prova

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEM´ATICA – ´AREA 2
C´ALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4
TERCEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2012
17 de Outubro de 2012
TURMAS Q3 – Q5 – Q7.
1a Quest˜ao: Considere a fun¸c˜ao f : R → R, peri´odica de per´ıodo 2, que no intervalo (−1, 1] ´e definida
por f(x) = 1 − |x|.
(a) Calcule SF[f](x), a s´erie de Fourier de f, determinando em que valores de x a soma
desta s´erie coincide com f(x). (2,0 pts)
Resolu¸c˜ao:
y = 1 − |x|
−1−1 0 1
y = f(x)
−2 −1 0 1 2
Como f tem per´ıodo 2L=2, a s´erie de Fourier de f ´e da forma
SF[f](x) =
a0
2
+
∞
n=1
[an cos (nπx) + bn sen (nπx)] ,
onde an =
1
−1 f(x) cos (nπx) dx, para n ∈ N ∪ {0}, e bn =
1
−1 f(x) sen (nπx) dx,
para n ∈ N. Sendo f uma fun¸c˜ao par, podemos concluir que cada bn ´e nulo
e an = 2
1
0 (1 − x) cos(nπx) dx. Assim, ap´os os c´alculos destas integrais, obte-
mos a0 = 1 e an =
0 , n = 2k
4
n2π2 , n = 2k + 1
, para n ≥ 1. Logo SF[f](x) =
1
2
+
4
π2
∞
k=0
cos((2k + 1)πx)
(2k + 1)2
. Al´em disso, como f ´e cont´ınua, segue do teorema de Fourier
que SF[f](x) = f(x) para todo x ∈ R.
(b) Use o Teorema de Fourier para calcular
∞
n=1
an e
∞
n=1
(−1)n+1
an. (1,0 pts)
Como SF[f](x) = f(x) para todo x ∈ R, em particular temos que
(i) para x = 0, f(0) = SF[f](0) = a0
2 + ∞
n=1 an. Substituindo a0 = f(0) = 1
temos que
∞
n=1
an =
1
2
.

2. (ii) para x = 1, f(1) = SF[f](1) = a0
2 + ∞
n=1 an cos(nπ). Substituindo a0 =
1, f(1) = 0 e cos(nπ) = (−1)n temos que
∞
n=1
(−1)n
an = −
1
2
⇒
∞
n=1
(−1)n+1
an =
1
2
.
(c) Use a Identidade de Parseval para calcular
∞
n=1
a2
n. (1,0 pts)
Pela Identidade de Parseval temos que
1
−1 f(x)2 dx = 1
2 + ∞
n=1 a2
n. Calculando esta
integral obtemos ∞
n=1 a2
n = 2
3 − 1
2 = 1
6.
Observa¸c˜ao: Nos itens (b) e (c) n˜ao ´e necess´ario calcular os an.
2a Quest˜ao: Resolva o problema de condu¸c˜ao de calor: (3,0 pt)



4uxx = ut, 0 < x < 2π, t > 0
ux(0, t) = 0, ux(2π, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) =
1, 0 < x < π,
0, π ≤ x < 2π
Resolu¸c˜ao:
Sabemos que a solu¸c˜ao deste problema ´e da forma u(x, t) = a0
2 + ∞
n=1 ane−n2t cos nx
2 ,
onde an = 1
π
2π
0 u(x, 0) cos nx
2 dx. Assim,
a0 =
1
π
π
0
dx = 1 e an =
1
π
π
0
cos
nx
2
dx =
2
nπ
sen
nπ
2
.
Observando que sen nπ
2 = 0 quando n ´e par e alterna entre 1 e -1 quando n ´e ´ımpar,
segue que a solu¸c˜ao ´e
u(x, t) =
1
2
+
2
π
∞
k=0
(−1)k
2k + 1
e−(2k+1)2t
cos
(2k + 1)x
2
.
3a Quest˜ao: Resolva o problema da corda vibrante: (3,0 pt)



uxx = utt, 0 < x < 1, t > 0,
u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = 2 sen(3πx) − sen(5πx), 0 < x < 1,
ut(x, 0) = 0.
Resolu¸c˜ao:
A solu¸c˜ao deste problema ´e da forma u(x, t) =
∞
n=1
cn cos(nπt) sen(nπx). Usando a condi¸c˜ao
u(x, 0) = 2 sen(3πx)−sen(5πx), temos que
∞
n=1
cn sen(nπx) = 2 sen(3πx)−sen(5πx), ou
seja, cn =



2, se n = 3
−1, se n = 5
0, se n = 3, 5
. Assim, a solu¸c˜ao ´e
u(x, t) = 2 cos(3πt) sen(3πx) − cos(5πt) sen(5πx).