3. Jika S = {v1, v2, … , vr} adalah suatu himpunan vektor-vektor
tak kosong, maka persamaan vektor
k1v1 + k2v2 + … + krvr = 0
Mempunyai paling tidak satu penyelesaian, yaitu
k1 = 0, k2 = 0, . . . , kr = 0
Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka S disebut suatu
himpunan yang bebas secara linear. Jika ada penyelesaian-
penyelesaian lainnya, maka S disebut himpunan yang tak bebas
secara linear.
DEFINISI

4. Tinjau vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k (0, 0, 1) dalam R3 .
Jawab : Dalam bentuk komponen, persamaan vektor
k1i + k2j + k3k = 0
menjadi
k1 (1, 0, 0) + k2 (0, 1, 0) + k3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0)
atau
(k1, k2, k3 ) = (0, 0, 0)
maka, k1 = 0 k2 = 0, dan k3 = 0, sehingga himpunan
S = (i, j, k) bebas secara linear.
Contoh 2 :
Contoh 1 :
Jika v1 = (2, -1, 0, 3,) v2 = (1, 2, 5, -1) , v3 = (7, -1, 5, 8)
Jawab : Maka himpunan vektor-vektor S = {v1, v2, v3} tak bebas
secara linear karena 3v1 + v2 + v3 = 0

5. Suatu himpunan S dengan dua atau lebih vektor disebut:
(a) Tak bebas secara linear jika dan hanya jika paling tidak
salah satu vektor dalam S dapat dinyatakan sebagai suatu
kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya dalam S.
(b) Bebas secara linear jika dan hanya jika tidak ada vektor
dalam S yang dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi
linear dari vektor-vektor lain dalam S.
Contoh 3
Pada Contoh 1 kita lihat bahwa vektor-vektor
v1 = (2, -1, 0, 3,) v2 = (1, 2, 5, -1) , v3 = (7, -1, 5, 8)
Membentuk suatu himpunan yang tak bebas secara linear.
Dari teorema 5.3.1 kita dapatkan bahwa palng tidak salah
satu dari vektor-vektor ini dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dari dua vektor lainnya.

6. Dalam contoh ini setiap vektor dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear
dari dua vektor lainnya karena dari persamaan 3v1 + v2 + v3 = 0 (lihat contoh 1)
kita dapatkan bahwa v1 = (- v2 + v3), v2 = ( -3v1 + v3 ), v3 = (3v1 + v2)
Contoh 4
Pada contoh 2 kita lihat bahwa vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k (0, 0, 1)
membentuk suatu himpunan yang bebas secara linear.Jadi, dari Teorema 5.3.1
kita dapatkan bahwa tidak satu pun dari vektor-vektor ini yang dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linear dari dua vektor lainnya. Untuk melihat secara langsung
bahwa demikianlah adanya, anggap bahwa k dapat dinyatakan sebagai
k = k1i + k2j
maka, dalam bentuk komponen-komponen
(0, 0, 1) = k1 (1, 0, 0) + k2 (0, 1, 0)
Atau (0, 0, 1) = (k1, k2, 0)
Akan tetapi, persamaan ini tidak dipenuhi oleh setiap nilai k1 dan k2, sehingga k
tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari I dan j. Demikian juga, i tidak
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari j dan k, dan j tidak dapat
dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear dari I dan k.

7. (a) Suatu himpunan vektor terhingga yang berisi vektor nol
tak bebas secara linear.
(b) Suatu himpunan dengan tepat dua vektor bebas secara
linear jika dan hanya jika vektor yang satu bukan
merupakan penggandaan skalar dari vektor lainnya.
Bukti (a). Untuk setiap vektor v1 , v2 , ... , vr himpunan
S = {v1, v2,...,vr , 0} tak bebas secara linear karena persamaan
0v1 + 0v2 + ... +0vr + 1 (0) = 0
menyatakan 0 sebagai suatu kombinasi linear dari vektor-vektor
dalam S dengan koefisien-koefisienyang tidak semuanya nol.

8. Kebebasan linear mempunyai suatu interpretasi geometrik
yang berguna dalam R2 dan R3 :
Dalam R2 atau R3, suatu himpunan dua vektor bebas
secara linear jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut
tidak terletak pada garis yang sama jika keduanya
ditempatkan dengan titik-titik pangkalnya di tititk asal
(Gambar 1).
Dalam R3, suatu himpunan tiga vektor bebas secara linear
jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak
pada bidang yang sama jika ketiganya ditempatkan
dengan titik-titik pangkalnya pada titik asal (Gambar 2).

9. Gambar 1
Tak bebas secara linear Tak bebas secara linear Bebas secara linear
z
v2
v1
y
x
z
v1
v2 y
x
z
v1
v2
y
x
Gambar 2
Tak bebas secara linear Tak bebas secara linear Bebas secara linear
z
v3
v2
y
v1
x
z
v3
v2
y
v1
x
z v1
v2
y
v3
x

10. Hasil pertama kita dapatkan dari fakta bahwa dua
vektor bebas secara linear jika dan hanya jika tidak satupun
dari vektor tersebut yang merupakan penggandaan skalar dari
vektor lainnya. Secara geometris, ini setara dengan
menyatakan bahwa vektor-vektor tersebut tidak terletak pada
garis yang sama jika diposisikan dengan titik-titik pangkalnya
di titik asal.
Hasil kedua kita dapatkan dari fakta bahwa tiga vektor
bebas secara linear jika dan hanya jika tidak satupun dari
vektor tersebut yang merupakan kombinasi linear dari dua
vektor lainnya. Secara geometris, ini setara dengan
menyatakan bahwa tak satu pun dari vektor tersebut yang
terletak pada bidang yang sama dengan dua vektor lainnya,
atau dengan kata lain, bahwa ketiga vektor tersebut tidak
terletak pada bidang yang sama jika ketiganya diletakkan
dengan titik-titik pangkalnya pada titik asal.

11. Teorema 5.3.3. Anggap S = { v1, v2, … , vr } adalah suatu
himpunan vektor-vektor dalam Rn . Jika r ˃ n, maka S tak
bebas secara linear.
Contoh 5
Tunjukkan bahwa himpunan vektor v1 = (-2, 0, 1), v2 = (3, 2, 5),
v3 = (6, -1, 1), dan v4 = (7, 0, -2) dalam R3 bebas secara linear (r ˃ n).

12. Jadi, sistem tersebut mempunyai penyelesaian tak trivial dan
v1, v2, v3, dan v4 membentuk suatu himpunan yang tak bebas
secara linear. Sesuai dengan teorema 5.3.3. dimana jika r ˃ n
maka S tak bebas secara linear. Pada contoh di atas diketahui
r = 4 dan n = 3 maka contoh tersebut membuktikan bahwa
teorema 5.3.3 benar.

13. KEBEBASAN LINEAR FUNGSI-FUNGSI
Kadang-kadang ketakbebasan linear fungsi-fungsi dapat disimpulkan dari
identitas-identitas yang telah diketahui. Misalnya, fungsi-fungsi
f1 = sin2 x, f2 = cos2 x, dan f3 = 5
Membentuk suatu himpunan yang tak bebas secara linear dalam F (-∞,∞)
karena persamaan
5f1 + 5f2 – f3 = 5 sin2 x + 5 cos2 x – 5 = 5 (sin2 x + cos2 x) – 5 = 0 menyatakan 0
sebagai suatu kombinasi linear dari f1 , f2 , dan f3 dengan koefisien-koefisien
yang tidak semuanya nol. Akan tetapi, hanya dalam situasi-situasi khususlah
identitas-identitas tersebut dapat diterapkan meskipun tidak ada metode
umum yang dapat digunakan untuk menetapkan kebebasan linear atau
kebebasan linear dari fungsi-fungsi dalam F (-∞,∞), kita sekarang akan
mengembangkan suatu teorema yang kadang-kadang dapat
digunakan untuk menunjukkan bahwa suatu himpunan fungsi
yang diberikan bebas secara linear.

14. Jika f1 = f1(x), f2 = f2(x), ..., fn = fn(x) adalah fungsi-fungsi yang dapat
diturunkan n – 1 kali pada selang (-∞,∞), maka determinan dari
f1 (x) f2 (x) ... fn(x)
f1'(x) f2'(x) ... fn'(x)
W(x) =
f1
(n-1)(x) f2
(n-1)(x) ... fn
(n-1)(x)
disebut Wronskian* dari f1 , f2 , ..., fn . Sebagaimana yang akan
kami tunjukkan sekarang, determinan ini berguna untuk
memastikan apakah fungsi-fungsi f1 , f2 , ..., fn membentuk suatu
himpunan vektor-vektor yang bebas secara linear dalam ruang
vektor C(n-1)(-∞,∞).
Anggap, untuk sementara, bahwa f1 , f2 , ..., fn adalah
vektor-vektor yang tak bebas secara linear dalam C(n-1)(-∞,∞).
Maka ada skalar k1 , k2 , ..., kn , tidak semuanya nol,

15. Sedemikian sehingga
k1f1(x) + k2f2(x) + ... + knfn(x) = 0
Untuk semua x dalam selang (-∞,∞). Dengan mengkombinasikan
persamaan ini dengan persamaan-persamaan yang diperoleh
dengan n – 1 diferensiasi berturut-turut, kita akan mendapatkan
k1f1(x) + k2f2(x) + ... + knfn(x) = 0
k1f1‘(x) + k2f2‘(x) + ... + knfn‘(x) = 0
k1f1
(n-1)(x) + k2f2
(n-1)(x) + ... + knfn
(n-1)(x) = 0
Jadi, ketakbebasan linear dari f1 , f2 , ..., fn mengimplikasikan
bahwa sistem linear
f1 (x) f2 (x) ... fn(x) k1 0
f1'(x) f2'(x) ... fn'(x) k2 0
f1
(n-1)(x) f2
(n-1)(x) ... fn
(n-1)(x) kn 0

16. Mempunyai suatu penyelesaian trivial untuk setiap x dalam
selang (-∞,∞). Ini pada gilirannya mengimplikasikan bahwa
untuk setiap x dalam (-∞,∞) matriks koefisiennya tidak dapat
dibalik, atau secara setara, bahwa determinannya (Wronskian)
nol untuk setiap x dalam (-∞,∞). Jadi, jika Wronskian tidak
identik dengan nol pada (-∞,∞), maka fungsi-fungsi f1 , f2 , ..., fn
pastilah merupakan vektor-vektor yang bebas secara linear
dalam C(n-1)(-∞,∞). Inilah isi teorema berikut ini.
Teorema 5.3.4. Jika fungsi f1, f2, …, fn, mempunyai n – 1 turunan
yang kontinu pada selang (-∞, ∞) dan jika Wronskian dari fungsi-
fungsi ini tidak sama dengan nol pada (-∞, ∞), maka fungsi-fungsi
ini membentuk suatu himpunan vektor yang bebas secara linear
dalam C(n-1) (-∞, ∞).

17. Contoh 6
Tunjukkan bahwa f1 = x dan f2 = sin x membentuk suatu
himpunan vektor yang bebas secara linear dalam C1 (-∞, ∞).
Jawab :
Wronskiannya adalah
W(x) = = x cos x – sin x
Fungsi ini tidak mempunyai nilai nol untuk semua x dalam
selang (-∞, ∞) sehingga f1 dan f2 membentuk suatu himpunan
yang bebas secara linear.

18. Contoh 7
Tunjukkan bahwa f1 = 1, f2 = ex dan f3 = e2x membentuk suatu
himpunan vektor-vektor yang bebas secara linear dalam C2(-∞, ∞).
Jawab :
Wronskiannya adalah
1 ex e2x
W(x) = 0 ex 2e2x = 2e3x
0 ex 4e2x
Fungsi ini tidak mempunyai nilai nol untuk semua x dalam
selang (-∞, ∞) sehingga f1 , f2dan f3 membentuk suatu himpunan
yang bebas secara linear.

19. DEFINISI
Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = {v1, v2, …, vn}
adalah suatu himpunan vektor-vektor dalam V, maka S
disebut
basis untuk V jika dua syarat berikut ini terpenuhi :
a) S bebas secara linear
b) S merentangkan V
Teorema 5.4.1. Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah suatu basis
untuk suatu ruang vektor V, maka setiap vektor v dalam V
dapat dinyatakan dalam bentuk v = c1v1 + c2v2+ … + cnvn
dalam tepat satu cara.

20. Bukti :
Karena S merentangkan V, maka dari definisi suatu himpunan rentang kita
dapatkan bahwa setiap vektor dalam V dapat diyatakan sebagai kombinasi
linear dari vektor-vektor dalam S. Untuk melihat bahwa hanya ada satu
cara untuk menyatakan suatu vektor sebagai kombinasi linear dari vktor-
vektor dalam S, anggap bahwa suatu vektor v dapat ditulis sebagai
v = c1v1 + c2v2+ … + cnvn (1)
dan juga sebagai
v = k1v1 + k2v2+ … + knvn (2)
Dengan mengurangkan persamaan (1) dan (2) akan didapatkan
0 = (c1 – k1)v1 + (c2 – k2)v2+ … + (cn – kn)vn
Karena ruas kanan dari persamaan ini adalah kombinasi linear dari vektor-
vektor dalam S, maka kebebasan linear dari S mengimplikasikan bahwa
c1 – k1 = 0 c2 – k1 = 0 ... cn – kn = 0
Yaitu,
c1 = k1 c2 = k1 ... cn = kn
Jadi, kedua ekspresi untuk v adalah sama.

21. Contoh 8
Anggap v1 = (1, 2, 1), v2 = ( 2, 9, 0), dan v3 = (3, 3, 4). Tunjukkan
bahwa himpunan S = {v1, v2, v3} adalah suatu basis untuk R3
Jawab :
Untuk menunjukkan bahwa himpunan S merentang R3 , kita
harus menunjukkan bahwa sembarang vektor b = ( b1, b2, b3)
dapat dinyatakan sebagai suatu kombinasi linear
b = c1v1 + c2v2+ c3v3
dari vektor-vektor dalam S. Dengan menyatakan persamaan ini
dalam bentuk komponen-komponen, kita akan mendapatkan
(b1, b2, b3) = c1 (1, 2, 1) + c2 (2, 9, 0) + c3 ( 3, 3, 4)
atau (b1, b2, b3) = (c1 + 2c2 + 3c3, 2c1 + 9c2 + 3c3, c1 + 4c3)
dengan menyamakan komponen-komponen yang
Berpadanan akan diperoleh,

22. c1 + 2c2 + 3c3 = b1
2c1 + 9c2 + 3c3 = b2
c1 + 4c3 = b3 (1)
Jadi, untuk menunjukkan bahwa S merentang R3 , kita harus
menunjukkan bahwa sistem (1) mempunyai suatu penyelesaian
untuk semua pilihan b = (b1, b2, b3).
Untuk membuktikan bahwa S bebas secara linear, kita harus
menunjukkan bahwa satu-satunya penyelesaian dari
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 (2)
adalah c1 = c2 = c3 = 0. Seperti di atas, jika (2) dinyatakan dalam
dalam bentuk komponen-komponen, pembuktian kebebasan
berubah menjadi menunjukkan bahwa sistem homogen
c1 + 2c2 + 3c3 = 0
2c1 + 9c2 + 3c3 = 0
c1 + 4c3 = 0 (3)
hanya mempunyai penyelesaian trivial.

23. Amati bahwa sistem (1) dan (3) mempunyai matriks koefisien
yang sama. Jadi, berdasarkan Teorema 4.3.4 bagian (a), (b), dan
(g), kita dapat secara simultan membuktikan bahwa S bebas
secara linear dan merentang R3 dengan menunjukkan bahwa
dalam sistem (1) dan (3) matriks koefisien
1 2 3
A = 2 9 3
1 0 4
Mempunyai determinan tak nol. Akan tetapi
1 2 3
det(A) = 2 9 3 = -1
1 0 4
Sehingga S adalah suatu basis untuk R3 .

24. Koordinat-koordinat vektor relatif
Jika S = {v1, v2, …, vn} adalah suatu basis untuk suatu ruang
vektor V, dan
v = c1v1 + c2v2+ … + cnvn
adalah ekspresi untuk suatu vektor v dalam bentuk basis S,
maka skalar c1, c2, …, cn disebut koordinat v relatif terhadap
basis S. Vektor (c1, c2, …, cn) dalam Rn yang tersusun dari
koordinat-koordinat ini disebut koordinat vektor v relatif
terhadap S; ini dinyatakan dengan
(v)s = (c1, c2, …, cn)
Contoh 9
Pada contoh 2 sebelumnya kita tujukkan bahwa jika
i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k (0, 0, 1)
Maka S = {i, j, k} adalah suatu himpunan yang bebas secara
linear dalam R3. himpunan ini juga merentang R3 karena
setiap vektor v = (a, b, c) dalam R3 dapat ditulis sebagai
v = (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) = ai +bj +ck (1)

25. Jadi, S adalah basis untuk R3 ; ini disebut basis standar untuk
R3. dengan memperhatikan koefisien i, j, dan k dalam (1) kita
dapatkan bahwa koordinat v relatif terhadap basis standar
adalah a, b, dan c sehingga
(v)s = (a, b, c)
Dengan membandingkan hasil ini dengan (1) kita lihat bahwa
v = (v)s
Persamaan ini menyatakan bahwa komponen-komponen
suatu vektor v relatif terhadap suatu sistem koordinat xyz
segiempat dan koordinat-koordinat v relatif terhadap basis
standar adalah sama.

26. Contoh 10
Anggap S = (v1, v2, v3) adalah basis untuk R3 dalam contoh 8.
(a) Cari vektor koordinat dari v = (5, -1, 9) berkenaan dengan S
(b) Cari vektor v dalam R3 yang vektor koordinatnya berkenaan
dengan basis S adalah (v)s = (-1, 3, 2).
Jawab :
(a) Kita harus mencari skalar c1, c2, c3 sedemikian sehingga
v = c1v1 + c2v2+ c3v3
atau, dalam bentuk komponen-komponen
(5, -1, 9) = c1 (1, 2, 1) + c2 (2, 9, 0) + c3 (3, 3, 4)
menyamakan komponen-komponen yang berpadanan
akan menghasilkan
c1 + 2c2 + 3c3 = 5
2c1 + 9c2 + 3c3 = -1
c1 + 4c3 = 9
dengan menyelesaikan sistem ini , diperoleh c1 = 1, c2 = -1,
c3 = 2. oleh karena itu (v)s = (1, -1, 2).

27. (b) Dengan menggunakan definisi vektor koordinat (v)s,
diperoleh
v = c1v1 + c2v2+ c3v3
= (-1) v1 + 3v2 + 2v3
= (-1) (1, 2, 1) + 3 (2, 9, 0) + 2 (3, 3, 4)
= (11, 31, 7)

28. Suatu ruang vektor tak nol v disebut berdimensi terhingga jika
V berisi suatu himpunan vektor terhingga {v1, v2, …, vn} yang
membentuk suatu basis. Jika tidak ada himpunan seperti itu,
maka V disebut berdimensi tak hingga, kita akan menganggap
ruang vektor nol sebagai berdimensi terhingga.
DEFINISI
Teorema 5.4.2. Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi
terhingga dan {v1, v2, …, vn} adalah sembarang basis, maka :
a) Setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak
bebas secara linear.
b) Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang
merentang V.

29. Bukti (a) Anggap S’ = {w1 , w2, ..., wm} adalah sembarang
himpunan m vektor dalam V, dimana m > n. Kita ingin
menunjukkan bahwa S’ tak bebas secara linear. Karena
S = {v1 , v2, ..., vn} adalah suatu basis, maka setiap wi dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor dalam
S, misalkan
w1 = a11 v1 + a21 v2 + ... + an1 vn
w2 = a12 v1 + a22 v2 + ... + an2 vn
wm= a1mv1 + a2mv2 + ... + anmvn (1)
Untuk menunjukkan bahwa S’ tak bebas secara linear, kita
harus mencari skalar k1 , k2 , ... , km , yang tidak semuanya nol
sedemikian sehingga
k1 w1 + k2 w2 + ... + km wm = 0 (2)

30. Dengan menggunakan persamaan dalam (1), kita dapat
menulis ulang (2) sebagai
(k 1 a11 + k2 a12 + ... + km a1m )v1
+ (k 1 a21 + k2 a22 + ... + km a2m )v2
+ (k 1an1 + k2an2 + ... + kmanm )vn = 0
Jadi, dari kebebasan linear S, masalah membuktikan bahwa S’
adalah suatu himpunan yang tak bebas secara linear berubah
menjadi menunjukkan bahwa skalar k1 , k2 , ..., km , yang tidak
semuanya nol, yang memenuhi
a11 k1 + a12 k2 + ... + a1m km = 0
a21 k1 + a22 k2 + ... + a2m km = 0
an1 k1 + an2 k2 + ... + anm km = 0 (3)

31. Akan tetapi, (3) mempunyai peubah yang lebih banyak dari
persamaannya, sehingga bukti ini menjadi lengkap karena
Teorema 1.2.1 menjamin adanya penyelesaian yang tak
trivial.
Bukti (b). Anggap S’ = {w1 , w2, ..., wm} adalah sembarang
himpunan m vektor dalam V, dimana m < n. Kita ingin
menunjukkan bahwa S’ tidak merentang V. Pembuktian
akan dilakukan dengan kontradiksi : Kita akan menunjukkan
bahwa mengasumsikan bahwa S’ merentang V akan
membawa kita pada suatu kontradiksi kebebasan linear dari
{v1 , v2, ..., vn}.
Jika S’ merentang V, maka setiap vektor dalam V
adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor dalam S’.
Secara khusus, setiap vektor basis vi adalah suatu kombinasi
linear dari vektor-vektor dalam S’, misalkan

32. v1 = a11 w1 + a21 w2 + ... + am1 wm
v2 = a12 w1 + a22 w2 + ... + am2 wm
vn = a1n w1 + a2n w2 + ... + amn wm (4)
Untuk memperoleh kontradiksi, kita akan menunjukkan bahwa
ada skalar k1 , k2 , ..., kn , yang tidak semuanya nol, sedemikian
sehingga
k1 v1 + k2 v2 + ... + kn vn = 0 (5)
Akan tetapi, amati bahwa (4) dan (5) mempunyai bentuk yang
sama dengan (1) dan (2), kecuali bahwa m dan n dipertukarkan,
serta w dan v dipertukarkan. Jadi, perhitungan yang membawa
pada (3) sekarang menghasilkan

33. a11 k1 + a12 k2 + ... + a1n kn = 0
a21 k1 + a22 k2 + ... + a2n kn = 0
am1k1 + am2k2 + ... + amn kn = 0
Sistem ini mempunyai peubah yang lebih banyak daripada
persamaan, dan dengan demikian mempunyai penyelesaian tak
trivial berdasarkan teorema 1.2.1.

34. Teorema 5.4.3. Semua basis untuk ruang vektor berdimensi
terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama.
Untuk melihat bagaimana teorema ini berkaitan dengan konsep
“Dimensi”, ingatlah bahwa basis standar untuk Rn mempunyai n
vektor (contoh 9). Jadi, teorema 5.4.3 mengimplikasikan bahwa
semua basis untuk Rn mempunyai n vektor. Secara khusus, setiap
basis untuk R3 mempunyai tiga vektor, setiap basis untuk R2
mempunyai dua vektor, dan setiap basis untuk R1 (=R)
mempunyai satu vektor. Secara intuitif, R3 berdimensi tiga, R2
(ruang bidang) berdimensi dua, dan R (suatu garis) berdimensi
satu. Jadi, untuk ruang-ruang vektor yang kita kenal, jumlah
vektor dalam suatu basis sama dengan dimensinya. Hal ini
menyatakan definisi berikut ini.

35. Dimensi suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang di-
nyatakan dengan dim(V), didefinisikan sebagai jumlah vektor
dalam suatu basis untuk V. Di samping itu, kita mendefinisikan
ruang vektor nol mempunyai dimensi nol.
DEFINISI
Contoh 8
Tentukan suatu basis dan dimensi dari ruang penyelesaian
sistem homogen
2x1 + 2x2 - x3 + x5 = 0
- x1 - x2 + 2x3 – 3x4 + x5 = 0
x1 + x2 – 2x3 - x5 = 0
x3 + x4 + x5 = 0

36. Pada contoh 6 Subbab 1.2 ditunjukkan bahwa penyelesaian
umum dari sistem yang diberikan adalah
x1 = - s – t, x2 = s, x3 = - t, x4 = 0, x5 = t
Sehingga, vektor-vektor penyelesaiannya dapat ditulis
x1 - s – t - s - t -1 -1
x2 s s 0 1 0
x3 = - t = 0 + - t = s 0 + t - 1
x4 0 0 0 0 0
x5 t 0 t 0 1
Yang menunjukkan bahwa vektor-vektor
- 1 - 1
1 0
v1 = 0 dan v2 = - 1
0 0
0 1
Merentangkan ruang penyelesaian. Karena vektor-vektor ini
juga bebas secara linear, maka {v1 , v2} adalah suatu basis,
dan ruang penyelesaiannya berdimensi dua.