambas ter˜ o uma mesma carga sobre elas, de a valor . Neste caso a forca de repuls˜ o ‘final’ ¸ a e dada por ´ 5 – # ’! ˜| y% | # ¤ x Q wu t •”Es 7 s v © ¤ i 362 7 's% 5¤s Q ¤x E6b t 7 's% w u t C˜# v © — ¤5¤s Das duas express˜ es acima tiramos a soma e o produto o de e , ou seja e © — V5 Q wu t % t qx © ¤ b 7 s # v s š © h Q ˆ5 Š % 5 ¤ s % w u t v h ¤ t Q 5 Š A% ˆƒV% w u t 5 s %¤ 5 s v s s ƒ h Q w m m ¤ vu † h Š u ¤ s Q w t w ¤5 m% mŠ †Œ ‹ u —6A% w t 5 s %5 s v u s s h Q 5† 5s %5s v u ˆ§‡A% —¤ 6`—% w t © 7 p © ¤ ‰rp © © X p © y … ‘(! ! 0 w m ¤ c ED¥g ! 0 f c! 0 t u rqEDf 5 4 ED¥) ) Wy% w m ¤ h Qv u t ƒ! u ¤ s w t Ž X `}ƒŽ 7 # # Ž¤ # N C rc ED¥› d ! 0 4 32¥) ! 0 5’ Y ! Wy% t g ('!¥› ! 5 % ‡ „ Portanto, a magnitude da componente horizontal da forca resultante e dada por ¸ ´ ! 0 Y ¤ ¤ 7 c ED1 4 321) ! 0 5! 5 EnW'!% ¤ g ('!% © © | # ¤ x Q vwu t $©™¤6s 7 s ¤ 6s 7 s e ´ |# ¡ fc! 0 © eWED1! $fs … sobre ¤s e ´ Finalmente, a forca exercida por ¸ x ! q{© h g ¡ sobre ¤s 7s A forca exercida por ¸ C © }# Ž © © © u enquanto que a magnitude da componente vertical e da- Conhecendo-se a soma e o produto de dois n´ meros, ´ conhecemos na verdade os coeficientes da equacao do ¸˜ da por segundo grau que define estes n´ meros, ou seja, u Es 7 b¥A3E 7 'sp ¤ BkEEDiž„65 7 œ'„% ¤ s „5¤s % „ © 5¤s % s ’ X b}br’ 7 # # ’¤ #   © ’ “”# http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 5 de 11 a
  6. 6. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` 5  ’’' % †s ) t ¤ £i¤ Q ¤ As £ % w t s5 t v u s ` s ` „§s © t ¥¤ Q © ¤ „ s w u t ¤ v st ¤ ƒ C s ` e ¤   ’  ¤s y rc EDf„© ¤ s d ! 0 d ! 0 Y ec ED1$© y rc ED1F`6s d ! 0 Y © ¤ d ! 0 ec EDf$© 5 7 c 32¥y% 5 ec 3 2¥—% ™˜eWED¥ƒ ¤ ! 0 Y t ¤ d ! 0 ¢ › dc! 0 C Yi £ fornece-nos As solucoes da equacao do segundo grau s˜ o ¸˜ ¸˜ a e , sendo que apenas esta ultima solucao e fisicamente ´ ¸˜ ´ aceit´ vel. a Para determinar o m´ dulo de , use a condicao de o ¸˜ equil´brio duas cargas do sistema. Por exemplo, para ı que a carga esteja em equil´brio, o m´ dulo da forca ı o ¸ exerce sobre deve igualar a m´ dulo da forca o ¸ que de sobre : £ © 7s 7s enquanto que o sinal C ¤ „ t © ¤ r2y% 5„ £ Q „ £ Q ¤ 5r2y% ¤„ ¤5 Vs t % wv u t © s wv u t ¤ e ¤ ƒ yW€© ¤ 7 c 321 7 s rc ED¥ ¤7 s ! ! 0 Y d ! 0   7s rc 32C¡$© 7 WED1! (Y 7 s d ! 0 ¤ c! 0 7s y rc 32CD{© 7 WED1! (Y 7 s d ! 0 ¤ c! 0 fornece-nos C ¤ ƒ 5  ’y% O sinal ¤ s ƒ ` ¤ ƒ de onde tiramos as duas solucoes ¸˜ ¤ ou seja st s ` ¤ ƒ Considerando-se a Eq. , temos „ 7 s 5 7 c ED1'Y8F`6s i ¤ ! 0 % © ¤ 5Ÿ —% ou st na equacao da soma acima temos duas possibilidades: ¸˜ carga seja positiva). Por outro lado, a terceira carga deve ser negativa pois, se ela fosse positiva, as cargas e n˜ o poderiam ficar em equil´brio, pois as forcas a ı ¸ sobre elas seriam somente repulsivas. Vamos designar a terceira carga por , sendo maior que zero. Seja a distˆ ncia entre a e . Para que a carga esteja em equil´brio, o m´ dulo da forca que ı o ¸ exerce sobre deve ser igual ao m´ dulo da forca que o ¸ exerce sobre . Portanto, s ` Dito de outra forma, se substituirmos 7s onde usamos a Eq. (*) acima para calcular a partir de Dai tiramos que que, para , . fornece o valor procurado: Repetindo-se a an´ lise a partir da Eq. a percebemos que existe outro par de solucoes poss´vel, uma vez que ¸˜ ı revertendo-se os sinais das cargas, as forcas permane¸ cem as mesmas: (b) O equil´brio e inst´ vel; esta conclus˜ o pode ser proı ´ a a C e C vada analiticamente ou, de modo mais simples, pode ser verificada acompanhando-se o seguinte racioc´nio. Um ı ou de sua posicao de ¸˜ pequeno deslocamento da carga equil´brio (para a esquerda ou para a direita) produz uma ı C e C forca resultante orientada para esquerda ou para a direi¸ ta. Y i €¦„ £ © © $¤ d ! 0 Y ec ED1€© 7 s rc EDffF© ¤ s d ! 0 ¤ ƒ d ! 0 ec EDff$© 7 s y rc ED1™ƒ6s d ! 0 Y © ¤ 7s P 23-15 P 23-16 s t ` s Duas cargas puntiformes livres e est˜ o a uma a distˆ ncia uma da outra. Uma terceira carga e, ent˜ o, a ´ a colocada de tal modo que todo o sistema fica em equil´brio. (a) Determine a posicao, o m´ dulo e o sinal ı ¸˜ o da terceira carga. (b) Mostre que o equil´brio e inst´ vel. ı ´ a (a) Que cargas positivas iguais teriam de ser colocadas na Terra e na Lua para neutralizar a atracao gravitacio¸˜ ´ nal entre elas? E necess´ rio conhecer a distˆ ncia entre a a a Terra e a Lua para resolver este problema? Explique. (b) Quantos quilogramas de hidrogˆ nio seriam necess´ rios e a para fornecer a carga positiva calculada no item (a)? (a) A terceira carga deve estar situada sobre a linha com a carga . Somente quanque une a carga (a) A igualdade das forcas envolvidas fornece a se¸ do a terceira carga estiver situada nesta posicao, ser´ guinte express˜ o: ¸˜ a a poss´vel obter uma resultante nula, pois, em qualquer ı outra situacao, as forcas ser˜ o de atracao (caso a ter¸˜ ¸ a ¸˜ ceira carga seja negativa) ou de repuls˜ o (caso a terceira a Q y ¤ sx w u t © v ¤ ª ¨© ¨ }H§ ¡ st £ s ` ¡ ¤x   http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 6 de 11 a
  7. 7. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` ª ¨ © ¨ onde e a massa da Terra e ´ a massa da Lua. Portanto, usando-se as constantes fornecidas no Apˆ ndice e C, temos P 23-19 ª ¨© ”¨ § Duas pequenas esferas condutoras de massa est˜ o a suspensas por um fio de seda de comprimento e possuem a mesma carga , conforme e mostrado na figura ´ Como foi poss´vel eliminar entre os dois membros da abaixo. Considerando que o angulo e t˜ o pequeno que ı ˆ ´ a equacao inicial, vemos claramente n˜ o ser necess´ rio ¸˜ a a possa ser substituida por sen : (a) mostre que conhecer-se o valor de . para esta aproximacao no equil´brio teremos: ¸˜ ı (b) Um atomo de hidrogˆ nio contribui com uma carga ´ e positiva de C. Portanto, o n´ mero u de atomos de hidrogˆ nio necess´ rios para se igualar a car´ e a ga do item (a) e dado por ´ onde e a distˆ ncia entre as esferas. (b) Sendo ´ a cm, ge cm, quanto vale ? C (a) Chamando de a tens˜ o em cada um dos fios e a g X 7 ED0 … W™© ! g C £ ´ s ´ ¸ Qv y X 7 w ig £ wu u a„ © ¹ ¤s ! 3Fb£ © s » ! q{i„ g © ´ Tµ ·¶ Q x © ¢ 8s x « ! © E$ºg „ v wu t 4 7 WE€d c! 0 ® eg ® g « e­¦© ¨ ! 0 ! 0 Y 4 7 c 32¥  ¤ X 32¥hgW€© X 7 ED0 Wg ¬« ! … © ¡ de o m´ dulo da forca eletrost´ tica que atua sobre cada o ¸ a Portanto, a massa de hidrogˆ nio necess´ ria e simples- uma das bolas temos, para que haja equil´brio: e a ´ ı mente , onde e a massa de um atomo ´ ´ de hidrogˆ nio (em kilogramas) [veja o valor da unidade e de massa unificada no Apˆ ndice B, p´ g. 321] e a sen e¸ig # # © Wˆº» ´¾½¼ © ´ » Dividindo membro a membro as duas relacoes anterio¸˜ res, encontramos: © ¨ © P 23-18 ¸ © i# g ƒ´ Tµ ·¶ ¯ 321) qg ! 0 5 f ¤ c ED0f’!  Aˆ5 … ! ! A65 ¤ X ED¥hgW'Y% ! g % % ! 0 Kg Uma carga e dividida em duas partes e ´ , que s˜ o, a seguir, afastadas por uma certa distˆ ncia entre si. Como a a e um angulo pequeno, podemos usar a ´ ˆ Qual deve ser o valor de em termos de , de mo- aproximacao ¸˜ do que a repuls˜ o eletrost´ tica entre as duas cargas seja a a m´ xima? a sen A magnitude da repuls˜ o entre e a e ´ Por outro lado, a forca eletrost´ tica de repuls˜ o entre as ¸ a a cargas e dada por ´ Igualando-se as duas express˜ es para o para , encontramos que # e resolvendo ¸ Q X 7 w ig s w u ¿i„ ¹ £¤ v u © „ (b) As duas cargas possuem o mesmo sinal. Portanto, da express˜ o acima para , obtemos a 4 ! ec ED0 Á ! rc 320 t › t › t q› © © © £ › © ¸Œg Q wu X „ Àfs v ‡ „ ¡ s ± (! {¤ # s ° ¤° y! (€© s # ° ° s ™$¤ © i ™fs ¤ © ¢ i l¬s ¤ © ¤ © i €8s Q Q y ! s w W€© ¤ x ™¤ t © ³ ¤ Dƒf¤ }s ° ¤ x wv u t © s # ° vu s s ² ° °   http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Q ¤ s„ w t $# vu © ¤ # Q ¤x VD{y% wv t $# s5s ¤ u © s D{¤ s cuja solucao e ¸˜ ´ . Como a segunda derivada e sempre menor que zero, ´ a solucao encontrada, ¸˜ , produzir´ a forca a ¸ m´ xima. a Observe que a resposta do problema e ´ e n˜ o a . ¸ Œg ‰ ´ Tµ © # ·¶ s A primeira condicao produz ¸˜ ´ ¤ e £ „ ƒ´ © i ¤ s F¤ s A condicao para que seja m´ xima em relacao a e que ¸˜ a ¸˜ ´ sejam satisfeitas simultaneamente as equacoes ¸˜ C nC P´ gina 7 de 11 a
  8. 8. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` Ë 5 ¤ Ì i s yˆ5 Î Q ru t qi A% ¤ % j Í ¤ i £ No problema anterior, cujas esferas s˜ o condutoras (a) a O que acontecer´ ap´ s uma delas ser descarregada? Exa o plique sua resposta. (b) Calcule a nova separacao de ¸˜ equil´brio das bolas. ı sendo, por exemplo, positivo. O peso exerce uma forca ¸ para baixo de magnitude , a uma distˆ ncia a a partir do mancal. Pela convencao acima, seu torque ¸˜ tamb´ m e positivo. A carga e ´ a direita exerce uma ` forca para cima de magnitude ¸ ,a uma distˆ ncia a do mancal. Seu torque e negativo. ´ Para que n˜ o haja rotacao, os torque sacima devem a ¸˜ anular-se, ou seja i ”e„ £ P 23-20 ¡ (a) Quando uma das bolas for descarregada n˜ o poa der´ mais haver repuls˜ o Coulombiana entre as bolas e, a a consequentemente, as bolas cair˜ o sob acao do campo a ¸˜ gravitacional at´ se tocarem. Ao entrarem em contato, a e carga que estava originalmente numa das bolas ir´ se a repartir igualmente entre ambas bolas que, ent˜ o, por es- Portanto, resolvendo-se para , obtemos a tarem novamente ambas carregadas, passar˜ o a repelira se at´ atingir uma nova separacao de equil´brio, digamos e ¸˜ ı . (b) A nova separacao de equil´brio pode ser calculada ¸˜ ı (b) A forca l´quida na barra anula-se. Denotando-se por ¸ ı usando-se : a magnitude da forca para cima exercida pelo mancal, ¸ cm ent˜ o a Ì Q u w ¤ $Ë rj t Ðu £ i„ © ¤ s „ Q Q ¤Ì ! W™© £ rj t w £ œEϔ £ ¤ Ì s rj u t „u Ë ¤s u ¤ s ! Q s Ë Y rj u t ¤ ‡ © ŒÌ ¢ Observe que e essencial usar sempre um valor po´ sitivo para o braco de alavanca, para n˜ o se inverter o ¸ a sentido do torque. Neste problema, o braco de alavanca ¸ , e n˜ o a ! positivo e ´ „ D™ i £ nWY !ED`nWY 0 w ¹ X V7 t u w ¹ X V7 t u © ¸ Qv © X V7 w Œg Ä5Â'su % é q „ ¹ £ ¤ qw u © © ¢ i œ„ £ A Fig. 23-17 mostra uma longa barra n˜ o condutora, de a massa desprez´vel e comprimento , presa por um piı no no seu centro e equilibrada com um peso a uma ´ distˆ ncia de sua extremidade esquerda. Nas extremi- 23.2.2 A Carga e Quantizada a dades esquerda e direita da barra s˜ o colocadas pequea nas esferas condutoras com cargas positivas e , res- E 23-24 pectivamente. A uma distˆ ncia diretamente abaixo de a ´ cada uma dessas cargas est´ fixada uma esfera com uma Qual e a carga total em Coulombs de a a carga positiva . (a) Determine a distˆ ncia quando a A massa do el´ tron e e ´ barra est´ horizontal e equilibrada. (b) Qual valor deve- neira que a quantidade de el´ trons em a e ria ter para que a barra n˜ o exercesse nenhuma forca a ¸ sobre o mancal na situacao horizontal e equilibrada? ¸˜ £ Ë „ s s g … 7 Xe© cW!EC nWÒg 0 ) © ¨ g… kg de el´ trons? e kg de makg e ´ ¨ ¡ Ì „ ¤ Ì X ! 0 ! 0 © 7 X 32¥Y (€© 7 ec 32‘() © g Ï« g… ¡ (a) Como a barra esta em equil´brio, a forca l´quida ı ¸ ı sobre ela e zero e o torque em relacao a qualquer ponto Portanto, a carga total e ´ ¸˜ ´ tamb´ m e zero. Para resolver o problema, vamos escree ´ ver a express˜ o para o torque l´quido no mancal, igualaa ı la a zero e resolver para . A carga a esquerda exerce uma forca para cima ` ¸ de magnitude , localizada a uma distˆ ncia a do mancal. Considere seu torque como 5 4 7 c 321 A65 7 X ED¥hW'8 ! 0 ! % ! 0 Y % C X 7 32ƒ Y f ! 0 © « © ÓF$fs „ £ 5 ¤ Ì i 's65 ˆQ rt Wi V% i ¤ % Î ju Í ¤ ©   http://www.if.ufrgs.br/ jgallas el´ trons e i BeÂs s ©q P 23-21 Quando a barra n˜ o exerce nenhuma forca, temos a ¸ ¸ . Neste caso, a express˜ o acima, fornece-nos facilmena te que © Ñ« q I„ ´ E poss´vel determinar o valor da tens˜ o no fio de seı a da? Q Q ! ¤¤ W€© s Ì rj u t ¤ Ì s rj u t ¥Ë ¤ ¤c g ! ! We0 w ¸ig Q vs X ¹7 £ wÅu u ɯ ˆÈ E¤Æ Ž Ç Ê m « q e„ cm m P´ gina 8 de 11 a
  9. 9. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` A carga correspondente a mol de el´ trons nada e mais e do que ´ , onde e ´ O m´ dulo da forca eletrost´ tica entre dois ´ons idˆ nticos o n´ mero de Avogadro. Portanto o ¸ a ı e u que est˜ o separados por uma distˆ ncia de a a m vale N. (a) Qual a carga de cada ´on? (b) ı Quantos el´ trons est˜ o “faltando” em cada ´on (o que d´ e a ı a ao ´on sua carga n˜ o equilibrada)? ı a segundos (a) Da Lei de Coulomb temos:  !  ¯ ! 0 D0 e Y F© aE¥! C 0 t © ¯ 32Ch © ! 0 Y W! “ © • 5 c ! 0 %5 ! 0 Y 34 7 qED¥!  VˆEX ¤ 32C’! ('% © Ö « ˜CÕ X ¤ ED¥’! (™ƒ« ! 0 Y  © Ö Ö « © s Dƒ™ƒCÕ s ¥Õ E 23-26 Q c! 0 R7 qE”Œ! qg 4 c! rqE0 … WY ¡ dias 4 7 c EDC (€{„A5 Q wt % ¢ x s ! 0 Y › © # v u © C (b) Cada el´ tron faltante produz uma carga positiva de P 23-34 e C. Usando a Eq. 23-10, , encontra- Na estrtura cristalina do composto (cloreto de mos o seguinte n´ mero de el´ trons que faltam: u e c´ sio), os ´ons Cs formam os v´ rtices de um cubo e e ı e um ´on de Cl est´ no centro do cubo (Fig. 23-18). O ı a comprimento das arestas do cubo e de ´ nm. Em cael´ trons e da ´on Cs falta um el´ tron (e assim cada um tem uma ı e carga de ), e o ´on Cl tem um el´ tron em excesso ı e ). (a) Qual e o m´ dulo da forca ´ o ¸ (e assim uma carga E 23-27 eletrost´ tica l´quida exercida sobre o ´on Cl pelos oito a ı ı ´ons Cs nos v´ rtices do cubo? (b) Quando est´ faltanı e a Duas pequenas gotas esf´ ricas de agua possuem cargas do um dos ´ons Cs , dizemos que o cristal apresenta um e ´ ı idˆ nticas de e C, e est˜ o separadas, centro defeito; neste caso, qual ser´ a forca eletrost´ tica l´quida a a ¸ a ı a centro, de cm. (a) Qual e o m´ dulo da forca ele- exercida sobre o ´on Cl pelos sete ´ons Cs remanes´ o ¸ ı ı trost´ tica que atua entre elas? (b) Quantos el´ trons em centes? a e excesso existem em cada gota, dando a ela a sua carga (a) A forca l´quida sobre o ´on Cl e claramente ze¸ ı ı ´ n˜ o equilibrada? a ro pois as forcas individuais atrativas exercidas por cada ¸ (a) Aplicando diretamente a lei de Coulomb encon- um dos ´ons de Cs cancelam-se aos pares, por estarem ı tramos, em magnitude, dispostas simetricamente (diametralmente opostas) em relacao ao centro do cubo. ¸˜ Ù ×Ø 3f× Ô © wFCs Ú ! t W! c c c Ú Ú Ú ` Ú 4 7 q3x  c! 0 c EDC  © ! 0 €© 44 77 cW!EDƒhW Y ¡Ô 0 Ô ! ! 0 d 7 c Ex ! f c ¡ c ¡ Ú 4 7 c ED1) ! 0 ! 0 ¤ 5 ¤ c EDfA% 5 c ! 0 %5 ! 0 ) 6d 7 WED8A664 321y% © « ! 0 g q™© 4 d 7 7 c qE3D¥! !  © Ï« c ! 2¥ 0 s © © # Y m ¥¨ © © © Pelo filamento de uma lˆ mpada de a W, operando em um circuito de V, passa uma corrente (suposta constante) de A. Quanto tempo e necess´ rio para que ´ a mol de el´ trons passe pela lˆ mpada? e a rc ED1 ) 4 ! 0 5 4rc 32C! t Wyˆ5 t i y% ! 0 !% Y 5 c! 0 ¤ E4 7 qED1!  V% h 5 # P 23-31 5 4 32œ')% ! 0 Q t i 'Y% ru t j ¤ h h Y 5i m h © (b)A quantidade e ´ (b) Em vez de remover um ´on de c´ sio, podemos poı e na posicao de tal ´on. ¸˜ ı demos superpor uma carga N Isto neutraliza o ´on local e, para efeitos eletrost´ ticos, ı a e equivalente a remover o ´on original. Deste modo ve´ ı de el´ trons em excesso em cada gota mos que a unica forca n˜ o balanceada passa a ser a forca e ´ ¸ a ¸ exercida pela carga adicionada. Chamando de a aresta do cubo, temos que a diagonal do cubo e dada por ´ . Portanto a distˆ ncia entre os a ´ons e ı ´ e a magnitude da forca ¸ N ! 3 ! ! 3 Y W! ¡ De acordo com a Eq. 23-3, a corrente constante que P 23-35 Sabemos que, dentro das limitacoes impos¸˜ passa pela lˆ mpada e a ´ , onde e a quantida- tas pelas medidas, os m´ dulos da carga negativa do ´ o de de carga que passa atrav´ s da lˆ mpada num intervalo el´ tron e da carga positiva do pr´ ton s˜ o iguais. Sue a e o a . ponha, entretanto, que estes m´ dulos diferissem entre o s ¥Õ •CÕ i ¥{˜“ s Õ © • CÕ   http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 9 de 11 a
  10. 10. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` ¢ s´ por ı . Com que forca duas pequenas moedas ¸ As reacoes completas de decaimento beta aqui men¸˜ de cobre, colocadas a m uma da outra, se repeliriam? cionados s˜ o, na verdade, as seguintes: a O que podemos concluir? (Sugest˜ o: Veja o Exemplo a 23-3.) yà Þ Wb c b ºß Ô à yà ß q” Ú œÔ iÞ Û! †E(! ! ! W! ! ¡ Como sugerido no problema, supomos que a moeda e ´ representa uma part´cula elementar chamada ı a mesma do exemplo 23-3, que possui uma carga tanto onde neutrino. Interessados, podem ler mais sobre Decaipositiva quanto negativa igual dada por ¸˜ C. Se houvesse uma diferenca (desequil´brio) de cargas, mento Beta na Seccao 47-5 do livro texto. ¸ ı uma das cargas seria maior do que a outra, ter´amos para ı E 23-38 tal carga um valor ¯ ED0 … Y Gƒs ! © Como nenhuma das reacoes acima inclui decaimen¸˜ to beta, a quantidade de pr´ tons, de neutrons e de o el´ trons e conservada. Os n´ meros atˆ micos (pr´ tons e ´ u o o e de el´ trons) e as massas molares (pr´ tons + nˆ utrons) e o e est˜ o no Apˆ ndice D. a e (a) H tem pr´ ton, el´ tron e nˆ utrons enquanto que o e e o Be tem pr´ tons, el´ trons e o e nˆ utrons. e Portanto tem pr´ tons, o el´ trons e e nˆ utrons. Um dos nˆ utrons e liberado na e e ´ reacao. Assim sendo, deve ser o boro, B, com massa ¸˜ molar igual a g/mol. (b) C tem pr´ tons, el´ trons e o e nˆ utrons e enquanto que o H tem pr´ ton, el´ tron e nˆ utrons. o e e Portanto tem pr´ tons, o el´ trons e e nˆ utrons e, consequentemente, deve ser o e nitrogˆ nio, N, que tem massa molar e g/mol. (c) N tem pr´ tons, el´ trons e o e nˆ utrons, e o H tem pr´ ton, el´ tron e nˆ utrons e o He tem o e e pr´ tons, el´ trons e o e nˆ utrons. Portanto e tem pr´ tons, el´ trons e o e nˆ utrons, devendo ser o carbono, C, com massa molar e de g/mol. 4 f g è© gt ã© t C) ! )€© t g á t t t t 7 ©ƒ”`”! g á 4 ©  §$8bƒ ¤7 À©¥fs™ !   © ÀC{ … á © $¥b t 7 ! ‘ ¯7 B© é§ g … Y ©  E„fœ… … X… 7  © ! ãe€ © © á … ! ƒ€ … 8{` 7  ©  €8ƒ§   ¤7 © # © © Û §(! ! ! W! E 23-37 ¡ Á 320 … ! ¤ 5 ! A% %5 ! ¤ 5 … YEnW!'664 320¥)) ('% Q ¤ x wu t v ¤Ü s ´ 23.2.3 A Carga e Conservada 5ç Eo% 5Eo% æ 5⠒% Como tal forca seria facilmente observ´ vel, concluimos ¸ a que uma eventual diferenca entre a magnitude das car¸ gas positiva e negativa na moeda somente poderia ocorrer com um percentual bem menor que . Note que sabendo-se o valor da menor forca poss´vel de ¸ ı se medir no laborat´ rio e possivel estabelecer qual o lio ´ mite percentual m´ ximo de erro que temos hoje em dia a na determinacao das cargas. De qualquer modo, tal limi¸˜ te e MUITO pequeno, ou seja, uma eventual assimetria ´ entre o valor das cargas parece n˜ o existir na pr´ tica, a a pois teria conseq¨ encias observ´ veis, devido ao granuˆ a de n´ mero de cargas presente nos corpos macrosc´ picos u o (que est˜ o em equil´brio). a ı ß £ 7 ã« ¯ 7 £7 ß ˆsp× ¤ 7 ä7 £ ß ƒˆsãˆ7 N nas seguintes ¡áÐ¡£ ‘ å á å Ô –Ãá d ! © ! 0 ! © Û! ! © rc 3„™(! (a(! ! ! W{„ÂW! ! W™œÝ y … EnWBÐ6¯ 320 … Y Aˆ5 ¤ c 3A65 Ic EV$8qpÀEs Y ! © 5 ! % !% ‘ !% © s Ý © Ü onde . Portanto a magnitude da forca entre as moedas seria igual a ¸ á Usando o Apˆ ndice D, identifique e reacoes nucleares: ¸˜ No decaimento beta uma part´cula fundamental se transı forma em outra part´cula, emitindo ou um el´ tron ou ı e 23.2.4 As Constantes da F´sica: Um Aparte ı um p´ sitron. (a) Quando um pr´ ton sofre decaimeno o to beta transformando-se num nˆ utron, que part´cula e e ı ´ emitida? (b) Quando um nˆ utron sofre decaimento be- E 23-41 e ta transformando-se num pr´ ton, qual das part´culas e o ı ´ (a) Combine as quantidades , e para formar uma emitida? grandeza com dimens˜ o de comprimento. (Sugest˜ o: a a (a) Como existe conservacao de carga no decaimento, combine o “tempo de Planck” com a velocidade da luz, ¸˜ a part´cula emitida precisa ser um p´ sitron. ı o conforme Exemplo 23-7.) (b) Calcule este “comprimen(b) Analogamente, a part´cula emitida e um el´ tron. ı ´ e to de Planck” num´ ricamente. e § ê Ì ¡   http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P´ gina 10 de 11 a
  11. 11. LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, as 4:17 ` § ¡ (a) Usando-se o Apˆ ndice A, fica f´ cil ver que as trˆ s (a) Combine as grandezas , e a e e para formar uma contantes dadas tem as seguintes dimens˜ es: o grandeza com dimens˜ o de massa. N˜ o inclua nenhum a a fator adimensional. (Sugest˜ o: Considere as unidades a kg e como e mostrado no Exemplo 23-7.) (b) Calcu´ le esta “massa de Planck” numericamente. A resposta pode ser encontrada fazendo-se uma [ ] an´ lise dimensional das constantes dadas e de funcoes a ¸˜ kg simples obtidas a partir delas: Ì § ê © Planck ‡ ec 320 ‘W Á ! 7 ! 7 c ED0  W … Á ED1e0 e… c ED¥Y  W ! 0 Y ‘ X ! 0u Ø g © v§ u Ì ¬© Î Íë í ì © Ø g « © Ø ™¿º™™­î ¯ X Ø g © Î Í Î Íë Χ Î Í Íë Øg § © y a¤g Ø © X ê n˜ o cont´ m kg: a e êë § ‡ ¤ g ¡ y ‡Ì © Portanto, o produto ê [ ] kg Atrav´ s de divis˜ o do produto acima por uma potˆ ncia e a e apropriada de podemos obter eliminar facilmente ou Pode-se verificar que esta resposta est´ correta fazendoa ou do produto, ou seja, se agora o ‘inverso’ da an´ lise dimensional que foi usaa da para estabelece-la, usando-se o conveniente resumo dado no Apˆ ndice A: e © ë kg kg kg Portanto, extraindo-se a raiz quadrada deste radicando vemos que, realmente, a combinacao das constantes aci¸˜ ma tem dimens˜ o de massa. a ë ¢ E se usassemos em vez de ?... Em outras palavras, qual das duas constantes devemos tomar? Ì § Xêi XØ ¯ g § g uÌ ¯ ec EDW  F© X ê X ! 0 ‡ © ï 5 u y% i Ì ï   http://www.if.ufrgs.br/ jgallas © XØ ¯ g Ø P 23-42 Î © Î Í ê Í Î Íë § m ¤Ø ¤ g @ S Üð Ø Üð eî ¤ p© X 3Ø g g X y ¤ €© ¯ ¯ Ø g Ø ¢ ë G© Î © Î X Îê Í Í Íë Î © Î ¯ § Îê Í Í Íë §Î ê Í Planck kg ¤ © ¤ gØ ¤ ¤ g g « ­€© ¤ g Ø F© î ¤Ø ¤ © Portanto Planck . (b) O valor num´ rico pedido e, uma vez que e ´ , kg kg P´ gina 11 de 11 a

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