1) A aceleração do plano inclinado é igual à aceleração horizontal do cilindro, que rola sem deslizar sobre o plano. Esta aceleração depende do ângulo do plano e da massa do plano e do cilindro. 2) Quando uma força é aplicada em um ponto distinto do centro de massa de um objeto, ela causa uma rotação e uma translação. A velocidade angular depende da distância ao centro de massa, enquanto a velocidade do centro de massa depende

1. Exercícios 3a Semana
1) Um cilindro de massa m e raio a rola sem deslizar sobre o plano in-
clinado mostrado na gura, que, por sua vez, desliza sobre uma mesa sem
atrito. Quanto vale a aceleração do plano inclinado?
Resolução:
Pelo vínculo geométrico do problema, a aceleração da cunha é horizontal(não
há penetração na mesa). Adotando a massa da cunha como M , o sentido
positivo no eixo x na horizontal para a esquerda e o sentido positivo no eixo
y na vertical para baixo e ainda as força de atrito e normal entre a cunha e o
cilindro como F e N respectivamente tem-se que a resultante da cunha vale:
N sin α − F cos α = M aM
Sendo aM a aceleração da cunha, ou seja:
N sin α − F cos α
aM =
M
No mesmo sistema de coordenadas, a aceleração do cilindro vale:
No eixo x:
F cos α − N sin α
m
E no eixo y
N cos α + F sin α
g−
m
1

2. Como a normal está em um eixo que passa pelo centro do cilindro e o peso é
aplicado no centro então a única força que realiza torque é o atrito, ou seja:
Iθ = F a
Sendo θ a aceleração angular do cilindro.
Mas I = ma , ou seja:
2
2
2F
θ=
ma
Como não há deslizamento, no ponto de contato entre o cilindro e a cunha,
a aceleração resultante é a aceleração da cunha, ou seja:
No eixo x
F cos α − N sin α N sin α − F cos α
+ θa cos α = aM =
m M
Substituindo θ e isolando N :
3M + m
N = F cot α
(M + m)m
No eixo y
N cos α + F sin α
g− − θa sin α = 0
m
Substituindo θ e N e isolando F :
(M + m)m sin α (M + m)m sin α (M + m)m sin α
F =g 2 =g 2 =g
3M + m(1 + 2 sin α) 3M + m(1 + 1 − (1 − 2 sin α)) 3M + 2m − m sin 2α
Substituindo F e N em aM tem-se:
mg sin 2α
aM =
3M + 2m − m cos 2α
A rotação se dá na direção da força de atrito no cilindro, na gura a rotação
é no sentido horário.
10.27- Uma barra de comprimento L e massa M repousa sobre um plano
horizontal sem atrito(Figura 10-34). Durante um curto intervalo de tempo
δt o bastão é atingido por uma força F que produz um impulso I . A força
age num ponto P situado a uma distância a do centro de massa. Procure
(a) a velocidade do centro de massa, e (b) a velocidade angular em torno do
centro de massa. (c) Determine o ponto Q, que permanece inicialmente em
repouso no referencial do laboratório, mostrando que b = K , onde K é o
2
a
raio de giração em torno do centro de massa. O ponto Q é chamado centro
2

3. de percussão. (Por exemplo, um jogador de basebol deve segurar o taco pelo
centro de percussão no sentido de evitar a desagradável sensação da reação
do taco quando ele atinge a bola.) Prove também que, se a força for aplicada
em Q, o centro de percussão estará em P .
Resolução:
a)Para o movimento de translação do centro de massa:
I
vcm =
m
b)Temos que:
d×F
d×F =τ ⇒α=
mK 2
Como F é perpendicular a d e ω = αdt:
aF dt aI
⇒ω= 2
=
mK mK 2
c)Representando como r a distância do ponto Q ao centro de massa, para
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4. que Q não se mova, temos que:
aI I K2
ωr = −vcm ⇒ r =− ⇒r=−
mK 2 m a
Análogamente, se a força for aplicada em Q, como a distância de Q ao centro
de massa é K :
2
a
I
vcm = m
2
I( K ) ⇒ r w = −vcm ⇒ r = a
w =− a
mK 2
10.31 Um cordão é erolado no pequeno cilindro da Fig. 10-37. Supondo que
o puxemos com uma força F , calcule a aceleração do cilindro. Determine o
sentido do movimento. Aqui, r = 3cm, R = 5cm, F = 0, 1kgf e m− = 1kg
(massa do cilindro).
Calculemos o torque em relação ao ponto de apoio:
τ = τF + τf at + τP + τN
Como o atrito, o peso e a normal agem em eixos que passam pelo ponto de
apoio:
τf at = τP = τN = 0
Temos que:
ˆ 3
τ = τF = (R − r)ˆ × F (ˆ = F (R − r)k = Iα = M R2 α
j i)
2
4

5. Logo:
2F (R − r) ˆ
α= k
3M R2
Assim, o cilindro irá rolar no sentido anti-horário, movendo-se para a es-
querda com aceleração do centro de massa aCM = R × α ≈ 0.3kgf/kg(−ˆ i)
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